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第十九章 二次根式 单元测试
满分：120分 得分：_______
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
4．比较大小：，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
5．估算的结果在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
6．已知为实数，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．无法确定
7．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．已知是正整数，则自然数n的最小值为（ ）
A．20 B．10 C．8 D．4
10．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．若，则的值为_____．
12．已知，则代数式的值为________．
13．如果最简根式与是同类二次根式，那么_______．
14．若对实数，，，规定，则____________．
15．将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为______．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
(1)；(2)．
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
18．（9分）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题．
， ， ……；
（2）用，，表示上述规律为： ；
（3）利用（2）中的结论，求的值；
（4）设，，试用含，的式子表示；
19．（10分）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
20．（10分）观察与思考：
①；②；③；…
(1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
(2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．
21．（10分）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
(2)求剩余木料的面积；
(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
22．（10分）我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题．
(1)计算：；
(2)比较：与的大小；
(3)化简：．
23．（10分）【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件为，解得，∴，
∴原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简：；
(2)已知a、b、c为的三边长，化简：．
试卷第1页，共3页
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第十九章 二次根式 单元测试
满分：120分 得分：_______
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、，不是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、2不能再开方，是最简二次根式；
D、，不是最简二次根式．
故选：C．
2．当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．
【详解】当时，
．
故选：C．
3．设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
又，
．
故选：C．
4．比较大小：，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴；
故选D．
5．估算的结果在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．已知为实数，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算．
【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则
由，得：．
将代入代数式：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算．
7．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解．
【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，，
而；，，，，
∴第n个单项式的系数为．
各单项式的字母部分依次为，，，，，
而；，，，，
∴第n个单项式的字母部分为．
综上，第个单项式为．
故选：D
8．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的流程图是解本题的关键．
把代入程序计算即可得到输出结果．
【详解】解：若输入的值为，
，
故选：C．
9．已知是正整数，则自然数n的最小值为（ ）
A．20 B．10 C．8 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值．
【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10．
故选：B．
10．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为，
所以三个小正方形的边长分别为：，，．
由图知大正方形的边长为：，
所以．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．若，则的值为_____．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．
根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y的值，最后计算．
【详解】解：由二次根式的定义有意义的条件得且，
解得，
代入原式，得，
所以．
故答案为：4．
12．已知，则代数式的值为________．
【答案】11
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算．
将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： 11．
13．如果最简根式与是同类二次根式，那么__________．
【答案】10
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式．
根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，，
解得：，
∴，
故答案为：10．
14．若对实数，，，规定，则____________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键；
根据题干给出的运算规则，先算乘法再进行减法计算．
【详解】解：由题可知：
∴
故答案为： ．
15．将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为______．
【答案】23
【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，发现题目中的数据的特点和排列的特点，找出最大的有理数所在的位置．根据题目中的数据可以得到这列数中最大有有理数的位置，进而得到m、n的值，从而可以求得的值．
【详解】解：，，
的位置记为，
这列数中的最大有理数是，
这列数中的最大有理数是记为，
这列数中的最大有理数的位置可记为，
，
，
故答案为：23．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．
（1）先算乘除，再计算加减法；
（2）先运用平方差公式和完全平方公式，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算．
【详解】解：
，
当时，原式．
18．（9分）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题．
， ， ……；
（2）用，，表示上述规律为： ；
（3）利用（2）中的结论，求的值；
（4）设，，试用含，的式子表示；
【答案】（1）=，=，=；（2）（，）；（3）2；（4）
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，
对于（1），根据二次根式乘法得出结果判断即可；
对于（2），根据（1）中计算的结果得出结论；
对于（3），根据二次根式的乘法计算；
对于（4），根据规律得，即可得出答案.
【详解】解：（1） ，，
；
；
；
故答案为：；
（2）（，），
故答案为：（，）；
（3）；
（4） ，，
19．（10分）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】元
【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．
【详解】解：
（平方米），
则（元），
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．
【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．
20．（10分）观察与思考：
①；②；③；…
(1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
(2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．
【答案】(1)
(2)（的整数），证明见解析
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（1）由题干找出规律求解即可；
（2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明．
【详解】（1）解：∵①；
②；
③；…
∴写出第④个等式为：；
（2）解：
（的整数）
证明如下：
．
21．（10分）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
(2)求剩余木料的面积；
(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
【答案】(1)，；
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键．
（1）根据算术平方根的含义可得答案；
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案；
（3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案．
【详解】（1）解：，，
（2）矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
22．（10分）我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题．
(1)计算：；
(2)比较：与的大小；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解；
（2）根据材料提示，先根据分母有理化化简，再将两数作差进行比较即可；
（3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
∴；
（3）解：
．
23．（10分）【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件为，解得，∴，
∴原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简：；
(2)已知a、b、c为的三边长，化简：．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，解得，再化简二次根式，再合并即可；
（2）根据三角形三边关系得出，，，然后化简绝对值即可．
【详解】（1）解：∵，
解得：，
∴，
∴
；
（2）解：∵a、b、c为的三边长，
∴，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，三角形三边关系，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
