中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
知识点1 二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号.
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
知识点2 二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点3 二次根式的性质
二次根式的基本性质：①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（A组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．当时，二次根式的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．要使在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．计算：（ ）
A． B． C． D．
5．若把代数式中的和都扩大到原来的4倍，则该二次根式的值（ ）
A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
6．已知是正整数，是整数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．如果a满足，那么的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．若二次根式的值为0，则的值为________．
10．化简：_____．
11．若，则___________．
12．已知，则的取值范围是________．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
14．（1）【问题情境】若实数x，y满足，求的值．
下面是小明的部分解题过程：
解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则…
请你将上述过程补充完整；
（2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
15．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
（B组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列代数式中，二次根式为（ ）
A． B． C． D．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A． B．且 C． D．且
3．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知点为第二象限的一点，且点到的距离为4，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
6．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．当时，二次根式的值为____．
10．已知，，则的值为__________．
11．化简：_____．
12．已知，则的算术平方根是_______．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．当时，求．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
(3)当时，求的值．
14．数轴上从左到右依次有A，B，C三点表示的数分别为a，b，，其中b为整数，且满足，求的值．
15．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：；
第②个等式：；
第③个等式：；
第④个等式：：
(1)计算：_____；_____；
(2)若，则正整数_____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
（C组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列运算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若式子有意义，则点的坐标在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（ ）
A．8 B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若 则的值为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
6．若满足关系式，则的值为（ ）
A． B．6 C．2 D．
7．设，则等于（ ）
A．24 B．25 C． D．
8．已知，当分别取时，所对应值的总和是（ ）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．要使代数式有意义，那么的取值范围是______．
10．已知，则代数式的值等于_____．
11．若是整数，则整数n的所有可能的值为_______．
12．已知的结果为3，那么的取值范围为______________．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)；
(2)．
14．已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
15．【问题情景】 请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：．
(1)解：由解得 ， ， ．
(2)【拓展创新】已知，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
知识点1 二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号.
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
知识点2 二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点3 二次根式的性质
二次根式的基本性质：①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（A组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
根据二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；
B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；
C．是二次根式，故符合题意；
D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；
故选C．
2．当时，二次根式的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
3．要使在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
在数轴上表示时，数字处为实心圆点，并向数轴正方向延伸．
故选：B．
4．计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的化简．
先化简二次根式，再计算减法即可．
【详解】解：．
故选：A．
5．若把代数式中的和都扩大到原来的4倍，则该二次根式的值（ ）
A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
将原二次根式中的和都扩大到原来的倍，得到新表达式，通过计算新表达式与原表达式的关系，判断变化倍数.
【详解】解：∵ 原二次根式为 ，
将和都扩大到原来的倍，得新表达式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 新值缩小到原来的 .
故选：D．
6．已知是正整数，是整数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值.
【详解】解：∵，
又∵是整数，是正整数，
∴必须是整数，即为完全平方数，
∴最小为时，是完全平方数，
∴的最小值是，
故选：C．
7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答．
【详解】解：由图知，，，
∴，，
∴
．
故选：A．
8．如果a满足，那么的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键．
本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值．
【详解】解：∵有意义
∴，即
∵
∴
代入原方程：
化简得：
两边平方：
∴．
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．若二次根式的值为0，则的值为________．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键．
根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为．
【详解】解：∵二次根式 的值为，
∴被开方数 ，
解得
故答案为：．
10．化简：_____．
【答案】
/
【分析】利用算术平方根的性质 ，判断 的符号后去绝对值即可．
本题考查二次根式的基本性质，掌握二次根式的概念进行化简是解题关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
11．若，则___________．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练二次根式有意义的条件：被开方数非负．
二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，再求解，即可求解的值．
【详解】解：由题意得， ，
解得，
代入原式，，
因此，
故答案为：．
12．已知，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的意义，二次根式的性质与化简，正确理解题意是解题的关键．
将方程中的平方根转化为绝对值形式，然后分情况讨论绝对值符号内的正负性，求解方程并确定取值范围．
【详解】解：由 = ，原方程化为 ．
当 时，，代入得 ，解得 ．
当 时，，代入得 ，即 ，恒成立．
综上所述，．
故答案为： ．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
【答案】0
【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简各个数，再进行加减运算，即可作答．
【详解】解：
．
14．（1）【问题情境】若实数x，y满足，求的值．
下面是小明的部分解题过程：
解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则…
请你将上述过程补充完整；
（2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）11或13
【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式有意义的条件、三角形三边关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
（1）依据题意得，且，进而可得，然后代入求出y的值进而计算可以得解；
（2）依据题意得，且，从而可得，再求出b，最后分类讨论计算可以判断得解．
【详解】解：由题意得，，且，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，且，
∴，
∴；
∵a，b分别为等腰三角形的两条边长，
∴①是底，则腰为．
，
∴3，5，5能组成三角形，
∴此三角形的周长为．
②是底，则腰为．
，
∴3，3，5能组成三角形，
∴此三角形的周长为．
综上所述，三角形的周长为11或13．
15．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点．
（1）根据两点间的距离公式即可得解；
（2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解；
（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．
【详解】（1）解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，
点所表示的数为；
（2）解：，
，
，
即，
，，
，
，
，
；
（法二：，
，
，
，
，
，
）；
（3）解：由题可知，
，，
，，
，
的平方根为．
（B组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列代数式中，二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，逐一分析各选项是否符合定义即可．
【详解】解：∵，
∴，
由二次根式的定义可知，四个式子中只有是二次根式（当时，没有意义），
故选：C．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），掌握知识点是解题的关键。
根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式求解即可.
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴有意义，要求，即；
有意义，要求，即.
∴且.
故选B.
3．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件．
先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出．
【详解】解：当输入时，
第一次计算：，不成立，将作为新的；
第二次计算：，成立，输出结果．
故选：C．
5．已知点为第二象限的一点，且点到的距离为4，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题目确定a，b的值，然后利用算术平方根计算即可．
【详解】∵点为第二象限的点，
∴，，
∵点A到x的距离为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标及点到坐标轴的距离，确定a，b的值是解答本题的关键．
6．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式．
【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长，
∴ ,即，
∴ ，，
∴ 原式，
故选：A．
7．当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴和实数，绝对值的性质，二次根式的性质，
根据数轴可知，进而得，再将原式化为，然后去绝对值即可．
【详解】解：根据数轴可知，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．当时，二次根式的值为____．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．
将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：当时，，
故答案为：．
10．已知，，则的值为__________．
【答案】或
【分析】本题考查了二次根式的性质．
根据二次根式的性质求出a、b的值，进而求的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴或．
故答案为：或．
11．化简：_____．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键．
先根据有意义求出x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
12．已知，则的算术平方根是_______．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而求出的值，再代入原式求出的值，进而计算并求其算术平方根．
【详解】解：由二次根式的定义，得且，
解得，
，
，
8的算术平方根是，
故答案为： ．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．当时，求．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质分析即可；
（2）根据二次根式的性质分析即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴
，
当时，
原式，
∴小亮的解法是错误的；
（2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：，
当时，；
（3）解：∵，
∴，
∴原式．
14．数轴上从左到右依次有A，B，C三点表示的数分别为a，b，，其中b为整数，且满足，求的值．
【答案】5或6
【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性．
根据绝对值的非负性，二次根式的非负性可知，即，则，可得，求出，再根据题意求出或3，进而计算即可．
【详解】解：因为，，
所以，
即
所以，所以，即．
又因为数轴上从左到右依次有三点，表示的数分别为，
所以，且为整数，所以或3．
当时，；
当时，．
综上所述，的值为5或6．
15．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：；
第②个等式：；
第③个等式：；
第④个等式：：
(1)计算：_____；_____；
(2)若，则正整数_____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键．
（1）根据规律运算即可；
（2）根据规律运算即可；
（3）根据规律运算即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）
解：原式
．
（C组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列运算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数的运算，涉及平方、平方根、负号处理及负指数幂等知识点．需逐一计算各选项的结果，判断其符号．
【详解】解：选项A：，结果为正数，不符合题意；
选项B：，结果为正数，不符合题意；
选项C：，结果为正数，不符合题意；
选项D：，结果为负数，符合题意；
故选：D．
2．若式子有意义，则点的坐标在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征，掌握二次根式有意义的条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，确定的取值范围，再判断点的坐标符号，从而确定所在象限．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，即，
∴，
∴点中，，且，故，
∴点的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点在第二象限．
故选：B．
3．已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查三角形的三边关系，化简绝对值及二次根式，熟练掌握三角形三边关系得到k的取值范围是解题的关键，
先根据三角形三边关系得到，再根据绝对值及二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：∵三角形的三条边长为3，5，k，
∴，即，
∴
故选A．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．若 则的值为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】C
【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键．
先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案．
【详解】解：，
，
，即，解得，
故选：C．
6．若满足关系式，则的值为（ ）
A． B．6 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，，．
由 得 ，
由 得 ，即 ，
∴ ．
代入原式：，
，
∴ ，
两边平方得 ，即 ，
∴ ．
故选：A．
7．设，则等于（ ）
A．24 B．25 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可．
【详解】解：由，
可得：，
∴，
∴，
∴
．
故选：A
8．已知，当分别取时，所对应值的总和是（ ）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
【答案】D
【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解．
【详解】解：当x取1时，，
当x取2时，，
当x取时，，
，
所以对应值的总和是：，
故选D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．要使代数式有意义，那么的取值范围是______．
【答案】且
【分析】代数式有意义需满足根号内被开方数非负且分母不为零，分别解不等式后结合取值范围．
本题考查了代数式有意义的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足两个条件：
第一，根号下的被开方数是非负数即，解得 ；
第二，分母不为零即，解得；
故且；
故答案为：且．
10．已知，则代数式的值等于_____．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质．将根号内的表达式识别为完全平方形式，利用算术平方根的性质化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：．
11．若是整数，则整数n的所有可能的值为_______．
【答案】1，4，9，36
【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值．
【详解】解：∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴①，即；
②，即；
③，即；
④，即；
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键．
12．已知的结果为3，那么的取值范围为______________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质．
将原式化为绝对值方程 ，分段讨论求解．
【详解】解：原式可化为
当时，，
解得 ，
但 不在的范围，无解；
当时，，恒成立；
当时，，
解得 ，符合条件；
综上所述，．
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式性质，绝对值的意义进行化简，再进行加减计算即可；
（2）由立方根的定义，二次根式的性质化简，再计算乘法，最后计算减法即可．
本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式的应用，绝对值与二次根式的化简．
（1）先求出方程组的解，再根据有一个解为正数列出不等式，求解即可；
（2）由得到，，再根据绝对值与二次根式的性质进行化简即可．
【详解】（1）解：解方程组得，
∵方程组有一个解为正数，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
15．【问题情景】 请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：．
(1)解：由解得 ， ， ．
(2)【拓展创新】已知，求的值．
【答案】(1)3，1，
(2)29
【分析】（1）根据二次根式的非负性，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式即可；
（2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，通过对完全平方公式变形求值，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：由，
解得：，
∵
．
；
故答案为：3，1，
（2）解：∵
由：，
解得：，
∵
∴
，
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
