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第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
知识点1 同类二次根式
同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
知识点2 二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
知识点3 二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
知识点4 二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
（A组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若取，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．当时，代数式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．若，则表示实数的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
7．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．
8．如图，甲，乙，两三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
甲
乙
丙
A．0张 B．1张 C．2张 D．3张
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．计算：________．
10．计算：_______________．
11．若，则的值为________．
12．观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式______．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
14．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
15．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
①
②
③
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知，
(1)求，的值；
(2)求的值．
（B组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．能与相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
2．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．若，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上
4．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
5．学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ）
A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红
6．我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数
C．型无理数 D．型无理数
7．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
8．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______．
10．若，则整数a的值为________．
11．若n为正整数，且满足估算，则n的值为_______．
12．数轴上到表示的点距离为的点所表示的数是_____．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)．
(2)．
14．已知实数，，满足．
(1)求，，的值．
(2)以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由．
15．综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有．
请仿照上面的方法，解决下列各题：
(1)化简：_____________，_____________；
(2)若求的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值：
．
（C组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列根式不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个三角形的周长为，其两边长分别为和，则第三边的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点在数轴上，则可以近似表示的运算结果的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．若，则代数式的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．
5．如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24
6．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如果，那么的值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．设，，则的值是__________．
10．的解集是______．
11．按如图所示的运算程序计算，若输入“3”，则输出的结果是______．
12．a，b均为正整数，且满足．则的值为________．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏．
(1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利．
(2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果．
(3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程．
……………………第一步
……………………第二步
……………………第三步
14．1247年，中国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出了三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”．即如果一个三角形的三边长分别a，b，c，记，那么这个三角形的面积．
如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
15．已知，求的值．
小明是这样解答的：
解：因为，所以
所以，即，所以
所以．
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简：________；
(2)比较大小：________（填“”，“”或“”）
(3)计算：；
(4)若，求的值．
试卷第1页，共3页
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第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
知识点1 同类二次根式
同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
知识点2 二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
知识点3 二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
知识点4 二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
（A组）
满分：60分 得分：______
一、单选题
1．下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与是同类二次根式的，则能与合并，与不是同类二次根式的，则不能与合并．
本题主要考查二次根式的化简和同类二次根式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能与合并；
B. 与不是同类二次根式，不能与合并；
C. 与不是同类二次根式，不能与合并；
D. ，与是同类二次根式，能与合并．
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有根号内的数相同时才能直接合并系数．对此一一计算即可得出答案．
【详解】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并，
选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误；
选项B：，故错误；
选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误；
选项D：，正确．
故选D．
3．若取，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
将表达式中的同类二次根式合并后计算系数，再代入近似值求解即可．
【详解】解：，
.
故选：C．
4．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
故选：C
5．当时，代数式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可．
【详解】解：，
当时，原式．
故选：C．
6．若，则表示实数的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a的范围，再结合数轴即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
，，
，
即，
故实数a的点会落在数轴的段②上，
故选：B．
7．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵的整数部分是a，小数部分是b，
∴，，
∴，
故选：B．
8．如图，甲，乙，两三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
甲
乙
丙
A．0张 B．1张 C．2张 D．3张
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的运算和有理数的判断，完全平方公式，掌握二次根式的化简和运算是解题关键．
分别计算甲、乙、丙三个算式的值，判断结果是否为有理数．
【详解】解：对于甲：
∵
，且是无理数，
∴是无理数．
对于乙：
∵，
∴
，
∴是有理数．
对于丙：
∵，，
，
∴，且是无理数，
∴是无理数．
综上，只有乙的计算结果是有理数．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．计算：________．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式=
．
故答案为：．
10．计算：_______________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算与完全平方公式的应用，解题关键是先正确展开完全平方公式，再化简二次根式的乘法，最后合并同类二次根式与常数项．
先利用完全平方公式进行计算，再计算二次根式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
11．若，则的值为________．
【答案】/
【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算．
根据算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入计算．
【详解】解：因为，且和，
所以和．
解得，
∴．
故答案为．
12．观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式______．
【答案】
【分析】本题考查含二次根式的数字规律探究，关键是拆分等式的各部分，分别找出与序号的对应关系．
【详解】解：首先分析左边：第个等式的整数部分为从3开始的第个奇数，即；
根号内的数依次为，，，…，对应，
故左边整体为．
再分析右边：第个等式为与的算术平方根差的平方，即，
所以第个等式为．
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式以及根式的化简规则，先化简再合并同类二次根式．
（1）根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案；
（2）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可；
（3）先化简二次根式，再计算加减法即可；
（4）根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式列式计算即可；
（2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可．
【详解】（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
15．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
①
②
③
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知，
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查的知识点是二次根式的分母有理化、代数式的化简求值以及完全平方公式的应用，解题关键是先对、进行分母有理化，再利用代数式变形计算求解．
（1）先对、分别进行分母有理化，再分别计算和的值；
（2）将变形为，代入（1）中所求值计算．
【详解】（1）解：
（2）解：
（B组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．能与相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的加减，掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式的加减，逐项计算判断即可．
【详解】解：A． ，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，符合题意；
D． ，不符合题意；
故选C．
2．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算，通过计算每种运算的结果并判断其是否为有理数来求解.
分别计算“”、“”、“”、“”四种运算的结果，判断是否为有理数.
【详解】解：加法：（无理数），不符合题意；
减法：（有理数），符合题意；
乘法：（有理数），符合题意；
除法：（无理数），不符合题意.
∴ “□”中的运算符号可能是或.
故选：A.
3．若，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出的值，再估算出范围，再结合数轴即可得出结果．
【详解】解：∵，即，
，
，
，即，
故实数的点会落在数轴的段②上，
故选：B．
4．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可．
【详解】解：根据题意可知，
．
故选：B．
5．学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ）
A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可．
【详解】解：由可得，小丽出现错误；
由可得，小红出现错误；
故选：D．
6．我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数
C．型无理数 D．型无理数
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式．
先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型．
【详解】解：
，
故为型无理数，
故选：B．
7．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式．
【详解】解：∵ ，，
情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形，
周长为 ；
情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形，
周长为．
∴ 周长为或，
故选：A．
8．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可．
【详解】解：中间正方形纸片的面积为，
中间正方形的边长为，
最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简，得到，再根据同类二次根式的定义，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：，
∵最简二次根式与可以合并，
即最简二次根式与是同类二次根式，
故，
解得．
故答案为：．
10．若，则整数a的值为________．
【答案】6
【分析】本题考查了二次根式的化简以及同类二次根式的合并．熟知相关知识点是正确解答此题的关键．
首先，利用二次根式的性质对进行化简；然后，根据合并同类二次根式的法则，即同类二次根式的系数相加减，根式部分不变，对等式左边的同类二次根式进行合并；即可求解整数的值．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故答案为：6．
11．若n为正整数，且满足估算，则n的值为_______．
【答案】20
【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算二次根式的混合运算，再估算该运算结果的范围，从而确定n的值．
【详解】解：，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：20．
12．数轴上到表示的点距离为的点所表示的数是_____．
【答案】或
【分析】本题考查实数与数轴、二次根式的加减，分在表示的点的左边与右边两种情况讨论，利用数轴上两点间距离公式建立方程求解．
【详解】解：设所求点表示的数为，则根据数轴上两点间距离公式，有，即．
当时，解得；
当时，解得．
故答案为：或．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据完全平方公式，二次根式的除法计算，再算加减法即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式计算，再算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
14．已知实数，，满足．
(1)求，，的值．
(2)以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】(1)，，．
(2)能，周长为，理由见解析．
【分析】本题考查的是二次根式的加减，非负数的性质，三角形的三边关系的知识，掌握算术平方根、绝对值、偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】（1）解：，，，
且，
，，，
，，．
（2）解：，，，
即，
能构成三角形．
周长为：．
15．综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有．
请仿照上面的方法，解决下列各题：
(1)化简：_____________，_____________；
(2)若求的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值：
．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题围绕二次根式的分母有理化展开，综合考查平方差公式的应用、代数式求值、裂项相消求和等核心知识点，重点考查对“有理化因式”的理解及“裂项相消”这种简化求和的技巧．
（1）对于，观察分母是“”，其有理化因式为“”，分子分母同乘该因式，利用平方差公式计算分母，即可得出结果，同理；
（2）先对、分别分母有理化，得到，．再计算和，最后代入代数式即可；
（3）将原式每一项按此规律展开，得到：，观察到中间项(如与、与等)相互抵消，最终只剩下首项的和末项的，从而得到结果．
【详解】（1）解：对于，分子分母同乘，得
；
对于，分子分母同乘，得
．
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴；
（3）解：
．
（C组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列根式不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的化简，同类二次根式才能进行合并，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．将选项中的二次根式进行化简，根据同类二次根式才能相加减选出答案即可．
【详解】解：，
A、能与合并，故此选项不符合题意；
B、能与合并，故此选项不符合题意；
C、能与合并，故此选项不符合题意；
D、不能与合并，故此选项符合题意；
故选：D．
2．已知一个三角形的周长为，其两边长分别为和，则第三边的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．根据三角形周长公式，用周长减去已知的两条边的长度，即可求出第三边的长度，计算过程中需要先将二次根式化为最简二次根式．
【详解】解：第三边长为．
故选：C．
3．如图，点在数轴上，则可以近似表示的运算结果的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、估算无理数的大小、实数与数轴，先根据二次根式混合运算的法则得出，再估算出的大小，结合数轴即可得出答案．
【详解】解：，
，
，即，
，
由数轴可得：点在到之间，
故选：C．
4．若，则代数式的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．
【答案】C
【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
5．如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握二次根式的运算法则．
根据小长方形的长宽列式，依次计算，即可求解．
【详解】解：A、大长方形的长为：，故该选项正确，不符合题意，
B、大长方形的宽为：，故该选项正确，不符合题意，
C、大长方形的周长为：，故该选项不正确，符合题意，
D、大长方形的面积为：，故该选项正确，不符合题意，
故选：C．
6．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的变形求值，根据，可得，再由可得，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
，
当即时，
原式=，
故选：C．
8．如果，那么的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把代数式进行化简．
首先将进行化简，再将代入计算即可．
【详解】解：
，
．
即．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．设，，则的值是__________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为．
【详解】解：由，，
计算，
所以．
则．
因此．
故答案为：．
10．的解集是______．
【答案】
【分析】本题考查求不等式的解集，二次根式的混合运算，通过移项和合并同类项，将不等式化为，由于，除以负数时不等号方向改变，再通过有理化分母简化表达式，得到解集即可．
【详解】解：．
移项，得，
合并，得．
∵，
∴；
∵；
∴，即：．
故答案为：．
11．按如图所示的运算程序计算，若输入“3”，则输出的结果是______．
【答案】3
【分析】本题考查程序框图的运算，熟练掌握运算法则并准确计算是解题的关键．根据输入的数字从左往右依次计算即可．
【详解】解：输入3，
第一步，
第二步，
第三步
．
故答案为：3．
12．a，b均为正整数，且满足．则的值为________．
【答案】或
【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据，得到与是同类二次根式，结合a，b均为正整数，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴与是同类二次根式，
∵a，b均为正整数，，
∴或，
∴或；
故答案为：或．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏．
(1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利．
(2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果．
(3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程．
……………………第一步
……………………第二步
……………………第三步
【答案】(1)乙获胜
(2)选择的卡片为和，计算结果为；选择的卡片为和，计算结果为
(3)二；正确的化简过程见详解．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算和乘法运算、平方差公式、去括号法则，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，去括号时注意符号的变化即可．
（1）根据甲、乙所选卡片，列式后先逐项化简，再合并同类二次根式，最后比较大小即可；
（2）从6张卡片中选两张计算乘积，选出结果为正数的即可；
（3）去括号时注意符号的变化即可；
【详解】（1）解：甲：
乙：
∵，
∴乙获胜．
（2）若选择的卡片为和．
计算结果如下：
．
若选择的卡片为和．
计算结果如下：
．
（3）二．
正确的化简过程如下：
14．1247年，中国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出了三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”．即如果一个三角形的三边长分别a，b，c，记，那么这个三角形的面积．
如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了已知字母求代数式的值，二次根式的应用，二次根式的加减，解题关键是掌握已知字母求代数式的值的方法．
（1）直接代入公式求解；
（2）先根据三角形面积公式，分别求出各边上的高，再求和．
【详解】（1）解：根据题意，得．
∴
，
∴的面积为．
（2）∵，，
∴，
∴．
同理可得：，．
∴．
15．已知，求的值．
小明是这样解答的：
解：因为，所以
所以，即，所以
所以．
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简：________；
(2)比较大小：________（填“”，“”或“”）
(3)计算：；
(4)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键．
（1）根据分母有理化即可求解；
（2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论；
（3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可；
（4）仿照题目的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）解：，
∴
；
（4）解：，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
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