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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
知识点1 二次根式的化简
（1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）
（2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2
知识点2 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
知识点3 二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
知识点4 分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；
②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代
数式成互为有理化因式．
（A组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．等式 成立的条件是 （ ）
A． 且 B． C． D．
3．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．计算结果为（ ）
A． B． C． D．
5．下列各数中，与的商为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．若实数x、y满足，则的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
7．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（ ）
A． B． C． D．
8．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．若，则__________．
10．不等式的解集是___________．
11．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________．
12．若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的_______段．（填序号）
三、解答题（每小题8分，共24分）（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
14．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题：
已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积．
15．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号）
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
（B组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．从、、这三个实数中任选两数相乘大于2的是（ ）
A． B． C． D．没有
3．估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
4．已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．关于x的不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行，爬到表示的点处，则该点可能是下列点中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．等式成立的条件是__________．
10．当时，化简：_______．
11．若与互为相反数，则的值为__________．
12．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为____．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)．
(2)．
14．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
15．阅读理解：在平面直角坐标系中，，如何求的距离，如图，在中，，所以，因此，我们得到平面上两点之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：
(1)已知点，试求 C、D 两点间的距离；
(2)已知点且，求m的值；
（C组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若成立，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．等式“”中，括号内应填入（ ）
A． B．3 C． D．6
4．已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
5．小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且．则A 的值为（ ）
A．5 B．6 C．18 D．20
7．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
1 第1排
第2排
1 第3排
1 1 第4排
…… 第4列 第3列 第2列 第1列 ……
A． B． C． D．1
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．若，，则用含a，b的式子表示为________．
10．计算：__________．
11．若单项式与是同类项，则的值为______．
12．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)
(2)．
14．请观察式子：，．
仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
15．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为；
(1)数对的“衍生数对”是 ；
(2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ；
(3)若数对的“衍生数对”是，求的值；
(4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
知识点1 二次根式的化简
（1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）
（2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2
知识点2 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
知识点3 二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
知识点4 分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；
②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代
数式成互为有理化因式．
（A组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项．
【详解】解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意．
B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意．
C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意．
D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意．
故选：A．
2．等式 成立的条件是 （ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件可得且，解不等式组即可．
本题主要考查了二次根式的除法，被开方数要大于等于0，分母不能为0．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故选：C
3．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，
根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可．
【详解】A．，正确；
B．，正确；
C．，故选项错误；
D．，正确．
故选：C．
4．计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
5．下列各数中，与的商为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的除法运算及有理数的定义，将各选项与相除，判断结果是否为有理数．
【详解】解：A选项：，结果是无理数；
B选项：，结果是无理数；
C选项：，结果是无理数；
D选项：，是有理数．
故选：D．
6．若实数x、y满足，则的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，化简二次根式，熟练掌握和运用算术平方根及绝对值的非负性是解决本题的关键．根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得x、y的值，据此即可求得．
【详解】解：由题意，，
因为，，
所以，，
解得：，，
因此，，
12的算术平方根为，
故选：D．
7．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可．
本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，
故选：A．
8．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
把分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可．
【详解】解：∵，
∴，故甲的结果正确；
，故乙的结果正确；
，故丙的结果正确；
故选：A
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．若，则__________．
【答案】
【分析】本题考查非负性，化简二次根式，利用绝对值和平方的非负性，求出 m 和 n 的值，再化简二次根式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
10．不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】本题考查含二次根式的一元一次不等式的求解，关键是掌握一元一次不等式的基本解法以及二次根式的化简方法．先通过移项将常数项移到不等式右侧，再将的系数化为1，最后对含二次根式的分式进行化简得到解集．
【详解】解：不等式，移项得，
∴两边同时除以，得，
故；
故答案为：．
11．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式．
利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高.
【详解】解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ．
两边同乘以得 ，
再两边同除以得 ．
故答案为：．
12．若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的_______段．（填序号）
【答案】③
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的化简，估计二次根式的整数部分的值，解题的关键是掌握以上法则．
先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴数a落在了如图所示数轴上的③段，
故答案为：③．
三、解答题（每小题8分，共24分）（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，正确运用运算法则是解答本题的关键．
（1）根据二次根式乘法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式除法法则进行计算即可；
（3）原式先计算二次根式的乘法，再计算除法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
14．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题：
已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法应用，熟练掌握该知识点是关键．
先求出的值，再利用海伦公式求解即可．
【详解】解：，，，
，
．
故张大爷这块菜地的面积为．
15．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号）
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
【答案】(1)
(2)会产生危害，严禁高空抛物．
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
（1）根据公式，代入计算即可．
（2）先根据公式，求得高度，再根据能量计算公式计算，进一步判断得解．
【详解】（1）解：当时，
答：物体从的高空落到地面的时间为．
（2）解：当时，，解得，
已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）的计算公式为，其中为物体质量（单位：），为高度（单位：m）
∴，
∵，
∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物．
（B组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．若成立，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故选：C．
3．等式“”中，括号内应填入（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，
∴括号内应填入6，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件．
首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可.
【详解】解：，
，
故选：D ．
5．小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意计算与，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6．已知，且．则A 的值为（ ）
A．5 B．6 C．18 D．20
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故选：B．
7．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵和为两个连续的正整数，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
1 第1排
第2排
1 第3排
1 1 第4排
…… 第4列 第3列 第2列 第1列 ……
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可．
【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的．
∴表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，
∵前4排共有个数，
∴第5排第4列的数是第个，
∵，
∴表示的数是；
前50排共有个数，
∴第5l排第30列的数是第个数，
∵，
∴表示的数是，
∴与表示的两个数的积是；
故选：A.
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．若，，则用含a，b的式子表示为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
10．计算：__________．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
11．若单项式与是同类项，则的值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类项，最简二次根式，根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解．
【详解】解：∵单项式与是同类项，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
【详解】解： ，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，，
，即最大为75，
故的最小值与最大值的和是，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键．
（1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可；
（2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数．
【详解】（1）
（2）
14．请观察式子：，．
仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
【答案】(1)① ② ③
(2)
【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简．
【详解】（1）解：①．
②．
③．
（2）解：把中根号外的因式移到根号内：
由有意义，得，即．
将变形为，再平方移入根号内：
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简．
15．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为；
(1)数对的“衍生数对”是 ；
(2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ；
(3)若数对的“衍生数对”是，求的值；
(4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)6
(4)，见解析
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键．
（1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和，
（2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y，
（3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算，
（4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小．
【详解】（1）解：根据定义：，，
故答案为：；
（2）解：数对的衍生数对：，，
数对的衍生数对：，，
由衍生数对相同得 且，解得，
故答案为：3；
（3）解：由，得，故，
由，得，
；
（4）解：由定义得，，作差：
，
，且，，故分子，
（C组）
满分：60分 得分：______
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．若成立，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故选：C．
3．等式“”中，括号内应填入（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，
∴括号内应填入6，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件．
首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可.
【详解】解：，
，
故选：D ．
5．小英在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，小康在中的“■”填入运算符号“”得到的结果为，则，之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意计算与，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6．已知，且．则A 的值为（ ）
A．5 B．6 C．18 D．20
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故选：B．
7．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵和为两个连续的正整数，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，将1，三个数按图中方式排列；若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
1 第1排
第2排
1 第3排
1 1 第4排
…… 第4列 第3列 第2列 第1列 ……
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的，可得表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，进而找到循环规律得到相应的数，再计算乘积即可．
【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1，．第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，……，第n排有n个数，且每—排的数是从右往左排列的．
∴表示第5排第4列的数，表示第5l排第30列的数，
∵前4排共有个数，
∴第5排第4列的数是第个，
∵，
∴表示的数是；
前50排共有个数，
∴第5l排第30列的数是第个数，
∵，
∴表示的数是，
∴与表示的两个数的积是；
故选：A.
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．若，，则用含a，b的式子表示为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
10．计算：__________．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
11．若单项式与是同类项，则的值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类项，最简二次根式，根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解．
【详解】解：∵单项式与是同类项，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
【详解】解： ，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，，
，即最大为75，
故的最小值与最大值的和是，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共24分）
13．计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键．
（1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可；
（2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数．
【详解】（1）
（2）
14．请观察式子：，．
仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
【答案】(1)① ② ③
(2)
【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简．
【详解】（1）解：①．
②．
③．
（2）解：把中根号外的因式移到根号内：
由有意义，得，即．
将变形为，再平方移入根号内：
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简．
15．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为；
(1)数对的“衍生数对”是 ；
(2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ；
(3)若数对的“衍生数对”是，求的值；
(4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)6
(4)，见解析
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键．
（1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和，
（2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y，
（3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算，
（4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小．
【详解】（1）解：根据定义：，，
故答案为：；
（2）解：数对的衍生数对：，，
数对的衍生数对：，，
由衍生数对相同得 且，解得，
故答案为：3；
（3）解：由，得，故，
由，得，
；
（4）解：由定义得，，作差：
，
，且，，故分子，
试卷第1页，共3页
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