(共16张PPT)
第15章 分式
15.4.1 零指数幂与负整数指数幂
15.4 零指数幂与负整数指数幂
零指数幂
1.(2025重庆八中期中)计算20的结果是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.
B
解析 根据a0=1(a≠0)可得20=1,故选B.
2.(2025四川遂宁射洪中学月考)等式(x-2)0=1成立的条件是
( )
A.x≠-2 B.x≠2 C.x≤-2 D.x≥-2
B
解析 由题意得x-2≠0,解得x≠2,故选B.
3.(2025吉林长春朝阳月考)计算:π0+|-5|=_________.
6
解析 π0+|-5|=1+5=6.
负整数指数幂
4.(2025广西梧州期中)若式子(a-2)-1有意义,则a的取值范围是
( )
A.a>2 B.a<2 C.a≠2 D.a≠1
C
解析 由题意得a-2≠0,解得a≠2,故选C.
5.【学科特色·教材变式】(2025黑龙江绥化中考改编)计算:(-
1)-2 025+ =_________.
0
解析 (-1)-2 025+ =-1+1=0.
6.【学科特色·易错题】(2025福建泉州月考)计算: -
×(-4)2+(π-2 026)0.
解析 - ×(-4)2+(π-2 026)0
=-2- ×16+1=-2-(-2)+1=1.
易错警示 在计算 时,易混淆负整数指数幂中的指数的
负号和底数的符号,出现“负负得正”的错误.
整数指数幂的运算性质
7.(2025江苏盐城东台期中改编)下列计算中,正确的是 ( )
A.m-2÷m6=m4 B.(m2n)-1=m-2n
C.(2x3)-3=8x-9 D.(4x-1)-1=
D
解析 m-2÷m6=m-8,故选项A计算错误;(m2n)-1=m-2n-1,故选项B计
算错误;(2x3)-3=2-3x-9= x-9,故选项C计算错误;(4x-1)-1= = ,故
选项D计算正确.故选D.
8.已知 ×3x-2=27,则x-1的值为_______.
-
解析 ∵ ×3x-2=27,∴31-2x×3x-2=33,
∴31-2x+x-2=33,∴1-2x+x-2=3,解得x=-4,
∴x-1= =- .
9.(2025海南海口月考,★★☆)若a=-0.32,b=-3-2,c= ,d=
,则 ( )
A.a
C.a D
解析 a=-0.32=-0.09,b=-3-2=- ,c= =9,d= =1,
∵- <-0.09<1<9,∴b10.【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏苏州期中,★★☆)
若等式(x-3)x+3=1成立,则满足条件的x的值为 ( )
A.3或-3 B.4或3或-3
C.4或2或-3 D.4或-3
D
解析 当x-3=1时,解得x=4,此时x+3=7,符合题意;
当x-3=-1时,解得x=2,此时x+3=5,(-1)5=-1,不符合题意;
当x+3=0时,解得x=-3,此时x-3=-6≠0,符合题意.
综上所述,满足条件的x的值为4或-3,故选D.
11.【学科特色·多解法】(★★☆)(1)计算:(-2)-2=_______;若2-p
= (p为正整数),则p=_______.
(2)若a-2= ,求a的值.
(3)若a-p= ,且a为非零整数,p为正整数,求满足条件的a,p的值.
解析 (1) ;3.
(2)∵a-2= ,∴ = ,∴a2=16,∴a=±4.
(3)【解法一】∵a-p= ,∴ = ,∴ap=9,
∵a为非零整数,p为正整数,∴当a=9时,p=1;
当a=3时,p=2;当a=-3时,p=2.
综上所述,a=9,p=1或a=3,p=2或a=-3,p=2.
【解法二】∵a-p= ,且 =9-1=3-2=(-3)-2,a为非零整数,p为正整
数,∴当a-p=9-1时,a=9,p=1;
当a-p=3-2时,a=3,p=2;
当a-p=(-3)-2时,a=-3,p=2.
综上所述,a=9,p=1或a=3,p=2或a=-3,p=2.(共15张PPT)
第15章 分式
15.1.1 分式
15.1 分式及其基本性质
分式的概念
1.【学科特色·易错题】(2025河南鹤壁外国语中学月考)下列
式子中,属于分式的是 ( )
A. B. C. D.
D
解析 式子 , , 的分母中都不含字母,是整式;
式子 的分母中含有字母,是分式,故选D.
易错警示 本题易将“π”当成字母,从而错选.
2.(2025四川内江期末)下列式子 : x, , , , , .其
中属于分式的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
解析 根据分式的定义,可得式子 , , 是分式,共3个,
故选B.
分式有(无)意义及分式值为零的条件
3.(2025四川宜宾天立学校期中改编)要使分式 无意义,则x
的值是_________.
3
解析 由题意,得3-x=0,∴x=3.
4.(2025山东临沂中考改编)写出使分式 有意义的x的一
个值:________________.
2(答案不唯一)
解析 因为分式 有意义,所以2|x|-3≠0,所以x≠±1.5,所
以x可以为2.
5.(2024山东济南中考)若分式 的值为0,则实数x的值为_____
____.
1
解析 ∵分式 的值为0,
∴x-1=0且2x≠0,解得x=1.
6.(2025重庆沙坪坝南开中学期中,★★☆)已知分式M满足下
列表格中的信息:
x的取值 0 1 2 3
分式的取值 … 无意义 0 …
则分式M可能是 ( )
A. B. C. D.
C
解析 由题表可知,当x=1时,分式无意义,∴选项B,D不合题
意;
∵当x=2时,分式的值为0,
∴选项A不符合题意,选项C符合题意.
故选C.
7.(2024甘肃甘南州中考,★★☆)若分式 的值为0,
则x的值为_______.
-2
解析 ∵分式 的值为0,
∴ 解得x=-2.
方法归纳 当分式的值为零时,需同时满足以下两个条件:
(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
8.(2025福建泉州期中,★★☆)对于分式 .
(1)当x取什么值时,分式有意义
(2)当x取什么值时,分式的值为零
(3)当x=-2时,分式的值是多少
解析 (1)当x-3≠0,即x≠3时,分式有意义.
(2)因为分式的值为0,
所以|x|-3=0且x-3≠0,
所以x=-3.
(3)当x=-2时,原式= = .
9.【新课标·运算能力】仔细阅读下面例题.
例题:当x取何值时,分式 的值为正数
解:依题意,得 >0,
则有① 或②
解不等式组①,得 ∴不等式的解集是 ∴当 仿照以上方法解答问题:当x取何值时,分式 的值为负数
解析 依题意,得 <0,
则有① 或②
解不等式组①,得- ∴不等式的解集是- ∴当- 第15章 分式
15.4.2 科学记数法
15.4 零指数幂与负整数指数幂
用科学记数法表示绝对值小于1的数
1.(2025河南中考)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但
其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比
蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示
为 ( )
A.0.74×10-4 B.7.4×10-4
C.7.4×10-5 D.74×10-6
C
解析 0.000 074=7.4×10-5.故选C.
2.(2025山东威海中考)据央视网2025年4月19日消息,复旦大
学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研
究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”.“破
晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写.一皮
秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为
( )
A.4×10-10秒 B.4×10-11秒
C.4×10-12秒 D.40×10-12秒
A
解析 400× =4×10-10(秒),故选A.
3.(2025山西晋城期中)在显微镜下,一种细胞可以近似地看成
圆形,它的半径约为7.8×10-7米,7.8×10-7还原为原数为 ( )
A.0.000 007 8 B.0.000 000 78
C.0.000 000 078 D.0.000 000 007 8
B
解析 7.8×10-7=0.000 000 78.故选B.
4.【学科特色·教材变式】用科学记数法表示下列各数:
(1)0.000 000 123.
(2)-0.000 34.
(3)-0.000 013×0.000 000 5.
解析 (1)0.000 000 123=1.23×10-7.
(2)-0.000 34=-3.4×10-4.
(3)-0.000 013×0.000 000 5=-0.000 000 000 006 5=-6.5×10-12.
5.【跨化学·水分子】(2024江苏南京中考,★★☆)水由氢、氧
两种元素组成.一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子.一
个氢原子的质量约为1.674×10-27 kg,一个氧原子的质量约为
2.657×10-26 kg,则一个水分子的质量大约是 ( )
A.3.613 7×10-25 kg B.2.824 4×10-26 kg
C.2.991 8×10-26 kg D.3.613 7×10-27 kg
C
解析 2×1.674×10-27+2.657×10-26
=0.334 8×10-26+2.657×10-26
=2.991 8×10-26(kg),故选C.
6.(2025四川资阳期中,★★☆)已知一个水分子的直径约为3.85
×10-9米,某花粉的直径约为5×10-4米,用科学记数法表示一个
水分子的直径是这种花粉直径的 ( )
A.0.77×10-5倍 B.77×10-4倍
C.7.7×10-6倍 D.7.7×10-5倍
C
解析 (3.85×10-9)÷(5×10-4)=(3.85÷5)×(10-9÷10-4)
=0.77×10-5=7.7×10-6,故选C.
7.(★★☆)若a=3.2×10-5,b=7.5×10-5,c=6.3×10-6,则a,b,c三个数的
大小关系为 ( )
A.aC.c C
解析 ∵a=3.2×10-5=0.000 032,b=7.5×10-5=0.000 075,c=6.3×
10-6=0.000 006 3,0.000 006 3<0.000 032<0.000 075,∴c选C.
8.(2025江苏苏州月考改编,★★☆)某种植物叶片的长为0.000 6 m,宽为0.000 33 m,它的一粒果实的质量为0.000 000 05 g.
(1)用科学记数法表示上述三个数据.
(2)若一个橘子的质量为70 g,则这个橘子的质量相当于多少
粒上述植物果实的质量 (结果用科学记数法表示)
解析 (1)0.000 6 m=6×10-4 m,0.000 33 m=3.3×10-4 m,
0.000 000 05 g=5×10-8 g.
(2) = =1.4×109(粒).
答:这个橘子的质量相当于1.4×109粒题中所述植物果实的质
量.(共24张PPT)
第15章 分式
第2课时 分式方程的应用
15.3 可化为一元一次方程的分式方程
分式方程的应用
1.一道古代数学问题可译为把一份文件用慢马送到900里(1
里=500米)外的城市,需要的时间比规定时间多1天;如果用快
马送,所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马速
度的2倍.根据题意列方程为 ×2= ,其中x表示 ( )
A.快马的速度 B.慢马的速度
C.规定的时间 D.以上都不对
C
解析 ∵快马的速度是慢马速度的2倍,所列方程为 ×2=
,∴ 表示慢马的速度, 表示快马的速度,∵把一份
文件用慢马送到900里外的城市,需要的时间比规定时间多1
天;用快马送,所需的时间比规定时间少3天,∴x表示规定的时
间.故选C.
2.已知在一定温度下,某气体对气缸壁所产生的压强p(kPa)与
气缸内气体的体积V(mL)满足关系式:p= .通过对气缸顶
部的活塞加压,当气缸内气体的体积减少20%时,测得气体对
气缸壁所产生的压强增加15 kPa.设加压前气缸内气体的体积
为x mL,则可列方程为 ( )
A. - =15 B. - =15
C. - =15 D. - =15
A
解析 ∵加压前气缸内气体的体积为x mL,∴加压后气缸内
气体的体积为0.8x mL,根据已知关系式和“气体对气缸壁所
产生的压强增加15 kPa”列出方程 - =15,故选A.
3.(2025江西中考)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃
油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元
电费行驶的路程相同,且每百公里的耗油费比耗电费多50元,
求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电
费为x元,则可列方程为___________.
=
解析 纯电汽车每百公里的耗电费为x元,则燃油汽车每百公
里的耗油费为(x+50)元,根据燃油汽车耗费6 000元油费行驶
的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同,可列方
程为 = .
4.(2025吉林长春期末)某旅行社组织游客从甲地出发到乙地
的航天科技馆参观,已知甲地到乙地的路程为300千米,乘坐A
型车比乘坐B型车少用 小时,A型车的平均速度是B型车的平
均速度的1.5倍,求B型车的平均速度.
解析 设B型车的平均速度为x千米/小时,则A型车的平均速
度为1.5x千米/小时,
根据题意,得 - = ,
解得x=80,
经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.
答:B型车的平均速度为80千米/小时.
5.【学科特色·教材变式】(2025四川内江期中)随着人们“节
能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车
出行.某自行车车行经营的一种自行车去年销售总额为80 000
元,预计今年该种自行车的销售单价比去年降低100元,销售数
量是去年的2倍,销售总额能达到128 000元,求去年该种自行
车的销售单价.
解析 设去年该种自行车的销售单价为x元,
根据题意,得 =2× ,解得x=500,
经检验,x=500是原分式方程的解,且符合题意.
答:去年该种自行车的销售单价为500元.
6.(2025广东东莞模拟,★★☆)斑马线前“车让人”,不仅体现
着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如
图,某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道,其中AB
=BC=12米,在绿灯亮时,小敏共用22秒通过AC路段,其中通过
BC路段的平均速度是通过AB路段平均速度的1.2倍,则小敏通
过AB路段的平均速度是____________.
1米/秒
解析 设小敏通过AB路段的平均速度是x 米/秒,则她通过BC
路段的平均速度是1.2x 米/秒,
根据题意得 + =22,解得x=1.
经检验,x=1是原分式方程的解,且符合题意.
故小敏通过AB路段的平均速度为1米/秒.
7.(2025重庆中考,★★☆)列方程解下列问题:
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数
量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲
种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多
100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙两种文创产品的数量分别是多
少个.
(2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,
每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加
同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天
增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、
乙两种文创产品各1 400个,且生产乙种文创产品比生产甲种
文创产品多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
解析 (1)设该厂每天生产的甲种文创产品的数量是x个,则该
厂每天生产的乙种文创产品的数量是(x-50)个,
根据题意得3x-4(x-50)=100,解得x=100,
∴x-50=100-50=50.
答:该厂每天生产的甲种文创产品的数量是100个,乙种文创产
品的数量是50个.
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个,则每天生产
的甲种文创产品增加的数量是2y个,
经检验,y=20是原分式方程的解,且符合题意.
答:每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.
根据题意,得 - =10,解得y=20,
8.(2024重庆中考B卷,★★☆)某工程队承接了老旧小区改造
工程中1 000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用
A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A,B两
种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15 000元,已知A种
外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙面积
的 ,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多
5小时.那么甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米
解析 (1)设A种外墙漆每千克的价格是x元,B种外墙漆每千
克的价格是y元,
根据题意得 解得
答:A种外墙漆每千克的价格是26元,B种外墙漆每千克的价格
是24元.
(2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米,则乙每小时粉刷
外墙的面积是 m平方米,
根据题意得 - =5,解得m=25,
经检验,m=25是所列方程的解,且符合题意.
答:甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
9.【新课标·应用意识】(2025浙江金华期末)根据下列素材,完
成任务.
【素材内容】
素材1:某个景区门票分为成人票和学生票,购买1张成人票和
1张学生票一共需要90元,购买3张成人票和2张学生票一共需
要230元.
素材2:端午假期该景区进行打折活动,已知成人票和学生票的
折扣相同,且用320元购买的成人票数量比用320元购买的学
生票数量少2张.
素材3:端午假期小明用368元购买了若干张成人票和学生票.
【任务要求】
任务1:计算每张成人票和学生票各是多少元.
任务2:计算端午假期该景区门票打几折销售.
任务3:求小明分别购买成人票和学生票的数量的所有可能情
况.
解析 任务1:设每张成人票为x元,每张学生票为y元,
根据题意得 解得
∴每张成人票为50元,每张学生票为40元.
任务2:设端午假期该景区门票打m折,
根据题意得 = -2,解得m=8,
经检验,m=8是原分式方程的解,且符合题意,
∴端午假期该景区门票打8折销售.
任务3:设小明购买了a张成人票,b张学生票,由任务2可知端午
假期期间该景区成人票价为40元/张,学生票价为32元/张,
则40a+32b=368,
化简得5a+4b=46,∴a= ,
∵a,b均为正整数,∴ 或
∴小明购买了6张成人票,4张学生票或2张成人票,9张学生票.(共26张PPT)
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性质
15.1 分式及其基本性质
分式的基本性质
1.(2025吉林长春外国语学校月考)下列各式从左到右变形正
确的是 ( )
A. = B. =
C. = D. =
D
解析 = ,不符合分式的基本性质,故选项A不正确;若m
=0,则 = 不成立,故选项B不正确; 的分子、分母同乘b,得
= ,故选项C不正确,选项D正确,故选D.
2.(2025重庆黔江期末)若把分式 中的x,y都扩大为原来的
2倍,则分式的值 ( )
A.不变 B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的
A
解析 由题意可得 = = ,
那么分式的值不变,故选A.
分式的约分和最简分式
3.(2025河南洛阳期中)化简: = ( )
A.-4x B. C. D.x+4
B
解析 = = .故选B.
4.(2025四川巴中巴州期中)下列分式中,属于最简分式的是
( )
A. B. C. D.
D
解析 = = , = = , = =-1, 是最简分式,故选项A,B,C中的分式都不是最简分式,选
项D中的分式是最简分式.故选D.
方法归纳 最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,
不能再约分.需注意分子、分母中有无互为相反数的因式.
5.(2025吉林长春二道月考)若 是一个最简分式,则△可以
是 ( )
A.x2 B.2x C.x D.2
C
解析 A.若△为x2,则原式= = ,故本选项不符合题意;
B.若△为2x,则原式= = ,故本选项不符合题意;
C.若△为x,则原式= ,为最简分式,故本选项符合题意;
D.若△为2,则原式= =- ,此式子为整式,故本选项不符
合题意.故选C.
6.(2025湖南中考)约分: =__________.
x2
解析 = =x2.
7.化简下列分式:
(1) .(2) .(3) .
解析 (1) =- =- .
(2) = = .
(3) = = .
知识点3 分式的通分
8.(2025吉林长春吉大附中期中)分式 与 的最简公分
母是_____________.
6a2b2
解析 ∵ 与 的分母分别为3a2b和2ab2,
∴分式 与 的最简公分母为6a2b2.
9.【学科特色·教材变式】(2025河南南阳月考)分式
与 的最简公分母是____________________.
2b(a+b)(a-b)
解析 2ab+2b2可分解为2b(a+b),a2-b2可分解为(a+b)(a-b),故
两个分式的最简公分母为2b(a+b)(a-b).
10.通分:
(1) , . (2) , .
(3) , .
解析 (1)最简公分母为12x3y2,
= , = .
(2)最简公分母为2(a+3)(a-3),
= , = .
(3)最简公分母为(a-3)2(a+3),
= , = .
11.(2025河南南阳期中改编,★★☆)下列选项中,正确的是
( )
A. =
B. =
C. 是最简分式
D.若分式 的值为0,则x的值为±2
B
解析 当c=0时, = 不成立,故选项A不正确;已知 ,则b,k
不为0, 的分子、分母同时除以不为0的k,可得 ,故 = 成
立,故选项B正确; = = ,所以 不
是最简分式,故选项C不正确;当分式 的值为0时,x2-4=0且
x+2≠0,所以x=2,故选项D不正确.故选B.
12.(2025四川遂宁射洪中学月考,★★☆)下列各式中,正确的
是 ( )
A. =
B. =
C. =-
D. =
B
解析 A.当b=0时, = 不成立,故本选项错误;
B.将分式的分子、分母都乘(a-2),可得 = ,故本选项
正确;
C. =- ,故本选项错误;
D. = ,故本选项错误.
故选B.
13.【新考向·代数推理】(2025河南鹤壁期中,★★☆)小张同
学在化简分式 时,得到的结果为 ,□部分不小心用橡
皮擦掉了,则□部分的代数式为 ( )
A.x+2 B.(x-2)2
C.x-2 D.(x+2)2
B
解析 ∵分式 化简后为 ,
∴ = .
∴□部分的代数式为(x-2)2,故选B.
14.【学科特色·教材变式】(2025湖南娄底期末,★★☆)若 +
=2,则 =_________.
解析 因为 + =2,所以x+y=2xy,所以 =
= = = .
15.【跨物理·杠杆原理】(★★☆)某动物园利用杠杆原理称
象.如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状
态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬
挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k N.若
铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP的长扩大到原来的n(n>1)倍,
且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为_________N(用含n,k的代数
式表示).(注:钢梁保持水平时,弹簧秤读数×BP=装有大象的铁
笼的重力×AP)
解析 如图,设装有大象的铁笼的重力为a N,将弹簧秤移动到
B'的位置时,铁笼固定不动,钢梁保持水平,弹簧秤的读数为
k' N,
由题意可得BP·k=PA·a,B'P·k'=PA·a,
∴BP·k=B'P·k',又∵B'P=nBP,
∴k'= = = ,即弹簧秤的读数为 N.
16.(2025北京中考,★★☆)已知a+b-3=0,求代数式
的值.
解析 ∵a+b-3=0,∴a+b=3,
∴原式= = = = .
17.【新课标·运算能力】(2025江苏宿迁期中)我们知道:分式
和分数有着很多的相似点.小学里,把分子比分母小的分数叫
做真分数.类似地,我们把分子的次数小于分母的次数的分式
称为真分式,反之,称为假分式.对于任何一个假分式都可以化
成整式与真分式的和的形式,如 = = + =1+
.
(1)下列分式中,属于真分式的是_______.
A. B.
C.- D.
(2)将假分式 化成整式和真分式的和的形式.
解析 (1)C.
(2) = = + =m-1+ .(共26张PPT)
第15章 分式
15.2.1 分式的乘除
15.2 分式的运算
分式的乘法
1.(2025海南海口期中)计算 · 的结果是 ( )
A. B. C.xy D.
D
解析 · = ,故选D.
2.(2025山西晋中期末)化简 · 的结果是_____
____.
解析 · = ·
= .
3.计算:
(1) · . (2) · .
(3) · .
解析 (1)原式= .
(2)原式= · = .
(3)原式= · = .
分式的除法
4.(2025河南鹤壁外国语中学月考)化简(ab+b2)÷ 的结果
是 ( )
A. B. C. D.
A
解析 原式=b(a+b)· = .故选A.
5.(2025重庆巴蜀中学模拟)计算: ÷ =_________.
解析 ÷ = · = .
6.计算:
(1) ÷ . (2) ÷ .
(3) ÷ . (4)(xy-x2)÷ .
解析 (1)原式= · = .
(2)原式= · = .
(3)原式= · = .
(4)原式=-x(x-y)· =-x2y.
知识点3 分式的乘方分
7.【学科特色·教材变式】(2025河南洛阳期中)计算: ÷
=_______.
-
解析 原式=- ÷
=- ×
=- .
8.计算:
(1) · . (2) ÷ .
解析 (1)原式= · = .
(2)原式= · =- .
分式的乘除与乘方的混合运算
9.计算:
(1) · · .
(2) ÷ · .
解析 (1)原式= · ·
= · =- .
(2)原式= ·(3-x)· =-1.
10.(2025福建泉州石狮月考,★★☆)某数学老师在课堂上设
计了一个接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人
只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将计算结果传
递给下一人,最后完成化简,过程如图所示.下列对于三个人的
接力过程判断正确的是 ( )
C
A.三个人都正确 B.甲有错误
C.乙有错误 D.丙有错误
解析 ÷ = · = · , · =
,所以甲、丙正确,乙有错误.故选C.
11.(2025安徽合肥期末,★★☆)已知 ÷ 是一道分式
化简题,其中一部分被墨水覆盖了,若只知道该题化简的结果
为整式,则被墨水覆盖的部分不可能是 ( )
A.x-3 B.x-2 C.x+3 D.x+2
A
解析 A.当被墨水覆盖的部分为x-3时, ÷ =
· = ,不是整式,故本选
项符合题意;
B.当被墨水覆盖的部分为x-2时, ÷ = ·
=(x+2)(x+3),是整式,故本选项不符合题意;
C.当被墨水覆盖的部分为x+3时, ÷ = ·
=(x+2)(x-2),是整式,故本选项不符合题意;
D.当被墨水覆盖的部分为x+2时, ÷ = ·
=(x-2)(x+3),是整式,故本选项不符合题意.
故选A.
12.(2025湖南娄底期中,★★☆)计算: · ÷ =_____
____.
解析 · ÷ = · · = .
13.(2025山东淄博月考改编,★★☆)如图所示的是一道填空
题.已知题目的一部分被墨水污染了,若该题化简的结果为
.
化简: ÷ 的结果为 .
(1)求被墨水污染的部分.
(2)该题化简的结果 能等于 吗 请说明理由.
解析 (1)设被墨水污染的部分为A,
则 ÷ = · = ,
∴A=x-4,∴被墨水污染的部分为x-4.
(2)该题化简的结果 不能等于 .
理由:当 = 时,x=4,此时x-4=0, 无意义,∴该题化简的
结果 不能等于 .
14.(★★☆)李老师讲完了“分式的乘除”后,给同学们出了
这样一道题“若x=-2 026,求式子 ÷ · 的
值.”一会儿,小明说:“老师这道题中的x=-2 026是多余的.”
请你判断小明的说法是否正确,并说明理由.
解析 小明的说法正确.理由如下:
÷ · = · · =1,
∴“x=-2 026”是多余的,即小明的说法正确.
15.【新课标·运算能力】【新考向·代数推理】已知两个分式:
, ,将这两个分式进行如下操作:
第一次操作:将这两个分式相乘,结果记为M1,相除,结果记为N1
即M1= · = ,N1= ÷ = ;第二次操作:将M1,
N1相乘,结果记为M2,相除,结果记为N2(即M2=M1×N1,N2=M1÷N1);
第三次操作:将M2,N2相乘,结果记为M3,相除,结果记为N3(即M3
=M2×N2,N3=M2÷N2);…….
通过实际操作,有以下结论:①M3= ;②若N4=81,则x=3;③在
第2n(n为正整数)次操作的结果中,M2n= ,N2n= ;④当x=
1时,M2n+1·N2n+1=1一定成立(n为正整数);⑤在第n(n为正整数)次
和第(n+1)次操作的结果中, 为定值.以上结论正确的个数
为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
C
解析 根据题意得M1= · = ,N1= ÷ = ,∴M2
=M1×N1= · = ,
N2=M1÷N1= ÷ = · = ,
∴M3=M2×N2= · = ,
N3=M2÷N2= ÷ = · = ,
∴M4=M3×N3= · = ,
N4=M3÷N3= ÷ = · = ,
……
∴M2n= ,N2n= ,M2n+1= ,N2n+1= (n为正整
数).
由M3= = ,可得M3= ,故①结论正确;由N4=
=81,得x+1= ,∴x=- ,故②结论错误;由M2n= ,N2n=
可知③结论正确;
当x=1时,M2n+1·N2n+1= · = =1,故④结论正确;
由 = , = ,可知 不是定值,故⑤结论错误.
综上所述,结论正确的是①③④,共3个.故选C.(共30张PPT)
第15章 分式
15.3 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 分式方程及其解法
分式方程的概念
1.(2025四川眉山期中)下列方程:① =2,② =3,③ -
= ,④ + =5,⑤ +1=0.其中是关于x的分式方程的为
______.(填序号)
⑤
解析 方程① =2,② =3,③ - = ,④ + =5的分
母中都不含有未知数x,故不是关于x的分式方程;方程⑤ +
1=0的分母中含有x,所以是关于x的分式方程.
分式方程的解法
2.(2024海南中考)分式方程 =1的解是 ( )
A.x=3 B.x=-3 C.x=2 D.x=-2
A
解析 ∵ =1,∴1=x-2,解得x=3.
检验:当x=3时,x-2≠0,
∴原分式方程的解是x=3,故选A.
3.【学科特色·易错题】(2025河南商丘期末)解方程 -2=
时,方程两边同乘(x-1)后的式子为 ( )
A.1-2=-3x B.1-2(x-1)=-3x
C.1-2(1-x)=-3x D.1-2(x-1)=3x
B
解析 解方程 -2= 时,方程两边同乘(x-1)后的式子为
1-2(x-1)=-3x,故选B.
易错警示 去分母,两边同乘(x-1)时,易漏乘常数项或忘记改变
等号右边的式子的符号.
4.(2025四川乐山模拟)若方程 =2x的解是x=2,则a的值是
( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
A
解析 ∵x=2是方程 =2x的解,∴ =2×2,∴a=0,故选A.
5.解分式方程 + = ,分以下四步,其中,错误的一步
是 ( )
A.各分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原分式方程的解为x=1
D
解析 各分式的最简公分母为(x-1)(x+1),
方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6,解得x=
1,经检验,x=1是分式方程的增根,分式方程无解.故选D.
6.(2025河南周口期中)若关于x的分式方程 +3= 有增
根,则增根为 ( )
A.m=-2 B.m=-7 C.x=-2 D.x=2
D
解析 ∵关于x的分式方程 +3= 有增根,∴x-2=0,解得
x=2,∴该分式方程的增根为x=2.故选D.
7.(2025吉林长春南关月考)当x=_________时,分式 的值与分
式 的值互为相反数.
9
解析 根据题意得 + =0,去分母,得x-8-1=0,解得x=9,
经检验,x=9是原分式方程的解,
∴当x=9时,分式 的值与分式 的值互为相反数.
8.(2025四川巴中期中)解分式方程:
(1) - =1. (2) + = .
(3) -1= . (4) = .
解析 (1)原方程去分母,得3x+8=x-4,解得x=-6.
检验:当x=-6时,x-4≠0,
故原分式方程的解为x=-6.
(2)原方程去分母,得3(x-1)+2(x+1)=4,
∴3x-3+2x+2=4,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴x=1是分式方程的增根,
故原分式方程无解.
(3)原方程去分母,得2x-x+1=4,解得x=3.
检验:当x=3时,x-1≠0,
故原分式方程的解为x=3.
(4)原方程去分母,得2x-2=x+3,解得x=5.
检验:当x=5时,(x-1)(x+3)≠0,
故原分式方程的解为x=5.
9.【学科特色·教材变式】(2025河南南阳邓州期中)下面是某
同学解分式方程1- = 的部分过程:
解:方程两边同乘_______,得1-(x-3)=6x,
去括号,得1-x+3=6x,
移项、合并同类项,得-7x=-4,
系数化为1,得x= .
(1)在这位同学的解题过程中,横线处应填_______,解题过程
缺少的步骤是_______.
(2)该同学反思上述解题过程时,发现不仅缺少了一步,还存在
错误,请写出正确的解答过程.
解析 (1)2(x+1);检验.
(2)1- = ,
方程两边同乘2(x+1)得,2(x+1)-(x-3)=6x,
去括号,得2x+2-x+3=6x,
移项、合并同类项,得-5x=-5,
系数化为1,得x=1.
检验:当x=1时,2(x+1)=4≠0,
∴原分式方程的解为x=1.
10.(2025黑龙江龙东地区中考,★★☆)已知关于x的分式方程
- =3的解为负数,则k的取值范围为 ( )
A.k<-4 B.k>-4
C.k<-4且k≠- D.k>-4且k≠-
A
解析 ∵ - =3,∴ =3,
∴x+3k=3x-12,解得x= ,
∵关于x的分式方程 - =3的解为负数,
∴x<0,即 <0,∴3k+12<0,解得k<-4,
由题意得x-4≠0,
∴x≠4,即 ≠4,解得k≠- .
综上,k的取值范围为k<-4,故选A.
11.(2025四川眉山中考,★★☆)若关于x的不等式组
至少有两个正整数解,且关于x的分式方程 =
2- 的解为正整数,则所有满足条件的整数a的值之和为
( )
A.8 B.14 C.18 D.38
B
解析
解不等式①,得x≤5,解不等式②,得x≥ .
∴不等式组的解集为 ≤x≤5,
∵关于x的不等式组 至少有两个正整数解,
∴ ≤4,解得a≤9.
解分式方程 =2- 得x= ,
∵分式方程的解为正整数且x≠1,
∴ 为大于或等于2的整数,即a为大于或等于6的偶数,
又∵a≤9,∴a=6或8.
综上所述,所有满足条件的整数a的值之和为6+8=14,故选B.
12.(2025河南南阳期中,★★☆)小颖在解分式方程 - =
2时,△处被墨水污染看不清了.已知此方程无解,△处是一个
常数,则△处应是_________.
1
解析 - =2,
方程两边同乘(x-3),
得x+△-4=2(x-3),
解得x=2+△,
∵分式方程无解,且该分式方程化为的整式方程有解,
∴分式方程有增根,∴x-3=0,∴x=3,
∴2+△=3,∴△=1,∴△处应是1.
13.【新考向·新定义题】(2025黑龙江哈尔滨模拟,★★☆)对
于实数a,b,定义一种新运算“Δ”:aΔb= ,这里等式的右
边是实数运算,例如:1Δ3= =- .则方程xΔ(-3)= -1的解
是___________.
x=6
解析 根据新运算,得 = -1,解得x=6.
检验:当x=6时,x-9≠0,∴x=6是原分式方程的解.
14.【学科特色·易错题】(2025四川内江期中,★★☆)已知关
于x的方程 + = ,若该方程的解为整数,求整
数m的值.
解析 方程两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)+6(x+1)=mx,解得x=
,
∵方程的解为整数,且x≠±1,m为整数,
∴m-9=±1,解得m=10或m=8.
易错警示 本题容易只注意到题目中的条件“解为整数”,
而忽略题目中隐含的条件“分式方程的分母不能为0”,从而
出现错解.
15.【新课标·推理能力】先阅读下面的材料,再回答问题.
方程x+ =2+ 的解为x=2或x= ;
方程x+ =3+ 的解为x=3或x= ;
方程x+ =4+ 的解为x=4或x= ;
……
(1)观察上述方程的解,猜想关于x的方程x+ =5+ 的解是_____
________.
(2)根据上面的规律,猜想关于x的方程x+ =a+ 的解是______
_______.
(3)根据上述规律,解关于y的方程y+ = .
解析 (1)x=5或x= .
(2)x=a或x= .
(3)方程变形为y+1+ =3+ ,
∴y+1=3或y+1= ,解得y=2或y=- .(共29张PPT)
第15章 分式
15.2.2 分式的加减
15.2 分式的运算
分式的加减
1.(2025河南中考)化简 - 的结果是 ( )
A.x+1 B.x C.x-1 D.x-2
A
解析 原式= + = = =x+1,故选A.
2.(2025河南鹤壁期中)已知a+b=3,ab=2,则 + 的值是 ( )
A. B.- C. D.-
A
解析 因为a+b=3,ab=2,所以 + = = ,故选A.
3.(2025天津中考)计算 + 的结果等于 ( )
A. B. C. D.1
A
解析 原式= +
= = ,故选A.
4.【跨物理·凸透镜成像】(2025江苏徐州期中)一根蜡烛在凸
透镜下成实像,物距为u,像距为v,凸透镜的焦距为f,且满足 +
= ,则用u,f表示v的结果为 ( )
A.v=f-u B.v= C.v= D.v=
C
解析 ∵ + = ,∴ = - ,
∴ = ,∴v= .故选C.
5.(2025四川成都期末)已知P= ,Q= ,其中n为任意正整
数,则P,Q的大小关系为 ( )
A.PB.P=Q
C.P>Q
D.P,Q的大小关系与n的取值有关
C
解析 P-Q= - = = =
,
∵n为任意正整数,∴n(n+1)>0,∴ >0,
∴P-Q>0,∴P>Q,故选C.
6.(2025江苏扬州期中)计算:
(1) + - . (2) + .
解析 (1)原式= + - = .
(2)原式= + =
= = = .
7.(2025河南南阳月考)下面是小明同学化简 - 的过程,
请认真阅读并完成相应任务:
解:原式= - 第一步
= - 第二步
= 第三步
= . 第四步
填空:①以上步骤中,第_______步是进行分式的通分,通分的
依据是____.
②第_______步开始出现错误.
任务二:请写出正确的解答过程.
任务一:
解析 任务一:①二;分式的基本性质.②三.
任务二:正确的解答过程如下:
原式= -
= -
= = =- .
分式的混合运算
8.(2025四川成都模拟)已知a2-3a-12=0,则代数式 ·
的值为__________.
12
解析 原式= · = ·
=a2-3a,
∵a2-3a-12=0,∴a2-3a=12,∴原式=12.
9.【学科特色·教材变式】(2025福建泉州期中)试卷上一个正
确的式子 ÷★= 被小颖同学不小心滴上墨汁,
则被墨汁遮住部分的代数式为_________.
解析 由题意得被墨汁遮住部分的代数式是 ÷
= · = · = .
10.(2025重庆万州三中月考)计算:
(1) ÷ .
(2) ÷ .
解析 (1) ÷
= ÷
= · = .
(2) ÷
= ÷
= ÷ = · = .
11.(2024四川雅安中考,★★☆)已知 + =1(a+b≠0),则
= ( )
A. B.1 C.2 D.3
C
解析 ∵ + =1(a+b≠0),∴ =1,∴a+2b=ab,
∴ = = =2,
故选C.
12.【学科特色·多解法】(2025河南鹤壁外国语学校期中,★
★☆)已知a,b为实数,且ab=1,a≠-1,b≠-1,设M= + ,N=
+ ,则M,N的大小关系是M______N.
=
解析 【解法一】M= + = = ,
N= + = = .
∵ab=1,∴M= = ,
∴M=N.
【解法二】M-N= + - -
= + =
= .
∵ab=1,∴2ab-2=2-2=0,∴M-N=0,∴M=N.
13.(2025福建泉州期末改编,★★☆)先化简,再求值: ÷
,其中a=10.
解析 原式= ÷
= ÷ = ÷
= · = ,
当a=10时,原式= = .
14.【学科特色·易错题】(2025四川遂宁中考,★★☆)先化简,
再求值: ÷ ,其中a满足a2-4=0.
解析 原式= ·
= · = .
∵a2-4=0,且a-2≠0,a-1≠0,a≠0,
∴a=-2,∴原式= = .
易错警示 由题意可得原式有意义的条件为a≠0,a-1≠0,a-2
≠0,即a≠0,a≠1且a≠2,求解时切忌只观察化简后的分式 ,
而误以为a≠1即可,从而在取a的值时出错.
15.(2025四川内江期中,★★☆)化简求值: ÷
,其中x的值从不等式组 的正整数解中选取.
解析 原式= ·
= ·
=- · =- ,
解 得-1≤x<3,
∴不等式组 的正整数解为1,2,
∵x-1≠0,x+1≠0,x≠0,∴x=2,
当x=2时,原式=- =-2.
16.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】(2025湖南衡
阳八中月考)定义:若分式A与分式B的差等于它们的积,即A-B
=AB,则称分式B是分式A的“分裂分式”.如 与 ,因为
- = , × = ,所以 是
的“分裂分式”.
(1)填空:分式 _______分式 的“分裂分式”(填
“是”或“不是”).
(2)若分式 是分式A的“分裂分式”.求整数x为何值时,
分式A的值是正整数,并写出分式A的值.
解析 (1)∵ - = ,
× = ,∴ - = × ,
∴分式 是分式 的“分裂分式”,故答案为是.
(2)由题意可得A- =A× ,
∴A = ,
∴A= ÷ = ÷
= · = .
∵A= =2+ ,∴当整数x使得分式A的值是正整数时,x的值
为1,3,-3,
当x=1时,A=5,
当x=3时,A=3,
当x=-3时,A=1.
