(共24张PPT)
第16章 函数及其图象
16.2.2 函数的图象
16.2 函数的图象
函数图象的画法
1.【学科特色·教材变式】画出函数y=2x-1的图象.
(1)列表:
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
(2)在如图所示的坐标系中描点并连线.
(3)判断点A(-3,-5),B(5,-9),C(6,11)是否在函数y=2x-1的图象上.
(4)若点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上,求出m的值.
解析 (1)列表:
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -5 -3 -1 1 3 5 …
(2)如图所示.
(3)把x=-3代入y=2x-1,得y=-7≠-5,把x=5代入y=2x-1,得y=9≠-9, 把x=6代入y=2x-1,得y=11,∴点C在函数y=2x-1的图象上,点A
和点B不在函数y=2x-1的图象上.
(4)∵点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上,
∴9=2m-1,解得m=5.
函数图象信息题
2.(2024江西中考)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒
温)中,温度计的度数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似
表示为 ( )
A B C D
C
解析 将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中,开
始时温度计的度数上升,上升到60 ℃后,温度计的度数不再变
化,故选C.
3.【学科特色·教材变式】(2025河南南阳邓州期中)在一辆小
汽车的行驶过程中,小汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t
(h)之间的函数关系如图所示,根据图中的信息,下列说法错误
的是 ( )
D
A.小汽车共行驶了240 km
B.小汽车中途停留了0.5 h
C.小汽车出发后前3小时的平均速度为40 km/h
D.小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
解析 由题图可知小汽车共行驶了2×120=240(km),故选项A
中说法正确;
由题图可知小汽车中途停留了0.5 h,故选项B中说法正确;
由题图可知小汽车出发后前3小时的平均速度为120÷3=40
(km/h),故选项C中说法正确;
由题图可知小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不
变,故选项D中说法错误.故选D.
4.(2024湖北武汉中考,★★☆)如图,一个圆柱形水槽底部叠放
两个底面半径不等的实心圆柱,向水槽匀速注水.下列图象能
大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是
( )
D
解析 下层实心圆柱底面半径大,最初水面上升快,上层实心
圆柱底面半径稍小,所以水没过下层圆柱后水面上升变慢,水
没过上层圆柱后,水面上升更慢,所以对应图象是第一段比较
陡,第二段比第一段缓,第三段比第二段缓.
5.(2025河南中考,★★☆)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安
全的重要因素,在一定条件下,它会随车速的变化而变化.研究
发现,某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如
图所示.选项中说法错误的是 ( )
C
A.汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不低于
60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h,则这款轮胎的摩擦系数减
小0.04
解析 由题图可得,当汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为0.9,
故选项A说法正确;
当0≤v≤60时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小,故
选项B说法正确;
要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不超过60 km/h,
故选项C说法错误;
若车速从25 km/h增大到60 km/h,则这款轮胎的摩擦系数减小
0.04,故选项D说法正确.故选C.
6.(2025四川成都中考,★★☆)小明从家跑步到体育馆,在那里
锻炼了一段时间后又跑步到书店买书,然后步行回家(小明
家、书店、体育馆依次在同一直线上),下图表示的是小明离
家的距离与时间的关系.下列说法正确的是 ( )
C
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
解析 由题图可知小明家到体育馆的距离为2.5 km,故选项A
中的说法错误;由题图可知小明在体育馆锻炼的时间为45-15
=30(min),故选项B中的说法错误;由题图可知小明家到书店的
距离为1 km,故选项C中的说法正确;由题图可知小明从书店
到家步行的时间为100-80=20(min),故选项D中的说法错误.故
选C.
7.(2025湖南衡阳八中月考,★★☆)如图1,在△ABC中,动点P
从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P
的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y与x之间的函数图
象,其中点F为曲线DE的最低点,则△ABC的高CG的长度为
( )
B
A.3 B.4
C. D.5
解析 如图,过点A作AQ⊥BC于点Q,
由题意可知AB=5,BC=10-5=5,BQ=8-5=3,∴AQ= =
=4,
∵S△ABC= AB·CG= AQ·BC,∴CG= = = =4.故
选B.
8.【新课标·模型观念】【新考向·动点探究题】如图1,在长方
形ABCD中,AB=8,动点P从点A出发,以每秒m个单位的速度沿
A→D→C→B的路线匀速运动,直至运动到点B停止.图2是点P
出发t秒后,△ABP的面积S随时间变化的图象.根据图中提供
的信息,回答下列问题:
(1)a=_______,b=_______.
(2)当动点P从点A出发并在AD边上运动时,另一动点Q同时从
点D出发以每秒n个单位的速度沿边DC匀速运动,直至到达C
点停止,则当n为何值时,△ABP与△DPQ可以全等
(3)当动点P从点A出发时,另一动点H同时从点D出发以每秒5
个单位的速度沿边DA匀速运动,直至到达A点停止,则在动点
P的整个运动过程中,当t为何值时,△CPH的面积为20
解析 (1)5;48.
提示:∵AD=BC,∴8-a=3,∴a=5,∴m=8÷(5-3)=4,∴b=4×3×8×
=48.
(2)分两种情况讨论:
①当△ABP≌△DPQ时,AB=DP,
即12-4t=8,解得t=1,∴n=4;
②当△ABP≌△DQP时,AP=DP,
即12-4t=6,解得t= ,∴n= .
综上,n的值为4或 .
(3)当点P在AD上运动时,
∵S△CPH= ×8PH=20,∴PH=5.
①在P,H相遇前,12-4t-5t=5,解得t= ;
②在P,H相遇后,4t+5t-12=5,解得t= .
当点P不在AD上运动时,点H已到达点A.
①若点P在CD上运动,则 ×12(20-4t)=20,
解得t= ;
②若点P在CB上运动,则 ×8(4t-20)=20,
解得t= .
综上,t的值为 或 或 或 .(共14张PPT)
第16章 函数及其图象
16.4.1 反比例函数
16.4 反比例函数
反比例函数的概念
1.(2025湖南衡阳逸夫中学期中)下列函数中,是反比例函数的
是 ( )
A.y= x B.y=
C.y=x2 D.y=x+
B
解析 由反比例函数的定义可知只有B选项中的函数是反比
例函数,故选B.
2.(2025福建泉州期中)若y= 是反比例函数,则m必须满足
( )
A.m≠0 B.m=-2 C.m=2 D.m≠-2
D
解析 依题意得m+2≠0,所以m≠-2.故选D.
3.(2025辽宁鞍山期末)某公司计划运输一批货物,每天运输的
吨数a与运输天数t之间的关系如下表:
每天运输的吨数a 500 250 100 50 …
运输的天数t 1 2 5 10 …
下列结论:①这批货物共有500吨;②a与t的关系式是at=500;③
每天运输的吨数与运输的天数成反比例函数关系;④如果该
公司计划4天运完货物,则每天需要运输货物120吨.其中正确
结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 由题意易得这批货物共有500吨,故①正确;
∵500×1=250×2=100×5=50×10=500,
∴a与t的关系式是at=500,故②正确;
∵at=500,∴a= ,∴每天运输的吨数与运输的天数成反比例
函数关系,故③正确;
当t=4时,a= =125,
∴每天需要运输货物125吨,故④错误.
综上所述,正确的结论为①②③,共3个.故选C.
4.(2025北京东城期中,★★☆)下列三个问题中都有两个变量:
①面积一定的等腰三角形,底边上的高y与底边长x;②将泳池
中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量y与放水时间x;
③计划从A地到B地铺设一段铁轨,每日铺设长度y与铺设天
数x.其中变量y与变量x满足反比例函数关系的是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
B
解析 ①等腰三角形面积一定时,底边上的高y与底边长x满
足反比例函数关系;
②匀速放水时,泳池中的剩余水量y与放水时间x不满足反比
例函数关系;
③从A地到B地的距离一定时,每日铺设长度y与铺设天数x满
足反比例函数关系.
综上所述,变量y与变量x满足反比例函数关系的是①③.故
选B.
5.【学科特色·教材变式】(2025山西吕梁模拟,★★☆)已知闭
合电路的电压为定值,电流I(单位:A)与电路的电阻R(单位:Ω)
是反比例函数关系,根据下表,可知a的值为 ( )
A
I/A 10 2.4 2 1.2
R/Ω a 50 60 100
A.12 B.10 C.120 D.100
解析 因为电流I与电路的电阻R是反比例函数关系,所以10×
a=2.4×50,解得a=12,故选A.
6.【学科特色·易错题】(2025江苏扬州期中,★★☆)若函数y=
(m+3)x2-|m|是反比例函数,则m=_________.
3
解析 由题意得2-|m|=-1且m+3≠0,
所以m=3.
易错警示 本题易忽略比例系数不等于0,从而导致错误.
7.【新课标·模型观念】小凡驾驶小汽车匀速从A地行驶到B
地,行驶里程为240千米,设小汽车的行驶时间为t小时,行驶速
度为v千米/小时,且全程速度限定为不超过120千米/小时.
(1)求v关于t的函数表达式.
(2)若小凡上午9点驾驶小汽车从A地出发,需在当天12点之前
(含12点)到达B地,求v的取值范围.
解析 (1)∵vt=240,且全程速度限定为不超过120千米/小时,
∴v关于t的函数表达式为v= (t≥2).
(2)从9点到12点的时间长为3小时,
将t=3代入v= ,得v=80,∴v≥80.
又∵全程速度限定为不超过120千米/小时,
∴80≤v≤120.(共30张PPT)
第16章 函数及其图象
16.3.2 一次函数的图象
16.3 一次函数
一次函数的图象
1.(2025重庆江津中学期中)已知函数y=2x的图象经过点A,则
点A的坐标可以是 ( )
A.(0,1) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(-1,-2)
D
解析 当x=0时,y=2×0=0≠1,∴点A的坐标不可以是(0,1);当x=
1时,y=2×1=2≠-2,∴点A的坐标不可以是(1,-2);当x=-1时,y=2×
(-1)=-2≠2,∴点A的坐标不可以是(-1,2);当x=-1时,y=2×(-1)=-2,
∴点A的坐标可以是(-1,-2).故选D.
2.(2025福建漳州期中)将函数y=3x的图象沿y轴向上平移2个
单位长度后,所得图象对应的函数表达式为 ( )
A.y=3x+6 B.y=3x-2
C.y=3x-6 D.y=3x+2
D
解析 根据一次函数图象的平移规律可得,所得图象对应的
函数表达式为y=3x+2.故选D.
3.(2025河南开封期末)一次函数y=2x-3的图象大致是 ( )
A B C D
B
解析 ∵一次函数y=2x-3中,k=2>0,b=-3<0,∴一次函数y=2x-3
的图象经过第一、三、四象限.故选B.
4.【学科特色·教材变式】若将一次函数y=- x-3的图象按下
列方式平移后经过原点,则下列平移方式正确的是 ( )
A.向上平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向下平移3个单位长度
D.向左平移3个单位长度
A
解析 一次函数y=- x-3的图象与y轴的交点坐标是(0,-3),
∵平移后的图象经过(0,0),∴图象可以向上平移3个单位长度,
故选A.
5.【学科特色·整体思想】(2025江苏盐城模拟)若点P(a,b)在
函数y=3x-2的图象上,则代数式6a-2b+1的值等于 ( )
A.-1 B.-3 C.3 D.5
D
解析 ∵点P(a,b)在函数y=3x-2的图象上,∴b=3a-2,∴3a-b=2,
∴6a-2b+1=2(3a-b)+1=2×2+1=5.故选D.
6.(2025陕西咸阳模拟)已知一次函数y=2x+4的图象与x轴相交
于点A,与y轴相交于点B,O为坐标原点,则△OAB的周长为
( )
A.12 B.6+
C.6+ D.6
B
解析 对于y=2x+4,当y=0时,2x+4=0,解得x=-2,当x=0时,y=2×0
+4=4,∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,4),∴OA=2,OB=4,
如图所示,则AB= = = ,∴△OAB的周长
为OA+OB+AB=2+4+ =6+ .故选B.
7.(2025黑龙江哈尔滨期中)已知直线y=(m-1)x+1-3m.
(1)当m为何值时,直线经过原点
(2)当m为何值时,直线与y轴相交于点(0,-5)
(3)当m为何值时,直线与x轴相交于点
解析 (1)因为直线经过原点,所以将(0,0)代入y=(m-1)x+1-3m,
得1-3m=0,解得m= ,所以当m的值为 时,直线经过原点.
(2)因为直线与y轴相交于点(0,-5),所以将(0,-5)代入y=(m-1)x+1
-3m得1-3m=-5,解得m=2,所以当m的值为2时,直线与y轴相交于
点(0,-5).
(3)因为直线与x轴相交于点 ,所以将 代入y=(m-1)x+
1-3m得 (m-1)+1-3m=0,解得m= ,所以当m的值为 时,直线与x
轴相交于点 .
8.(2025海南海口琼山中学月考)在平面直角坐标系中,O是原
点,一次函数y=-2x+3的图象与x轴的交点为A,与y轴的交点
为B.
(1)点A的坐标为_______,点B的坐标为_______.
(2)请直接在如图所示的平面直角坐标系中作出一次函数y=
-2x+3的图象.
解析 (1) ;(0,3).
(2)如图所示.
9.(2025陕西西安模拟,★★☆)在平面直角坐标系中,直线y=2x
+m(m为常数)与y轴交于点A,将该直线沿y轴向上平移6个单位
长度后,与y轴交于点A'.若点A'与A关于原点O对称,则m的值为
( )
A.-3 B.3 C.-4 D.4
A
解析 因为直线y=2x+m与y轴交于点A,所以A(0,m),
易知将直线y=2x+m沿y轴向上平移6个单位长度后所得直线
的解析式为y=2x+m+6,
因为将直线y=2x+m沿y轴向上平移6个单位长度后,所得直线
与y轴交于点A',所以A'(0,m+6),
因为点A'与A关于原点O对称,
所以m+6+m=0,解得m=-3,故选A.
10.(2025陕西西安模拟,★★☆)已知在平面直角坐标系中,直
线l1:y=3x-6与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线l1关于x轴对
称的直线l2交y轴于点C,则△ABC的面积为 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
A
解析 ∵直线l1:y=3x-6与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴A(2,0),
B(0,-6),∵与直线l1关于x轴对称的直线l2交y轴于点C,∴C(0,6),
∴BC=12,∴△ABC的面积= BC·OA= ×12×2=12.故选A.
11.(2024四川广安中考,★★☆)如图,直线y=2x+2与x轴、y轴
分别相交于点A,B,将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD,
则点D的坐标为______________.
(-3,1)
解析 当x=0时,y=2×0+2=2,∴点B的坐标为(0,2),∴OB=2,
当y=0时,2x+2=0,解得x=-1,∴点A的坐标为(-1,0),∴OA=1.
根据旋转的性质,可得CD=OB=2,AC=AO=1,AC⊥x轴,CD∥x轴,∴点D的坐标为(-1-2,1),即(-3,1).
12.(2025辽宁沈阳期中,★★☆)如图,直线l是一次函数y=-x+8
的图象,点A,B在直线l上,点A的横坐标为2,点B的纵坐标为3,正
比例函数y=kx的图象经过点A,一次函数y=2x+b的图象经过点
B,且与x轴相交于点C.
(1)求k的值.
(2)求点C的坐标.
(3)求四边形OABC的面积.
解析 (1)∵点A,B在直线l上,点A的横坐标为2,点B的纵坐标
为3,
∴点A的纵坐标为6,点B的横坐标为5,
∴点A的坐标为(2,6),点B的坐标为(5,3),
∵正比例函数y=kx的图象经过点A,
∴2k=6,∴k=3.
(2)∵一次函数y=2x+b的图象经过点B,
∴3=2×5+b,∴b=-7,
∴一次函数的解析式为y=2x-7,
∵一次函数y=2x-7的图象与x轴相交于点C,
∴点C的坐标为 .
(3)设直线l与x轴相交于点D,则点D的坐标为(8,0),∴OD=8,
∵OC= ,∴CD= ,
∵点A到x轴的距离为6,点B到x轴的距离为3,
∴S四边形OABC=S△OAD-S△CBD= ×8×6- × ×3= .
13.【新课标·几何直观】如图,一次函数y=x+4的图象与坐标
轴分别交于A,B两点,点P,C分别是线段AB,OB上的点,且
∠OPC=45°,PC=PO,求BP的长.
解析 ∵一次函数y=x+4的图象与坐标轴分别交于A,B两点,
∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,4),
∴AO=BO=4,∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠ABO=∠BAO=45°,
过P作PD⊥OC于D,则△BDP是等腰直角三角形,
∵∠PBC=∠CPO=∠OAP=45°,
∴∠PCB+∠BPC=135°=∠OPA+∠BPC,
∴∠PCB=∠OPA,
在△PCB和△OPA中,
∴△PCB≌△OPA(AAS),∴BP=AO=4.
方法指引 一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积问题,
主要分为两种情况:一是根据函数图象确定三角形面积;二是
根据面积确定点的坐标.第一种情况需要确定函数图象与坐
标轴的交点坐标,然后利用三角形面积的计算公式进行计算;
第二种情况需要设出点的坐标,然后根据面积的计算公式建
立方程模型进行求解.
微专题 求一次函数图象与坐标轴围成三角形的面积
1.一次函数y=2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,则三
角形AOB的面积为_________.
9
解析 对于y=2x+6,令x=0,则y=6,令y=0,则x=-3,∴一次函数y=
2x+6的图象与y轴的交点B的坐标是(0,6),与x轴的交点A的坐
标是(-3,0),∴三角形AOB的面积为 ×6×3=9.
2.在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+8的图象与y轴交于点
B.若点P为此一次函数图象上一点,且△POB的面积为12,求点
P的坐标.
解析 当x=0时,y=8,∴B(0,8),∴OB=8,
设点P的坐标为(m,-2m+8),
∴S△POB= OB·|m|=12,即 ×8×|m|=12,
解得m=3或m=-3,
当m=3时,-2m+8=-2×3+8=2;
当m=-3时,-2m+8=-2×(-3)+8=14.
∴点P的坐标为(3,2)或(-3,14).(共26张PPT)
第16章 函数及其图象
16.2.1 平面直角坐标系
16.2 函数的图象
平面直角坐标系
1.(2025重庆万州期末)在平面直角坐标系中,点A(4,-1)所在的
象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
解析 ∵4>0,-1<0,∴点A(4,-1)所在的象限是第四象限.故
选D.
2.(2025湖南衡阳八中月考改编)在平面直角坐标系中,若点P
(5,m-1)位于第一象限,则m的取值范围是 ( )
A.m>1 B.m<1
C.m≥1 D.m≤1
A
解析 因为点P(5,m-1)位于第一象限,所以m-1>0,解得m>1.故
选A.
3.(2025福建泉州一中段考)若点P在x轴上,且到原点的距离为
3,则点P的坐标是 ( )
A.(-3,0) B.(3,0)
C.(0,-3)或(0,3) D.(-3,0)或(3,0)
D
解析 ∵点P在x轴上,且到原点的距离为3,
∴点P的横坐标为±3,纵坐标为0,
∴点P的坐标为(-3,0)或(3,0),故选D.
4.【学科特色·数形结合思想】(2025湖南衡阳八中期中)如图
所示的是某学校的部分平面示意图,在同一平面直角坐标系
中,若体育馆A的坐标为(-2,4),科技馆B的坐标为(-5,1),则教学
楼C的坐标为 ( )
A.(0,2) B.(1,-1)
C.(2,0) D.(-1,2)
D
解析 由题意可建立如图所示的平面直角坐标系,则教学楼C
的坐标为(-1,2).故选D.
5.(2025重庆万州二中期中)在平面直角坐标系中,点P(-5,a2+1)
所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 ∵a2≥0,∴a2+1≥1,
∴点P(-5,a2+1)所在的象限是第二象限.故选B.
6.(2025四川攀枝花月考)已知点P在第三象限,且点P到x轴的
距离为5,到y轴的距离为3,则点P的坐标为_______________.
(-3,-5)
解析 ∵点P到x轴的距离为5,到y轴的距离为3,
∴点P的纵坐标的绝对值为5,横坐标的绝对值为3,
∵点P在第三象限,∴点P的坐标为(-3,-5).
7.(2025福建泉州晋江期中)在平面直角坐标系内,有一点M(4a
-8,a+3).分别根据下列条件,求出相应的点M的坐标.
(1)点M在x轴上.
(2)若点N的坐标为(4,-6),且直线MN∥y轴.
解析 (1)因为点M的坐标为(4a-8,a+3),且点M在x轴上,所以a
+3=0,解得a=-3,
所以4a-8=-20,所以点M的坐标为(-20,0).
(2)因为点N的坐标为(4,-6),且直线MN∥y轴,
所以4a-8=4,解得a=3,所以a+3=6,
所以点M的坐标为(4,6).
基本图形变化中点的坐标的特征
8.(2024四川凉山州中考)点P(a,-3)关于原点对称的点是P'
(2,b),则a+b的值是 ( )
A.1 B.-1 C.-5 D.5
A
解析 ∵点P(a,-3)关于原点对称的点是P'(2,b),
∴a=-2,b=3,∴a+b=1,故选A.
9.【学科特色·教材变式】(2025四川眉山期中)在平面直角坐
标系中,如果点M(a,4)和点N(2,b)关于x轴对称,那么 的值
是 ( )
A.-4 B.- C.4 D.
C
解析 因为点M(a,4)和点N(2,b)关于x轴对称,
所以a=2,b=-4,
所以 = = =4.故选C.
10.(2024江西中考)在平面直角坐标系中,将点A(1,1)向右平移
2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点B,则点B的坐标
为_____________.
(3,4)
解析 由题意得,点B的坐标为(1+2,1+3),即(3,4).
11.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(5,-4),作点A关于x轴对
称的点A1,再作点A1关于y轴对称的点A2,则点A2的坐标为_____
_________.
(-5, 4)
解析 因为点A关于x轴对称的点为A1,且点A的坐标是(5,-4),
所以点A1的坐标是(5,4),因为点A1关于y轴对称的点为A2,所以
点A2的坐标是(-5,4).故答案为(-5,4).
方法归纳 若两个点关于x轴对称,则这两个点的横坐标相等,
纵坐标互为相反数;若两个点关于y轴对称,则这两个点的横坐
标互为相反数,纵坐标相等.
12.(2025湖南衡阳期中,★★☆)若点A(a+1,b-1)在第二象限,则
点B(-a,b+2)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
解析 因为点A(a+1,b-1)在第二象限,所以a+1<0,b-1>0.所以a
<-1,b>1.所以-a>0,b+2>0,所以点B(-a,b+2)在第一象限,故选A.
13.(2025四川遂宁射洪中学月考,★★☆)已知A,B两点的坐标
分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论:①点A在第四象限;②点
B在第一象限;③线段AB平行于y轴;④点A,B之间的距离为4.
其中正确的有 ( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
C
解析 ∵A,B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),∴点A在第二象
限,点B在第一象限,线段AB平行于x轴,点A,B之间的距离为4,
故正确的结论为②④.
故选C.
14.(2025四川资阳期中,★★☆)若点M(x,y)满足(x+y)2=x2+y2-2,
则点M所在的象限是 ( )
A.第一象限或第三象限
B.第二象限或第四象限
C.第一象限或第二象限
D.不能确定
B
解析 ∵(x+y)2=x2+2xy+y2,∴x2+y2-2=x2+2xy+y2,
∴xy=-1,∴x,y异号,
∴点M(x,y)在第二象限或第四象限.故选B.
15.(★★☆)在平面直角坐标系中,MN∥x轴,MN=5,若点M的坐
标为(1,-3),则点N的坐标是 ( )
A.(1,-2) B.(1,-8)或(1,-4)
C.(6,-3) D.(-4,-3)或(6,-3)
D
解析 ∵点M的坐标为(1,-3),MN∥x轴,MN=5,
∴点N的坐标是(-4,-3)或(6,-3),故选D.
16.【新考向·新定义题】(2025河南商丘期中,★★☆)在平面
直角坐标系中,给出如下定义:将点P到x轴、y轴的距离中的较
大值称为点P的“长距”,若点Q到x轴、y轴的距离相等,则称
点Q为“角平分线点”.
(1)点A(-4,6)的“长距”为_______.
(2)若点B(5-2a,-3)是“角平分线点”,求a的值.
(3)若点C(-3,2b-1)的“长距”为7,且点C在第三象限内,点D的
坐标为(9+2b,-3),请判断点D是不是“角平分线点”,并说明理
由.
解析 (1)6.
(2)∵点B(5-2a,-3)是“角平分线点”,
∴|5-2a|=|-3|,∴5-2a=3或5-2a=-3,
解得a=1或a=4.
(3)点D是“角平分线点”.
理由:∵点C(-3,2b-1)的“长距”为7,且点C在第三象限内,
∴2b-1=-7,解得b=-3,
∴9+2b=3,∴点D的坐标为(3,-3),
∴点D到x轴、y轴的距离都是3,
∴点D是“角平分线点”.
17.【新课标·运算能力】在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),
若点B的坐标为(kx+y,x-ky),则称点B为点A的“k级关联点”,
如点A(2,5)的“2级关联点”B的坐标为(2×2+5,2-2×5),即
B(9,-8).
(1)已知点P(-4,2)的“-3级关联点”为P1,求点P1的坐标,并写
出点P1到y轴的距离.
(2)已知点Q的“4级关联点”为Q1(-11,10),求点Q的坐标及所
在象限.
(3)如果点M(a,a+2)的“2级关联点”M1在x轴上,求点M1的坐
标.
解析 (1)由题意得点P(-4,2)的“-3级关联点”的横坐标为-3
×(-4)+2=14,纵坐标为-4-(-3)×2=2,
∴点P1的坐标为(14,2),∴点P1到y轴的距离为14.
(2)设点Q的坐标为(a,b),
∵点Q的“4级关联点”为Q1(-11,10),
∴4a+b=-11,a-4b=10,解得a=-2,b=-3,
∴点Q的坐标为(-2,-3),
∴点Q所在的象限为第三象限.
(3)设点M1的坐标为(m,0),
∵点M(a,a+2)的“2级关联点”为M1,
∴a-2(a+2)=0,∴a=-4,∴a+2=-2,
∴m=2×(-4)+(-2)=-10,
∴点M1的坐标为(-10,0).(共27张PPT)
第16章 函数及其图象
16.1 变量与函数
变量与常量
1.(2025河南周口期中)在球的体积公式V= πR3中,下列说法正
确的是 ( )
A.V,π,R是变量, 为常量
B.V是变量,R,π为常量
C.V,R是变量, ,π为常量
D.V是变量,R, 为常量
C
解析 在球的体积公式V= πR3中,V,R是变量, ,π是常量.故选
C.
函数的概念
2.(2025四川遂宁射洪中学月考)下列关系中,y不是x的函数的
是 ( )
A.y=-2x B.y=2x2 C.|y|=x D.y=
C
解析 在|y|=x中,对于每一个自变量x,因变量y不一定有唯一
的值与之对应,故y不是x的函数,故选C.
3.(2025重庆北碚西南大学附中期中)下列选项中,y不是x的函
数的是 ( )
A B C D
A
解析 选项A中,对于每一个自变量x,因变量y不一定有唯一
的值与之对应,故y不是x的函数.故选A.
自变量的取值范围与函数值
4.(2025四川内江中考)在函数y= 中,自变量x的取值范围
是 ( )
A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2
A
解析 由题意得x-2≥0,解得x≥2,∴自变量x的取值范围是x
≥2,故选A.
5.(2025吉林长春七十二中期中)一汽车油箱内剩余汽油的体
积Q(升)与它行驶的路程s(千米)之间的关系是Q=50-0.1s,当汽
车油箱内剩余汽油为20升时,该汽车行驶的路程是 ( )
A.300千米 B.250千米
C.200千米 D.150千米
A
解析 由题意得20=50-0.1s,解得s=300,
∴当汽车油箱内剩余汽油为20升时,该汽车行驶的路程是300
千米,故选A.
6.【学科特色·教材变式】已知等腰三角形的周长为10 cm,底
边长y(cm)与腰长x(cm)满足的关系式是y=10-2x,则自变量x的
取值范围是 ( )
A.0
C.一切实数 D.x>0
B
解析 根据三角形的三边关系得 解得2.5选B.
函数关系的表示方法
7.(2025广东揭阳期末)如图所示的是某地某天一段时间内的
气温T(℃)随时刻t(时)变化的函数图象,观察图象得到下列信
息,其中错误的是 ( )
A.这段时间内的最低气温为18 ℃
B.从6时至15时,气温一直在上升
D
C.这段时间内,15时时达到最高气温
D.从6时至20时,气温一直在下降
解析 由题图可知这段时间内的最低气温是18 ℃,故选项A
正确,不符合题意;由题图可知从6时到15时,气温一直在上升,
故选项B正确,不符合题意;由题图可知15时时达到最高气温,
故选项C正确,不符合题意;由题图可知从15时到20时,气温一
直在下降,故选项D错误,符合题意.故选D.
8.(2025山西晋城模拟)在用DeTIFeek训练AI模型时,记录下的
GPU温度y(℃)与运行时间x(分钟,0≤x≤20)的关系如下表所
示:
时间x/分钟 0 5 10 15 20
温度y/℃ 25 40 55 70 85
则y关于x的函数关系式为_______________________.
y=25+3x(0≤x≤20)
解析 由题表可知每运行1分钟,GPU温度上升(40-25)÷5=
3 ℃,
∴y关于x的函数关系式为y=25+3x(0≤x≤20).
9.(2025四川遂宁射洪中学月考)已知长方形的周长为20.
(1)写出长方形的面积S与其一边长x的函数关系式.
(2)求出自变量x的取值范围.
(3)当x=6时,算出面积S的值.
解析 (1)∵长方形的一边长为x,
∴其邻边长为(20-2x)÷2=10-x,
∴该长方形的面积S=x(10-x)=-x2+10x,
∴该长方形的面积S与其一边长x的函数关系式为S=-x2+10x.
(2)由(1)可知x>0,10-x>0,解得0∴自变量x的取值范围为0(3)由(1)可知S=-x2+10x,
当x=6时,S=-62+10×6=-36+60=24,
∴当x=6时,面积S的值为24.
10.(2025陕西西安期末改编,★★☆)一定体积的某种材料拉
丝后的底面积S和高h的关系如表所示,下列说法正确的有
( )
B
底面积S 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.2 0.1 x
高h 24 30 40 60 80 120 240 480
①x所代表的值为0.05;
②变量S与h之间的关系式为h= ;
③若h=10,则S=2.0.
A.0个 B.2个 C.3个 D.1个
解析 ①根据数据变化规律可得x=0.05,∴①正确;②变量S与
h之间的关系式为Sh=24,即h= ,∴②正确;③当h=10时,10=
,解得S=2.4,∴③错误.综上,说法正确的有2个.故选B.
11.【跨生物·光合作用】(★★☆)光合作用,通常是指绿色植
物(包括藻类)吸收光能,把二氧化碳和水合成富能有机物,同
时释放氧气的过程,整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、
温度等多种因素的影响.小明在研究某绿色植物光合作用氧
气释放速度v(毫克/小时)与光照强度L(千勒克斯)之间的关系
时,设计了如图①所示的实验装置,并绘制了15 ℃和25 ℃时氧
气释放速度v(毫克/小时)与光照强度L(千勒克斯)之间的关系
图(如图②),下列说法正确的是 ( )
A
A.当L=7时,25 ℃环境下的该绿色植物氧气释放速度比15 ℃
环境下的高
B.当L=8时,25 ℃环境下的该绿色植物比15 ℃环境下3小时后
多释放20毫克氧气`
C.当v=10时,15 ℃环境下的该绿色植物比25 ℃环境下需要的
光照强度高1千勒克斯
D.光照强度越大,该绿色植物释放氧气的速度越快
解析 A.根据图象得,当L=7时,25 ℃环境下的该绿色植物氧
气释放速度比15 ℃环境下的高,故该选项说法正确;B.当L=8时,
25 ℃环境下的该绿色植物氧气释放速度为50毫克/小时,15 ℃
环境下的该绿色植物氧气释放速度为40毫克/小时,3小时后多
释放(50-40)×3=30毫克氧气,故该选项说法错误;C.当v=10时,
25 ℃环境下的该绿色植物比15 ℃环境下需要的光照强度高
1千勒克斯,故该选项说法错误;D.该绿色植物释放氧气的
速度与温度和光照强度均有关系,故该选项说法错误.故选A.
12.(2025四川眉山期中,★★☆)在函数y= - 中,自变
量x的取值范围是_________________.
x>-3且x≠-1
解析 由题意可得 ∴x>-3且x≠-1,
∴自变量x的取值范围是x>-3且x≠-1.
13.【新考向·数学文化】(2025陕西西安模拟,★★☆)如图①,
《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式,将大正方
形分割为长斜(等腰梯形)、右半斜和左半斜(直角梯形)、
闰、小三斜和大三斜(等腰直角三角形).现取长斜一张、大三
斜两张、小三斜三张拼成如图②所示的图形.若设长斜的最
长边长为y,小三斜的直角边长为x,则y与x之间的关系可以表
示为_____________.
y=2x
解析 如图所示,易知AB=BC=x,AE=y,△ACE是等腰直角三角
形,
∴AC=2AB=2x,
∴由勾股定理易得AE= AC,
∴AE=2 x,
∴y=2 x.
14.【新课标·模型观念】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=
3,BC=4,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿A→B
→C移动,到点C时停止,设移动的时间为x秒,△APC的面积
为y,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
解析 在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,由勾股定理得AB= =
5,如图,过C作CD⊥AB于点D,由三角形的面积公式可知 AB·
CD= AC·BC,即 ×5CD= ×3×4,解得CD= .
自变量x的取值范围是0②当点P在BC上移动时,如图,PB=2x-5,则PC=BC-PB=4-(2x-5)
=9-2x,所以y= AC·CP= ×3×(9-2x)= -3x,自变量x的取值范
围是 ①当点P在AB上移动时,AP=2x,所以y= AP·CD= ×2x× = x,
综上所述,y与x之间的函数关系式为
y= (共16张PPT)
第16章 函数及其图象
16.3.1 一次函数
16.3 一次函数
一次函数与正比例函数的概念
1.(2025河南商丘期末)下列函数中,y是x的一次函数的是 ( )
A.y=2 B.y=2x+1 C.y= D.y=x2
B
解析 y=2中不含未知数x,故不是y与x的一次函数;y=2x+1是y
与x的一次函数;y= 中分母含有未知数,故不是一次函数;y=x2
中自变量的次数为2,故不是一次函数.故选B.
2.(2025福建泉州期中)下列函数关系式中,y是x的正比例函数
的是 ( )
A.y=-x B.y=2x+1 C.y= D.y=x2
A
解析 根据正比例函数的定义可得y=-x是正比例函数,故选A.
3.(2025福建泉州一中段考)若函数y=(m-1)x|m|-5是一次函数,则
m的值为 ( )
A.±1 B.-1 C.1 D.2
B
解析 根据题意得|m|=1且m-1≠0,
所以m=-1.故选B.
4.【学科特色·方程思想】已知函数y=(a+3)x|a+2|是正比例函数,
则a的值为_______.
-1
解析 由题意得|a+2|=1,且a+3≠0,∴a=-1.
5.用菱形按如图所示的规律拼图案,设第 个图案中菱形的
个数为y,则y与n之间的函数关系式为______________,此函数
是__________函数(填“一次”或“正比例”).
一次
y=3n-1
解析 由所给图形可知,
第①个图案中,菱形的个数为2=1×3-1;
第②个图案中,菱形的个数为5=2×3-1;
第③个图案中,菱形的个数为8=3×3-1;
第④个图案中,菱形的个数为11=4×3-1;
……
所以第 个图案中,菱形的个数为y=3n-1.
此函数符合一次函数的定义,故是一次函数.
6.(2025重庆七中期中,★★☆)根据如图所示的程序计算函数
y的值,当输入的x的值为4时,输出的y的值为5.若输入的x的值
为3,则输出的y的值为 ( )
A.-6 B.6 C.-3 D.3
A
解析 ∵当输入的x的值为4时,输出的y的值为5,∴8+b=5,∴b
=-3.∴当x=3时,y=-3×3+3=-6.故选A.
7.【学科特色·易错题】(★★☆)已知关于x的函数y=(m+1)x|m|
+n-3.
(1)当m和n取何值时,该函数是关于x的一次函数
(2)当m和n取何值时,该函数是关于x的正比例函数
解析 (1)由题意得|m|=1且m+1≠0,
∴m=1,
∴当m=1,n为任意实数时,该函数是关于x的一次函数.
(2)由题意得|m|=1且m+1≠0,n-3=0,
∴m=1,n=3,
∴当m=1,n=3时,该函数是关于x的正比例函数.
易错警示 在一次函数y=kx+b中,要注意自变量x的系数k≠0,
次数为1;若是正比例函数,还要注意常数项b=0.
8.【新课标·模型观念】某电力公司为了鼓励居民节约用电,
采用分段计费的方法计算电费.
第一档:每月用电不超过180千瓦时,按每千瓦时0.5元计费;第
二档:每月用电超过180千瓦时但不超过280千瓦时,超出部分
按每千瓦时0.6元计费;第三档:每月用电超过280千瓦时,超出
部分按每千瓦时0.8元计费.
(1)若李明家1月份用电140千瓦时,则应交电费_______元,2月
份用电250千瓦时,则应交电费_______元.
(2)若设某月用电量为x千瓦时,应交电费为y元,请求出y与x的
函数关系式,并利用关系式求某月交电费120元时的用电量.
(3)所列的函数关系式中,哪些是一次函数 哪些是正比例函
数
解析 (1)∵140<180,∴李明家1月份用电140千瓦时,应交电
费0.5×140=70(元),∵180<250<280,∴李明家2月份用电250千
瓦时,应交电费180×0.5+(250-180)×0.6=90+42=132(元).
故答案为70;132.
(2)当0≤x≤180时,y=0.5x,
当180当x>280时,y=0.5×180+0.6×(280-180)+0.8×(x-280)=0.8x-74,
∴y关于x的函数关系式为y=
把y=120代入y=0.5x,可得x=240,不符合x对应的取值范围,舍
去;
把y=120代入y=0.6x-18,可得x=230,符合x对应的取值范围;
把y=120代入y=0.8x-74,可得x=242.5,不符合x对应的取值范围,
舍去.
故某月交电费120元时的用电量为230千瓦时.
(3)所列的y=0.5x,y=0.6x-18,y=0.8x-74三个函数均是一次函数,
其中y=0.5x是正比例函数.(共24张PPT)
第16章 函数及其图象
16.5 实践与探索
第3课时 函数在生活中的应用
函数的实际应用
1.(2024山西中考改编)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部
分行为的机器装置,其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m
(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg,它
的最快移动速度v=6 m/s;当其载重后总质量m=80 kg时,它的
最快移动速度v为 ( )
A.4.5 m/s B.5 m/s
C.5.5 m/s D.6 m/s
A
解析 设反比例函数的解析式为v= ,
由题意可知k=60×6=360,
∴反比例函数的解析式为v= ,当m=80 kg时,v= =4.5(m
/s),故选A.
2.【跨物理·密度】(2024湖北中考)铁的密度约为7.9 g/cm3,铁
块的质量m(单位:g)与它的体积V(单位:cm3)之间的函数关系
式为m=7.9V,当V=10 cm3时,m=__________g.
79
解析 当V=10 cm3时,m=7.9×10=79 g.
3.(2025浙江台州模拟)如图①,甲、乙两个容器内都装了一定
量的水,现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中,图②中的线段
AB与CD分别表示两容器中水的深度h(厘米)与倒入时间t(分
钟)之间的关系.
(1)请说出点C的纵坐标的实际意义.
(2)经过多长时间,甲、乙两个容器中的水的深度相等
解析 (1)点C的纵坐标的实际意义是乙容器中原有水的深度
是5厘米.
(2)设线段AB所在直线的函数表达式为h=kt+b,
将(0,20),(4,0)代入,得 解得
所以线段AB所在直线的函数表达式为h=-5t+20.
同理可得,线段CD所在直线的函数表达式为h= t+5.当甲、乙
两个容器中的水的深度相等时,-5t+20= t+5,解得t=2,所以经
过2分钟,甲、乙两个容器中的水的深度相等.
4.(2025陕西西安模拟,★★☆)物理实验中,同学们分别测量电
路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I(A)和它们两端
的电压U(V),根据相关数据,在如图所示的坐标系中依次画出
相应的图象.根据图象及物理学知识U=IR,可判断这四个用电
器中电阻R(Ω)最大的是 ( )
C
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析 由题意可得R= ,
由题图知U2>U1,I1 , > ,
∴丙的电阻大于甲的电阻,丙的电阻大于丁的电阻,
同理丁的电阻大于乙的电阻,
∴这四个用电器中电阻R(Ω)最大的是丙,
故选C.
5.(2025甘肃兰州期末,★★☆)学校的自动饮水机,开机加热时
水温每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃时,停止加热,水温开始下
降,此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例,当水温降至30
℃时,饮水机再自动加热,若水温在30 ℃时接通电源,水温y与
通电时间x之间的关系如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A
A.水温从30 ℃加热到100 ℃需要7 min
B.在一个温度周期内,水温不低于30 ℃的时间为25 min
C.水温从100 ℃降至30 ℃,所需时间为15 min
D.水温下降过程中,y与x满足y=
解析 ∵开机加热时水温每分钟上升10 ℃,
∴水温从30 ℃加热到100 ℃所需时间为(100-30)÷10=7(min),
故选项A说法正确;
由题意可得,点(7,100)在反比例函数的图象上,设反比例函数
的解析式为y= ,将(7,100)代入,得k=7×100=700,∴在水温下
降的过程中,y= ,故选项D说法错误;
对于y= ,令y=30,则x= ,∴水温从100 ℃降至30 ℃,所需时
间为 -7= min,故选项C说法错误;
在一个温度周期内,水温不低于30 ℃的时间为7+ = min,
故选项B说法错误.
故选A.
6.(2025海南期中,★★☆)在一条笔直的公路上依次有A,B,C
三地,甲车从A地出发匀速驶向C地,到达C地休息1 h后调头
(调头时间忽略不计)按原路原速驶向B地,甲车从A地出发1.5
h后,乙车从C地出发匀速驶向A地,两车同时到达各自目的地.
两车距A地的距离y(km)与甲车行驶时间x(h)之间的函数关系
如图所示.请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是_______km/h,乙车行驶的速度是_____
_____km/h.
(2)求图中线段MN所在直线的函数解析式,并直接写出自变量
x的取值范围.
(3)乙车出发多少小时时,两车之间的距离是120 km 请直接写
出答案.
解析 (1)120;80.
(2)由题意可得MN所在直线的函数解析式为y=360-80(x-1.5)=
-80x+480,
当y=0时,x=6,
∴线段MN所在直线的函数解析式为y=-80x+480,自变量x的取
值范围为1.5≤x≤6.
(3)乙车出发0.3 h或1.5 h或4.5 h时,两车之间的距离是120 km.
详解:易得线段OD所在直线的函数解析式为y=120x,
线段DE所在直线的函数解析式为y=360,
线段EF所在直线的函数解析式为y=360-120(x-4)=-120x+840.
当0≤x≤1.5时,若两车之间的距离是120 km,
则360-120x=120,解得x=2(不符合题意,舍去);
当1.5则|-80x+480-120x|=120,解得x=1.8或3,
1.8-1.5=0.3(h),3-1.5=1.5(h);
当3则360-(-80x+480)=120,
解得x=3(不符合题意,舍去);
当4480)=120,解得x=6,
6-1.5=4.5(h).
答:乙车出发0.3 h或1.5 h或4.5 h时,两车之间的距离是120 km.
7.【新课标·模型观念】(2025黑龙江绥化中考改编)自主研发
和创新让我国的科技快速发展,“中国智造”正引领世界潮
流.某科技公司计划投入一笔资金用来购买A,B两种型号的芯
片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元,购买2颗
A型芯片和3颗B型芯片共需要1 300元.
(1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元.
(2)若该公司计划购买A,B两种型号的芯片共8 000颗,其中购
买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片
多少颗时,所需资金最少 最少资金是多少元
(3)该公司有甲、乙两辆芯片运输车从M地出发(不同时),沿着
同一条公路匀速行驶,前往目的地N,两车到达N地后均停止行
驶.如图,y甲(km),y乙(km)分别是甲、乙两车离M地的距离与甲
车行驶的时间x(h)之间的函数关系.请根据图象信息解答下列
问题:
①甲车的速度是_______km/h.
②当甲、乙两车相距30 km时,直接写出x的值:_________.
解析 (1)设购买1颗A型芯片需要m元,购买1颗B型芯片需要n
元.
根据题意,得 解得
答:购买1颗A型芯片需要350元,购买1颗B型芯片需要200元.
(2)设购买A型芯片a颗,
则购买B型芯片(8 000-a)颗.
根据题意,得a≥3×(8 000-a),解得a≥6 000,
设所需资金为W元,
则W=350a+200×(8 000-a)=150a+1 600 000,
∵150>0,∴W随a的增大而增大,
∵a≥6 000,∴当a=6 000时,W最小,W最小=150×6 000+1 600 000
=2 500 000.
答:当购买A型芯片6 000颗时,所需资金最少,最少资金是
2 500 000元.
(3)①乙车的速度为(480-60)÷7=60(km/h),
当x=3时,y乙=60+60×3=240,
则甲车的速度为240÷3=80(km/h).
故答案为80.
②1.5或4.5或6.5.详解:
由①易得y甲=80x,
当y甲=480,即80x=480时,解得x=6,
∴y甲与x之间的函数关系式为y甲=80x(0≤x≤6).
y乙与x之间的函数关系式为y乙=60x+60(0≤x≤7).
当0≤x≤6时,若甲、乙两车相距30 km,则|y乙-y甲|=30,
即|60x+60-80x|=30,解得x=1.5或4.5;
当6即480-(60x+60)=30,解得x=6.5.
∴当甲、乙两车相距30 km时,x的值为1.5或4.5或6.5.(共29张PPT)
第16章 函数及其图象
16.3.3 一次函数的性质
16.3 一次函数
一次函数的性质
1.(2024湖南长沙中考)对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的
是 ( )
A.它的图象与y轴交于点(0,-1)
B.y随x的增大而减小
C.当x> 时,y<0
D.它的图象经过第一、二、三象限
A
解析 对于y=2x-1,当x=0时,y=-1,∴一次函数y=2x-1的图象与
y轴交于点(0,-1),故选项A中的结论正确;∵2>0,∴y随x的增大
而增大,故选项B中的结论错误;易知当x> 时,y>0,故选项C中
的结论错误;易得一次函数y=2x-1的图象经过第一、三、四象
限,故选项D中的结论错误.故选A.
2.(2025湖南衡阳八中月考)若ab<0且a>b,则函数y=ax+b的图
象大致是 ( )
A B C D
A
解析 ∵ab<0且a>b,∴a>0,b<0,
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限.故选A.
3.(2025湖北武汉期末)若一次函数y=mx+1(m为常数,m≠0)的
图象从左向右呈下降趋势,则函数y=-mx的图象经过 ( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、二象限 D.第三、四象限
A
解析 ∵一次函数y=mx+1(m为常数,m≠0)的图象从左向右呈
下降趋势,∴m<0,∴-m>0,∴函数y=-mx的图象经过第一、三象
限,故选A.
4.【学科特色·易错题】(2025吉林长春七十二中期中)若直线
y=kx+b不经过第三象限,则k,b应满足 ( )
A.k<0,b≤0 B.k>0,b≥0
C.k<0,b>0 D.k<0,b≥0
D
解析 ∵直线y=kx+b不经过第三象限,∴直线y=kx+b经过第
一、二、四象限或第二、四象限,∴k<0,b≥0,故选D.
易错警示 本题易忽略b=0,从而错选C.
5.(2025湖北中考)已知一次函数y=kx+b中y随x的增大而增大,
写出一个符合条件的k的值:________________.
1(答案不唯一)
解析 ∵一次函数y=kx+b中y随x的增大而增大,
∴k>0.∴k的取值可以为1.(答案不唯一)
6.【学科特色·多解法】(2025海南海口琼山中学月考)若点A(-1,
m)、点B(5,n)均在直线y=-2x+3上,则m______n(填“>”
“<”或“=”).
>
解析 【解法一】∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,
∵-1<5,∴m>n.
【解法二】把A(-1,m)代入y=-2x+3,
得m=-2×(-1)+3=5,把B(5,n)代入y=-2x+3,
得n=-2×5+3=-7,∴m>n.
7.(2024甘肃白银中考)已知一次函数y=-2x+4,当自变量x>2时,
函数y的值可以是______________(写出一个合理的值即
可).
-2(答案不唯一)
解析 一次函数y=-2x+4中,k=-2<0,∴y随x的增大而减小,当x=
2时,y=0,∴当x>2时,y<0,故函数y的值可以为-2.(答案不唯一,
函数y的值小于0即可)
8.【学科特色·教材变式】(2025山东滨州期中)已知一次函数
y=(1-2m)x+m-1,求满足下列条件的m的取值范围:
(1)函数值y随x的增大而增大.
(2)函数图象经过第二、三、四象限.
解析 (1)由题意可得1-2m>0,解得m< ,
∴当m< 时,函数值y随x的增大而增大.
(2)由题意可知 解得 ∴当 9.(2025河南南阳期中)已知一次函数y=(2-m)x+2m-7的图象与
y轴的负半轴相交,且y随x的增大而减小,m为整数.
(1)求m的值.
(2)当-1≤x≤2时,求y的取值范围.
解析 (1)∵一次函数y=(2-m)x+2m-7的图象与y轴的负半轴相
交,且y随x的增大而减小,
∴ 解得2(2)由(1)知m=3,
∴该一次函数的解析式为y=-x-1.
∵-1≤x≤2,且y随x的增大而减小,
∴当x=-1时,y有最大值,为1-1=0;当x=2时,y有最小值,为-2-1=-3.
∴当-1≤x≤2时,y的取值范围是-3≤y≤0.
10.(2025海南海口期中,★★☆)一次函数y=kx+b的图象如图
所示,则一次函数y=bx-k的图象大致是 ( )
A B C D
C
解析 由一次函数y=kx+b的图象可得k<0,b>0,
∴-k>0,∴一次函数y=bx-k的图象经过第一、二、三象限,故选
C.
11.(2025陕西西安交大附中月考,★★☆)已知正比例函数y=(1
-3k)x,当-1≤x≤2时,函数的最大值为8,则k的值为 ( )
A.3 B. C.1或-3 D.-1或3
D
解析 当1-3k>0,即k< 时,y随x的增大而增大,
∵当-1≤x≤2时,函数的最大值为8,
∴当x=2时,y=8,即2(1-3k)=8,解得k=-1;
当1-3k<0,即k> 时,y随x的增大而减小,
∵当-1≤x≤2时,函数的最大值为8,
∴当x=-1时,y=8,即-(1-3k)=8,解得k=3.
综上所述,k的值为-1或3.故选D.
12.(2025四川成都温江期末,★★☆)一次函数y1=ax+b与y2=cx
+d的图象如图所示,下列结论中正确的有 ( )
①函数y1=ax+b中,y1随x的增大而减小;
②函数y2的图象不经过第三象限;
③函数y=ax+d的图象不经过第一象限;
④a-c= .
B
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析 ①由题图可知函数y1=ax+b中,y1随x的增大而减小,故①
正确;
②由题图可知函数y2的图象不经过第二象限,故②错误;
③由题图可知a<0,d<0,故函数y=ax+d的图象不经过第一象限,
故③正确;
④由题图可知两函数图象交点的横坐标为3,∴3c+d=3a+b,
∴3(a-c)=d-b,∴a-c= ,故④正确.故选B.
13.(2025江苏扬州中考,★★☆)已知m2 025+2 025m=2 025,则一
次函数y=(1-m)x+m的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
解析 ∵m2 025+2 025m=2 025,∴m>0且2 025m<2 025,∴01,∴1-m>0,∴一次函数y=(1-m)x+m的图象经过第一、二、三
象限,不经过第四象限,故选D.
14.(2025河南商丘期末,★★☆)如图,平面直角坐标系中,△ABC
的顶点坐标分别是A(1,1),B(3,1),C(2,2),当直线y= x+b与
△ABC有交点时,b的取值范围是 ( )
A.-1≤b≤1 B.- ≤b≤1
B
C.- ≤b≤ D.-1≤b≤
解析 当直线y= x+b经过点B时, +b=1,解得b=- ;
当直线y= x+b经过点A时, +b=1,解得b= ;
当直线y= x+b经过点C时,1+b=2,解得b=1.
故当直线y= x+b与△ABC有交点时,b的取值范围是- ≤b≤
1.故选B.
15.(2025四川眉山期中,★★☆)已知点A(m-1,y1),B(m,y2),C(m+
2,y3)都在一次函数y=(k2+1)x+b(k,b为常数)的图象上,则y1,y2,y3
的大小关系是________________.(用“<”连接)
y1解析 ∵一次函数y=(k2+1)x+b(k,b为常数)中,k2+1>0,∴y随x的
增大而增大,
∵m-116.(★★☆)我们研究一个新函数时,常常会借助图象研究新
函数的性质,在经历“列表、描点、连线”的步骤后,就可以
得到函数图象,请运用这样的方法对函数y=|x-1|-2进行探究:
(1)补全表格中所缺数据,并在所给平面直角坐标系中画出函
数图象.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 1 -1 -1 1 …
(2)根据所画图象,写出该函数的两条性质:
①____;
②____.
(3)直接写出,当-2解析 (1)表格中从左到右依次填0,-2,0.
画出的函数图象如图:
(2)(答案不唯一)①当x>1时,y随x的增大而增大.当x<1时,y随x
的增大而减小.
②y的最小值是-2.
(3)y的取值范围是-2≤y<2.
17.【新课标·运算能力】如图,直线y=kx-2k+3(k为常数,k<0)与
x轴、y轴分别交于点A,B,则 + 的值是_________.
1
解析 当x=0时,y=-2k+3;当y=0时,x= .
∴点A的坐标为 ,点B的坐标为(0,-2k+3),∴OA=
,OB=-2k+3,∴ + = + = - =
=1.(共28张PPT)
第16章 函数及其图象
16.4.2 反比例函数的图象和性质
16.4 反比例函数
第1课时 反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象与性质
1.(2025重庆铜梁模拟)如图所示的函数图象对应的函数表达
式可能是 ( )
A.y=-
B.y=-4x
C.y=-
C
D.y=-4x2
解析 ∵函数图象为双曲线,∴题图为反比例函数的图象,表
达式为y= (k≠0)的形式,∵图象位于第二、四象限,∴k<0,∴
对应的函数表达式可能是y=- .故选C.
2.(2025重庆一中月考)当k<0时,反比例函数y=- 的图象可能
经过点 ( )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-2,1) D.(1,2)
D
解析 ∵k<0,∴xy=-k>0,∴x,y同号,
选项中符合此条件的只有(1,2),故选D.
3.(2025四川内江期中)下列关于反比例函数y=- 的说法中,正
确的是 ( )
A.图象在第一、三象限
B.点(-1,-6)在反比例函数y=- 的图象上
C.当x<0时,y随x的增大而增大
D.若点A(-2,y1),B(2,y2)都在反比例函数y=- 的图象上,则y1 C
解析 ∵k=-6<0,∴函数图象位于第二、四象限,故选项A中
说法错误;∵当x=-1时,y=- =6≠-6,∴点(-1,-6)不在反比例函
数y=- 的图象上,故选项B中说法错误;∵k=-6<0,∴当x<0时,y
随x的增大而增大,故选项C中说法正确;由题意得y1=- =3,y2=
- =-3,∴y1>y2,故选项D中说法错误.故选C.
4.(2025重庆万州月考)若反比例函数y= (k≠0)的图象位于第
二、四象限,则点(3,k)在第______象限. ( )
A.一 B.二 C.三 D.四
D
解析 ∵反比例函数y= (k≠0)的图象位于第二、四象限,
∴k<0,∴点(3,k)在第四象限,故选D.
5.【学科特色·多解法】(2024天津中考)若点A(x1,-1),B(x2,1),C
(x3,5)都在反比例函数y= 的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是
( )
A.x1C.x3 B
解析 【解法一】利用增减性分析:∵k=5>0,∴反比例函数y
= 的图象分布在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而
减小,∵点A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函数y= 的图象
上,∴点A(x1,-1)在第三象限,即x1<0,B(x2,1),C(x3,5)在第一象限,
又∵1<5,∴x2>x3>0,∴x1【解法二】代入法:将A(x1,-1)代入y= 得x1=-5,将B(x2,1)代入y
= 得x2=5,将C(x3,5)代入y= 得x3=1,∴x16.已知反比例函数y1= (x>0)与y2= (x>0)的图象如图所示,则
k1______k2.(填“>”“<”或“=”)
<
解析 由题意得k1>0,k2>0,且当x取一个确定值(所取x值大于0)
时,y17.已知反比例函数y= 的图象位于第二、四象限,正比例
函数y=kx的图象经过第一、三象限,求k的整数值.
解析 根据题意,得 解得08.已知反比例函数y= 的图象经过点A(2,-4).
(1)求k的值.
(2)这个函数的图象在哪几个象限 y随x的增大怎样变化
(3)在网格图中画出函数的图象.
(4)点B(-2,4),C(-1,5)在这个函数的图象上吗
解析 (1)∵反比例函数y= 的图象经过点A(2,-4),∴1-k=2
×(-4)=-8,解得k=9.
(2)由(1)可知,这个函数的解析式为y=- ,
∵-8<0,∴该函数图象位于第二、四象限,且在每个象限内,y
随x的增大而增大.
(3)如图.
(4)∵-2×4=-8,-1×5=-5≠-8,
∴点B(-2,4)在反比例函数的图象上,点C(-1,5)不在反比例函数
的图象上.
9.(2025四川巴中期中,★★☆)在同一平面直角坐标系中,函数
y=-kx+k与y= (k≠0)的图象可能是 ( )
A B C D
A
解析 当k>0时,一次函数y=-kx+k的图象经过第一、二、四象
限,反比例函数y= (k≠0)的图象位于第一、三象限;
当k<0时,一次函数y=-kx+k的图象经过第一、三、四象限,反
比例函数y= (k≠0)的图象位于第二、四象限.故选项A中的
图象符合要求.故选A.
10.(2025四川攀枝花米易一中月考,★★☆)已知(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
是反比例函数y= (k>0)图象上的三个点,且x10,则
y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1C.y3 B
解析 ∵k>0,∴反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,且
在每个象限内,y随x的增大而减小,
∵x10,∴点(x3,y3)在第一象限内,点(x1,y1)和点(x2,y2)在
第三象限内,∴y1<0,y2<0,y3>0,
∵x1y1>y2,∴y211.(2025江苏南京外国语学校段考,★★☆)已知反比例函数y
= (k>0),当2≤x≤3时,函数y的最大值为a,则当-2≤x≤-1时,函
数y有 ( )
A.最大值-2a B.最小值-2a
C.最小值-a D.最大值-
B
解析 ∵k>0,∴反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,且
在每一象限内,y随x的增大而减小,
∵当2≤x≤3时,函数y的最大值是a,
∴当x=2时,y=a,∴k=2a,
易知当-2≤x≤-1时,反比例函数的图象位于第三象限,∴当x=-2
时,函数有最大值,为 =-a,当x=-1时,函数有最小值,为 =-2a.
故选B.
12.(2025陕西西安模拟,★★☆)已知,正比例函数y=mx(m为常
数,m≠0)与反比例函数y= 的图象相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则
(x1-x2)(y1-y2)的值为__________.
16
解析 ∵正比例函数y=mx(m为常数,m≠0)与反比例函数y=
的图象相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),∴点A(x1,y1),B(x2,y2)关于原点
对称,x2y2=4,∴x1+x2=0,y1+y2=0.∴x1-x2=-2x2,y1-y2=-2y2,∴(x1-x2)(y1
-y2)=4x2y2=4×4=16.
13.(2025山西晋城模拟,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,一
次函数y=ax+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(m,6),B
(3,2).
(1)求k的值和一次函数的表达式.
(2)当x>0时,根据图象直接写出不等式ax+b> 的解集.
解析 (1)由题意可得2= ,解得k=6,∴反比例函数的表达式为
y= ,∵点A(m,6)在反比例函数的图象上,∴6= ,解得m=1,∴A
(1,6),∵点A,B都在一次函数的图象上,∴ 解得
∴一次函数的表达式为y=-2x+8.
(2)由题图可知当1象上方,
∴不等式ax+b> 的解集为1
14.【新课标·模型观念】对于函数y= ,小明根据学习一次
函数和反比例函数的经验,研究了它的图象和性质.下面是小
明的分析和研究过程,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是_______.
(2)根据表格中给出的部分对应值,在平面直角坐标系中用描
点法画出该函数的图象.
x … -1 0 1 3 4 5 …
y … -2 -3 -6 6 3 2 …
(3)从中心对称和轴对称的角度分析图象特征,并说说这个函
数的增减性.
解析 (1)要使函数有意义,则x-2≠0,解得x≠2,故答案为x≠2.
(2)函数图象如图所示:
(3)根据图象可知,函数y= 的图象关于点(2,0)成中心对称,
关于直线y=-x+2或直线y=x-2成轴对称,当x>2时,y随x的增大而
减小,当x<2时,y随x的增大而减小.(共15张PPT)
第16章 函数及其图象
16.5 实践与探索
第2课时 一次函数与一元一次方程、不等式(组)
一次函数与一元一次方程的关系
1.(2025福建福州仓山模拟)已知一次函数y=ax+b的图象经过
点(3,m),则关于x的一元一次方程ax+b=m的解是 ( )
A.x=3 B.x=-3
C.x=3或x=-3 D.不能确定
A
解析 ∵一次函数y=ax+b的图象经过点(3,m),
∴3a+b=m,∴ax+b=m的解是x=3,故选A.
2.(2024江苏扬州中考)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图
象分别与x轴,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程
kx+b=0的解为____________.
x=-2
解析 ∵OA=2,∴A(-2,0),∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-2.
3.如图,根据一次函数y=kx+b的图象,写出下列问题的答案.
(1)关于x的方程kx+b=0的解.
(2)当x=1时,代数式kx+b的值.
(3)关于x的方程kx+b=-3的解.
解析 (1)当x=2时,y=0,
∴方程kx+b=0的解为x=2.
(2)当x=1时,y=-1,∴当x=1时,代数式kx+b的值为-1.
(3)当y=-3时,x=-1,
∴方程kx+b=-3的解为x=-1.
一次函数与一元一次不等式(组)的关系
4.【学科特色·数形结合思想】(2025北京房山期中)如图,一次
函数y=kx+b的图象过点(2,-1),则关于x的不等式kx+b>-1的解
集为 ( )
A.x<2 B.x>2 C.x<-1 D.x>-1
A
解析 由题图可知,当x<2时,一次函数y=kx+b的图象在直线y=
-1的上方,即当x<2时,kx+b>-1,
所以不等式kx+b>-1的解集为x<2.故选A.
5.【学科特色·教材变式】(2025吉林长春模拟)如图,在平面直
角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象与x轴交
于点A(2,0),与y轴交于点B(0,6),根据图象可知0集为 ( )
A.x<0 B.0C.x>2 D.x<0或x>2
B
解析 ∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(2,0),与y轴交
于点B(0,6),
∴当y=0时,x=2;当x=0时,y=6.
观察图象可知,当y>0时,图象在x轴上方,此时x<2;当y<6时,图
象在直线y=6下方,此时x>0,
∴0
6.(2025四川眉山期中,★★☆)一次函数y1=kx+b与y2=mx+a的
图象如图所示,下列结论:①当x<-2时,y1>0;②当x<-2时,y2>0;
③当x>-2时,y1A.0 B.1
B
C.2 D.3
解析 由题图可知当x<-2时,y1>0或y1=0或y1<0,故①错误;由题
图可知当x<-2时,y2>0,故②正确;
由题图可知当x>-2时,y1>y2,故③错误.
综上,正确的结论有1个.故选B.
7.(2025福建宁德期中,★★☆)已知一次函数y1=mx+3m-1(m≠
0),y2=k(x-2)+2(k≠0),若无论x取何值,始终有y2>y1,则m的取值
范围是_______________.
m< 且m≠0
解析 已知y1=mx+3m-1(m≠0),y2=k(x-2)+2=kx-2k+2(k≠0),
∵无论x取何值,始终有y2>y1,
∴两条直线平行且y2的图象在y1的图象的上方,∴
解得m< ,∴m的取值范围是m< 且m≠0.
8.(★★☆)如图,一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,
4),则kx+b>x+2>0的解集是___________.
-2解析 把P(m,4)代入y=x+2,得m+2=4,解得m=2,∴P点坐标为
(2,4),在y=x+2中,令y=0,得x=-2.观察题图可知,当-2直线都在x轴上方,且直线y=kx+b在直线y=x+2上方,即kx+b>x+
2>0,∴kx+b>x+2>0的解集为-2第16章 函数及其图象
16.3.4 求一次函数的表达式
16.3 一次函数
用待定系数法求一次函数的表达式
1.(2025陕西西安模拟)已知正比例函数y=kx,当x=2时,y=-1,则
此正比例函数的关系式为 ( )
A.y=- x B.y= x C.y=- x D.y=x
A
解析 ∵当x=2时,y=-1,∴-1=2k,解得k=- ,
∴该正比例函数的关系式为y=- x,故选A.
2.(2025河北模拟)8个边长为1的小正方形按照图中所示方式
放置在平面直角坐标系中,直线l经过小正方形的顶点P和Q,
则直线l的表达式为 ( )
A.y=x+1 B.y= x+1
D
C.y=2x+1 D.y= x+1
解析 设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),由题意可知点P的坐
标为(0,1),点Q的坐标为(4,2),将点P,Q的坐标代入直线l的表达
式得 解得
∴直线l的表达式为y= x+1.故选D.
3.(2025山西临汾模拟)已知y是x的一次函数,且y与x之间的部
分对应值如下表所示:
x … -1 1 3 …
y … -6 m 2 …
则m的值为 ( )
A.6 B.-2 C.2 D.-6
B
解析 设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
把x=-1,y=-6和x=3,y=2分别代入y=kx+b,
得 解得 ∴y=2x-4,
∴m=2×1-4=-2,故选B.
4.【跨物理·光的反射】如图,光源A(-3,2)发出的一束光,遇到
平面镜(y轴)上的点B 得反射光线BC交x轴于点C(-1,0),再
被平面镜(x轴)反射得反射光线CD,则直线CD的解析式为_____
__________.
y=-x-
解析 设直线AB的解析式为y=kx+m(k≠0),将A(-3,2)和B
代入,得 解得 ∴直线AB的解析式为y
=- x+ ,
易知AB∥CD,∴直线AB和CD解析式中的k值相等,
设直线CD的解析式为y=- x+n ,
将C(-1,0)代入,得 +n=0,解得n=- ,
∴直线CD的解析式为y=- x- .
一次函数的应用
5.(2025江苏苏州中考)声音在空气中传播的速度随温度的变
化而变化,科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温
度t(℃)的部分对应数值如表所示:
温度t/℃ -10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数,且a≠0),当温度t为15
℃时,声音传播的速度v为 ( )
A.333 m/s B.339 m/s
C.341 m/s D.342 m/s
B
解析 将t=0,v=330和t=10,v=336分别代入v=at+b,
得 解得 ∴v与t之间的函数关系式为v=0.6t
+330,当t=15时,v=0.6×15+330=339,∴当温度t为15 ℃时,声音
传播的速度v为339 m/s.故选B.
6.【学科特色·教材变式】(2025吉林长春期中)某市为了倡导
居民节约用水,生活用自来水按阶梯式水价计费.如图所示的
是居民每户每月的水(自来水)费y(元)与所用的水(自来水)量x
(吨)之间的函数图象.根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)当17≤x≤30时,求y与x之间的函数关系式.
(2)当一户居民某月的用水量为15吨时,求这户居民这个月的
水费.
解析 (1)当17≤x≤30时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b
(k≠0),
将(20,66)和(30,116)分别代入y=kx+b,
得 解得
∴当17≤x≤30时,y与x之间的函数关系式为y=5x-34.
(2)当x=17时,y=5×17-34=51,∴当0≤x≤17时,每吨水的价格为
51÷17=3(元),3×15=45(元).
答:这户居民这个月的水费是45元.
7.【跨物理·胡克定律】(2025福建中考,★★☆)弹簧秤是根据
胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为
在弹性限度内,弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x
成正比,即F=kx,其中k为常数,是弹簧的劲度系数;质量为m的
物体重力为mg,其中g为常数.如图,一个弹簧秤在不挂任何物
体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内,当所挂物体的质量
为0.5千克时,弹簧长度为6.5厘米,那么,当弹簧长度为6.8厘米
时,所挂物体的质量为___________千克.
0.8
解析 由题意可知当所挂物体的质量为0.5千克时,F=0.5g,当
弹簧的长度为6厘米时,弹簧伸长的长度为6.5-6=0.5厘米,
∴0.5g=0.5k,解得k=g,
∴F与x之间的函数关系式为F=gx,
当弹簧长度为6.8厘米时,x=6.8-6=0.8,
∴mg=0.8g,解得m=0.8,
∴当弹簧长度为6.8厘米时,所挂物体的质量为0.8千克.
8.(2024陕西中考,★★☆)我国新能源汽车快速健康发展,续航
里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他
驾车从A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kW·h,行驶了240 km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速
公路上行驶的过程中,剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间
的关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式.
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h,求王师傅驾车从B市
这一高速公路出口驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的
百分之多少.
解析 (1)设y=kx+b(k≠0),
把(0,80),(150,50)代入,
得 解得
∴y与x之间的关系式为y=- x+80.
(2)当x=240时,y=32, ×100%=32%.
答:王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时,该车的剩余
电量占“满电量”的32%.
9.(2024四川眉山中考,★★☆)眉山是“三苏”故里,文化底蕴
深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展,促进了文创产品的销
售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款
文创产品数量相同.每件A款文创产品的进价比每件B款文创
产品的进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A款文创产品每件的售价为100元,B款文创产品每件
的售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的
能使销售完后获得的利润最大 最大利润是多少元
总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问怎样进货才
解析 (1)设A款文创产品每件的进价是a元,则B款文创产品
每件的进价是(a-15)元,
根据题意得 = ,解得a=80,
经检验,a=80是原分式方程的解,且符合题意,
∴a-15=80-15=65.
答:A款文创产品每件的进价是80元,B款文创产品每件的进价
是65元.
(2)设购进A款文创产品x件,则购进B款文创产品(100-x)件,
根据题意得80x+65(100-x)≤7 400,
解得x≤60,
设总利润为W元,则W=(100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1 500,
∵5>0,
∴W随x的增大而增大,
∴当x=60时,W最大,W最大=5×60+1 500=1 800,
此时100-x=100-60=40.
答:购进A款文创产品60件,B款文创产品40件,才能使销售完
后获得的利润最大,最大利润是1 800元.
10.【新课标·模型观念】如图,在平面直角坐标系中,一次函数
y=2x+8的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,在y轴上取一点C,
且AC=BC.
(1)求点C的坐标.
(2)D为AB上的一点,且横坐标为-2,在x轴上找一点P,使得PD+
PC的值最小,求出此时点P的坐标.
解析 (1)当x=0时,y=8,∴B(0,8),∴OB=8,
当y=0时,2x+8=0,解得x=-4,
∴A(-4,0),
∴OA=4,
设C(0,t),则OC=t,AC=BC=8-t,
在Rt△OAC中,42+t2=(8-t)2,
解得t=3,
∴C(0,3).
(2)如图,作点C关于x轴的对称点E,连结DE,交x轴于点P,连结
CP,则PC=PE,
∴PD+PC=PD+PE=DE,此时PD+PC的值最小.
当x=-2时,y=4,
∴D(-2,4).
∵点E与点C(0,3)关于x轴对称,
∴E(0,-3).
设直线DE的表达式为y=kx+b(k≠0),
把E(0,-3),D(-2,4)代入,
得 解得
∴直线DE的表达式为y=- x-3.
当y=0时,- x-3=0,解得x=- ,
∴点P的坐标为 .(共27张PPT)
第16章 函数及其图象
16.4.2 反比例函数的图象和性质
16.4 反比例函数
第2课时 确定反比例函数的表达式
用待定系数法求反比例函数的表达式
1.(2025云南楚雄州禄丰模拟)如图,点A在反比例函数的图象
上,则这个反比例函数的表达式为___________.
y=
解析 由题图可知,点A的坐标为(2,2),设反比例函数的表达式
为y= (k≠0),将A(2,2)代入得k=2×2=4,∴这个反比例函数的
表达式为y= .
2.【新考向·结论开放题】(2025湖北武汉青山模拟)反比例函
数y= 的图象与点A(-1,2)的位置如图,写出一个与图相符的反
比例函数表达式:___________________.
y=- (答案不唯一)
解析 由题图可得当x=-1时,反比例函数y= 的图象经过的点
在点A(-1,2)的上方,k<0,∴可取点(-1,3)代入反比例函数表达
式得3= ,∴k=-3,∴与题图相符的反比例函数表达式可以为y
=- .
反比例函数中k的几何意义
3.(2025四川巴中期中)如图,点P是双曲线y= (x>0)上的一个
动点,过点P作PA⊥x轴于点A,当点P从左向右移动时,△OPA
的面积 ( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小
C.先增大后减小 D.保持不变
D
解析 ∵PA⊥x轴,∴S△OPA= |k|= ×8=4,∴当点P从左向右移
动时,△OPA的面积保持不变.故选D.
4.(2025重庆沙坪坝月考)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y
= 的图象相交于A,C两点,过点A作x轴的垂线交x轴于点B,连
结BC,则△ABC的面积等于 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
C
解析 由题意可得点A,C位于反比例函数图象上且关于原点
对称,∴点A,C到x轴的距离相等,∴S△OBA=S△OBC,∵S△OBA= |k|=
×4=2,∴S△OBC=2,∴S△ABC=S△OBA+S△OBC=4.故选C.
5.(2025湖南长沙模拟改编)如图,等边三角形OAB的顶点B在x
轴正半轴上,S△OAB=4,若反比例函数y= (k≠0)图象的一支经过
点A,则k的值是 ( )
A. B.2 C. D.4
D
解析 如图,过点A作AC⊥OB于点C,
∵△OAB是等边三角形,∴OC=BC,∴S△AOC= S△AOB=2= |k|,由
题意易得k>0,
∴k=4,故选D.
6.(2025河北模拟)如图,点A,B分别在反比例函数y= (k≠0)和y
= 位于第一象限的图象上,过点A,B向x轴,y轴作垂线,若阴影
部分的面积为12,则k=__________.
18
解析 如图,∵点A,B分别在反比例函数y= (k≠0)和y= 位于
第一象限的图象上,∴S长方形ACOF=k,S长方形BDOE=6,∵阴影部分的面
积为12,∴k-6=12,∴k=18.
反比例函数的实际应用
7.【学科特色·教材变式】(2024湖南中考)在一定条件下,乐器
中弦振动的频率f(单位:赫兹)与弦长l(单位:米)成反比例关系,
即f= (k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为
200赫兹,则k的值为___________.
180
解析 ∵当l=0.9米时,f=200赫兹,
∴200= ,∴k=180,∴k的值为180.
8.【跨物理·压强】(2025四川巴中巴州期中)根据物理学知识,
在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面
积S(m2)的反比例函数,其函数图象如图所示.
(1)求p关于S的函数关系式.
(2)当S=0.25 m2时,物体所受的压强是多少
(3)当1 000 Pa解析 (1)设p关于S的函数关系式为p= ,
将(0.1,1 000)代入得1 000= ,解得k=100,
∴p关于S的函数关系式为p= .
(2)当S=0.25 m2时,物体所受的压强为 =400(Pa).
(3)令p=1 000 Pa,则S= =0.1(m2),
令p=4 000 Pa,则S= =0.025(m2),
∴当1 000 Pa
9.(2025河南南阳期中,★★☆)如图,网格图中的小正方形的边
长均为1,建立平面直角坐标系,x轴,y轴都在格线上,其中反比
例函数y= (k≠0,x>0)的图象被撕掉了一部分,已知点M,N在
格点上,则k=_________.
4
解析 由题图可设点M的坐标为(1,n),则点N的坐标为(2,n-2),
将点M,N的坐标分别代入y= ,
得k=n,k=2(n-2),∴n=2(n-2),∴n=4.
∴点M的坐标为(1,4),∴k=4.
10.(2025浙江杭州月考,★★☆)经检测,烟花燃放后产生的有
害气体浓度y(mg/m3)与扩散时间x(min)之间成反比例函数关
系.当扩散5 min时,有害气体浓度为10 mg/m3.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)按照环保标准,当有害气体浓度不高于8 mg/m3时,对人体健
康无危害,则至少需要扩散多长时间,才能对人体健康无危害
解析 (1)设y关于x的函数表达式为y= ,
将x=5,y=10代入y= 得k=5×10=50,
∴y关于x的函数表达式为y= .
(2)当y=8时, =8,解得x= .
可知当x≥ 时,y≤8.
答:至少需要扩散 min,才能对人体健康无危害.
11.(2025贵州贵阳期末,★★☆)某校准备举行田径运动会,为
此准备了一些气球,某气球内充满了一定质量的气体,当温度
不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例
函数,其图象如图所示.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)当气球内的气压大于150 kPa时,气球将爆炸.为了安全起
见,气球内气体的体积应不小于多少
(3)请你利用p与V的表达式解释,为什么超载的车辆容易爆胎.
解析 (1)设反比例函数的表达式为p= ,
将(0.05,120)代入,得120= ,解得k=6,
所以反比例函数的表达式为p= .
(2)将p=150 kPa代入p= ,得 =150,
解得V=0.04 m3,
因为当p>150 kPa时,气球将爆炸,
当V≥0.04 m3时,可使p≤150 kPa.
所以为了安全起见,气球内气体的体积应不小于0.04 m3.
(3)由p与V的表达式可得,超载时轮胎气体体积变小,轮胎内气
压变大,所以超载的车辆容易爆胎.
12.【新课标·模型观念】(2025河南驻马店三模改编)如图,正
方形ABCD的两个顶点A(2,m),C(4,n)都在反比例函数y= (x>
0)的图象上.反比例函数y= (x>0)的图象经过点B,直线x=t(t>
0)分别与反比例函数y= (x>0),y= (x>0)的图象交于点M,N,
MN∥AB.若1 解析 由题意可知k1=2m=4n,正方形ABCD的边长AB=BC=4-2
=2,∴m-n=2,
联立 解得
∴点A的坐标为(2,4),点C的坐标为(4,2),
∴k1=2×4=8,点B的坐标为(2,2),
∴反比例函数y= 的表达式为y= .
∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点B(2,2),
∴k2=2×2=4,∴y= ,∴点M的坐标为 ,点N的坐标为 ,
∴MN= - = ,
∵1第16章 函数及其图象
16.5 实践与探索
第1课时 一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与二元一次方程(组)的关系
1.(2025山东济南期中)下列直线上每个点的坐标都适合二元
一次方程2x-y=2的是 ( )
A B C D
A
解析 ∵2x-y=2,∴y=2x-2,∴当x=0时,y=-2;当y=0时,x=1.∴一
次函数y=2x-2的图象与y轴交于点(0,-2),与x轴交于点(1,0),故
选A.
2.【学科特色·数形结合思想】(2025重庆万州期中)若一次函
数y=kx+b与y=mx+n的图象如图所示,则关于x,y的方程组
的解为 ( )
D
A. B. C. D.
解析 ∵一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为
(-8,-4),
∴关于x,y的方程组 的解为 故选D.
3.(2025广东东莞模拟)已知关于x,y的二元一次方程组
的解为 如图,若直线y=kx+b(k,b为常数,且k≠
0)与直线y=x+4相交于点P,则点P的坐标为 ( )
A.(4,8) B.(3,8)
A
C.(2,8) D.(8,4)
解析 ∵二元一次方程组 的解为
∴把y=8,x=m代入y=x+4,解得m=4,
∴二元一次方程组 的解为
∴直线y=kx+b与直线y=x+4的交点P的坐标为(4,8),故选A.
4.(2025江苏扬州模拟)若以关于x,y的二元一次方程x-2y+b=0
的解为坐标的点(x,y)都在直线y= x+b-1上,则常数b的值为
( )
A.0 B.-1 C.2 D.1
C
解析 因为以关于x,y的二元一次方程x-2y+b=0的解为坐标的
点(x,y)都在直线y= x+b-1上,且y= x+b-1可变形为x-2y+2b-2=
0,所以b=2b-2,解得b=2,故选C.
5.如图,正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交
于点P(m,3),一次函数y=kx+b的图象经过点B(1,1),与y轴的交
点为D,与x轴的交点为C.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式.
(2)求点D的坐标.
(3)求△COP的面积.
(4)直接写出方程组 的解.
解析 (1)∵正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图
象交于点P(m,3),∴-3m=3,∴m=-1,∴P(-1,3).把(1,1)和(-1,3)代
入y=kx+b,
得 解得 ∴y=-x+2.
(2)对于y=-x+2,
令x=0,则y=2,∴点D的坐标为(0,2).
(3)对于y=-x+2,
令y=0,得-x+2=0,解得x=2,
∴点C的坐标为(2,0),∴OC=2,
∵P(-1,3),∴△COP的面积= OC·|yP|= ×2×3=3.
(4)方程组的解为
6.(2024内蒙古呼伦贝尔中考,★★☆)点P(x,y)在直线y=- x+4
上,且(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解,则点P的位置在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
解析 解 得
∴点P ,∴点P在第四象限,故选D.
7.(2025山东威海环翠期中,★★☆)已知关于x,y的二元一次方
程组 无解,则一次函数y=kx+2的图象经过的
象限是 ( )
A.一、二、四 B.二、三、四
C.一、三、四 D.一、二、三
A
解析 ∵关于x,y的二元一次方程组 无解,∴
直线y=(2-k)x+1与直线y=(2k+5)x+3没有交点,即两直线平行,
∴2-k=2k+5,解得k=-1,∴一次函数y=kx+2的解析式为y=-x+2,
其函数图象经过第一、二、四象限,故选A.
8.(2025福建泉州晋江期中,★★☆)下表分别是一次函数y=k1x
+b1和y=k2x+b2图象上部分点的坐标:
x … -1 0 1 2 …
y=k1x+b1 … -1 1 3 5 …
y=k2x+b2 … 5 4 3 2 …
则二元一次方程组 的解为_________.
解析 ∵y=k1x+b1可变形为k1x-y+b1=0,y=k2x+b2可变形为k2x-y+
b2=0,
且由题表可知当x=1时,两个函数值均为3,
∴二元一次方程组 的解为
9.(2025贵州三联教育集团期末,★★☆)如图,直线l1:y=- x+5
分别与x轴,y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l2与直线l1交于
点C .
(1)求m的值及直线l2的函数解析式.
(2)方程组 的解为_______.
(3)求S△AOC-S△BOC的值.
解析 (1)把C 代入l1:y=- x+5,得 =- m+5,解得m= ,
∴点C的坐标为 .
设直线l2的函数解析式为y=ax,
将C 代入,得 = a,解得a= ,
∴直线l2的函数解析式为y= x.
∴m的值为 ,直线l2的函数解析式为y= x.
(2)
(3)如图,过C作CD⊥AO于D,作CE⊥BO于E,则CD= ,CE= ,
在y=- x+5中,令x=0,则y=5;令y=0,则x=10.∴A(10,0),B(0,5),∴
AO=10,BO=5,
∴S△AOC-S△BOC= ×10× - ×5× = .
10.【新课标·模型观念】【新考向·新定义题】定义:我们把一
次函数y=kx+b(k≠0)的图象与正比例函数y=-x的图象的交点
称为一次函数y=kx+b(k≠0)图象的“亮点”,例如,求一次函数
y=-2x-1图象的“亮点”时,联立得方程组 解得
则一次函数y=-2x-1图象的“亮点”为(-1,1).
(1)一次函数y=2x-3图象的“亮点”为_______.
(2)若一次函数y=mx+n图象的“亮点”为(2,n+1),求m,n的值.
解析 (1)联立得方程组 解得
∴一次函数y=2x-3图象的“亮点”为(1,-1).
(2)由题意可得,点(2,n+1)既在直线y=-x上,又在直线y=mx+n上,
∴ 解得
