(共17张PPT)
第17章 平行四边形
17.2 平行四边形的判定
第4课时 三角形的中位线
三角形的中位线定理
1.(2025重庆大足期末)如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,
CA的中点,连结DE,EF,FD.若△DEF的周长是12 cm,则△ABC
的周长是 ( )
A.12 cm B.16 cm
C.20 cm D.24 cm
D
解析 ∵D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DE,EF,FD是△
ABC的中位线,∴AB=2EF,BC=2DF,AC=2DE,∵△DEF的周长
是12 cm,∴EF+DF+DE=12 cm,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=
2(EF+DF+DE)=24 cm,故选D.
2.(2025河南中考)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均
为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,点D,E分别是边
BA,CA与网格线的交点,连结DE,则DE的长为 ( )
A. B.1 C. D.
B
解析 如图,
由题意可知BC=AF=BG=2,∠AFD=∠BGD=90°,
∵∠ADF=∠BDG,
∴△ADF≌△BDG(AAS),
∴AD=BD,同理可得AE=CE,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=
BC=1,故选B.
3.(2025河南周口期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=
AD=6,BC=8,AE⊥CD于点E.若点F为BC的中点,求EF的长.
解析 ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB= =10,
∵AC=AD=6,∴BD=4,∵AE⊥CD,∴CE=DE.∵点F为BC的中
点,∴EF是△BCD的中位线,∴EF= BD=2.
4.【学科特色·教材变式】(2025河南商丘期末)如图,在△ABC
中,中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.连结DF,FG,
EG,DE,求证:DF=EG.
证明 ∵BE,CD都是△ABC的中线,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE= BC,
∵F,G分别是OB,OC的中点,
∴FG∥BC,FG= BC,
∴DE∥FG且DE=FG,
∴四边形DEGF是平行四边形,∴DF=EG.
5.(2025北京朝阳月考,★★☆)如图,点A,B为定点,定直线l∥
AB,P是l上的一个动点,点M,N分别是PA,PB的中点,下列数据:
①线段MN的长;②△PAB的周长;③△PMN的面积;④直线MN,
AB之间的距离;⑤∠APB的大小.其中会随点P的移动而变化
的是 ( )
B
A.②③⑤ B.②⑤
C.①③④ D.⑤
解析 ①∵点M,N分别为PA,PB的中点,∴MN= AB,MN∥AB,
即线段MN的长不会随点P的移动而变化;
②∵PA,PB的长随点P的移动而变化,
∴△PAB的周长会随点P的移动而变化;
③由①可知线段MN的长为定值,且MN∥AB,∵l∥AB,∴MN∥
l,∵P是l上的点,∴点P到MN的距离为定值,∴△PMN的面积为
定值,即△PMN的面积不会随点P的移动而变化;
④∵MN∥AB,∴直线MN,AB之间的距离不会随点P的移动而
变化;
⑤易知∠APB的大小会随点P的移动而变化.
综上可知,会随点P的移动而变化的是②⑤.
故选B.
6.(2025江苏苏州月考,★★☆)如图1,小李和小王去公园玩跷
跷板(两边长度一样,两端点到跷跷板支架的水平距离相等)游
戏,两人越玩越开心,小李对小王说:“真可惜!我最高只能将
你翘到1米高,如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长
度,那么我就能将你翘得更高!”
(1)请你根据他们的对话,借助图2,计算出跷跷板的支点O与地
面的距离OP.
(2)你认为小李的话对吗 请你作图分析,并说明理由.
解析 (1)∵AC⊥BC,OP⊥BC,∴OP∥AC,
由题意得BO=OA,BP=CP,
∴OP是△ABC的中位线,
由题意知AC=1米,
∴OP= AC=0.5米.
∴跷跷板的支点O与地面的距离OP为0.5米.
(2)小李的话不对.理由如下:
若将两端同时都再伸长相同的长度,假设伸长之后的跷跷板
为DE,如图所示,
则DO=OE.
由(1)得OP=0.5米,易知OP是△DEF的中位线,
∴EF=2OP=1米.
综上所述,跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度,跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的2倍,不可能翘得更高,
∴小李的话不对.(共18张PPT)
第17章 平行四边形
17.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
平行四边形的判定定理3
1.【新考向·条件开放题】(2024山东济宁中考)如图,四边形
ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件:
____________________,使四边形ABCD是平行四边形.
OB=OD(答案不唯一)
解析 答案不唯一,当补充的条件为OB=OD时,四边形ABCD
是平行四边形,证明如下:
∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.故填OB=
OD(答案不唯一).
2.【学科特色·多解法】(2025陕西西安期末)如图所示,在四边
形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,BO=DO.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
证明 【证法一】∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,
在△ABO与△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(ASA),∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【证法二】∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,
在△ABO与△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(ASA),∴OA=OC,
又∵BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.
3.(2024河南驻马店遂平期末)下面是亮亮同学设计的“已知
一组邻边构造平行四边形”的尺规作图过程.
已知:如图,线段AB,BC.求作:平行四边形ABCD.
作法:①连结AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点P;②连结
BP并延长,在延长线上取一点D,使DP=BP;③连结AD和CD,四
边形ABCD即为所求作的平行四边形.
(1)使用直尺和圆规,根据亮亮同学设计的尺规作图过程补全
图形(保留作图痕迹).
(2)补全下面的证明过程.
∵线段AC的垂直平分线交AC于点P,
∴_______=_______.
∵DP=BP,∴四边形ABCD是平行四边形(依据:_________
________).
解析 (1)如图所示.
(2)∵线段AC的垂直平分线交AC于点P,
∴AP=CP.
∵DP=BP,∴四边形ABCD是平行四边形.(依据:对角线互相平
分的四边形是平行四边形)
4.(2025河南驻马店月考,★★☆)如图,四边形ABCD是平行四
边形,∠BCD的平分线CE交AB于点F,交DA的延长线于点E.
(1)求证:AB=DE.
(2)若DF恰好平分∠ADC,连结AC,BE,求证:四边形AEBC是平
行四边形.
(3)若DF⊥EC,∠AEC=60°,AB=2,求DF的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠DEC=∠BCE.
∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,
∴∠DEC=∠DCE,∴DE=CD,∴AB=DE.
(2)证明:由(1)知DE=CD.
∵DF平分∠ADC,∴EF=CF.
∵∠AFE=∠BFC,∠DEC=∠BCE,
∴△AEF≌△BCF(ASA),∴AF=BF.
∵EF=CF,∴四边形AEBC是平行四边形.
(3)由(1)知DE=CD,
∵∠AEC=60°,∴△DCE是等边三角形,∴EC=DE=CD,∵AB=
2,∴EC=DE=CD=2,∵DF⊥EC,∴EF=CF= EC=1.∴DF=
= .
5.(2025贵州模拟,★★☆)如图1, ABCD中,AD>AB,∠ABC为
锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边
形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案.
(1)正确的方案有_______种.
(2)针对上述三种作图方案,请从你认为正确的方案中选择一
种给出证明过程.
解析 (1)三.
(2)三种均正确,任选一种证明即可.
选择方案甲,证明如下:连结AC,如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,∴OB=OD,OA=
OC,∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM,∴四边形ANCM为平行四
边形.
选择方案乙,证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABN=∠CDM,∵AN⊥BD,CM⊥BD,
∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°,在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(AAS),∴AN=CM,
又∵AN∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形.
选择方案丙,证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABN=∠CDM,∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,
∴∠BAN=∠DCM,在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(ASA),∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,
∴∠ANM=∠CMN,∴AN∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形.(共14张PPT)
第17章 平行四边形
17.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
平行四边形的定义判定法
1.(2025广东珠海期末)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=
∠C,E是边BC上一点,且DE=DC.求证:四边形ABED是平行四
边形.
证明 ∵DE=DC,∴∠DEC=∠C,
∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC,∴AB∥DE,
∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形.
平行四边形的判定定理1
2.(2025广东广州期末)如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=
EF,DE=CF,求证:DE∥CF.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,
∵AB=EF,∴DC=EF,∵DE=CF,∴四边形CDEF是平行四边形,
∴DE∥CF.
平行四边形的判定定理2
3.【学科特色·多解法】(2025福建泉州期中)如图,四边形
ABCD是平行四边形,延长AB至点E,使BE=AB,连结DE交BC于
点F.求证:CF=BF.
证明 【证法一】连结CE,BD,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,
∵BE=AB,∴BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形,
∴CF=BF.
【证法二】∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥
AB,∴∠FCD=∠EBF,∠CDF=∠BEF,∵BE=AB,∴BE=CD,
∴△CDF≌△BEF(ASA),∴CF=BF.
4.(2025安徽中考,★★☆)在如图所示的 ABCD中,E,G分别
为边AD,BC的中点,点F,H分别在边AB,CD上移动(不与端点重
合),且满足AF=CH,则下列选项中的值为定值的是 ( )
A.四边形EFGH的周长
C
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
解析 连结EG(图略),∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=
BC,AD∥BC,∵E,G分别为边AD,BC的中点,∴AE=DE=BG=
CG,∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形,∴AB∥EG
∥CD,∴S△EGF= S平行四边形ABGE,S△EHG= S平行四边形DEGC,∴四边形EFGH
的面积= S平行四边形ABCD,∴四边形EFGH的面积是定值,故选C.
5.【新考向·条件开放题】(2024湖南中考,★★☆)如图,在四
边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,_______.
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选
一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE是平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
解析 (1)选择条件①时.
证明:∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
选择条件②时.
证明:∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,∴DE=BC=10,∵AD
⊥AB,∴∠A=90°,∴AE= = =6,即线段AE的
长为6.
6.(2025河南洛阳期末,★★☆)如图,△ABC与△ADE都是等边
三角形,CD=BF,求证:四边形CDEF的对角线互相平分.
证明 如图,连结BE,
∵△ABC与△ADE都是等边三角形,∴∠EAD=∠BAC=∠ABC
=∠DCA=60°,AE=AD,AB=AC,∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,
∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,
在△EAB和△DAC中,
∴△EAB≌△DAC(SAS),∴BE=CD,∠EBA=∠DCA=60°,∵
CD=BF,∴BF=BE,∴△BEF为等边三角形,∴∠EFB=60°,EF=
BF.∴EF=CD,∵∠ABC=60°=∠EFB,∴EF∥BC.∴四边形
CDEF为平行四边形,
∴四边形CDEF的对角线互相平分.(共23张PPT)
第17章 平行四边形
17.2 平行四边形的判定
第3课时 平行四边形的性质与判定的综合应用
平行四边形的性质与判定的综合应用
1.(2025江西师大附中月考)如图,取两根长度不等的细木棒AC,
BD,将它们的中点重合固定(记为点O).转动木棒AC,在∠AOD
由锐角变成钝角的过程中,分析以木棒四个端点为顶点的四边
形ABCD,下列结论不一定成立的是 ( )
C
A.AB=CD B.BC∥AD
C.∠BAD=∠ABC D.∠BAD=∠BCD
解析 ∵O是AC和BD的中点,∴OA=OC,OB=OD,∴四边形
ABCD是平行四边形,∴AB=CD,BC∥AD,∠BAD=∠BCD,故选
项A,B,D结论一定成立,不符合题意;
∵BC∥AD,∴∠BAD+∠ABC=180°,故选项C结论不一定成立,符合题意.故选C.
2.(2025江苏宿迁期中改编)汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍
视线的雨雪和尘土的重要工具,通常两个雨刮器的刷片长度相
同,即AB=CD.某时刻汽车雨刮器的位置如图所示,此时∠ABE
=∠C<90°,下列说法错误的是 ( )
A.四边形ABCD是平行四边形 B.∠A=∠D
B
C.AD=BC D.AD∥BC
解析 ∵∠ABE=∠C,∴AB∥CD,又∵AB=CD,∴四边形
ABCD是平行四边形,∴∠A+∠D=180°,AD=BC,AD∥BC,
∵∠C<90°,∴∠A<90°,∴∠D>90°,∴∠A≠∠D.
故选项A,C,D说法正确,选项B说法错误,故选B.
3.【新考向·条件开放题】(2024湖北武汉中考)如图,
在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)连结EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是
平行四边形.(不需要说明理由)
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=
BC,∠B=∠D.∵AF=CE,∴AD-AF=BC-CE,∴DF=BE,在△ABE
与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)可添加BE=CE.(答案不唯一)
4.(2024浙江中考)尺规作图问题:如图1,点E是 ABCD的边AD
上一点(不包含A,D),连结CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一
点.以下是两位同学的作法:
小明:如图2,以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连结
AF,则AF∥CE.
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则
AF∥CE.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦……我明白了!
(1)在图2中求证:AF∥CE.
(2)指出小丽作法中存在的问题.
解析 (1)证明:根据小明的作法可知CF=AE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
又∵CF=AE,
∴四边形AFCE是平行四边形,∴AF∥CE.
(2)当以点A为圆心,CE长为半径画弧时,与BC的交点可能有两
个,只有其中之一符合题意.故小丽的作法有问题.
5.【学科特色·教材变式】(2025湖南衡阳衡东一中期中)如图,
E,F是 ABCD的对角线AC上的两点,且BE⊥AC,DF⊥AC,连
结ED,FB.
(1)求证:AE=CF.
(2)连结BD交AC于点O,若BE=8,EF=12,求BD的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=
CD,∴∠BAE=∠DCF,∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=
90°,在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF
(AAS),∴AE=CF.
(2)由△ABE≌△CDF得BE=DF,∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴BE∥
DF,∴四边形BEDF为平行四边形,∴OB=OD,OE=OF= EF=6,
∵BE⊥AC,∴∠BEO=90°,∴OB= = =10,∴
BD=2OB=20.
6.【新考向·尺规作图】(2025河北石家庄模拟,★★☆)现有一
张平行四边形纸片ABCD,AD>AB,要求用尺规作图的方法在
边BC,AD上分别找点M,N,使得四边形AMCN为平行四边形,
甲、乙两位同学的作法如图所示,下列判断正确的是 ( )
C
A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
解析 甲:由题图可知BM=BA,DN=DC,∵四边形ABCD是平行
四边形,∴AB=CD,AD∥BC,∴BM=DN,∴CM=AN,∴四边形
ANCM是平行四边形;
乙:由作图可知,AM平分∠BAD,CN平分∠BCD,∴∠BAM=
∠DAM= ∠BAD,∠BCN=∠DCN= ∠BCD,∵四边形ABCD是
平行四边形,∴AD∥BC,∠BAD=∠BCD,∴∠DAM=∠BMA,
∠DAM=∠BCN,∴∠BMA=∠BCN,∴AM∥CN,
∵AN∥CM,∴四边形ANCM是平行四边形.
故甲、乙两位同学的作法都对.故选C.
7.(★★☆)如图,AD是△ABC的中线,AE∥BC,BE交AD于点F,
交AC于点G,点F是AD的中点.
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形.
(2)若EB平分∠AEC,请写出图中所有与AE相等的线段,并说明
理由.
解析 (1)证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,
∵点F是AD的中点,∴AF=DF,
∵AE∥BC,∴∠AEF=∠DBF,
在△AFE和△DFB中,
∴△AFE≌△DFB(AAS),∴AE=BD,∴AE=CD,
∵AE∥BC,∴四边形ADCE是平行四边形.
(2)题图中与AE相等的线段有AF,DF,BD,DC.
理由:由(1)可得AE=BD=CD,∵EB平分∠AEC,
∴∠AEF=∠CEF,易知AD∥EC,∴∠CEF=∠AFE,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∵△AFE≌△DFB,
∴AF=DF,∴AE=AF=DF=CD=BD.
8.【新课标·推理能力】(2025四川达州月考)在学行四
边形的概念及边、角性质后,进一步得到平行四边形对角线
的性质:平行四边形的对角线互相平分.
(1)如图1,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,求
证:OA=OC,OB=OD.
(2)在△ABC中,点P为BC的中点,延长AB到D,使得BD=AC,延
长AC到E,使得CE=AB,连结DE,BE,如图2,若∠BAC=60°,请你
探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的结论,并加以
证明.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC,
∴△OAD≌△OCB(ASA),∴OA=OC,OB=OD.
(2)BE=2AP,证明如下:
如图,过点B作BH∥AE交DE于H,连结PH,CH,
∴∠DBH=∠BAC=60°,∵AB=CE,AC=BD,∴AB+BD=AC+CE,
即AD=AE,∴△ADE是等边三角形,∴∠D=60°,DE=DA,∴△
DBH是等边三角形,∴BH=BD=DH,∴BH=AC,又∵BH∥AC,
∴四边形ABHC是平行四边形,∴AH,BC互相平分,∵点P为BC
的中点,∴A,P,H三点共线,∴AH=2AP,
在△ADH和△EDB中,
∴△ADH≌△EDB(SAS),∴BE=AH,∴BE=2AP.(共20张PPT)
第17章 平行四边形
17.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
两条平行线之间的距离
1.(2025河北邢台期中)如图,a,b是两条平行线,则端点分别在a,
b上,且长度等于这两条平行线间的距离的线段有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
D
解析 根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂
线,垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离,可知选D.
2.【学科特色·教材变式】如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,连
结AC,则图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析 ∵AB∥DC,∴△ABC与△ABD的面积相等,
∵AE∥BD,∴△BDE与△ABD的面积相等.
综上,和△ABD面积相等的三角形有△ABC,△BDE,共2个.故
选B.
平行四边形对角线的性质
3.(2024贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
则下列结论一定正确的是 ( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
B
解析 平行四边形的对边相等,对角线互相平分,故可以确定
AD=BC一定正确.故选B.
4.(2025海南海口期中)如图, ABCD的对角线AC和BD相交于
点O,如果△AOB的周长为15,AB的长为6,那么AC+BD= ( )
A.9 B.12 C.18 D.21
C
解析 ∵△AOB的周长为15,AB=6,∴OA+OB=9.∵平行四边
形的对角线互相平分,∴OA=OC,OB=OD,∴AC+BD=2(OA+
OB)=18.故选C.
5.【学科特色·转化思想】(2025吉林长春德惠期中)如图,在
ABCD中,AC,BD相交于点O,若AB=8 cm,AD=10 cm,则△AOD
与△AOB的周长差为 ( )
A.4 cm B.3 cm
C
C.2 cm D.1 cm
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,∴OB
=OD.∵AB=8 cm,AD=10 cm,∴△AOD与△AOB的周长差=OA
+OD+AD-(OA+OB+AB)=AD-AB=2 cm.故选C.
6.(2025河南鹤壁期中)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相
交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8.求OB的长度及 ABCD的面
积.
解析 ∵BD⊥AD,AB=10,AD=8,
∴BD= = =6.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB= BD=3,S ABCD=6×8=48.
7.(2025山西晋城期中)如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD
的交点,AE平分∠BAO,AE与BD交于点E,CF平分∠DCO,CF与
BD交于点F,求证:OE=OF.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
∵AE平分∠BAO,CF平分∠DCO,
∴∠EAO= ∠BAO= ∠DCO=∠FCO,
∵∠AOB=∠COD,∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
8.(2025贵州贵阳模拟,★★☆)已知在平行四边形ABCD中,AC
=6,E是AD上一点,△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的
一半,且EC=4,连结EO,则EO的长为 ( )
A.3 B.5 C. D.
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC,BD互相平分,∴O
是AC的中点.∴OA=OC= AC=3,∵△DCE的周长是平行四边
形ABCD周长的一半,∴△DCE的周长=CD+CE+DE=CD+AD,
∴CE+DE=AD,∵AE+DE=AD,∴AE=CE,∴OE垂直平分AC,∵
AE=EC=4,OA=3,∴EO= = = .故选D.
9.(2025河南南阳邓州期末,★★☆)如图,在 ABCD中,对角线
AC,BD相交于点O,AB⊥AC,垂足为点A,EF过点O,交AD于点F,
交BC于点E.若AB=6,BC=10,则图中阴影部分的面积是______.
24
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AD∥BC,AB
∥CD,∴∠OAF=∠OCE,∠AFO=∠CEO,∴△AOF≌△COE
(AAS),∴△AOF的面积=△COE的面积,∴阴影部分的面积=
△DBC的面积,∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∵AB=6,BC=10,∴
AC= =8,∴△ABC的面积= AB·AC= ×6×8=24,
∵AD∥BC,∴△DBC的面积=△ABC的面积=24.∴题图中阴影
部分的面积为24.
10.(2025河南南阳期中,★★☆)如图, ABCD的对角线AC,BD
相交于点O,EF过点O且与BA的延长线交于点E,与DC的延长
线交于点F,连结BF.
(1)求证:AE=CF.
(2)若BE=4.6,OA=1.7,BF=3.1,求四边形BACF的周长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD
相交于点O,
∴AB∥CD,OA=OC,∴∠E=∠OFC,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF.
(2)易知OA=OC=1.7,∴AC=OA+OC=1.7+1.7=3.4,∵AE=CF,BE
=4.6,∴AB+CF=AB+AE=BE=4.6,∵BF=3.1,∴AB+CF+AC+BF
=4.6+3.4+3.1=11.1,∴四边形BACF的周长为11.1.
11.【新课标·推理能力】(2025河南商丘期末改编)【问题情
境】
定义:如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对
角线长的3倍,那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”.
【数学思考】
如图1,在 ABCD中,若AB=BC= ,AC=4,AC⊥BD,试判断
ABCD是不是“倍线平行四边形”,并说明理由.
【深入探究】
如图2, ABCD为“倍线平行四边形”(BD>AC),AC⊥AB,AB
= ,求BD的长.
解析 【数学思考】
ABCD是“倍线平行四边形”,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC= AC= ×4=2,BD=
2OB,∵AC⊥BD,∴∠AOB=90°,∴OB= =6,∴BD=12,
∵AC=4,∴BD=3AC,∴ ABCD是“倍线平行四边形”.
【深入探究】
∵ ABCD是“倍线平行四边形”,∴BD=3AC,OB= BD,OA=
AC,∴BO=3AO,∵AC⊥AB,∴∠BAO=90°,∴OB2-AO2=AB2,
9AO2-AO2=( )2,∴OA=1(负值舍去),∴AC=2,∴BD=6.
∴(共32张PPT)
第17章 平行四边形
17.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
平行四边形的定义
1.(2025黑龙江哈尔滨期中)如图所示,在△ABC中,D,E,F分别
是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中共有
_______个平行四边形. ( )
A.1 B.2 C.3 D.4`
C
解析 根据平行四边形的定义可得四边形ADEF,四边形
BDFE,四边形DECF是平行四边形,所以题图中共有3个平行
四边形.故选C.
平行四边形的性质
2.【学科特色·教材变式】(2025福建泉州期中)在 ABCD中,
若∠A∶∠B=1∶2,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠B=180°,∠A=
∠C,∵∠A∶∠B=1∶2,∴∠A= ×180°=60°,∴∠C=60°.故选C.
3.(2025重庆万州期末)如图,四边形ABCD为平行四边形,E为
BC延长线上一点,若∠B+∠D=110°,则∠DCE的度数为 ( )
A.70° B.65°
C
C.55° D.50°
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AD∥BC,
∴∠DCE=∠D.
∵∠B+∠D=110°,∴∠B=∠D=55°,∴∠DCE=55°.故选C.
4.【学科特色·教材变式】已知平行四边形的周长为24,相邻
两边长的差为2,则该平行四边形的各边长分别为 ( )
A.4,8,4,8 B.5,7,5,7
C.5.5,6.5,5.5,6.5 D.13,11,13,11
B
解析 设两邻边长分别为x(较长边长),y(较短边长),由题意可
得 解得
∴该平行四边形的各边长分别为5,7,5,7.故选B.
5.(2025福建龙岩期末)如图,在 ABCD中,DE平分∠ADC,∠A
=130°,∠BCF=∠CDE,则∠BFC的度数是 ( )
A.95° B.100°
C.105° D.110°
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠BCD,∠A+∠
ADC=180°,AB∥CD,∴∠BFC=∠FCD,∵∠A=130°,∴∠BCD
=130°,∠ADC=50°,∵DE平分∠ADC,∴∠CDE= ∠ADC=
25°,
∵∠BCF=∠CDE,∴∠BCF=25°,∴∠BFC=∠FCD=∠BCD-
∠BCF=130°-25°=105°,故选C.
6.(2025河南南阳期末)如图,在 ABCD中,AB=2AD,E为AB的
中点,∠A=60°,若BC=1,则BD的长为 ( )
A.1 B. C.1.5 D.
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=2AD,BC=1,
∴AD= AB,AD=BC=1,∴AB=2AD=2,∵E为AB的中点,∴AE=BE= AB,∴AD=AE,∵∠A=60°,∴△ADE是等边三角形,
∴DE=AE=BE,∠ADE=∠AED=60°,∴∠EBD=∠EDB,
∵∠AED=∠EDB+∠EBD=2∠EDB=60°,∴∠EDB=30°,
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=90°,
∴BD= = = ,故选D.
7.(2025吉林长春期末)如图,在 ABCD中,已知E为BC的中点,
连结AE并延长交DC的延长线于点F,连结BF.求证:AB=CF.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DF.
∴∠BAF=∠CFA.
∵E为BC的中点,∴BE=CE.
在△AEB和△FEC中,
∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=CF.
8.(2025云南文山州期末)如图,在平行四边形EFGH中,EM⊥
FH,GN⊥FH,求证:EM=NG.
证明 ∵四边形EFGH是平行四边形,
∴EF=GH,EF∥GH,∴∠EFM=∠GHN,
∵EM⊥FH,GN⊥FH,∴∠EMF=∠GNH=90°,
在△EMF和△GNH中,
∴△EMF≌△GNH(AAS),∴EM=NG.
方法点拨 证明线段相等时,通常利用平行四边形的性质,将
其转化为证三角形全等.
9.(2025四川宜宾中考)如图,点E是平行四边形ABCD的边CD
的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5.
求证:△ADE≌△FCE,并求BF的长.
解析 证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD=5,∴∠D=∠FCE,
∵E是CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA).
∴FC=AD=5,∴BF=BC+FC=5+5=10.
10.(2025四川成都青羊月考,★★☆)将一张平行四边形的纸
片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积.则这样的折
纸方法共有 ( )
A.1种 B.2种 C.4种 D.无数种
D
解析 因为平行四边形是中心对称图形,且任意一条过平行
四边形对角线交点的直线都平分该平行四边形的面积,所以
这样的折纸方法共有无数种.故选D.
11.(2025四川宜宾期中,★★☆)如图,平行四边形ABCD的顶点
A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶点D的坐标是 ( )
A.(-4,-1) B.(4,-2)
C
C.(4,1) D.(2,1)
解析 ∵平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),
(-2,-2),(2,-2),∴AD=BC=2-(-2)=4,∵BC∥x轴,AD∥BC,∴AD∥x
轴,∴点D的坐标为(4,1),故选C.
12.(2025重庆一中月考,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,
AM⊥BC于点M,AN⊥CD于点N,若平行四边形ABCD的周长为
22,且AM=4,AN= ,则平行四边形ABCD的面积为 ( )
A.48 B.36 C.24 D.12
C
解析 如图,连结AC,
∵四边形ABCD是平行四边形,且它的周长为22,∴AD∥BC,
AD=BC,AB=CD,且AB+BC+CD+AD=22,∴2BC+2CD=22,∴BC
+CD=11,∵AM⊥BC于点M,AN⊥CD于点N,∴S△ABC= BC·AM=
AD·AM,S△ADC= CD·AN= AD·AM,∴S△ABC=S△ADC,∵AM=4,AN
= ,BC=11-CD,∴ ×4(11-CD)= × CD,解得CD=5,∴S ABCD
=5× =24,故选C.
13.【学科特色·易错题】(★★☆)四边形ABCD是平行四边形,
AB=6,∠BAD的平分线交直线BC于点E,若CE=2,则 ABCD的
周长为_____________.
20或28
解析 当点E在线段BC上时,如图1,∵四边形ABCD为平行四
边形,∴BC∥AD,∴∠BEA=∠EAD,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE
=∠EAD,∴∠BEA=∠BAE,∴BE=AB,∵AB=6,∴BE=6,∵CE=
2,∴BC=BE+CE=6+2=8,∴平行四边形ABCD的周长为2×(6+8)
=28;
当点E在线段BC的延长线上时,如图2,∵四边形ABCD为平行
四边形,∴BC∥AD,∴∠BEA=∠EAD,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD,∴∠BEA=∠BAE,∴BE=AB,∵AB=6,∴BE=6,
∵CE=2,∴BC=BE-CE=6-2=4,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(6+4)=20.
综上所述,平行四边形ABCD的周长为20或28.
易错警示 对于没有给出具体图形的几何题,通常情况下,需
要根据题意画出图形进行解答,在画图的时候要充分考虑图
形的多样性.本题容易漏掉点E在BC的延长线上的情况.
14.(2025江西吉安期末改编,★★☆)如图,四边形ABCD为平行
四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD.
(2)连结BF,若BF⊥AE,∠BAE=60°,AB=2,求 ABCD的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,
∴∠AEB=∠DAE,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD.
(2)∵AB=BE,∠BAE=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=2,
∵BF⊥AE,∴AF=EF=1,
∴BF= = = ,
∵AD∥BC,∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E,
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(AAS),
∴△ADF的面积=△ECF的面积,
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AE·BF= ×2×
= .
15.【新课标·推理能力】如图,在 ABCD中,E是AD边的中点,
连结BE并延长交CD的延长线于点F.已知AB=2,∠A=120°,BF
= ,BC=3,则CF=_________,S ABCD=___________(结果保留1位小数).
(参考数据: ≈3.46, ≈3.74)
5.2
4
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,CD=AB=2,
∴∠DFE=∠ABE,∵E是AD边的中点,∴DE=AE,在△DEF和
△AEB中, ∴△DEF≌△AEB(AAS),∴FD=AB
=2,S△DEF=S△AEB,∴CF=CD+FD=4,
如图,作FH⊥BC交BC的延长线于点H,则∠H=90°,设CH的长
为a,则( )2-(3+a)2=42-a2,解得a=2,∴FH= = ,
∴S ABCD=S△AEB+S四边形DCBE=S△DEF+S四边形DCBE=S△BCF= BC·FH= ×3×
≈5.2.
