(共32张PPT)
第8章 四边形
第5课时 正方形
8.2 特殊的平行四边形
正方形的概念与判定
1.(2025广东东莞三模)小琦在复习几种特殊四边形的关系时
整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误
的是 ( )
D
A.(1)处可填∠A=90°
B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填DC=CB
D.(4)处可填∠B=∠D
解析 有一个角是直角的平行四边形是矩形,∴(1)处可填∠A
=90°;有一组邻边相等的矩形是正方形,∴(2)处可填AD=AB;
有一组邻边相等的平行四边形是菱形,∴(3)处可填DC=CB;有
一个角是直角的菱形是正方形,但由∠B=∠D无法判断两个
角是不是直角,∴(4)处不可以填∠B=∠D.故选D.
2.(2025四川乐山中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形,现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是____________________________(只需填一种组合即可).
①②或①③(填一种组合即可)
解析 若选①②,理由:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥
BD,∴四边形ABCD是菱形,∵AC=BD,∴菱形ABCD是正方形.
若选①③,理由:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四
边形ABCD是菱形,∵∠ADC=90°,∴菱形ABCD是正方形.故答
案为①②或①③.(填一种组合即可)
3.(2025广东珠海期末)如图,已知菱形ABCD的对角线交于
点O,E,F是对角线BD所在直线上的两点,连接AE,CE,AF,CF,
得到四边形AECF,若∠AED=45°,DF=BE,求证:四边形AECF
是正方形.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,
∴BO=DO,AO=CO,AC⊥BD,
∵BE=DF,∴BE+BO=DF+DO,
∴FO=EO,∴EF与AC互相垂直平分,
∴四边形AECF是菱形,∴∠AEF=∠CEF,
又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°,
∴菱形AECF是正方形.
正方形的性质
4.(2025江苏南通启东期中)如图,在边长为3的正方形ABCD中,
点E在边BC上,以点D为圆心,DC长为半径画弧,交线段DE于
点F.若EF=EB,则CE的长为 ( )
A.2 B. C. D.
D
解析 ∵正方形ABCD的边长为3,
∴CD=CB=3,∠BCD=90°,
由作图可知,DF=DC=3,
设EF=EB=x,则DE=3+x,CE=3-x,
∵在Rt△CDE中,CE2+CD2=DE2,
∴(3-x)2+32=(3+x)2,解得x= ,
∴CE=3-x=3- = .故选D.
5.【学科特色·教材变式】【学科特色·十字架模型】如图,已
知点E,F分别是正方形ABCD的边AD,CD上的点,且AE=DF,连
接BE,AF,交点为G,则BE与AF的数量与位置关系是__________
_________.
BE⊥AF
BE=AF,
解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAE=∠D=90°,
在△BAE和△ADF中, ,
∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF,∠BEA=∠AFD,
∵∠AFD+∠FAD=90°,∴∠BEA+∠FAD=90°,
∴∠AGE=90°,∴BE⊥AF.故答案为BE=AF,BE⊥AF.
6.(2024江苏徐州中考)如图,四边形ABCD为正方形,点E在BD
的延长线上,连接EA,EC.
(1)求证:△EAB≌△ECB.
(2)若∠AEC=45°,求证:DC=DE.
证明 (1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°,
又∵BE=BE,∴△EAB≌△ECB(SAS).
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴∠BDC=45°,
∵△EAB≌△ECB,∠AEC=45°,
∴∠CED=∠AED= ∠AEC=22.5°,
∵∠BDC=∠CED+∠DCE=45°,
∴∠DCE=45°-22.5°=22.5°,
∴∠CED=∠DCE,∴DC=DE.
7.(2025江苏无锡宜兴期中,★★☆)如图所示的是由四个全等
的直角三角形拼成的图形,设CE=a,HG=b,则四边形ABDF的
面积是 ( )
A. B. C.(a+b)2 D.(a-b)2
B
解析 ∵题图是由四个全等的直角三角形拼成的图形,∴AB=
BD=DF=AF,AH=CD=EF=FG,AG=BH=BC=DE,且∠BAF=90°,
∴四边形ABDF是正方形,
设CD=m,BC=n,则 整理得
∴BD2=BC2+CD2=n2+m2= + = ,
∴四边形ABDF的面积是 .故选B.
8.【学科特色·一线三等角模型】(2024江苏南京期末,★★☆)
如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角,且E,A,
B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是_________.
8
解析 ∵四边形ACDF是正方形,∴AC=FA,∠CAF=90°,∴∠
CAE+∠FAB=90°,∵∠CEA=90°,
∴∠CAE+∠ACE=90°,∴∠ACE=∠FAB,
又∵∠AEC=∠FBA=90°,∴△AEC≌△FBA(AAS),
∴CE=AB=4,∴S阴影= AB·CE=8,故答案为8.
方法解读 当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角或直角
或钝角),且有一组边相等时,考虑用“一线三等角模型”.如
图,点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3=90°,且AP=BD(或AC=BP或
CP=PD),则△APC≌△BDP.
9.(2025山东济南期末,★★☆)如图,在正方形ABCD中,点O是
对角线AC,BD的交点,过点O作射线OM,ON分别交BC,CD于点
E,F,且∠EOF=90°.有下列结论:①△DOF≌△COE;②CF=BE;
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ;④DF2+BE2=
OE2.其中正确的是________(填序号).
①②③
解析 ∵四边形ABCD为正方形,∴CD=BC,OD=OC,∠COD=
90°,∠ODF=∠OCE=45°,
又∵∠EOF=90°,∴∠COD=∠EOF,∴∠DOF=∠COE,
∴△DOF≌△COE(ASA),故①正确;
∵△DOF≌△COE,∴DF=CE,
∵CD=BC,∴CD-DF=BC-CE,即CF=BE,故②正确;
∵△DOF≌△COE,∴S四边形CEOF=S△COD,
∵四边形ABCD为正方形,∴S△COD= S正方形ABCD,
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ,故③正确;
如图,过点O作OK⊥CD,OH⊥BC,分别交CD,BC于点K,H,
由题意可得OK=OH=DK=CK=CH=BH,∵DF=CE,
∴FK=HE,
设OK=OH=DK=CK=CH=BH=m,FK=HE=n,
则DF=m-n,BE=m+n,
∴DF2+BE2=(m-n)2+(m+n)2=2(m2+n2),OE2=OH2+HE2=m2+n2,
∴DF2+BE2=2OE2,故④错误.故答案为①②③.
10.(2025江苏无锡江阴期中,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AD
=6,CD=8,菱形EHQP的三个顶点E,H,Q分别在矩形ABCD的边
AB,BC,CD上,BH=2,连接DP.
(1)若CQ=2,求证:四边形EHQP为正方形.
解析 (1)证明:如图1,∵四边形ABCD是矩形,AD=6,CD=8,∴
BC=AD=6,AB=CD=8,∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,
∵BH=2,CQ=2,∴BH=CQ,
∵四边形EHQP是菱形,∴EH=HQ,
∴Rt△BHE≌Rt△CQH(HL),∴∠BEH=∠CHQ,
∵∠BEH+∠BHE=90°,∴∠CHQ+∠BHE=90°,
∴∠EHQ=180°-(∠CHQ+∠BHE)=90°,
∴菱形EHQP是正方形.
图1 图2
(2)如图2,过点P作PF⊥CD于点F,
∴∠PFQ=∠C=90°,∵CD=8,DQ=6,∴CQ=2,
由(1)可知,此时菱形EHQP是正方形,
∴∠PQH=90°,PQ=QH,∴∠PQF+∠HQC=90°,
又∵∠QHC+∠HQC=90°,∴∠PQF=∠QHC,
∴△PQF≌△QHC(AAS),∴PF=CQ=2,
∴S△PDQ= DQ·PF= ×6×2=6.
11.【新课标·几何直观】【新考向·操作实践题】综合与实践
课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活
动,有一位同学的操作过程如下:
操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,
把纸片展平;
操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点
M处,把纸片展平,连接PM,BM,延长PM交CD于点Q,连接BQ.
(1)如图1,当点M在EF上时,∠EMB=_______度.
(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图2,判断∠
MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.
图1 图2
解析 (1)30.
详解:如图,连接AM,
由操作可知,BM=AB,EF垂直平分AB,
∴AM=BM=AB,∴△ABM是等边三角形,∴∠AMB=60°,
∵EM⊥AB,∴ME平分∠AMB,∴∠EMB= ∠AMB=30°.故答
案为30.
(2)∠MBQ=∠CBQ.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BAD=∠C=90°.
由折叠可得AB=BM,∠BAD=∠BMP=90°,
∴BM=BC,∠BMQ=∠C=90°.
又∵BQ=BQ,
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),∴∠MBQ=∠CBQ.(共37张PPT)
第8章 四边形
8.4 梯形
梯形及其相关概念
1.【新考向·操作实践题】在如图所示的点图(横、竖相邻两
点之间的距离为1 cm)中有一个矩形,沿虚线将矩形剪成两部
分,这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的
是 ( )
D
解析 A.不能拼成三角形和梯形,不符合题意;B.不能拼成梯
形,不符合题意;C.不能拼成三角形,不符合题意;D.既能拼成平
行四边形,又能拼成三角形和梯形,符合题意.故选D.
2.(2025福建福州闽清期中)如图,两个完全相同的直角梯形重
叠在一起,将其中一个直角梯形沿AB的方向平移,点A,B的对
应点分别为E,H,根据图中所标数据,可得阴影部分的面积为
( )
C
A.75 B.100 C.105 D.120
解析 由平移的性质可知,BM∥HG,BC=HG=20,
∴BM=20-5=15,
由题意可知,S梯形ABCD=S梯形EHGF,
∴S梯形ABCD-S梯形EBMF=S梯形EHGF-S梯形EBMF,
∴S阴影部分=S梯形BHGM= ×(15+20)×6=105.故选C.
3.(2025上海嘉定二模)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对
角线AC,BD相交于点O,下列结论一定成立的是 ( )
A.∠CAB=∠CBA B.∠DAB=∠ABC
C.∠AOD=∠DAB D.∠OAD=∠ODA
D
解析 ∵四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,
∴AB=CD,AC=BD,
在△ABD和△DCA中,
∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠BDA=∠CAD,
∴结论一定成立的是∠OAD=∠ODA.故选D.
4.(2025江苏苏州姑苏月考)如图,梯形ABCD中,DC∥AB,AD=
BC,AC平分∠DAB,∠DCA=30°,DC=3 cm,则∠BCA=_____°,
梯形ABCD的周长为______cm.
15
90
解析 ∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,
∵DC∥AB,∴∠DAC=∠CAB=∠DCA=30°,∠D+∠DAB=180°,
∴AD=DC=3 cm,∠B=∠DAB=2∠DCA=60°,
∴∠ACB=90°,
∵AD=BC,∴CB=3 cm,∴AB=2BC=6 cm,
∴梯形ABCD的周长为3+3+3+6=15(cm).
故答案为90;15.
梯形、三角形和平行四边形之间的关系
5.(2025江苏南通通州期中)一个直角梯形,下底长是12分米,如
果把下底缩短4分米,就变成了一个正方形,则原来直角梯形的
面积是__________平方分米.
80
解析 由题意得,直角梯形的上底长为12-4=8(分米),高是8分
米,∴原来直角梯形的面积是(8+12)×8÷2=80(平方分米).故答
案为80.
6.(2025广东汕头潮阳开学测试)如图,已知 ABCD的面积为4
0 cm2,那么图中阴影部分的面积是_____cm2,整个梯形ABED
的面积和阴影部分的面积之比是_____.
5∶1
10
解析 ∵ ABCD的面积为40 cm2,AD=8 cm,
∴BC边上的高=40÷8=5(cm),
∴阴影部分的面积=4×5÷2=10(cm2),
∴梯形的面积=40+10=50(cm2),
∴整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积之比是50∶10=
5∶1.故答案为10;5∶1.
7.【学科特色·教材变式】(2025江苏泰州靖江三模)数学上定
义“两腰相等的梯形叫作等腰梯形”.请证明定理:同一底上
的两个内角相等的梯形是等腰梯形.
已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠DCB,求证:AB=CD.
证明 如图,过点A作AH∥DC,交BC于点H,
∴∠C=∠AHB,∵AD∥BC,∴四边形AHCD是平行四边形,∴
AH=DC,∵∠ABC=∠C,∴∠ABC=∠AHB,∴AB=AH,∴AB=CD.
8.(2025陕西西安期末,★★☆)如图,已知梯形ABCD中,BC∥
AD,AB=BC=CD= AD,点A与原点重合,点D(4,0)在x轴上,则点
C的坐标是 ( )
B
A.(3,2) B.(3, ) C.( ,2) D.(2,3)
解析 如图,过点B作BF⊥AD于点F,过点C作CE⊥AD于点E,
∵BC∥AD,∴BF=CE,四边形BCEF是矩形,∴BC=EF,
∵AB=CD,∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL),∴AF=DE,
∵BC= AD,∴AF+DE=EF=BC,∴AF=DE= EF,
∵D(4,0),∴AF=DE=1,EF=BC=AB=CD=2,
∴CE= = ,
∴点C的坐标是(3, ).
9.(2025广西柳州期末,★★☆)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥
CD,AB=6,CD=14,∠AEC是直角,CE=CB,则AE2等于 ( )
A.84 B.80 C.75 D.64
A
解析 如图,连接AC,过点A作AF⊥CD于点F,过点B作BG⊥
CD于点G,则AF=BG,FG=AB=6,DF=CG=4,∴FC=10,
在Rt△AFC中,AC2=AF2+FC2=AF2+100,
在Rt△BGC中,CB2=BG2+GC2=AF2+16,
∵CE=CB,∠AEC=90°,
∴AE2=AC2-CE2=AF2+100-(AF2+16)=84.故选A.
10.(★★☆)如图,在梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中
点,DE平分∠ADC,以下说法:①∠CDE=60°;②DE⊥AE;③AD
A.①②④ B.③④ C.①②③ D.②④
D
解析 如图,过点E作EF⊥AD于点F,则∠DFE=∠AFE=90°,∵∠B=∠C=90°,∴∠DFE=∠C,∵DE平分∠ADC,∴∠FDE=∠CDE,又∵DE=DE,∴△DEF≌△DEC(AAS),∴EF=EC,∠FED=∠CED,DF=CD,∵E是BC的中点,∴EB=EC,∴EF=EC=EB,∵∠AFE=∠B=90°,AE=AE,∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL),∴AF=AB,∠AEF=∠AEB,∴AD=DF+AF=CD+AB,故③错误;∵∠FED+∠CED+∠AEF+∠AEB=180°,∴∠FED+∠AEF=90°,即∠AED=90°,∴DE⊥AE,故②正确;∵S△DEF=S△DEC,S△AEF=S△AEB,S△DEF+S△DEC+S△AEF+S△AEB=S梯形ABCD,∴S△DEF+S△AEF= S梯形ABCD,即S△ADE=
S梯形ABCD,故④正确;根据已知条件不能证明∠CDE=60°,故①
错误.综上,正确的是②④,故选D.
11.【新考向·动点探究题】(2025江苏镇江丹阳期末,★★★)
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AD=6,BC=12,四边
形ABCD的面积等于36.
(1)求CD的长.
(2)点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度在射线BC上运
动,连接AP,设点P运动的时间为t s.当t为何值时,以点A,P,C,D
为顶点的四边形是平行四边形
解析 (1)如图1,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,
由题意得,Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),∴BE=FC.
∵AE⊥BC,DF⊥BC,AD∥BC,
∴AE∥DF,四边形AEFD为矩形,
∵AD=6,∴EF=AD=6,∵BC=12,∴BE=FC=3.
∵四边形ABCD的面积等于36,
∴ ×(6+12)·DF=36,
∴DF=4,∴CD= =5.
图1 图2
(2)①当四边形APCD为平行四边形时,如图2,
∵四边形APCD为平行四边形,
∴PC=AD=6,∴BP=BC-PC=6.
∵点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度在射线BC上运
动,∴t=6÷2=3;
②当四边形ACPD为平行四边形时,如图3,
图3
∵四边形ACPD为平行四边形,
∴PC=AD=6,∴BP=BC+PC=18,
∵点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度在射线BC上运
动,∴t=18÷2=9.
综上所述,当t为3或9时,以点A,P,C,D为顶点的四边形是平行
四边形.
12.【新课标·推理能力】(2025贵州毕节期末)如图,四边形ABCD是等腰梯形,上底CD=6 cm,过点C作CE⊥BC,且CE=BC=13 cm,连接DE.若△DCE的面积为36 cm2,则AB的长为_________cm.
30
解析 如图,过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F,过点D作
DG⊥AB于点G,过点C作CH⊥AB于点H,
∵△DCE的面积为36 cm2,CD=6 cm,
∴ ×6EF=36,解得EF=12 cm,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AG=BH,DC∥AB,∴CH=DG,
∵CE⊥BC,∴∠ECF=90°-∠BCF=∠BCH,
在△ECF和△BCH中,
∴△ECF≌△BCH(AAS),
∴BH=EF=12 cm,∴AG=12 cm,
∵DG⊥AB,CH⊥AB,DC∥AB,∴GH=CD=6 cm,
∴AB=AG+GH+BH=12+6+12=30(cm).
13.【新课标·推理能力】【学科特色·分类讨论思想】(2024
上海虹口期末)如图,已知∠ABP=90°,AB=8,点C,E在射线BP上
(点C,E不与点B重合且点C在点E的左侧),连接AC,AE,D为AC
的中点,过点C作CF∥AE,交ED的延长线于点F,连接AF.
(1)求证:四边形ABCF是梯形.
(2)如果CE=5,当△CDE为等腰三角形时,求BC的长.
解析 (1)证明:∵CF∥AE,∴∠DCF=∠DAE,
∵D为AC的中点,∴CD=AD,
在△DCF和△DAE中,
∴△DCF≌△DAE(ASA),∴CF=AE,
∴四边形AECF为平行四边形,
∴AF∥CE,即AF∥BC,∵CF∥AE,AE与AB交于点A,
∴CF与AB不平行,∴四边形ABCF是梯形.
(2)①当CD=CE=5时,如图1,
∵D为AC的中点,∴AC=2CD=10,
∵AB=8,∠ABP=90°,∴BC= =6;
图1
②当DE=CE=5时,过点F作FH⊥BP于H,如图2,
由(1)可知,四边形AECF为平行四边形,
∴EF=2DE=10,AF=CE=5,AF∥BP,
∵∠ABP=90°,FH⊥BP,∴四边形ABHF为矩形,
图2
∴BH=AF=5,FH=AB=8,∴EH= =6,
∴BC=BH+EH+CE=5+6+5=16;
③当CD=DE时,如图3,
图3
由(1)可知,四边形AECF为平行四边形,∴AC=2CD,EF=2DE,
∴AC=EF,此时平行四边形AECF为矩形,即∠AEC=90°,
∵∠ABP=90°,∴点B与点E重合,故不符合题意.
综上所述,BC的长为6或16.(共18张PPT)
第8章 四边形
第2课时 由对边的关系判定平行四边形
8.1 平行四边形
平行四边形的判定定理1
1.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,
D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,
则四边形ABCD是平行四边形,理由是____________________
_____________________
四边形是平行四边形
两组对边分别相等的
解析 根据尺规作图的过程可得AB=DC,AD=BC,∴四边形
ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理2
2.(2025江苏扬州仪征期中)根据下列四边形中所标的数据,一
定能判定为平行四边形的是 ( )
C
A B C D
解析 A.四边形的一组对边平行,另一组对边不平行,∴不能
判定该四边形是平行四边形;B.四边形的一组对边平行,另一
组对边相等,∴不能判定该四边形是平行四边形;C.四边形的
一组对边平行且相等,∴该四边形是平行四边形;D.四边形只
有一组对边相等,∴不能判定该四边形是平行四边形.故选C.
3.(2025江苏徐州期中)四边形ABCD中,已知AB∥CD,添加下
列条件后不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB=CD B.AD=BC
C.AD∥BC D.∠A+∠B=180°
B
解析 ∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),故A不符合题意;根据
AB∥CD,AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形,故B符合题意;∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形),故C不符合题意;∵∠A+∠B=
180°,∴AD∥BC,又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,故D不符合题意.故选B.
4.【学科特色·教材变式】(2025江苏南京鼓楼一模)如图,点B,
E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形.
证明 (1)∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)由(1)得△ABC≌△DEF,∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE,
又∵AB=DE,∴四边形ABED是平行四边形.
5.(2025河南平顶山汝州期末,★★☆)如图,在△ABC中,以各
边为边分别作三个等边三角形,即△BCF,△ABD,△ACE,连接
DF,EF,若AB=3,AC=4,BC=5,则下列结论:①AB⊥AC;②四边形
ADFE是平行四边形;③∠DFE=150°;④S四边形ADFE=5.其中正确
的有 ( )
B
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析 ∵32+42=52,∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°,
∴AB⊥AC,故①正确;
∵△ABD,△ACE都是等边三角形,
∴∠DAB=∠EAC=60°,
又∵∠BAC=90°,∴∠DAE=150°,
∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
∴BD=BA,BF=BC,∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°,∴∠DBF=
∠ABC,
在△DBF与△ABC中,
∴△DBF≌△ABC(SAS),∴AC=DF=AE=4,
同理可证△ABC≌△EFC(SAS),∴AB=EF=AD=3,
∴四边形ADFE是平行四边形,故②正确;
∴∠DFE=∠DAE=150°,故③正确;
∵四边形ADFE是平行四边形,
∴EF∥DA,∴∠FDA=180°-∠DFE=180°-150°=30°,
如图,过点A作AM⊥DF于点M,
∴在Rt△ADM中,AM= AD,
∴S四边形ADFE=DF·AM=DF· AD=4× ×3=6,
故④不正确.∴正确的有3个.故选B.
6.【新考向·动点探究题】(2025江苏镇江丹徒期中,★★☆)如图,在等边三角形ABC中,BC=8 cm,射线AG∥BC,点E从点A出发,沿射线AG以2 cm/s的速度运动,同时点F从点B出发,沿射线BC以4 cm/s的速度运动.设它们运动的时间为t s,则当t=_______时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
或4
解析 由题意得AE=2t cm,BF=4t cm,
①当点F在C的左侧时,CF=BC-BF=(8-4t)cm,
∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即2t=8
-4t,解得t= ;
②当点F在C的右侧时,CF=BF-BC=(4t-8)cm,
∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即2t=4
t-8,解得t=4.
综上所述,当t= 或4时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形
7.【新考向·条件开放题】(2024湖南中考,★★☆)如图,在四
边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,_____.
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选
一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
解析 (1)选择①.证明:∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②.证明:∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,
∵AB∥CD,即BE∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.(任选一种即可)
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,
∴DE=BC=10,
∵AD⊥AB,∴∠A=90°,
∴AE= = =6,
即线段AE的长为6.(共33张PPT)
第8章 四边形
第2课时 矩形的判定
8.2 特殊的平行四边形
矩形的判定
1.【新考向·数学文化】(2025湖南长沙雅礼教育集团期中)我
国古代有“不以规矩,不成方圆”的说法,人们把“规矩”当
作几何名词,“规”是圆,“矩”是方,所以初中以后就把长方
形称为比较专业的“矩形”.木艺活动课上,小明用四根细木
条搭成如图所示的一个四边形,现要判断这个四边形是不是
矩形,以下测量方案正确的是 ( )
A
A.测量是否有三个角是直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直
解析 根据三个角是直角的四边形是矩形可知A选项正确.
2.(2024四川泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列
条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 ( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
D
解析 根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可知A能
够判定;由 ABCD得AB∥CD,则∠B+∠C=180°,∵∠B=∠C,
∴∠B=∠C=90°,故B能够判定;根据对角线相等的平行四边形
是矩形可得C能够判定.故选D.
3.【新考向·条件开放题】(2025江苏无锡江阴模拟)如图,
ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F在AC上,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)请你添加一个条件,使四边形EBFD是矩形,并证明.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)答案不唯一.比如:添加条件BD=EF,
证明:由(1)知△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD,
∴∠BEO=∠DFO,∴BE∥DF,
∴四边形EBFD是平行四边形,
∵BD=EF,∴平行四边形EBFD是矩形.
4.(2025江苏扬州一模)如图,在 ABCD中,DE⊥BC于点E,延长
CB至点F,使得BF=CE,连接AF,DF.
(1)求证:四边形ADEF是矩形.
(2)若AB=3,DF=4,DF⊥CD,求DE的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵BF=CE,∴BF+BE=CE+BE,即EF=BC,∴EF=AD,
又∵EF∥AD,∴四边形ADEF是平行四边形.
∵DE⊥BC,∴∠DEF=90°,
∴四边形ADEF是矩形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=3,
∵DF=4,∴CF= =5,
∵DF⊥CD,∴∠CDF=90°.
∴S△CDF= DF×CD= CF×DE,
即 ×4×3= ×5×DE,解得DE= .
两条平行线之间的距离
5.如图,直线AB∥CD,P是直线AB上的动点,当点P的位置变化
时,三角形PCD的面积 ( )
C
A.变小 B.变大
C.不变 D.和点P的位置有关
解析 设平行线AB,CD间的距离为h,则S△PCD= CD·h,∵CD的
长度不变,h的大小不变,∴三角形PCD的面积不变.故选C.
6.(2025江苏无锡江阴期中)如图,在 ABCD中,E,F为对角线
AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形.
(2)若DE=3,EF=4,DF=5,求EB,DF两平行线之间的距离.
解析 (1)证明:如图,连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,OA=OC,
∵AE=CF,∴OE=OF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
(2)∵DE=3,EF=4,DF=5,
∴DE2+EF2=32+42=25=DF2,∴DE⊥EF.
如图,过点E作EG⊥DF于点G,
则S DEBF=DE·EF=DF·EG,即3×4=5EG,
解得EG=2.4.
∴EB,DF两平行线之间的距离为2.4.
7.(2025甘肃酒泉期末,★★☆)已知四边形ABCD的对角线AC,
BD交于点O,以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是
( )
A.AB=CD,AD=BC,∠A=90°
B.OA=OB=OC=OD,AC=BD
C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD
D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD
D
解析 ∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠
A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,故A不符合题意;∵OA=OB
=OC=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四
边形ABCD是矩形,故B不符合题意;∵AB=CD,AB∥CD,∴四
边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩
形,故C不符合题意;∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平
行四边形,根据OA=OC,OB=OD不能推出平行四边形ABCD是
矩形,故D符合题意.故选D.
8.(2024西藏中考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,
BC=5,点P是边AB上任意一点,过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足
分别为点D,E,连接DE,则DE的最小值是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 如图,连接CP,过点C作CQ⊥AB于点Q,
∵PD⊥AC,PE⊥BC,
∴∠PDC=∠PEC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴四边形PDCE是矩形,∴DE=CP,
∴CP取得最小值时,DE取得最小值,
根据“垂线段最短”可知CP≥CQ,
∴当P,Q重合时,CP取得最小值,为CQ的长,
∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,∴AB= =13,
∴S△ABC= ×13CQ= ×12×5,解得CQ= .
∴DE的最小值是 .故选B.
9.(2025北京海淀期中,★★☆)如图,A,B为5×5的正方形网格中
的两个格点,称四个顶点都在格点上的矩形为格点矩形,在此
图中以A,B为顶点的格点矩形共可以画出_________个.
4
解析 如图,共可以画出以下4个格点矩形.
10.【新考向·动点探究题】(2025江苏南通通州期中,★★☆)
如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E
以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动,同时点
F从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿CA方向运动,若AC
=12,BD=8,则经过____________秒,四边形BEDF是矩形.
2或10
解析 设运动的时间为t秒,则AE=CF=t,
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,
∴OA=OC=6,OB=OD=4,
∴OE=OF=6-t或OE=OF=t-6,
∴四边形BEDF是平行四边形,
当EF=BD时,四边形BEDF是矩形,
∴OE=OD=4,∴6-t=4或t-6=4,解得t=2或t=10,
∴经过2秒或10秒,四边形BEDF是矩形.
11.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)如图,在四边形ABCD中,
对角线AC与BD相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于点E,
DF⊥AC于点F,且BE=DF.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AB=BO,当∠ABE等于多少度时,四边形ABCD是矩形
解析 (1)证明:∵∠ABD=∠CDB,
∴AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)当∠ABE=30°时,四边形ABCD是矩形.理由:
∵AB=BO,BE⊥AO,∴∠ABO=2∠ABE=60°,
∴△ABO是等边三角形,∴AO=BO,
由(1)知四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO,BD=2BO,∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
12.【新课标·推理能力】【新考向·动点探究题】(2025江苏
无锡江阴月考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=4,BC=8,
AD=6,∠B=90°,点M从点B出发,以每秒 个单位长度的速度沿
BC向右运动,移动到点C时立即沿原路按原速度返回,点N从
点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段DA向左运动.M,N
两点同时出发,当点N运动到点A时,M,N两点同时停止运动,设
运动时间为t秒.
(1)当t=_______时,四边形ABMN为矩形.
(2)在整个运动过程中,t为何值时,以C,D,M,N为顶点的四边形
是平行四边形
解析 (1) .
详解:∵AD∥BC,∠B=90°,
∴当AN=BM时,四边形ABMN为矩形,
由题意知,AN=AD-DN=6-t(0≤t≤6),
①当点M从点B向点C运动时,BM= t,
令6-t= t,解得t= ;
②当点M从点C返回点B时,
BM=8- =16- t,令6-t=16- t,解得t= (不符合题意).
∴当t= 时,四边形ABMN为矩形.
(2)∵AD∥BC,∴当DN=CM时,以C,D,M,N为顶点的四边形为
平行四边形,
由题意知,DN=t(0≤t≤6),
①当点M从点B向点C运动时,CM=8- t,
令t=8- t,解得t= ;
②当点M从点C返回点B时,CM= t-8,
令t= t-8,解得t= .
检验可知t= 和 均符合题意,∴t= 或 时,以C,D,M,N为
顶点的四边形为平行四边形.(共36张PPT)
第8章 四边形
8.3 三角形的中位线
三角形的中位线
1.(2024四川广安中考)如图,在△ABC中,D,E分别是AC,BC的
中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为 ( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
D
解析 ∵D,E分别是AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,∴∠B=∠CED=70°,∴在△ABC中,∠C=180°-∠A-
∠B=180°-45°-70°=65°.故选D.
2.(2025江苏宿迁中考)如图,在△ABC中,AB≠AC,点D,E,F分别
是边AB,AC,BC的中点,则下列结论错误的是 ( )
A.DE∥BC B.∠B=∠EFC
C.∠BAF=∠CAF D.OD=OE
C
解析 ∵点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,
∴DF,EF,DE为△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,
∴∠B=∠EFC,四边形ADFE是平行四边形,
∴OD=OE,故A,B,D结论正确,不符合题意;
∵AB≠AC,点F是边BC的中点,∴∠BAF≠∠CAF,
故C结论错误,符合题意.故选C.
3.(2025江苏南京期中)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是边
AD,BC的中点,AB=4,CD=6,则EF的取值范围是 ( )
A
A.1解析 如图,连接AC,取AC的中点H,连接EH,FH,
∵E,F分别是AD,BC的中点,AB=4,CD=6,
∴EH= CD=3,FH= AB=2,
在△EHF中,EH-FH当E,H,F三点共线时,EF=EH+FH=5,∴1故选A.
4.(2025江苏扬州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,
BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,
BC=8,则DF的长是_________.
6
解析 ∵点D,E分别是边AB,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE= AC= ×4=2,
∵∠BFC=90°,E是BC的中点,∴FE= BC= ×8=4,∴DF=DE+
FE=2+4=6.故答案为6.
5.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,BC=1
5,CD=9,EF=6,∠AFE=50°,则∠ADC=___________°.
140
解析 如图,连接BD,∵E,F分别是边AB,AD的中点,EF=6,∴
EF∥BD,BD=2EF=12,∴∠ADB=∠AFE=50°,∵在△BDC中,
BD2+CD2=122+92=225,BC2=225,则BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90
°,∴∠ADC=90°+50°=140°.
6.(2025江苏宿迁宿豫期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,
E分别在BC,AC边上,分别连接AD,BE,点M,N,H分别是边AD,
BE,AB的中点,连接MN,MH,NH.
(1)试猜想△MNH是何特殊三角形,并说明理由.
(2)若AE=4,BD=6,求线段MN的长.
解析 (1)△MNH是直角三角形.理由如下:
∵点M,N,H分别是边AD,BE,AB的中点,
∴HM∥BD,HN∥AE,
∴∠AHM=∠ABC,∠BHN=∠BAC,∴∠MHN=180°-(∠AHM+
∠BHN)=180°-(∠ABC+∠BAC),
∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠MHN=180°-90°=90°,∴△MNH是直角三角形.
(2)∵点M,N,H分别是边AD,BE,AB的中点,
∴MH= BD=3,HN= AE=2,
∵△MNH是直角三角形,且∠MHN=90°,
∴MN= = = .
中点四边形
7.若顺次连接四边形ABCD各边中点,所得的四边形是矩形,则
四边形ABCD需满足的条件是 ( )
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角线相等且互相平分
C
8.(2024江苏镇江句容期中,★★☆)如图,EF是△ABC的中位
线,O是EF上一点,且满足OE=2OF,则△ABC的面积与△AOC
的面积之比为 ( )
A.2∶1 B.3∶2 C.5∶3 D.3∶1
D
解析 ∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC,EF= BC,
∵OE=2OF,∴OE= × BC= BC,设点A到BC的距离为h,则
S△ABC= BC·h,S△AOC= OE·h= × BC·h= BC·h,∴△ABC的面积
与△AOC的面积之比=3∶1.
9.【新考向·规律探究题】(2025江苏南通海门月考,★★☆)如
图,△ABC的周长是2,以它的三边中点为顶点得到△A1B1C1,再
以△A1B1C1的三边中点为顶点,得到△A2B2C2,……,则△AnBnCn
的周长为 ( )
A. B. C. D.
A
解析 ∵A1,B1,C1分别为AB,AC,BC的中点,
∴A1B1= BC,B1C1= AB,A1C1= AC,
∴△A1B1C1的周长为2× =1,
同理可得△A2B2C2的周长为2× × = ,
……
∴△AnBnCn的周长为 .
10.(2024浙江中考,★★☆)如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC
的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为_____.
4
解析 ∵D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=4,DE∥BC,
∴∠AED=∠C,∵∠AED=∠BEC,∴∠BEC=∠C,
∴BE=BC=4.
11.【学科特色·教材变式】(2025江苏宿迁泗阳月考,★★☆)
如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中
点,若AC=BD,且EG2+HF2=16,则AC的长为_________.
4
解析 设EG和FH的交点为O(图略),
∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
∴EH,FG分别是△ABD,△CBD的中位线,EF,HG分别是△
BAC和△DAC的中位线,
∴EH= BD=FG,EF= AC=HG,
又∵AC=BD,∴EH=FG=EF=HG,
∴四边形EFGH是菱形,
∴EG⊥HF,EO= EG,OH= HF,
∴EF=EH= = = ,
∵EG2+HF2=16,∴EF= = =2,∴AC=4.故答案为4.
12.(2025江苏苏州相城月考,★★☆)在Rt△ABC中,∠ACB=90
°,点D是AB的中点,E是CA延长线上一点,且AE=AC.
(1)如图1,若BC=4,AC=2,求DE的长.
(2)如图2,点F是DE的中点,求证:BD=2AF.
解析 (1)如图1,取AC的中点K,连接DK,
∴AK= AC= ×2=1,
∵D是AB的中点,∴DK是△ABC的中位线,
∴DK= BC= ×4=2,DK∥BC,
∴∠EKD=∠C=90°,
∵AE=AC=2,∴EK=AE+AK=2+1=3,
∴在Rt△DKE中,DE= = .
图1 图2
(2)证明:如图2,连接CD,∵点F是DE的中点,AE=AC,∴AF是△
EDC的中位线,∴CD=2AF,
∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD= AB=BD,
∴BD=2AF.
13.(2024云南中考,★★☆)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H
分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB
的长.
解析 (1)证明:如图,连接AC,BD交于点O,AC交FG于点N,BD
交HG于点M,
∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵四边形EFGH是矩形,∴∠HGF=90°,
∵H,G分别是AD,DC的中点,
∴HG∥AC,HG= AC,∴∠GNC=∠HGF=90°,
∵G,F分别是DC,BC的中点,
∴GF∥BD,GF= BD,∴∠MOC=∠GNC=90°,
∴BD⊥AC,∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵矩形EFGH的周长为22,∴HG+FG=11,
∴AC+BD=22,∵四边形ABCD的面积为10,
∴ AC·BD=10,∴AC·BD=20,
∵(AC+BD)2=AC2+2AC·BD+BD2,
∴AC2+BD2=222-2×20=444,
∴AB= = = =
= .
∴AB的长为 .
14.【新课标·几何直观】(2025江苏盐城射阳月考)
(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是AD,BC的中
点,连接FE并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,求证:∠
BME=∠CNE.
(2)如图②,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E,F
分别是BC,AD的中点,连接EF,分别交DC,AB于点M,N,判断△
OMN的形状,并说明理由.
解析 (1)证明:如图1,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴HE,HF分别是△ABD,△BCD的中位线,
∴HE∥BM,HE= AB,HF∥CN,HF= CD,
∴∠HEF=∠BME,∠HFE=∠CNE,
∵AB=CD,∴HE=HF,∴∠HEF=∠HFE,
∴∠BME=∠CNE.
图1 图2
(2)△OMN是等腰三角形.
理由:如图2,取BD的中点H,连接HE,HF,
∵E,F分别是BC,AD的中点,
∴HE,HF分别是△BCD,△ABD的中位线,
∴HE∥CD,HE= CD,HF∥AB,HF= AB,
∴∠HEF=∠OMN,∠HFE=∠ONM,
∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠HFE=∠HEF,
∴∠ONM=∠OMN,∴OM=ON,
∴△OMN是等腰三角形.(共15张PPT)
第8章 四边形
第3课时 由对角线关系判定平行四边形
8.1 平行四边形
平行四边形的判定定理3
1.【新考向·尺规作图】(2025河南郑州模拟)综合实践课上,嘉
嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平
行四边形.(1)~(3)是其作图过程.在嘉嘉的作法中,可直接判定
四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
C
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
解析 由作图可知OD=OB,OA=OC,∴利用对角线互相平分
可以直接判定四边形ABCD是平行四边形.故选C.
2.(2024四川乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形
ABCD为平行四边形的是 ( )
D
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
解析 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可知A
不符合题意;根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,
可知B不符合题意;根据对角线互相平分的四边形是平行四边
形,可知C不符合题意;根据一组对边平行,另一组对边相等,不
能判定四边形是平行四边形,故D符合题意.故选D.
3.【学科特色·教材变式】(2025江苏淮安模拟)如图,在
ABCD中,BD为对角线,E,F是BD上的点,且BE=DF.求证:四边
形AECF是平行四边形.
证明 如图,连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
4.(2025上海杨浦期末,★★☆)如图,在3×3的正方形网格中,以
线段AB为对角线作平行四边形,使另外两个顶点也在格点上,
则这样的平行四边形最多可以画 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
D
解析 如图,符合题意的平行四边形最多可以画5个.
5.【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏宿迁宿城期中,★★
☆)在平面直角坐标系xOy中,A,B两点的坐标分别为(5,0),(2,3),
若以O,A,P,B为顶点的四边形为平行四边形,则点P的坐标为
___________________________.
(3,-3)或(-3,3)或(7,3)
解析 设P(x,y),分三种情况,如图:
①当OA为对角线时, = , = ,
解得x=3,y=-3,∴P1(3,-3);
②当OB为对角线时, = , = ,
解得x=-3,y=3,∴P2(-3,3);
③当OP为对角线时, = , = ,
解得x=7,y=3,∴P3(7,3).
综上所述,满足条件的点P的坐标为(3,-3)或(-3,3)或(7,3).
6.(2025江苏泰州兴化月考,★★☆)如图,在四边形ABCD中,对
角线AC,BD交于点O,已知AD∥BC,OA=OC.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)过点D作DH⊥AB于点H,若AC⊥BD,AC=8,BD=6,求DH的长.
解析 (1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,
在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB(AAS),∴OD=OB.
∵OA=OC,OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)由(1)得四边形ABCD是平行四边形,
∴S四边形ABCD=4S△AOB,∵AC⊥BD,AC=8,BD=6,
∴∠AOB=90°,OA=4,OB=3,∴AB= =5,
∵DH⊥AB,∴S四边形ABCD=AB·DH,
∴4× ×4×3=5DH,∴DH= .(共31张PPT)
第8章 四边形
第4课时 菱形的判定
8.2 特殊的平行四边形
菱形的判定
1.(2025江苏盐城期中)依据所标数据,下列四边形不一定为菱
形的是 ( )
B
A B C D
解析 A.∵对角线互相平分,∴四边形是平行四边形,∵32+42
=52,∴对角线互相垂直,∴平行四边形是菱形,不符合题意;B.
四边形的对角线互相平分,只能判定四边形是平行四边形,无
法判定是菱形,符合题意;C.四边相等的四边形是菱形,不符合
题意;D.∵两组对边分别平行,∴四边形是平行四边形,∵一组
邻边相等,∴平行四边形是菱形,不符合题意.故选B.
2.(2025湖南中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互
相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.18
C
解析 ∵对角线AC与BD互相垂直平分,∴四边形ABCD为菱
形,∵AB=3,∴四边形ABCD的周长为3×4=12.故选C.
3.【新考向·尺规作图】(2024湖北武汉中考)小美同学按如下
步骤作四边形ABCD:(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心,1个单位长
度为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆
心,1个单位长度为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.
若∠A=44°,则∠CBD的大小是 ( )
C
A.64° B.66° C.68° D.70°
解析 由作图得AB=AD=BC=CD,∴四边形ABCD是菱形,∴
BC∥AD,∴∠ABD=∠ADB=∠CBD,∠A+∠ABC=180°,∵∠A
=44°,∴∠CBD=∠ABD= ×(180°-44°)=68°.故选C.
4.(2024江苏徐州云龙期中)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于
点D,点E,F分别是边AB,AC的中点,连接DE,EF,FD,当△ABC满
足条件____________________时,四边形AEDF是菱形.(填
一个你认为恰当的条件即可)
AB=AC(答案不唯一)
解析 ∵AD⊥BC,∴△ABD,△ACD是直角三角形,
∵E,F分别为AB,AC的中点,
∴DE=AE= AB,DF=AF= AC,
∴当AB=AC时,DE=AE=DF=AF,此时四边形AEDF为菱形(答
案不唯一).
5.【新考向·条件开放题】【学科特色·多解法】(2025江苏泰
州泰兴期中)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,连
接EF,AC,相交于点O.有下列三个条件:①AD∥BC;②EF垂直
平分AC;③AC平分∠DAF.请你从中选择两个作为条件,使四
边形AFCE是菱形,并写出证明过程.
你选择的条件为___________(填序号).
证明:
解析 ①②(答案不唯一)
证明:【证法一】∵AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
∵EF垂直平分AC,∴AE=CE,AF=CF,OA=OC,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF,
∴AE=CE=AF=CF,∴四边形AFCE是菱形.
【证法二】由【证法一】得△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∵OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形,
∵EF⊥AC,∴平行四边形AFCE是菱形.
6.(2025江苏徐州中考)已知:如图,在 ABCD中,E为BC的中点,
EF⊥AC于点G,交AD于点F,AB⊥AC,连接AE,CF.求证:
(1)△AGF≌△CGE.
(2)四边形AECF是菱形.
证明 (1)∵AB⊥AC,E为BC的中点,∴AE=BE=EC,
∵EF⊥AC,∴EF垂直平分AC,∴AG=GC,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠FAG=∠ECG,
又∵∠AGF=∠CGE,∴△AGF≌△CGE(ASA).
(2)∵△AGF≌△CGE,∴AF=CE,
又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF⊥AC,∴ AECF是菱形.
7.(2025江苏盐城东台期中,★★☆)四个点A,B,C,D在同一平面
内,从①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;⑤AD∥BC
这五个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有
( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
D
解析 由①②或④⑤或①⑤或②④能证得四边形ABCD是平
行四边形,再由③可证得平行四边形ABCD是菱形,故有4种选
法.
8.(2024内蒙古通辽中考,★★☆)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明 ABCD是菱形的是 ( )
D
A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD
C.OA2+OB2=AD2 D.AD2+OA2=OD2
解析 A.∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∴ ABCD是菱形;B.∵
四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵
∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴ ABCD是菱
形;C.∵OA2+OB2=AD2,∴OA2+OD2=AD2,∴∠AOD=90°,∴AC
⊥BD,∴ ABCD是菱形;D.∵AD2+OA2=OD2,∴∠OAD=90°,∴
OA⊥AD,不能证得 ABCD是菱形.故选D.
9.(2025江苏泰州兴化期中,★★☆)如图,两个等宽的矩形叠合
得到四边形ABCD,若四边形ABCD的面积为8,连接AC,BD,设
AC=x,BD=y,则y与x之间的函数关系是___________.
y=
解析 如图,过点B作BE⊥DA交DA的延长线于点E,过点D作
DF⊥BA交BA的延长线于点F,则∠AEB=∠AFD=90°,
∵两个等宽的矩形叠合得到四边形ABCD,
∴AB∥DC,AD∥BC,BE=DF,
∴四边形ABCD是平行四边形,
在△BAE和△DAF中,
∴△BAE≌△DAF(AAS),∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD= AC·BD=8,∵AC=x,BD=y,∴ xy=8,
∴y与x之间的函数关系是y= .故答案为y= .
10.(2024江苏苏州吴江二模,★★☆)如图,在四边形ABCD中,
AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点
C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若AB=5,BD=6,求OE的长.
解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠CAB=∠DCA,
∵AC为∠BAD的平分线,∴∠CAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD,
∵AB=AD,∴AB=CD,
∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AD=AB,∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,
∴AC⊥BD,OA=OC= AC,OB=OD= BD=3,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
∴OA= = =4,
∵CE⊥AE,∴∠AEC=90°,
在Rt△AEC中,∠AEC=90°,O为AC的中点,
∴OE= AC=OA=4.
11.(2025江苏南京模拟,★★☆)如图, ABCD的对角线AC,BD
相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC,连接CE,OE,AE,OE=CD.
(1)求证: ABCD是菱形.
(2)若AB=4,∠ABC=60°,求AE2的值.
解析 (1)证明:∵DE∥AC,DE=OC,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵OE=CD,∴平行四边形OCED是矩形,
∴∠COD=90°,∴AC⊥BD,∴ ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,CD=BC=AB=4,AC⊥BD,
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=4,∴OA=OC=2,
在Rt△OCD中,由勾股定理得OD2=42-22=12,
由(1)可知,四边形OCED是矩形,
∴CE2=OD2=12,∠OCE=90°,
∴AE2=AC2+CE2=16+12=28.
12.【新课标·推理能力】(2025安徽黄山期中)如图,在Rt△
ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF
∥BC交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:四边形ADCF是菱形.
(2)若AC+AB=17,BC=13,求菱形ADCF的面积.
解析 (1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是
AD的中点,
∴AE=DE,AD=DC=DB,
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,
在△AEF和△DEB中,
∴△AEF≌△DEB(AAS),∴AF=DB,
∴AF=DC,∴四边形ADCF是平行四边形,
又∵AD=DC,∴平行四边形ADCF是菱形.
(2)如图,过点A作AH⊥BC于点H,
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=13,
∴AC2+AB2=BC2=132=169,
∴(AC+AB)2-2AC·AB=169,
∵AC+AB=17,∴172-2AC·AB=169,∴AC·AB=60,
由(1)知,CD= BC,四边形ADCF为菱形,
∴S菱形ADCF=CD·AH= BC·AH=S△ABC= AC·AB=30.(共34张PPT)
第8章 四边形
第3课时 菱形的性质
8.2 特殊的平行四边形
菱形的概念
1.如图,要使平行四边形ABCD成为菱形,需添加的一个条件是
( )
A.AC=AD B.AB=BC C.∠ABC=90° D.AC=BD
B
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形,故选B.
菱形的性质
2.下列有关菱形对角线的说法错误的是 ( )
A.菱形的对角线互相平分
B.菱形的对角线互相垂直
C.菱形的对角线相等
D.菱形的对角线平分一组对角
C
解析 根据菱形的两条对角线互相垂直平分,并且每一条对
角线平分一组对角可知A,B,D三个选项中的说法正确.故选C.
3.如图,在菱形ABCD中,∠B=40°,点E在BC上,若AE=AC,则∠
CAE= ( )
A.40° B.50° C.55° D.65°
A
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=
=70°,∵AC=AE,∴∠AEC=∠ACE=70°,∴∠CAE=18
0°-∠ACE-∠AEC=40°,故选A.
4.(2025江苏常州中考改编)如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对
角线,交点为O,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.10
B
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,
∴∠AOB=90°,∵AB=5,∠ABD=30°,
∴OA= AB= ,∴AC=2OA=5.故选B.
5.(2025江苏南京期中)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分
别为(4,0),(1,4),点D在x轴上,则点C的坐标为______________.
(-4,4)
解析 ∵A(4,0),B(1,4),∴AB= =5,∵四边形
ABCD是菱形,∴BC=AD=AB=5,BC∥x轴,∵B(1,4),∴C(-4,4).
故答案为(-4,4).
6.(2025福建中考)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过
点O且与边AB,CD分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE
与△DOF的面积之和为_________.
1
解析 ∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD,CD∥AB,AC⊥BD,
∴∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB,
∴△DOF≌△BOE(AAS),∴S△DOF=S△BOE,
∴S△AOE+S△DOF=S△AOE+S△BOE=S△AOB= ×2×1=1.故答案为1.
7.(2025四川泸州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,
BC上的点,且AE=CF.
求证:AF=CE.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,
∵∠B=∠B,∴△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE.
菱形的面积
8.如图,四边形ABCD是菱形,对角线交点为O,CD=5,BD=8,AE
⊥BC于点E,则AE的长是 ( )
A. B.6 C. D.12
A
解析 ∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,
∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,在Rt△OBC中,由勾股定理得OC= =
=3,∴AC=2OC=6,
∵菱形ABCD的面积=AE·BC= BD·AC=OB·AC,
∴AE= = = .
9.【学科特色·多解法】(2025湖南张家界期中,★★☆)如图,
在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足
为E,若∠BCD=70°,则∠BOE的度数为 ( )
A.20° B.25° C.35° D.55°
C
解析 【解法一】∵四边形ABCD是菱形,∴CA平分∠DCB,
∠COB=90°,∠ABD=∠CBD,∵∠BCD=70°,∴∠BCO= ∠
BCD=35°,∴∠CBO=90°-∠BCO=55°,∵∠ABO=∠CBO,∴∠
ABO=55°,∵OE⊥AB,∴∠BEO=90°,∴∠BOE=90°-∠ABO=35
°.故选C.
【解法二】∵四边形ABCD是菱形,∠BCD=70°,∴AC平分∠
DAB,∠AOB=90°,∠BAD=∠BCD=70°,∴∠BAO= ∠BAD=35°,
∵OE⊥AB,∴∠AEO=90°,∴∠AOE+∠EAO=90°,∵∠AOB=
90°,∴∠BOE+∠AOE=90°,∴∠BOE=∠BAO=35°.故选C.
10.【学科特色·转化思想】(2025四川凉山州中考,★★☆)如
图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的
中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=1
6,则FG的长为_________.
5
解析 如图,连接OE,
∵四边形ABCD是菱形,且AC=12,BD=16,∴AC⊥BD,OC= AC
=6,OD= BD=8,∴∠COD=90°,
在Rt△COD中,CD= = =10,
∵E是边CD的中点,∴OE是Rt△OCD斜边上的中线,∴OE=
CD=5,
∵EF⊥BD,EG⊥AC,∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°,
∴四边形OGEF是矩形,∴FG=OE=5.故答案为5.
11.(2025江苏无锡中考,★★☆)如图,菱形ABCD的边长为2,∠
ABC=60°,对角线AC,BD相交于点M.过点D作AC的平行线交
BC的延长线于点N,连接MN,则MN的长为_________.
解析 如图,过点M作MH⊥NB于点H,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,CM=AM,AB=BC=AD=2,AD∥BC,
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=2,∠ACB=60°,∴CM= AC=1,
∴∠CMH=90°-∠ACB=30°,∴CH= CM= ,
∴MH2=CM2-CH2=12- = ,
∵DN∥AC,AD∥CN,∴四边形ACND是平行四边形,
∴CN=AD=2,∴NH=CH+CN= ,
∴MN= = = .
12.(2025广东惠州惠城期中,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线
AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE= AC,连接CE,
OE,连接AE交OD于点F.
(1)求证:OE=CD.
(2)若菱形ABCD的对角线AC=4,BD=6,求AE的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴OC= AC,AC⊥BD,
∵DE= AC,∴DE=OC,
又∵DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形.
∵AC⊥BD,∴平行四边形OCED是矩形,∴OE=CD.
(2)在菱形ABCD中,AC=4,BD=6,∴OD=3,
∵四边形OCED是矩形,∴CE=OD=3,∠OCE=90°,
∴在Rt△ACE中,AE= =5.
13.【新课标·推理能力】【新考向·项目探究题】(2025江苏
宿迁沭阳月考)综合与实践课上,智慧星小组的三名同学对含
60°角的菱形进行了以下探究.
【背景】
如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别是边AB,BC上的点,且
∠EDF=60°.
【感知】
(1)若点E是AB的中点,则DE与DF的数量关系为_______.
【探究】
(2)若点E,F分别为AB,BC上任意一点,则DE与DF的数量关系
是什么 请说明理由.
【应用】
(3)若AB=4,求△DEF周长的最小值.
解析 (1)DE=DF.
详解:如图,连接BD,
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠C=∠A=60°,∠
ABD=∠CBD,
∴△ABD为等边三角形,∴∠ADB=60°,
∵点E是AB的中点,
∴∠ADE=∠BDE= ∠ADB=30°,
∵∠EDF=60°,∴∠BDF=60°-30°=30°,
∴∠BDE=∠BDF,
∵BD=BD,∴△BDE≌△BDF(ASA),∴DE=DF.
(2)DE=DF.
理由:如图,连接DB,
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD,
∵∠A=60°,∴△ABD和△CBD均为等边三角形,
∴∠ADB=60°,∠DBF=60°=∠A,AD=BD,
又∵∠EDF=60°,∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB,
∴∠ADE=∠BDF,
在△ADE和△BDF中,
∴△ADE≌△BDF(ASA),∴DE=DF.
(3)由(2)可知DE=DF,
∵∠EDF=60°,∴△DEF为等边三角形,要求等边三角形周长
的最小值,求出边长的最小值即可,
∵点E为边AB上的一点,∴当DE⊥AB时,DE取得最小值,∴在
Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠A=60°,
∴∠ADE=30°,∴AE= AD= AB=2,
∴DE= = =2 ,
∴此时,C△DEF=3×2 =6 ,
∴△DEF周长的最小值为6 .(共35张PPT)
第8章 四边形
第1课时 平行四边形的概念与性质
8.1 平行四边形
平行四边形的概念
1.【学科特色·教材变式】如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是
AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四
边形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 由平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形是
平行四边形,可知图中共有3个平行四边形,即 ADEF,
BEFD, CEDF.
平行四边形的性质定理1
2.(2025江苏苏州期中)如图,在平面直角坐标系中, OABC的顶
点O,A,B的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则点C的坐标是 ( )
A.(-2,2) B.(-2,3) C.(-3,3) D.(-3,2)
C
解析 ∵四边形OABC是平行四边形,∴BC=OA,BC∥OA,即
BC∥x轴,∵O,A,B的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),∴BC=OA=5,
点C与点B的纵坐标相等,都为3,∴点C的横坐标为2-5=-3,∴点
C的坐标为(-3,3).故选C.
3.(2025河南洛阳期末)如图,在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B
=2∶1,则∠D的度数为 ( )
A.60° B.120° C.90° D.30°
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠D=∠B,∴∠A+∠B=180°,
∵∠A∶∠B=2∶1,∴∠B= ×180°=60°.
∴∠D=∠B=60°.故选A.
4.(2024四川眉山中考)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,
EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形
ABOE=S四边形CDOF.其中正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正确,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
∵O是BD的中点,∴OD=OB,
又∵∠DOE=∠BOF,∴△ODE≌△OBF(ASA),
∴S△ODE=S△OBF,
又∵S△ABD=S△CDB,∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF,
即S四边形ABOE=S四边形CDOF,故④正确.
根据已知条件无法证明EO=ED,故②不一定正确.
综上所述,正确结论的个数为3,故选C.
平行四边形的性质定理2
5.(2025湖北中考)如图,平行四边形ABCD的对角线交点在原
点.若A(-1,2),则点C的坐标是 ( )
C
A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2)
解析 根据平行四边形ABCD的对角线互相平分且交点在原
点可知点A,C关于原点对称,
∵A(-1,2),∴C(1,-2).故选C.
6.(2025江苏南京江宁月考)如图, ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,连接EC.
(1)求证:OE=OF.
(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求 ABCD的周长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,AB∥DC,∴∠FDO=∠EBO,
在△DFO和△BEO中,
∴△DFO≌△BEO(ASA),∴OE=OF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,
∵EF⊥AC,∴EF垂直平分AC,∴AE=CE,
∵△BEC的周长是10,
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,
∴ ABCD的周长=2(BC+AB)=20.
7.【学科特色·方程思想】(2025江苏南通期末,★★☆)如图,
以 ABCD的边AB为边向内作等边△ABE,且AD=AE,连接DE,
CE,则∠CED的度数为 ( )
A.150° B.145° C.135° D.120°
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠BAD+∠ABC=180°,
∵△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=BE,∠AEB=∠EAB=∠ABE=60°,
∵AD=AE,∴AD=AE=BE=BC,
∴∠ADE=∠AED,∠BCE=∠BEC,
设∠ADE=∠AED=x,∠BCE=∠BEC=y,
∴∠DAE=180°-2x,∠CBE=180°-2y,
∴∠BAD=180°-2x+60°=240°-2x,∠ABC=240°-2y,
∴∠BAD+∠ABC=240°-2x+240°-2y=180°,∴x+y=150°,
∴∠CED=360°-150°-60°=150°.故选A.
8.(2025山东枣庄中考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90
°,AB=6,BC=8,点P为AC上异于A的一点,以PA,PB为邻边作
PAQB,则线段PQ的最小值是_________.
解析 如图,设PQ,AB交于点M,过点M作MN⊥AC于点N,连接
CM,
由条件可知PQ=2PM,AM=BM= AB=3,
∵点M是AB的中点,为定点,
∴当PM⊥AC时,PM取得最小值,此时PQ最小,
即当点P,N重合时,PM最小,
∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,
∴AC= =10,
∵S△ABC=S△ACM+S△BCM,
∴ AB·BC= AC·MN+ BC·BM,
∴ ×6×8= ×10MN+ ×8×3,
∴MN= ,∴PM的最小值为 ,则PQ的最小值为 ,故答案为
.
9.【新考向·尺规作图】(2025江苏淮安期中,★★☆)已知四边
形ABCD是平行四边形,请仅用无刻度的直尺按要求作图.
(1)如图①,点P为AB上任意一点,在CD上找出另一点Q,使AP=
CQ.
(2)如图②,点P为BD上任意一点,在BD上找出一点Q,使BP=
DQ.
解析 (1)如图①,点Q即为所求作.
图①
(2)如图②,点Q即为所求作.
图②
10.【新课标·几何直观】(2025江苏盐城东台月考)如图,在平
行四边形ABCD中,BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,并分别交
AC于点E,F.已知平行四边形ABCD的周长为48.
(1)求证:BE=DF.
(2)过点E作EM⊥AB于点M,若EM=6,求△ABC的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,∴∠BAE=∠DCF,
∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,
∴∠ABE= ∠ABC,∠CDF= ∠ADC,
∴∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴BE=DF.
(2)如图,过点E作EH⊥BC于点H,
∵EM⊥AB,BE平分∠ABC,∴EH=EM=6,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,CB=AD,
∵平行四边形ABCD的周长为48,
∴AB+BC= ×48=24,
∵S△ABC=S△ABE+S△CBE,∴S△ABC= AB·EM+ BC·EH= (AB+BC)·
EM= ×24×6=72.
微专题 “角平分线+平行线——等腰三角形”模型
方法指引 如图,给出以下三个关系:①∠1=∠2;②AD∥BC;
③AB=AD(AB,AD为等腰三角形ABD的两腰).从上述三个关系
中选择两个作为条件,则另一个可以作为结论.
1.(2025新疆中考)如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于
点E,若AD=2,则BE=_________.
2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,且AD=2,
∴BC=AD=2,AB∥CD,∴∠DCE=∠BEC,
∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,
∴∠BCE=∠BEC,∴BE=BC=2.
故答案为2.
2.【新考向·尺规作图】(2025江苏苏州相城期中)如图,在
ABCD中,以点B为圆心,适当长度为半径作弧,分别交AB,BC于
点F,G,再分别以点F,G为圆心,大于 FG的长为半径作弧,两弧
交于点H,作射线BH交AD于点E,连接CE.若CE⊥DE,AE=10,
DE=6,则 ABCD的面积为___________.
128
解析 由作图得BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BC=AD=AE+DE=16,AB=CD,
∴∠AEB=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE=10,∴CD=10,
∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,
∴CE= = =8,
∴ ABCD的面积为AD·CE=16×8=128.
3.(2025江苏常州天宁期中)在 ABCD中,内角∠ABC的平分
线与边AD的交点E把边AD分成长度为5和3的两部分,则
ABCD的周长为_____________.
22或26
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,AD
∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=
∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∵点E把边AD分成长度为5
和3的两部分,∴AE=3或AE=5,当AE=3,DE=5时,AB=AE=CD=
3,AD=BC=8,∴ ABCD的周长为22;当AE=5,DE=3时,AB=CD
=5,AD=BC=8,∴ ABCD的周长为26.综上所述, ABCD的周
长为22或26.(共38张PPT)
第8章 四边形
第1课时 矩形的性质
8.2 特殊的平行四边形
矩形的概念
1.根据矩形的定义,下列图形一定为矩形的是 ( )
C
A B C D
解析 在选项C中,由两边垂直于同一边可知这两边平行,再
由这两边的长度都是3可知这两边相等,∴这个四边形是平行
四边形,∵这个四边形有一个内角为直角,∴根据矩形的定义,
可得这个四边形是矩形.选项A,B,D中的图形不一定为矩形.
故选C.
矩形的性质
2.在矩形ABCD中,AB>AD,AC与BD相交于点O,下列说法正确
的是 ( )
A.点O为矩形ABCD的对称中心
B.点O为线段AB的对称中心
C.直线BD为矩形ABCD的对称轴
D.直线AC为线段BD的对称轴
A
解析 矩形ABCD是中心对称图形,对称中心是对角线的交点
O,故选项A正确;线段AB的中点是线段AB的对称中心,故选项
B错误;矩形ABCD是轴对称图形,对称轴是过一组对边中点的
直线,故选项C错误;过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称
轴,故选项D错误.
3.(2025江苏盐城响水期中)如图,在矩形ABCD中,不一定成立
的是 ( )
C
A.四边形ABCD是平行四边形
B.AC=BD
C.△AOB是等边三角形
D.OB= AC
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是平行四边形,
AC=BD,OB=OD= BD,∴OB= AC,故选项A,B,D不符合题意.
故选C.
4.(2025江苏南京秦淮期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,
BD相交于点O,∠AOB=54°,则∠ACB的度数是 ( )
A.54° B.27° C.20° D.18°
B
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴OB= BD,OC= AC,BD=AC,
∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵∠AOB是△OBC的一个外角,
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=54°,
∴∠ACB= ∠AOB= ×54°=27°.故选B.
5.(2024江苏南通中考)如图,直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在
直线b上,若∠2=41°,则∠1的度数为 ( )
A.41° B.51° C.49° D.59°
C
解析 如图,延长CB与直线b交于点M,
∵a∥b,∠2=41°,∴∠BMA=∠2=41°.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
∵∠ABC是△ABM的外角,
∴∠1=90°-41°=49°.故选C.
6.如图,在平面直角坐标系中,矩形OBCD的顶点C的坐标为(-3,
4),则BD=_________.
5
解析 连接OC(图略),
∵点C的坐标为(-3,4),
∴OC2=32+42=52,∴OC=5,
∴在矩形OBCD中,BD=OC=5.故答案为5.
7.【学科特色·教材变式】(2025江苏苏州期末改编)已知:如
图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延
长线于点E.
(1)求证:AC=EC.
(2)若∠AOD=120°,AB=1 cm,求矩形ABCD的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AC=BD,
∵CE∥DB,
∴四边形DCEB是平行四边形,∴BD=CE,
∵AC=BD,∴AC=CE.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,AO= AC,OD= BD,AC=BD,
∴AO=OD,∴∠ADO=∠OAD,
∵∠AOD=120°,∴∠ADO= ×(180°-120°)=30°,
∴BD=2AB=2 cm,∴AD= = cm,
∴矩形ABCD的面积=AD·AB= ×1= cm2.
8.(2024江苏无锡江阴月考,★★☆)如图,延长矩形ABCD的边
BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=30°,则∠E的度数是
( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
B
解析 如图,连接AC,交BD于点O,∵四边形ABCD是矩形,∴
AD∥BE,AC=BD,OB= BD,OC= AC,∴OB=OC,∴∠OCB=∠
OBC=∠ADB=30°,∵BD=CE,∴AC=CE,∴∠E=∠CAE,∴∠E+
∠CAE=∠OCB=30°,∴∠E=15°.
9.【新考向·动点探究题】(2025江苏苏州姑苏月考,★★☆)如
图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB=3,AD=4,P是AD上
不与点A,D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂
足为E,F,则PE+PF的值为 ( )
A. B. C.5 D.
A
解析 如图,连接OP,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OC= AC,OD=OB
= BD,且AC=BD,
∵AB=3,AD=4,
∴AC=BD= = =5,∴OA=OD= ,
∵S△ABD= AB·AD= ×3×4=6,∴S△AOD= S△ABD=3,
∵PE⊥AC,PF⊥BD,
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA·PE+ OD·PF,
∴ × PE+ × PF=3,∴PE+PF= .故选A.
10.(2025江苏宿迁泗阳二模,★★☆)如图,矩形ABCD中,已知
AB=8,BC=BE=12,F为BE的中点,连接DE,CE,CF,则DE+CF的
最小值为__________.
10
解析 如图,设BC的中点为G,连接EG,DG,
∵四边形ABCD是矩形,且AB=8,BC=12,
∴CD=AB=8,BG=CG= BC=6,
在Rt△CDG中,由勾股定理得DG= = =10,
∵F为BE的中点,BE=12,
∴BF= BE=6,∴BF=BG,
在△BFC和△BGE中,
∴△BFC≌△BGE(SAS),
∴CF=GE,
∴DE+CF=DE+GE,
根据“两点之间线段最短”得DE+GE≤DG=10,
∴当点D,E,G三点共线时,DE+GE取得最小值,最小值是10,
∴DE+CF的最小值是10.故答案为10.
11.(2025江苏泰州兴化期中,★★★)如图,矩形ABCD中,AC与
BD交于点O,分别在OD和CB上取点M,N,使得OM=CN,若AC=2
AB=4,则MN的最小值为_________.
解析 如图,过O作OE∥MN,且OE=MN,连接EN,CE,则四边形
OENM是平行四边形,
∴EN∥BD,EN=OM,∴∠BNE=∠CBD,
∵四边形ABCD是矩形,AC=BD,OB= BD,OC= AC,∴∠ABC
=90°,OB=OC= AC=2,
∵AC=2AB,∴∠ACB=30°=∠CBD,
∴∠BNE=30°,
∵OM=CN,∴EN=CN,∴∠NCE=∠NEC,
又∵∠BNE为△NEC的外角,
∴∠NCE= ∠BNE=15°,
∴∠OCE=∠OCB+∠NCE=45°,
∴点E的轨迹在射线CE上,且∠OCE=45°,
当OE⊥CE时,OE有最小值,又OE=MN,则此时MN也最小,且此
时△OCE是等腰直角三角形,
∴OE2+CE2=OC2,即2OE2=4,∴OE= ,
∴MN的最小值为 .故答案为 .
12.【新考向·动点探究题】(2025山东枣庄市中月考,★★☆)
如图,在矩形ABCD中,AD=16,AB=6,E为AD的中点.点F从点B
出发,以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动,连接
AF,EF,CE.设点F运动的时间为t秒.
(1)求当t为何值时,AF=CE.
(2)当△CEF为直角三角形时,求△CEF的面积.
解析 (1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,BC=AD=16,DC=AB=6,
∵E为AD的中点,∴AE=DE=8,
∴CE= = =10,
由题意得BF=t,在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,
若AF=CE=10,则62+t2=102,解得t=8(负值已舍去),即当t=8时,AF
=CE.
(2)当∠CEF=90°时,△CEF为直角三角形,如图,过点F作FG⊥
AD于点G,易知四边形ABFG是矩形,
∴AG=BF=t,FG=AB=6,∠AGF=90°,
∴CF=16-t,GE=AE-AG=8-t,
在Rt△FGE中,FE2=GE2+FG2=(8-t)2+62,
在Rt△CEF中,FE2=CF2-CE2=(16-t)2-102,
∴(8-t)2+62=(16-t)2-102,解得t=3.5,
∴CF=16-t=12.5,
∴△CEF的面积= ×6×12.5=37.5;
当∠EFC=90°时,△CEF为直角三角形(图略),
易知四边形ABFE为矩形,AE=BF=t=8,
∴CF=16-8=8,∴△CEF的面积= ×8×6=24.
综上所述,当△CEF为直角三角形时,△CEF的面积为37.5或24.
13.【新课标·推理能力】【新考向·规律探究题】
(1)探究规律:如图1,点P为平行四边形ABCD内一点,△PAB,△
PCD的面积分别记为S1,S2,平行四边形ABCD的面积记为S,试
探究S1+S2与S之间的关系.
(2)解决问题:如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F,G,H分
别在边AB,BC,CD,DA上,且AE=CG=3,AH=CF=2,连接EG,与
HF交于点P,四边形AEPH,四边形CGPF的面积分别记为S1,S2,
求S1+S2的值.
解析 (1)如图①,过点P作PG⊥BA交BA于点G,延长GP交CD
于点H,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,
∵PG⊥AB,∴PH⊥CD,
∴S1= AB·PG,S2= CD·PH,S=AB·GH,
∴S1+S2= AB·PG+ CD·PH= AB·PG+ AB·PH= AB·(PG+
PH)= AB·GH= S.
(2)如图②,过点P作PK⊥AB于点K,并延长KP交CD于点T,过点
P作PM⊥AD于点M,并延长MP交BC于点N,连接PA,PB,PC,PD,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∵KT⊥AB,MN⊥AD,∴KT⊥CD,MN⊥BC,
又∵BC⊥AB,∴PK+PT=BC=8,PM+PN=AB=5,
∴S1+S2= AE·PK+ AH·PM+ CG·PT+ CF·PN= ×3PK+ ×2
PM+ ×3PT+ ×2PN
= PK+PM+ PT+PN= BC+AB=12+5=17.
