(共30张PPT)
第9章 因式分解
9.2 提公因式法
公因式的概念
1.(2025江苏徐州铜山期末)多项式9a2x2-18a4x3中各项的公因
式是 ( )
A.9ax B.9a2x2 C.a2x2 D.9a4x3
B
解析 ∵系数9和-18的最大公约数是9,相同字母a的最低次
数是2,相同字母x的最低次数是2,
∴公因式是9a2x2.故选B.
方法归纳 确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:
①定系数,即确定各项系数的最大公约数;②定字母(或多项
式),即确定各项中的相同字母因式(或相同多项式因式);③定
指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低
次幂.
2.多项式-2a(x+y)2+6a2(x+y)中各项的公因式是 ( )
A.-2a2(x+y)2 B.6a(x+y)
C.-2a(x+y) D.-2a
C
解析 ∵多项式的第一项系数为负数,∴系数的最大公约数
是-2,又∵相同字母a的最低次数是1,相同因式(x+y)的最低次
数是1,∴公因式是-2a(x+y).故选C.
3.指出下列多项式中各项的公因式.
(1)12x2y-18xy+15y.
(2)2xmyn-1-4xm-1yn(m,n均为大于1的整数).
(3)18ab2(a-b)2-12b(a-b).
解析 (1)系数的最大公约数是3,相同字母y的次数是1,∴公
因式为3y.
(2)系数的最大公约数是2,相同字母x的最低次数是m-1,相同
字母y的最低次数是n-1,
∴公因式为2xm-1yn-1.
(3)系数的最大公约数是6,相同字母b的最低次数是1,相同因
式(a-b)的最低次数是1,
∴公因式为6b(a-b).
用提公因式法分解因式
4.(2025江苏无锡滨湖期中)把多项式m2(a-3)+m(3-a)分解因式
等于 ( )
A.(a-3)(m2+m) B.(a-3)(m2-m)
C.m(a-3)(m-1) D.m(a-3)(m+1)
C
解析 原式=m2(a-3)-m(a-3)=m(a-3)(m-1).故选C.
5.【学科特色·易错题】(2025江苏南通海门期中)下列提取公
因式分解因式中,正确的是 ( )
A.2x2-4xy=x(2x-4y)
B.a3+2a2+a=a(a2+2a)
C.-2a-2b=2(a+b)
D.-a2+a=-a(a-1)
D
解析 2x2-4xy=2x(x-2y),故A错误;a3+2a2+a=a(a2+2a+1),故B错
误;-2a-2b=-2(a+b),故C错误;-a2+a=-a(a-1),故D正确.故选D.
易错警示 提公因式后易因符号问题或漏项而出错.
6.(2025四川德阳中江期末)如图,长方形的长、宽分别为a,b,
且a比b大3,长方形的面积为7,则a2b-ab2的值为 ( )
A.10 B.21 C.9 D.49
B
解析 由题意得a-b=3,ab=7,∴a2b-ab2=ab(a-b)=7×3=21.故选B.
7.(2025江苏镇江中考)分解因式:x2+5x=______________.
x(x+5)
解析 公因式是x,∴x2+5x=x(x+5).
8.(2025江苏南京开学测试)当a=_______时,方程ax+2x=1无解.
-2
解析 ∵ax+2x=1,∴x(a+2)=1,要使方程无解,则a+2=0,∴a=-2.
9.(2025江苏扬州邗江三模)若实数a,b满足a+b=5,a2b+ab2=-15,
则ab的值是_______.
-3
解析 ∵a2b+ab2=ab(a+b)=-15,a+b=5,
∴ab=-3.故答案为-3.
10.把下列各式分解因式:
(1)-8a2b+12ab2-4a3b3.
(2)-14abc-7ab+49ab2c.
(3)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2.
解析 (1)-8a2b+12ab2-4a3b3
=-4ab(2a-3b+a2b2).
(2)-14abc-7ab+49ab2c=-7ab(2c+1-7bc).
(3)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2
=(2x+1)(3x-2-2x-1)=(2x+1)(x-3).
11.【学科特色·整体思想】(2025江苏宿迁泗阳期中)不解方
程组 求7y(x-3y)+2(3y-x)2的值.
解析 ∵
∴7y(x-3y)+2(3y-x)2=7y(x-3y)+2(x-3y)2
=(x-3y)[7y+2(x-3y)]=(x-3y)(2x+y)
=1×6=6.
12.(★★☆)把多项式x2y5-xynz因式分解时,提取的公因式是xy5,
则n的值可能为 ( )
A.6 B.4 C.3 D.2
A
解析 由题意得n≥5且n是整数,∴n的值可能为6.故选A.
13.【新考向·代数推理】(2025江苏南通海门期中,★★☆)若n
为正整数,则下列各数中,一定能整除(n2+2n)(n+1)的是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
A
解析 (n2+2n)(n+1)=n(n+1)(n+2),
∵n,n+1,n+2三个连续正整数中必有一个数是2的倍数,必有一
个数是3的倍数,
∴n(n+1)(n+2)必是6的倍数.故选A.
14.【跨物理·串联电路】(2025江苏扬州宝应一模,★★☆)如
图,把阻值分别为R1,R2,R3(单位:Ω)的三个电阻串联起来,线路
AB上的电流为I(单位:A),电压为U(单位:V),则U=IR1+IR2+IR3,
当R1=19.2 Ω,R2=35.4 Ω,R3=45.4 Ω,I=2.2 A时,U的值为_______.
220 V
解析 当R1=19.2 Ω,R2=35.4 Ω,R3=45.4 Ω,I=2.2 A时,U=IR1+IR2
+IR3=I(R1+R2+R3)=2.2×(19.2+35.4+45.4)=2.2×100=220 V.故答
案为220 V.
15.(2025江苏无锡东亭中学月考,★★☆)若m=2x+1,n=4x+2x,用
含m的代数式表示n,则n=____________.
m2-m
解析 ∵m=2x+1,∴2x=m-1,∴n=4x+2x=2x×(2x+1)=m(m-1)=m2-m.
16.(2025江苏苏州高新区期末,★★★)如图,在△ABC中,AB=a,BC=3a,∠B=90°,将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF(其中A,B,C的对应点分别是D,E,F),设DE交AC于点G,若△ADG的面积比△CEG的面积大7,则代数式a(2b-3a)的值为____.
14
解析 ∵△DEF由△ABC沿BC方向平移b个单位得到,∴AD=
b.∵△ADG的面积比△CEG的面积大7,∴矩形ABED的面积
比△ABC的面积大7,∴ab- a·3a=7,∴2ab-3a2=a(2b-3a)=14.故
答案为14.
17.(2025上海浦东新区期中,★★☆)因式分解:
2(x-2y)2(x+2y)+3(2y-x)(x+2y)2.
解析 原式=2(2y-x)2(x+2y)+3(2y-x)(x+2y)2
=(2y-x)(x+2y)[2(2y-x)+3(x+2y)]
=(2y-x)(x+2y)(10y+x).
18.【新课标·应用意识】(2025安徽宿州期中)父亲今年x岁,儿
子今年y岁,父亲比儿子大26岁,并且x,y满足x2-xy=1 040,请你求
出父亲和儿子今年各多少岁.
解析 由题意得,x-y=26,
∵x2-xy=x(x-y),
∴26x=1 040,解得x=40,
∴y=x-26=40-26=14.
答:父亲和儿子今年分别是40岁、14岁.
19.【新课标·运算能力】(2025江苏宿迁期中)阅读下列因式
分解的过程,再回答下列问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是_______,共应用了_______次.
(2)若因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,则需应用上述方法
_______次,结果是_______.
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
解析 (1)提公因式法;2.
(2)3;(1+x)4.
详解:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3
=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4,
故因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,
需应用3次提公因式法,结果是(1+x)4.
(3)原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)n-2]
=(1+x)3[1+x+…+x(x+1)n-3]
……
=(1+x)n+1.(共29张PPT)
第9章 因式分解
9.3 公式法
第2课时 逆用完全平方公式分解因式
逆用完全平方公式分解因式
1.(2025江苏扬州邗江期中)下列各式中,能逆用完全平方公式
分解因式的是 ( )
A.y2-x2+2xy B.y2+x2+xy
C.25y2+15y+9 D.4x2+9-12x
D
解析 D.4x2+9-12x=(2x-3)2,能逆用完全平方公式分解因式.故
选D.
2.(2024河北唐山二模)对比4x2-4x+1和8x-4因式分解的结果,共
同的整式部分为 ( )
A.2x B.2x+1
C.2x-1 D.4(2x-1)
C
解析 ∵4x2-4x+1=(2x-1)2,8x-4=4(2x-1),
∴共同的整式部分为2x-1,故选C.
3.下列从左到右的变形因式分解正确的是 ( )
A.3ax2-6ax=3(ax2-2ax)
B.x2+y2=(-x+y)(-x-y)
C.a2+2ab-4b2=(a+2b)2
D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2
D
解析 3ax2-6ax=3ax(x-2),故选项A错误;x2+y2,无法因式分解,
故选项B错误;a2+2ab-4b2,无法因式分解,故选项C错误;-ax2+2
ax-a=-a(x2-2x+1)=-a(x-1)2,故选项D正确.故选D.
4.(2025江苏南京玄武期中)若9x2+(k-2)x+16能逆用完全平方
公式分解因式,则k的值为 ( )
A.±24 B.±26
C.26或-22 D.-26或22
C
解析 ∵9x2+(k-2)x+16能逆用完全平方公式分解因式,∴k-2=
±2×3×4=±24,∴k=26或-22.
5.(2024江苏常州中考)分解因式:x2-4xy+4y2=_______________.
(x-2y)2
解析 x2-4xy+4y2=x2-2·x·2y+(2y)2=(x-2y)2.
6.(2025江苏南通海门期末)分解因式:3mx2-6mxy+3my2=____
____________.
3m(x -y)2
解析 3mx2-6mxy+3my2=3m(x2-2xy+y2)=3m(x-y)2.
7.把下列各式进行因式分解:
(1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1).
(2)(x2-1)2-6(x2-1)+9.
(3)(x2+16y2)2-64x2y2.
解析 (1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1)
=(y2-1)(x2+2x+1)
=(x+1)2(y+1)(y-1).
(2)(x2-1)2-6(x2-1)+9=(x2-1-3)2
=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.
(3)原式=(x2+16y2)2-(8xy)2=(x2+16y2+8xy)·(x2+16y2-8xy)=(x+4y)2
(x-4y)2.
方法归纳 因式分解的方法
“一提”“二套”“三查”是因式分解的一般步骤,即有公因式的先提取公因式,没有公因式的套公式.套公式的时候注意,若多项式中有两项,则考虑逆用平方差公式;若多项式中有三项,则考虑逆用完全平方公式.最后检查每一个因式,看能否继续分解,若每一个因式都不能再分解,则分解因式结束.
8.(2025江苏泰州期末,★★☆)若4x2+kx+25=(2x+a)2,则k+a的
值可以是 ( )
A.25或-25 B.-15 C.15 D.20
A
解析 ∵4x2+kx+25=(2x+a)2,∴a=5或-5,当a=5时,k=20;当a=-5
时,k=-20.∴k+a的值可以是25或-25.故选A.
9.【学科特色·作差法】(2025江苏南京中华中学月考,★★☆)
已知M=3x2-x+3,N=2x2+3x-1,则M,N的大小关系是 ( )
A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M A
解析 ∵M=3x2-x+3,N=2x2+3x-1,∴M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1)=
3x2-x+3-2x2-3x+1=x2-4x+4=(x-2)2,∵(x-2)2≥0,∴M-N≥0,∴M≥N.
10.(2025江苏镇江丹阳期中,★★☆)已知x是有理数,则多项式
x-1- x2的值 ( )
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能是正数或负数或零
B
解析 x-1- x2=- =- ,
∵- ≤0,∴多项式x-1- x2的值不可能为正数.
11.(2025江苏泰州三模,★★☆)如果2m÷4n=8,那么(m+2n)2-8mn
=_________.
9
解析 ∵2m÷4n=8,∴2m÷22n=2m-2n=23,∴m-2n=3,∴(m+2n)2-8mn=
m2+4mn+4n2-8mn=m2-4mn+4n2=(m-2n)2=32=9.
12.(2025江苏泰州靖江月考,★★★)已知a,b,c满足a2+2b=7,b2-
2c=-1,c2-6a=-17,则a+2b-3c的值为_______.
-2
解析 将条件中的三个式子相加,可得a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11,
∴a2+2b+b2-2c+c2-6a+11=0,∴(a2-6a+9)+(b2+2b+1)+(c2-2c+1)=
0,∴(a-3)2+(b+1)2+(c-1)2=0,∵(a-3)2≥0,(b+1)2≥0,(c-1)2≥0,∴a
=3,b=-1,c=1,∴a+2b-3c=3+2×(-1)-3×1=-2.故答案为-2.
13.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)上数学课时,王老师在讲
完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后,要求同学们运用
所学知识解答:求代数式x2+4x+5的最小值.
同学们经过交流、讨论,最后总结出如下解答方法:
解:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.
∵(x+2)2≥0,∴当x=-2时,(x+2)2的值最小,是0,∴(x+2)2+1≥1.
∴当x=-2时,x2+4x+5取得最小值,是1.
请你根据上述方法,解答下列各题:
(1)当x=_______时,代数式x2-6x+13取得最小值,是_______.
(2)若y=-x2+2x-3,则当x=_______时,y有最_______值(填
“大”或“小”),这个值是_______.
(3)若-x2+10x+y+6=0,求2x+y的最小值.
解析 (1)3;4.
详解:x2-6x+13=x2-6x+9+4=(x-3)2+4,
∵(x-3)2≥0,∴当x=3时,(x-3)2的值最小,最小值是0,∴(x-3)2+4≥4,
∴当x=3时,x2-6x+13取得最小值,是4.
(2)1;大;-2.
详解:y=-x2+2x-3=-x2+2x-1-2=-(x-1)2-2,
∴当x=1时,y=-x2+2x-3有最大值,最大值是-2.
(3)∵-x2+10x+y+6=0,∴y=x2-10x-6,
∴2x+y=x2-8x-6=x2-8x+16-22=(x-4)2-22,
∴当x=4时,2x+y取得最小值,是-22.
14.【新课标·推理能力】【新考向·代数推理】(2024福建中
考改编)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n= ,mn= .
(1)求证:b2-12ac为非负数.
(2)若a,b,c均为奇数,m,n可能都为整数吗 请判断并说明理由.
解析 (1)证明:∵3m+n= ,mn= ,
∴b=a(3m+n),c=amn,
∴b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn=a2(9m2-
6mn+n2)=a2(3m-n)2.
∵a,m,n是实数,∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac为非负数.
(2)m,n不可能都为整数.
理由:若m,n都为整数,可能的情况有两种:
①当m,n都为奇数时,3m+n必为偶数.
又3m+n= ,∴b=a(3m+n).
∵a为奇数,∴a(3m+n)必为偶数,这与b为奇数相矛盾.
②当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,mn必为偶数.
∵mn= ,∴c=amn.
∵a为奇数,∴amn必为偶数,这与c为奇数相矛盾.
综上所述,m,n不可能都为整数.
微专题 用配方法分解二次三项式
方法解读 对于某些二次三项式ax2+bx+c,我们可以运用完全
平方公式“配”出一个完全平方式,再进行因式分解,这种方
法称作“配方法”.
阅读材料:把代数式x2-6x-7因式分解,可以如下分解:
x2-6x-7=x2-6x+9-9-7=(x-3)2-16=(x-3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7).
例题
(1)探究:仿照上面的方法,代数式x2-8x+7可以因式分解为____
______________.
(2)拓展:若代数式x2-8x+7=0,则x的值为___________.
1或7
(x- 1)(x-7)
解析 (1)x2-8x+7=x2-8x+16-16+7=(x-4)2-9=(x-4+3)(x-4-3)=(x-
1)(x-7).故答案为(x-1)(x-7).
(2)∵x2-8x+7=0,∴(x-1)(x-7)=0,∴x-1=0或x-7=0,∴x=1或x=7.故
答案为1或7.
变式1 将多项式x2-x-2进行因式分解,结果正确的为 ( )
A.(x-1)(x-2) B.(x+1)(x+2)
C.(x+1)(x-2) D.(x-1)(x+2)
C
解析 x2-x-2=x2-x+ - -2= - = =(x
+1)(x-2).故选C.
变式2 因式分解x2+mx+n时,甲看错了m的值,因式分解的结
果是(x-6)(x+2),乙看错了n的值,因式分解的结果为(x+8)(x-4),
那么x2+mx+n分解因式正确的结果为__________________.
(x+6)(x-2)
解析 (x-6)(x+2)=x2-4x-12,
(x+8)(x-4)=x2+4x-32,
∵甲看错了m的值,因式分解的结果是(x-6)(x+2),乙看错了n的
值,因式分解的结果为(x+8)(x-4),
∴n=-12,m=4,
∴x2+mx+n=x2+4x-12=x2+4x+4-4-12=(x+2)2-16=(x+2+4)(x+2-4)
=(x+6)(x-2).
故答案为(x+6)(x-2).(共16张PPT)
第9章 因式分解
9.3 公式法
第1课时 逆用平方差公式分解因式
逆用平方差公式分解因式
1.(2025江苏泰州二模)下列多项式中,能逆用平方差公式进行
因式分解的是 ( )
A.-a2-b2 B.a2+b2 C.a2-b2 D.a2-b2-1
C
解析 a2-b2=(a+b)(a-b).故选C.
2.(2025江苏南通启东一模)分解因式:ax2+by2=(3x+4y)(3x-4y),
则a+b的值为 ( )
A.7 B.-1 C.25 D.-7
D
解析 ∵ax2+by2=(3x+4y)(3x-4y)=9x2-16y2,∴a=9,b=-16,∴a+b
=9-16=-7.故选D.
3.已知多项式x2+a能逆用平方差公式在有理数范围内分解因
式,那么在下列四个数中,a可以为 ( )
A.9 B.4 C.-1 D.-2
C
解析 根据平方差公式的特征,知a应为负数,且a的绝对值是
完全平方数,故a可以为选项中的-1.验证:当a=-1时,x2+a=x2-1=
(x+1)(x-1),故选C.
4.在一次课堂练习中,小颖同学做了以下几道因式分解题,你
认为她做错的是 ( )
A.x3-x=x(x2-1)
B.x2y-y3=y(x+y)(x-y)
C.-m2+4n2=(2n+m)(2n-m)
D.3p2-27q2=3(p+3q)(p-3q)
A
解析 x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1),故选A.
5.(2025江苏常州中考)分解因式:x2-9y2=____________________.
(x+3y)(x-3y)
解析 x2-9y2=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y).
6.已知a-b=1,则a2-b2-2b=_________.
1
解析 ∵a-b=1,∴a2-b2-2b=(a+b)(a-b)-2b=a+b-2b=a-b=1.
7.【学科特色·教材变式】(2025江苏南京鼓楼期中)因式分解:
(1)25c2-49a2b2.
(2)(y2-8)2-64.
(3)4m2(x-y)+n2(y-x).
解析 (1)25c2-49a2b2=(5c)2-(7ab)2
=(5c+7ab)(5c-7ab).
(2)(y2-8)2-64=(y2-8+8)(y2-8-8)=y2(y2-16)=y2(y+4)(y-4).
(3)4m2(x-y)+n2(y-x)=4m2(x-y)-n2(x-y)=(x-y)(4m2-n2)=(x-y)(2m+n)
(2m-n).
8.(2025重庆实验外国语学校月考,★★☆)若a,b,c是△ABC的
三边长,则a2-(b-c)2的结果 ( )
A.大于零 B.等于零
C.小于零 D.不确定
A
解析 由题意得a2-(b-c)2=(a+b-c)[a-(b-c)]=(a+b-c)(a+c-b),∵a,
b,c是△ABC的三边长,∴根据三角形的三边之间的关系可得a
+b>c,a+c>b,∴a+b-c>0,a+c-b>0,∴a2-(b-c)2>0.故选A.
9.(2025江苏泰州海陵期中,★★☆)若x,y满足x2=y+2,y2=x+2(x
≠y),则x2+y2+2x+2y+5的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
解析 ∵x2=y+2,y2=x+2,∴x2-y2=y+2-x-2=y-x,
∴(x+y)(x-y)=y-x,∴(x+y)(x-y)=-(x-y),
∵x≠y,∴x-y≠0,∴x+y=-1,
∴x2+y2+2x+2y+5=y+2+x+2+2x+2y+5=3(x+y)+9=3×(-1)+9=6.
10.【新考向·开放性试题】(★★☆)小强是一位密码编译爱
好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y
2,a2-b2分别对应下列六个字:中、爱、我、国、威、武,现将(x2
-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是____
________________________.
我爱中国(答案不唯一)
解析 (x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b),∴呈
现的密码信息只要是由“我、爱、国、中”组成的四字词语
均正确,答案不唯一,如我爱中国等.
11.(2025江苏盐城阜宁期中,★★☆)观察下列算式,回答问题.
算式①:42-22=12=4×3;
算式②:62-42=20=4×5;
算式③:82-62=28=4×7;
算式④:102-82=36=4×9;
……
(1)按照以上算式的规律,请写出算式⑥:__________________.
(2)小明将上述算式用文字表示为两个连续偶数的平方差一
定是4的倍数.你认为这句话正确吗 为什么
解析 (1)142-122=52=4×13.
(2)正确.理由:设这两个连续的偶数分别为2n,2n+2(n是整数),
则(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=8n+4=4(2n+1),
∵n是整数,∴2n+1是整数,
∴4(2n+1)一定是4的倍数.(共14张PPT)
第9章 因式分解
9.1 因式分解的概念
因式分解的概念
1.(2025江苏南京玄武月考)下列各式从左到右的变形是因式
分解的是 ( )
A.a(a+b)=a2+ab
B.a2+2a+1=a(a+2)+1
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.2a2-6ab=2a(a-3b)
D
解析 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这样的变形
叫作因式分解.选项A,B,C都不合题意,选项D符合题意.故选D.
2.(2025江苏苏州虎丘期中)对于下列两个自左向右的变形:
甲:6x2y=2x·3xy;乙:a+1=a .
其中说法正确的是 ( )
A.甲、乙均是因式分解
B.甲、乙均不是因式分解
C.甲是因式分解,乙不是因式分解
D.甲不是因式分解,乙是因式分解
B
解析 6x2y=2x·3xy中等号右边是单项式,∴甲不是因式分解;a
+1=a 中的 不是整式,∴乙不是因式分解.故选B.
因式分解与整式乘法的关系
3.(2025江苏常州二十四中月考)若x2+ax-24=(x+2)(x-12),则a的
值是 ( )
A.±10 B.-10 C.14 D.-14
B
解析 ∵x2+ax-24=(x+2)(x-12)=x2-10x-24,
∴a=-10.故选B.
4.【学科特色·教材变式】判断下列从左到右的变形中,哪些
是多项式的因式分解,哪些是整式乘法,哪些两者都不是.
(1)ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m.
(2)2a(b+c)=2ab+2ac.
(3)mx2-2mx+m=m(x-1)2.
(4)(a-3)(a+3)=a2-9.
(5)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1.
解析 (3)是多项式的因式分解;(2)(4)是整式乘法;(1)(5)两者
都不是.
5.(2025江苏镇江一模,★★☆)如果x-2是ax2-bx+2的一个因式,
那么2a-b的值是 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
B
解析 ∵x-2是ax2-bx+2的一个因式,∴当x=2时,ax2-bx+2=4a-2
b+2=0,∴2a-b=-1.故选B.
6.【学科特色·数形结合思想】【学科特色·易错题】(2025江
苏泰州姜堰期中,★★☆)根据下面的拼图过程,写出一个多项
式的因式分解:__________________________.
x2+6x+8=(x+2)(x+4)
解析 四个独立图形的面积之和为x2+2x+4x+4×2=x2+6x+8,组
合图形的面积为(x+2)(x+4),∴x2+6x+8=(x+2)(x+4).
易错警示 对多项式的因式分解,其等号左边是多项式,右边
是几个整式的积的形式,不能写反了.
7.【新课标·运算能力】(2024湖南衡阳期末)仔细阅读下面的
例题,并解答问题:
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因
式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2
+(n+3)x+3n,
∴ 解得
∴另一个因式为(x-7),m的值为-21.
仿照以上方法解答下面的问题:
已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式
以及k的值.
解析 设另一个因式为(x+a),得2x2+3x-k=(2x-5)·(x+a),则2x2+3
x-k=2x2+(2a-5)x-5a,
∴ 解得
∴另一个因式为(x+4),k的值为20.
