(共16张PPT)
第10章 分式
第1课时 分式的基本性质
10.2 分式的基本性质
分式的基本性质
1.(2025江苏南京期中)下列等式一定成立的是 ( )
A. = B. =
C. = D. =
D
解析 根据分式的基本性质可知,选项D中的分式的分子与分
母同时除以一个不为0的整式y,分式的值不变.故选D.
2.(2025江苏徐州新沂月考改编)把分式 的分子、分母
中的a,b都扩大为原来的2倍,则分式的值 ( )
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的4倍 D.扩大为原来的2倍
D
解析 = ,即把分式 的分子、分母中
的a,b都扩大为原来的2倍,则分式的值扩大为原来的2倍.故选D.
分式的符号变化法则
3.(2025江苏无锡锡山月考)根据分式的基本性质,分式 可
变形为 ( )
A. B. C. D.
B
解析 = =- ,故选B.
4.【学科特色·教材变式】不改变分式的值,使下列分式的分
子和分母的最高次项的系数为正数.
(1) . (2) .
解析 (1) = =- .
(2) = = .
5.(2025江苏泰州姜堰期中,★★☆)下列各式中,从左到右的变
形正确的是 ( )
A. = B. =
C. = D. =
A
解析 A. = ,原式成立;B. = ≠ ,原式不成立;C.
= ≠ ,原式不成立;D. ≠ ,原式不成立.
故选A.
6.(2025江西南昌期末,★★☆)把式子 中的x,y同时扩大
为原来的3倍,式子的值也扩大为原来的3倍,则在□中添加的
运算符号为 ( )
A.+ B.- C.× D.÷
C
解析 把式子 中的x,y同时扩大为原来的3倍,得
= = ,∴选项A不符合题意;
把式子 中的x,y同时扩大为原来的3倍,得 =
= ,∴选项B不符合题意;
把式子 中的x,y同时扩大为原来的3倍,得 =
=3× ,∴选项C符合题意;
把式子 中的x,y同时扩大为原来的3倍,得 =
= × ,∴选项D不符合题意.故选C.
7.(★★☆)当m=_________时,等式 = 成立.
1
解析 ∵ = 成立,
∴3m+2=7-2m,解得m=1.
8.【新考向·阅读理解题】(2025江苏扬州期中,★★★)阅读下
列材料,并完成相应任务.
【问题提出】已知 = = ,求分式 的值.
【思路分析】根据题意可设 = = =k,于是x=2k,y=3k,z=
4k,将它们分别代入分式,即可通过化简求得分式的值.
解:设 = = =k,则x=2k,y=3k,z=4k,
∴原式= = = ▲ .
任务:
(1)直接写出“▲”处空缺的内容:_______.
(2)已知x,y,z满足等式 = = ,求 的值.
解析 (1)- .
(2)设 = = =k,
∴ 解得 ∴ = = .(共31张PPT)
第10章 分式
10.1 分式的概念
分式的概念
1.(2025江苏苏州相城月考)下列代数式中,是分式的为 ( )
A. B.5a C. D.
D
解析 ,5a, 都是整式, 是分式.故选D.
方法解读 判断一个式子是不是分式首先要看式子是不是
的形式,其次看a,b是不是整式,最后看分母中是否含有字母.
2.从x2y,x-y,1三个整式中任选两个整式,其中一个作为分子,另
一个作为分母,能构成_________个分式.
4
解析 从x2y,x-y,1三个整式中任选两个整式分别作为分子、
分母,可构成式子 , , , , , ,共6个.根据分
式的定义知, , 不是分式,其余的是分式.故答案为4.
根据实际问题列分式
3.(2025河南漯河模拟)轮船在静水中的速度是a千米/小时,水
流速度是b千米/小时(a>b),轮船在逆流中航行s千米所需要的
时间是_________小时.
解析 根据逆流航行的时间=逆流航行的路程÷逆流航行的
速度,得轮船在逆流中航行s千米所需要的时间是 小时.
4.苏州市在智慧城市建设方面一直走在全国前列,尤其在智慧
交通方面.张先生的家到单位的路程为15 km,原来上班的平均
速度为x km/h,实行“智慧改造”后,平均速度提升了a km/h,
则张先生上班比原来节省了_________h.
解析 张先生上班原来用时 h,实行“智慧改造”后用时
h,则张先生上班比原来节省了 h.
分式的值
5.(2025江苏常州期中)已知3a-b=0(b≠0),则分式 的值
为_________.
3
解析 ∵3a-b=0,∴3a=b,将3a=b代入分式 ,得 =
= =3.
6.【新考向·结论开放题】(2024吉林中考)当分式 的值为
正数时,写出一个满足条件的x的值:________________.
0(答案不唯一)
解析 ∵分式 的值为正数,∴x+1>0,即x>-1,∴满足条件的
x的值可以为0.(答案不唯一)
7.分式 的值是整数,则x可以取的最小整数值是_______.
-3
解析 ∵分式 的值是整数,x为整数,∴x-1=±1或±2或±4,∴
x=-3或-1或0或2或3或5,∴x可以取的最小整数值是-3.故答案
为-3.
8.(2025北京延庆模拟)已知a+b-3=0,求代数式 的值.
解析 = ,
∵a+b-3=0,∴a+b=3,∴原式= = .
分式有(无)意义及分式值为0的条件
9.(2025江苏宿迁中考)要使分式 有意义,则实数x的取值范
围是___________.
x≠1
解析 分式有意义的条件是分母不为零,∴x-1≠0,∴x的取值
范围是x≠1.
10.【学科特色·易错题】(2025江苏南京鼓楼校级月考)当a=
_______时,分式 的值为零.
-3
解析 由题意可得3-|a|=0,且6-2a≠0,解得a=-3.
易错警示 因为分式的值是在分式有意义的前提下才可以考
虑的,所以使分式 的值为0的条件是A=0,且B≠0,二者缺一不可.
11.当x=1时,分式:① ,② ,③ .其中无意义的是____
______(填序号).
②③
解析 当x=1时,x+1≠0,故①有意义;|x|-1=0,故②无意义;x2-1=
0,故③无意义.故答案为②③.
12.【学科特色·教材变式】(2025湖南长沙期末)已知y= .
(1)当x取何值时,该分式无意义
(2)当x取何值时,y的值是0
(3)当x取何值时,y的值是负数
解析 (1)由题意得2-3x=0,解得x= ,
∴当x= 时,分式无意义.
(2)由题意得x2=0,且2-3x≠0,解得x=0.
(3)由题意得 <0,
∵x2≥0,∴2-3x<0,x2≠0,解得x> .
13.(2025江苏无锡锡山期中改编,★★☆)在 ,π, , ,
, 中,分式有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
解析 根据分式的概念,可知分式有 , , ,共3个.故选
B.
14.(2025江苏连云港期中,★★☆)下列关于分式的判断,正确
的是 ( )
A.当x=2时, 的值为零
B.当x≠3时, 有意义
C.无论x为何值, 都不可能得整数值
D.无论x为何值, 的值总为正数
D
解析 当x=2时, 无意义,故A错误;当x≠0时, 有意义,
故B错误;当x=2时, =1,是整数,故C错误;∵x2+1>0,3>0,∴无
论x为何值, 的值总为正数,故D正确.故选D.
15.(2025江苏南京鼓楼月考,★★☆)无论x取何值,分式
总有意义,则m的取值范围为___________.
m>4
解析 当x2-4x+m≠0时,分式有意义,
∵x2-4x+m=(x-2)2+m-4,(x-2)2≥0,
∴当m-4>0,即m>4时,x2-4x+m>0,
此时无论x取何值,分式 总有意义.
16.(2024江苏南通通州月考,★★☆)已知当x=-2时,分式
无意义;当x=1时,此分式的值为0.
(1)求a,b的值.
(2)在(1)的条件下,当分式 的值为正整数时,求整数x的值.
解析 (1)∵当x=-2时,分式 无意义,
∴-2+a=0,解得a=2.
∵当x=1时,分式的值为0,∴1-b=0,解得b=1.
(2)当a=2,b=1时,分式 为 ,
∵分式 的值为正整数,x为整数,
∴x+1=1或2或4,
∴整数x的值为0或1或3.
17.【新考向·阅读理解题】(★★★)仔细阅读下面例题,解答
问题.
例题:当x取何值时,分式 的值为正数
解:依题意得 >0,
则有① 或②
解不等式组①,得
解不等式组②,得不等式组无解.
∴当 回答:仿照以上方法解答问题:
当x取何值时,分式 的值为负数
解析 由题意得 <0,
则有① 或②
解不等式组①,得- 解不等式组②,得不等式组无解.
∴当-
18.【新课标·推理能力】【新考向·代数推理】(2025江苏徐
州期末)已知3m+n= ,mn= .
(1)求证:(b+c)2≥12ac.
(2)若m,n为整数,且a-c= ,ac<0,求 的值.
解析 (1)证明:∵3m+n= ,mn= ,
∴b+c=a(3m+n),c=amn,
∴(b+c)2-12ac=[a(3m+n)]2-12a·amn
=a2(9m2+6mn+n2-12mn)=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2,
∵a2≥0,(3m-n)2≥0,∴a2(3m-n)2≥0,
∴(b+c)2-12ac≥0,即(b+c)2≥12ac.
(2)∵3m+n= ,mn= ,
∴b+c=a(3m+n),c=amn,
∴b=a(3m+n)-c=a(3m+n)-amn=a(3m+n-mn),
∵ac<0,∴a·amn<0,即a2mn<0,
∴mn<0,∴m,n异号,
∵a-c= ,∴2(a-c)=b,
∴2(a-amn)=a(3m+n-mn),
即2a(1-mn)=a(3m+n-mn),
∵a≠0,∴2(1-mn)=3m+n-mn,
整理得mn+3m+n-2=0,∴(m+1)(n+3)=5,
∵m,n为整数,
∴ 或 或 或
由 得 不符合m,n异号,舍去;
由 得 不符合m,n异号,舍去;
由 得 符合m,n异号;
由 得 不符合m,n异号,舍去.
∴
∴b=a(3m+n-mn)=a×(12-2+8)=18a,c=amn=-8a,∴ = =- .(共16张PPT)
第10章 分式
第3课时 分式的通分
10.2 分式的基本性质
分式的通分与最简公分母
1.(2025江苏无锡锡山月考)分式 和 的最简公分母是
( )
A.2xy B.2x2y2 C.6x2y2 D.6x3y3
C
解析 分式 和 的最简公分母是6x2y2,故选C.
方法指导 确定最简公分母的方法
(1)取各分母系数的最小公倍数;
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个
因式;
(3)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母.
2.分式 与 的最简公分母是 ( )
A.a-1 B.3(a-1)
C.3(a-1)2 D.-3(a-1)2
B
解析 ∵3a-3=3(a-1),1-a=-(a-1),∴最简公分母是3(a-1),故选B.
3.(2025江苏徐州泉山月考)若将分式 与 通分,则
分式 的分子应变为 ( )
A.6m2-6mn B.6m-6n
C.2(m-n) D.2(m-n)(m+n)
A
解析 分式 与 的最简公分母是2(m+n)(m-n),则通
分后,分式 的分子应变为6m(m-n)=6m2-6mn.故选A.
4.【学科特色·教材变式】通分.
(1) , .
(2) , .
(3) , , .
(4) , .
解析 (1) = , = .
(2) = , = .
(3) = , = , =
.
(4) = , = .
5.(2025江苏苏州相城月考,★★☆)把 , ,
通分后,各分式的分子之和为_________________.
2a2+7a+11
解析 , , 的最简公分母为3(a+1)2(a+2),
∴ = = ,
= = ,
= = ,
∴通分后,各分式的分子之和为-(a+1)2+6(a+2)+3a(a+1)=2a2+7
a+11.
6.(2024江苏无锡江阴期末,★★☆)已知分式 , ,其中
m是这两个分式中分母的公因式,n是这两个分式的最简公分
母,则 =____________.
3x+6
解析 = = ,
=- =- ,
∴m=x-2,n=3(x+2)(x-2),
∴ = =3(x+2)=3x+6.
7.【新课标·推理能力】(2025山东曲阜期末)阅读下列材料,然
后解答后面的问题.
我们知道:分式和分数有着很多的相似点,如类比分数的基本
性质,我们得到了分式的基本性质,等等.小学里,把分子比分母
小的分数叫作真分数.类似地,对于只含有一个字母的分式,我
们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式,反之,称
为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的
和的形式,如: = = + =1+ , = =
= + =x+1+ .
(1)下列分式中,属于真分式的是_______.
A. B. C. D.
(2)将假分式 化成整式和真分式的和的形式.
(3)当m取哪些整数时,分式 的值也是整数
解析 (1)∵只含有一个字母且分子的次数小于分母的次数
的分式称为真分式,∴ 是真分式, , , 是假分
式,故填A.
(2) =
= + +
=m+1+2+ =m+3+ .
(3)由(2)得 =m+3+ ,
∵m是整数,分式 的值也是整数,
∴m-1=±1或±3,
∴m=2或m=0或m=4或m=-2.(共16张PPT)
第10章 分式
第2课时 分式的约分
10.2 分式的基本性质
分式的约分与最简分式
1.(2025江苏连云港东海期中)下列分式是最简分式的是
( )
A. B. C. D.
D
解析 = , = , = = , 是最
简分式,故选D.
2.当y=4x时, 的值是_________.
解析 将y=4x代入 ,得 = = = .
3.将下列分式约分:
(1) .
(2) .
(3) .
(4) .
解析 (1) =- .
(2) =- .
(3) = = .
(4) = = .
4.(2025江苏宿迁宿城期中)先约分,再求值: ,其中x=-1.
解析 原式= = = ,
当x=-1时,原式= =-3.
5.(2025江苏无锡江阴期末改编,★★☆)下列约分结果正确的
是 ( )
A. = B. =x-y
C. =-m+1 D. =
C
解析 选项A, = ;选项B, = =x
+y;选项C, =- =-m+1;选项D,分式 的分
子、分母没有公因式,不能进行约分.故选C.
6.(2025江苏南京鼓楼月考,★★☆)下列4个分式:① ;②
;③ ;④ .其中,最简分式有_________个.
2
解析 ① 是最简分式;② = = ,不是
最简分式;③ = ,不是最简分式;④ 是最简分式.故
最简分式为①④,共2个.
7.(2025江苏南京鼓楼期中,★★☆)当a=0.5时,分式 的值
为_________.
-0.8
解析 原式= =- ,当a=0.5时,原式=- =-
0.8.
8.(2024北京中考改编,★★☆)已知a-b-1=0,则代数式
的值为_________.
3
解析 ∵a-b-1=0,∴a-b=1,
∴ = = = = = =3.
9.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】(2025江苏苏州
期中)我们给出定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个
分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整
式”.例如: = =4x,则称分式 是“巧分
式”,4x为它的“巧整式”.
根据上述定义,解决下列问题.
(1)下列分式中,是“巧分式”的有_______(填序号).
① ;② ;③ .
(2)若分式 (m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧
整式”为x-7,求m的值.
(3)若分式 的“巧整式”为1-x.
①求整式A.
② 是“巧分式”吗
解析 (1)∵ =2x-3,2x-3是整式,∴①是“巧
分式”;
∵ = = =2- ,2- 不是整式,∴②不
是“巧分式”;
∵ = =x-y,x-y是整式,
∴③是“巧分式”.
故答案为①③.
(2)∵分式 (m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧
整式”为x-7,∴(x+3)(x-7)=x2-4x+m,
即x2-4x-21=x2-4x+m,∴m=-21.
(3)①∵分式 的“巧整式”为1-x,
∴A= = = =2x(1+x)=2x2+2x.
②由①得A=2x2+2x,∴ = =
= =x+1,
∵x+1是整式,∴ 是“巧分式”.(共26张PPT)
第10章 分式
第1课时 分式方程的概念与增根
10.5 分式方程
分式方程的概念
1.(2025江苏镇江扬中期中)下列方程:① =1;② =2;③
= ;④ + =5.其中是分式方程的有 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
D
解析 ①的分母中不含未知数,故不是分式方程;②③④的分
母中含未知数x,∴是分式方程.故选D.
解分式方程
2.(2025江苏无锡模拟)方程 =2x的解是x=2,则a的值是
( )
A.0 B.1 C.-1 D.无解
A
解析 把x=2代入方程,得 =2×2,解得a=0,故选A.
3.(2025湖南中考)将分式方程 = 去分母后得到的整式方
程为 ( )
A.x+1=2x B.x+2=1
C.1=2x D.x=2(x+1)
A
解析 原方程两边同乘x(x+1),得x+1=2x,故选A.
4.(2025山东威海中考改编)方程 -1= 的解为______.
x=0
解析 原方程去分母,得x-2-(2x-1)=-1,
解得x=0,检验:当x=0时,2x-1≠0,
故原方程的解为x=0.
5.解下列分式方程:
(1)(2025江苏镇江中考) = .
(2)(2025江苏苏州期中) - = .
(3)(2024陕西中考) + =1.
解析 (1)方程两边同乘2(4+x),得2(3-x)=4+x,
解得x= ,
检验:当x= 时,2(4+x)≠0,
∴x= 是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘(6x-3),得2x-1-6=1,解得x=4,
检验:当x=4时,6x-3≠0,
∴x=4是原分式方程的解.
(3)方程两边同乘(x+1)(x-1),得2+x(x+1)=(x+1)(x-1),解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.
分式方程的增根
6.(2025江苏泰州靖江期末)若关于x的方程 =2有增根,则a
的值为_________.
1
解析 方程两边同乘(x-1),得x-a=2(x-1),解得x=2-a,∵关于x的
方程 =2有增根,∴x-1=0,解得x=1,∴a=-1+2=1.
7.(2025江苏扬州高邮月考)解分式方程:
=2+ .
解析 去分母,得x-3=2(x-4)+1,
去括号,得x-3=2x-8+1,
移项,得x-2x=-8+1+3,
合并同类项,得-x=-4,解得x=4.
检验:当x=4时,x-4=0,∴x=4是增根.
∴原分式方程无解.
8.(2025江苏苏州吴中月考,★★☆)用换元法解分式方程
- +1=0时,如果设 =y,那么原分式方程可化为 ( )
A.y- =0 B.y- +1=0
C.y- +1=0 D.y- +1=0
D
解析 将 =y代入原分式方程,得y- +1=0,故选D.
9.(2025江苏无锡江阴月考,★★☆)关于x的方程 =1的解
为负数,则m的取值范围为 ( )
A.m<1 B.m<1且m≠-2
C.m>1 D.m>1且m≠3
D
解析 方程两边同乘(x+2),得3-m=x+2,解得x=1-m,
∵关于x的方程的解为负数,∴x=1-m<0,解得m>1.∵x+2≠0,∴
x≠-2,∴1-m≠-2,即m≠3,∴m的取值范围为m>1且m≠3.故选D.
10.(2025四川遂宁中考,★★☆)若关于x的分式方程 =
-1无解,则a的值为 ( )
A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3
D
解析 方程两边同乘(2-x),得3-ax=-a-(2-x),整理得(a+1)x=a+5,
∵关于x的分式方程无解,
∴分式方程有增根或化简所得的整式方程无解,
∴a+1=0或x= =2,
当a+1=0时,解得a=-1;当 =2时,解得a=3,
经检验,a=3是方程 =2的解.
综上,a的值为-1或3.故选D.
11.(2024江苏南通期末,★★★)若关于x的分式方程 = 有
正整数解,则整数m的值是 ( )
A.3 B.5 C.3或5 D.3或4
D
解析 解分式方程,得x= ,∵分式方程有正整数解, =
=1+ ,∴m-2=1或m-2=2,且 ≠0且 ≠1,∴
m=3或4.
12.(★★☆)已知关于x的分式方程 - =1.
(1)若分式方程的根是x=5,求a的值.
(2)若分式方程有增根,求a的值.
(3)若分式方程无解,求a的值.
解析 (1)把x=5代入 - =1,得 - =1,解得a=-1.
(2) - =1,
方程两边都乘x(x-2),得x(x-a)-5(x-2)=x(x-2),整理,得(a+3)x=10,
∵分式方程有增根,∴x(x-2)=0,∴x=0或x=2,
把x=0代入(a+3)x=10,得(a+3)×0=10,不成立,舍去;
把x=2代入(a+3)x=10,得(a+3)×2=10,解得a=2.综上,a=2.
(3)由(2)可知,分式方程整理得(a+3)x=10,
当a+3=0时,整式方程无解,此时a=-3;
当a+3≠0时,要使分式方程无解,则分式方程有增根,由(2)知a=
2.综上,a=-3或a=2.
13.【新课标·运算能力】(2025江苏泰州靖江一模)关于x的不
等式组 的解集为x≤a,且关于y的分式方程 -
=1的解为正整数,则所有满足条件的整数a的值的和为
( )
A.3 B.4 C.7 D.8
C
解析 解不等式组得
∵不等式组的解集为x≤a,∴a≤5,
解分式方程得y= ,
∵分式方程的解为正整数,
∴ 解得a>-3,且a≠1,
∴a的取值范围为-3∵分式方程的解为正整数,a为整数,
∴a=-1或3或5,
∴所有满足条件的整数a的值的和为-1+3+5=7.
故选C.
14.【新课标·推理能力】(2025江苏盐城期末)对于形如x+ =
n(m,n为常数)的分式方程,若m=ab,n=a+b,容易验证x1=a,x2=b是
分式方程x+ =n的解.
例如:x+ =3可化为x+ =1+2,所以x1=1,x2=2是分式方程x+
=3的解;又如x+ =-5可化为x+ =(-2)+(-3),所以x1=-2,x2
=-3是分式方程x+ =-5的解.
根据上面材料,解答下列问题:
【材料理解】
(1)分式方程x+ =6的解为x1=_______,x2=_______(x1【类比引申】
(2)若x1=a,x2=b是分式方程x+ =2的解,求 + 的值.
【拓展提升】
(3)若关于x的分式方程x+ =2k+5的解为x1,x2(x1 的值.
解析 (1)∵x+ =6可以化为x+ =2+4,∴方程x+ =6的解
为x1=2,x2=4,故答案为2;4.
(2)∵x1=a,x2=b是分式方程x+ =2的解,
∴a+b=2,ab=-1,∴ + = = =-2.
(3)x+ =2k+5可化为x-2+ =2k+3,
设y=x-2,则分式方程可化为y+ =k+k+3,
∴y1=k,y2=k+3是这个分式方程的解,
∵k∴x1=k+2,x2=k+5,∴ = = .(共30张PPT)
第10章 分式
第2课时 分式的混合运算
10.4 分式的乘除
分式的乘除混合运算
1.【学科特色·易错题】(2025山西临汾霍州月考)计算m2÷ ·m
的结果是__________.
m4
解析 原式=m2·m·m=m2+1+1=m4.
易错警示 易忽略运算顺序,先算乘法,导致错误.
2.计算:
(1)(2025江苏泰州期末) ÷ · .
(2)(2024江苏扬州期末)(x2-4y2)÷ · .
解析 (1) ÷ · = ÷ ·
= · · = .
(2)(x2-4y2)÷ ·
=(x+2y)(x-2y)· ·
=-y.
分式的混合运算
3.(2025江苏南通三模)化简 · 的结果是 ( )
A.a+b B. C.a-b D.
A
解析 · = · = · =a+b,故
选A.
4.已知x-3y=0,且y≠0,则 · = ( )
A.2 B. C. D.3
C
解析 · = ·
= · = ,
∵x-3y=0,∴x=3y,又y≠0,
∴原式= = .故选C.
5.(2025江苏扬州中考)计算: ÷ =___________.
x-2
解析 原式= ·x=x-2.
6.(2025黑龙江绥化中考)计算:1- ÷ =_______.
-
解析 1- ÷ =1- ÷ =1-
· =1- = - = =- .
7.(2025辽宁中考)计算: ÷ - .
解析 ÷ - = · -
= - = = .
8.(2024江苏苏州中考)先化简,再求值: ÷ ,其中x
=-3.
解析 ÷ = · = ·
= ,当x=-3时,原式= = .
9.(2025河南安阳期末,★★☆)如图所示的是某同学关于分式
的运算过程,其中“ ”部分不小心被擦
掉了,则被擦去的部分是 ( )
B
÷
= ·
=4+x.
A.x B.x+2 C.x-2 D.4-x2
解析 根据题意可知,被擦去的部分加上 得到 ,则
被擦去的部分为 - = = = =
2+x.故选B.
10.(2025江苏泰州一模,★★★)已知a为整数,且 - ÷
的值为正整数,则所有符合条件的a的值的和为
( )
A.0 B.12 C.10 D.8
C
解析 - ÷
= - ÷
= - ·
= - = ,
∵a为整数,且 - ÷ 的值为正整数,
∴a-3=1或3且a-3≠0,a±2≠0,
∴a=4或6,
∴所有符合条件的a的值的和为4+6=10.
故选C.
11.(★★☆)计算 ÷(x+y)· 的结果为_________.
解析 原式= · · = = .
12.(★★☆)李老师讲完了“分式的乘除”一节后,给同学们
出了这样一道题:若x=-2 026,求代数式 ÷ ·
的值.一会儿,小明说:“老师,这道题中的x=-2 026是多余
的.”请你判断小明的说法是否正确,并说明理由.
解析 小明的说法正确.理由如下:
÷ ·
= · · =1,
∴无论x取任何有意义的值,代数式 ÷ · 的
值恒为1,∴小明的说法正确.
13.【学科特色·教材变式】(2025江苏宿迁宿豫一模,★★☆)
已知a2+3a-2=0,求 ÷ 的值.
解析 ÷ = ÷ =
÷ = · =- =- .
∵a2+3a-2=0,∴a2+3a=2,
∴原式=- .
14.(2025江苏南京玄武月考节选,★★☆)已知式子A=
÷ .
(1)化简这个式子.
(2)把A化简结果中的分子与分母同时加上3,得到B,当a>2时,B
的值较A的值是变大了还是变小了 试说明理由.
解析 (1)A= ÷ = · =
· = .
(2)B的值较A的值变小了.
理由:由(1)知A= ,∴B= ,
∴A-B= - =
= = .
∵a>2,∴a-2>0,a+1>0,
∴ >0,即A-B>0,∴A>B.
∴B的值较A的值变小了.
15.【新课标·运算能力】【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习
惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的
单价相同,例如:
第一次:
第二次:
(1)完成上表.
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金
额÷总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜,乙每次买金额为
n元的菜,两次的单价分别是a元,b元,用含有m,n,a,b的式子,分
别表示出甲、乙两次买菜的均价 , .比较 , 的大小,并
说明理由.
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一
次,在水流速度为0时,船的速度为v,所需时间为t1;如果水流速
度为p时(p所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验,比较t1,t2的大小,并说明
理由.
解析 【生活观察】(1)2;1.5.
(2)甲两次买菜的均价为 =2.5(元/千克);
乙两次买菜的均价为 =2.4(元/千克).
【数学思考】 = = ,
= = = .
≥ .理由:∵ - = - = = ,
a>0,b>0,(a-b)2≥0,∴ ≥0,即 - ≥0,∴ ≥ .
【知识迁移】t1∵t1= + = ,
t2= + = = ,
∴t1-t2= - = = .
∵s>0,p>0,v>0,v>p,∴ <0,即t1-t2<0,∴t1第10章 分式
10.3 分式的加减
同分母分式的加减
1.(2025江苏无锡期末)计算 - 的结果是 ( )
A.3 B.x C.3x D.
A
解析 - = = =3.故选A.
2.(2025河北邢台一模)已知- = +△,△表示整式,则△
是 ( )
A.-1 B.1 C.x D.-x
A
解析 ∵- = +△,∴△=- - =- =-1,故选A.
3.计算: + =___________.
a-b
解析 + = = =a-b.
4.计算:
(1) - .
(2) - .
(3) + .
解析 (1)原式= = =x+y.
(2)原式= = = =a-1.
(3)原式= = = .
异分母分式的加减
5.(2025河南中考)化简 - 的结果是 ( )
A.x+1 B.x C.x-1 D.x-2
A
解析 原式= + = = =x+1,故选A.
6.计算 - 的结果是 ( )
A.0 B.1
C.- D.-
D
解析 - = - = =- .
7.(2025江苏扬州宝应期中)已知x-y=3xy,则 - =_________.
3
解析 ∵x-y=3xy,∴ - = = =3.
8.计算:
(1) + .(2) + .(3)a-b+ .
解析 (1)原式= + = .
(2)原式= + = .
(3)原式= + = = .
9.【学科特色·教材变式】(2024江苏连云港中考)下面是某同
学计算 - 的解题过程:
解: -
= - ……①
=(m+1)-2……②=m-1.……③
上述解题过程从第几步开始出现错误
请写出完整的正确解题过程.
解析 从第②步开始出现错误,正确的解题过程如下:
原式= - = = =
.
“作差法”比较分式的大小
10.(2025江苏无锡江阴期中改编)已知x>y>0,a是正数,则
______ .(填“>”“<”或“=”)
>
解析 - = = ,
∵x>y>0,a是正数,∴a(x-y)>0,x(x+a)>0,
∴ >0,即 > .
11.【新考向·代数推理】(2025江苏南京月考)已知x>0,试说明
≥-x+4.
解析 -(-x+4)= +x-4= = ,
∵(x-2)2≥0,x>0,∴ ≥0,∴ ≥-x+4.
12.(2025山东威海乳山期中,★★☆)对于任意的x值都有
= + ,则M,N的值分别为 ( )
A.1,3 B.-1,3 C.2,4 D.1,4
B
解析 + = = ,
∵ = ,
∴ 解得 故选B.
13.【跨物理·光学】(★★☆)照相机成像应用了一个重要原
理,用公式 = + (v≠f)表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u
表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,v,
则u=_________.
解析 ∵ = + (v≠f),∴ = - = ,
∴u= .
14.(2025江苏无锡经开区期中,★★☆)已知 = ,则 +
- =_________.
解析 + -
= = ,
∵ = ,∴a= b,
∴原式= = .
15.(2025贵州中考,★★☆)先化简: - ,再从-1,0,2中
选取一个使原式有意义的数代入求值.
解析 - = -
= = ,
∵原式要有意义,∴a(a-1)≠0,∴a≠0且a≠1,
∴当a=-1时,原式= =-1;
当a=2时,原式= .
(答案不唯一,任选-1或2代入求值即可)
16.(2025河北邢台期末,★★☆)嘉琪在计算 - 时把整
式M抄错了,得到的结果是 ,他在核对时发现所抄写的M
比原来大2b.
(1)求整式M.
(2)计算正确的结果.
解析 (1)设把M抄写成了N,
由题意可得 - = ,
∴ = - = = = ,
∴N=a+b,
∴M=N-2b=a+b-2b=a-b.
(2)把M=a-b代入原式得 -
= = = .
17.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)甲、乙两人两次同时在
一家加油站加油,两次某种汽油的价格分别为每升a元和b元
(a≠b),甲每次加入40升汽油,乙每次加入200元汽油.
(1)若甲两次加油的平均单价为Q1元,乙两次加油的平均单价
为Q2元,则Q1=_______,Q2=_______.
(2)请比较甲、乙两人的平均单价,判断哪一个更便宜,并说明
你的理由.
解析 (1)Q1= = ,Q2= = ,
故答案为 ; .
(2)乙的平均单价更便宜.
理由:Q1-Q2= - = = ,
∵a≠b,∴(a-b)2>0,
∵a>0,b>0,∴2(a+b)>0,
∴ >0,即Q1-Q2>0,
∴Q1>Q2.
∴乙的平均单价更便宜.
18.【新课标·推理能力】已知M= ,N= .
(1)当x>0时,判断M与N的大小关系,并说明理由.
(2)设y= +N,若x是整数,求y的正整数值.
解析 (1)M≥N.理由:M-N= -
= = .
∵x>0,∴2(x+1)>0,又(x-1)2≥0,∴ ≥0,∴M≥N.
(2)y= +N= + = = + =2+ .
∵x,y都是整数,∴ 是整数,∴x+1=±1或±2.
当x+1=1时,y=2+ =4>0,当x+1=-1时,y=2+ =0(舍去),当x+1=2
时,y=2+ =3>0,当x+1=-2时,y=2+ =1>0,
∴当x为整数时,y的正整数值是4或3或1.(共21张PPT)
第10章 分式
第2课时 分式方程的应用
10.5 分式方程
分式方程的应用
1.(2025广西梧州二模改编)对于持二代居民身份证购买列车车票的旅客,可以不用取票直接刷身份证进站,这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间.已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍,且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟.设原来平均每分钟进站旅客的人数是x,则可列方程为______________
-5
=
2.【新考向·数学文化】(2025江苏无锡宜兴期中)《九章算
术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为一份
文件,若用慢马送到900里远的地方,所需时间比规定时间多1
天;若改为快马派送,所需时间比规定时间少3天.已知快马速
度是慢马的2倍,则规定时间为__________.
7天
解析 设规定时间为x天,
根据题意得 ×2= ,解得x=7,
经检验,x=7是原分式方程的解,且符合题意,故规定时间为7天.
3.(2025江苏扬州中考)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念
意义和实用价值的书签,已知甲款书签价格是乙款书签价格
的 倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书
签的数量少3个.求这两款书签的单价.
解析 设乙款书签的单价是x元,则甲款书签的单价是 x元,
根据题意得 - =3,解得x=16,
经检验,x=16是原分式方程的解,且符合题意,
∴ x= ×16=20.
答:甲款书签的单价是20元,乙款书签的单价是16元.
4.【学科特色·教材变式】某小区在“老、破、小”改造工程
中,需要对某一段长为3 600米的地下管网进行改造.由于雨季
即将到来,每天的施工效率比原计划提高了20%,按这样的进
度可以比原计划提前10天完成任务.求实际施工时每天改造
管网的长度.
解析 设原计划每天改造管网x米,则实际施工时每天改造管
网(1+20%)x米,
由题意得 - =10,解得x=60,
经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意.
60×(1+20%)=72(米).
答:实际施工时每天改造管网的长度是72米.
5.某商店用5 000元购进一批速滑鞋,很受学生欢迎,这批速滑
鞋很快售完,接着又用9 000元购进第二批这种速滑鞋,所购数
量是第一批数量的1.5倍,但每双进价多了50元.
(1)求第一批速滑鞋每双的进价是多少元.
(2)如果这两批速滑鞋每双的售价都是350元,那么全部售出
后,该商店可获得的利润是多少元
解析 (1)设第一批速滑鞋每双的进价是x元,则第二批速滑鞋
每双的进价是(x+50)元,
由题意得 ×1.5= ,解得x=250,
经检验,x=250是原分式方程的解,且符合题意.
答:第一批速滑鞋每双的进价是250元.
(2)350× ×(1+1.5)-(5 000+9 000)=3 500(元).
答:该商店可获得的利润是3 500元.
6.(2024江苏苏州工业园区月考改编,★★☆)《千里江山图》
是宋代王希孟的作品,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米,
宽为1.4米的长方形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且
四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度是___________米.
0.1
解析 设边衬的宽度是x米,则整幅图画的宽为(1.4+2x)米,整
幅图画的长为(2.4+2x)米,
根据整幅图画宽与长的比是8∶13,
得 = ,解得x=0.1,
经检验,x=0.1是原分式方程的解,且符合题意,
∴边衬的宽度是0.1米.
7.(2025山西中考,★★☆)我国自主研发的HGCZ-2000型快速
换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路
钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米
数是一个工作队人工更换钢轨的2倍,它更换116千米钢轨比
一个工作队人工更换80千米钢轨所用时间少22小时.求一辆
该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
解析 设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x千米,则一
个工作队人工每小时更换钢轨0.5x千米,
根据题意得 - =22,解得x=2,
经检验,x=2是原分式方程的解,且符合题意.
答:一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米.
8.(2025江苏盐城中考,★★☆)某公司为节约成本,提高效率,
计划购买A,B两款机器人.已知A款机器人的单价比B款机器
人的单价多1万元,用25万元购买A款机器人的数量与用20万
元购买B款机器人的数量相同.
(1)求A,B两款机器人的单价分别是多少万元.
(2)如果购买A,B两款机器人共12台,且购买A款机器人的数量
不少于B款机器人数量的一半,请设计购买成本最少的方案.
解析 (1)设A款机器人的单价是x万元,则B款机器人的单价
是(x-1)万元,
根据题意得 = ,解得x=5,
经检验,x=5是原分式方程的解,且符合题意,
∴x-1=4.
答:A款机器人的单价是5万元,B款机器人的单价是4万元.
(2)设购买A款机器人m台,则购买B款机器人(12-m)台,
根据题意得m≥ (12-m),解得m≥4,
设购买成本为w万元,
根据题意得w=5m+4(12-m)=m+48,
∵1>0,∴w随m的增大而增大,
∴当m=4时,w有最小值,此时12-m=8.
答:购买成本最少的方案是购买A款机器人4台,B款机器人8台.
9.【新课标·模型观念】(2025江苏南通一模)某汽车网站对两
款价格相同、续航里程相同的汽车进行了一次测评,已知一
款为燃油车,另一款为纯电新能源车.得到的相关数据如下:
燃油车 纯电新能源车
油箱容积:48升 电池容量:90千瓦时
油价:8元/升 电价:0.6元/千瓦时
(1)设两款车的续航里程均为a千米,请用含a的代数式分别表
示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元.
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和纯电新能源车每年的其他费用分别为4 800元
和8 100元.问每年行驶里程超过多少千米时,纯电新能源车的
年费用更低 (年费用=年行驶费用+年其他费用)
解析 (1)燃油车每千米行驶费用为 = (元),纯电新能
源车每千米行驶费用为 = (元).
(2)①由题意得 - =0.55,解得a=600,
经检验,a=600是原分式方程的解,且符合题意.
∴ = =0.64, = =0.09,
∴燃油车每千米行驶费用为0.64元,纯电新能源车每千米行驶
费用为0.09元.
②设每年行驶里程为x千米,
由题意得,0.64x+4 800>0.09x+8 100,解得x>6 000.
答:当每年行驶里程超过6 000 千米时,纯电新能源车的年费用
更低.(共15张PPT)
第10章 分式
第1课时 分式的乘除运算
10.4 分式的乘除
分式的乘除与乘方
1.(2025陕西咸阳期中)计算 · 的结果为 ( )
A. B. C.- D.
D
解析 · = · = ,故选D.
2.(2024江苏苏州期末)已知 = ,若等式恒成立,则“ ”
中的运算符号是 ( )
A.+ B.- C.· D.÷
D
解析 ÷ = · = .故选D.
3.(2025山东烟台牟平期中)化简x3 的结果是 ( )
A.xy6 B.xy5 C.x2y5 D.x2y6
A
解析 x3 =x3· =xy6,故选A.
4.(1)(2025湖北武汉硚口一模)计算 ÷ 的结果是_______
(2)化简 · 的结果为_________.
(3)化简 ÷ 的结果为 ,则a=_________.
4
a
解析 (1)原式= · = .
(2)原式= · =a.
(3)原式= · = = = ,∴x+3-a=
x-1,解得a=4.
5.计算:
(1) · .
(2) · .
(3) ÷ .
(4) ÷ .
解析 (1)原式=- · =- .
(2)原式= · =- .
(3)原式= · = .
(4)原式= · = =- .
6.(2025江苏南京鼓楼月考,★★☆)下列计算正确的是 ( )
A. = B.a3+a2=a5
C. = D. =
C
解析 = ,故A选项计算错误;a3和a2不是同
类项,不能合并,故B选项计算错误; = ,故C选项计算
正确; = ,故D选项计算错误.故选C.
7.(2024江苏淮安期末,★★☆)代数式 ÷ (x为整
数)的值为F,则F为整数的个数为 ( )
A.0 B.7 C.8 D.无数
B
解析 ÷ = ·(x+6)= = =1+ ,
∵代数式 ÷ 的值为F,且F为整数,∴ 为整数,
且x≠2,x≠-6,∴x-2=±1或±2或±4或8时,F为整数,∴F为整数的
个数为7.故选B.
8.【新考向·新定义题】(★★☆)定义新运算:x*y= ,则化
简(a*b)×[b*(-a)]的结果是_________.
解析 根据题意可得(a*b)×[b*(-a)]= × =
.
9.(2025安徽宿州月考,★★☆)美琪在做数学作业时,不小心将
式子中除号后边的式子污染了,即 ÷ ,通过查看得知答
案为 ,则被污染的式子为_________.
解析 由题意得被污染的式子为 ÷ =
· = .
10.(2025江苏南京玄武月考,★★★)化简 ÷ ,并判断
当x满足不等式组 时,该代数式的值的符号.
解析 ÷ = · = ,解不等式组
得-20,∴ <0,∴该代数式
的值的符号是负号.
