(共33张PPT)
第六章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2025山东淄博期末)下列说法正确的是 ( )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
解析 A.对角线相等的四边形不一定是平行四边形,故原说
法错误;B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故原说法错
误;C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故原说法错误;
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故原说法
正确.故选D.
2.(2025山东聊城三模)如图,四边形ABCD是矩形,将一副三角
尺按如图所示的方式放置,直角顶点重合于点A,则∠1-∠2=
( )
A.45°
B.30°
B
C.25°
D.随△EAG的位置的变化而变化
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠1=∠DGA,即
∠1=∠2+∠AGE,由题意得∠AGE=30°,∴∠1=∠2+30°,
∴∠1-∠2=30°.故选B.
3.如图,在菱形ABCD中,CE⊥BD于点E,F为AD边的中点,连接
EF,若菱形ABCD的周长为20,则线段EF的长为 ( )
A.5 B.4 C. D.2
C
解析 ∵菱形ABCD的周长为20,∴AB=BC=CD=AD=5,∵CE⊥
BD,∴E是BD的中点,∵F为AD边的中点,∴EF是△ABD的中位
线,∴EF= AB= .故选C.
4.(2025陕西中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD
为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
解析 ∵∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,∴CD= AB=AD=
BD,∴∠B=∠BCD,∵DE⊥AC,∴∠ADE=∠CDE,∵∠A+
∠ADE=90°,∠A+∠B=90°,∴题图中与∠A互余的角有∠ADE,
∠CDE,∠B,∠BCD,共4个.故选C.
5.(2025山东潍坊期末)如图,在正方形ABCD外侧,以AD为一边
向上作等边三角形ADE,连接BE,AC,相交于点F,则∠BFC的度
数是 ( )
A.50° B.55°
C.60° D.65°
C
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=
90°,∠BAC=45°,∵△ADE是等边三角形,∴AD=AE=DE,
∠DAE=60°,∴AE=AB,∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°,
∴∠ABE=∠AEB= (180°-∠BAE)= ×(180°-150°)=15°,
∴∠BFC=∠BAC+∠ABE=45°+15°=60°.故选C.
6.【跨艺术·绘画作品】图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数
学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱
形,将图②截去一个边长为原来的一半的菱形得到图③,用图
③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④
中∠ABC的度数是 ( )
D
A.45° B.90° C.75° D.60°
解析 如图,
∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,
∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°,
∵BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故选D.
7.(2025山东德州德城期中)顺次连接四边形各边中点得到的
四边形是矩形,则原四边形ABCD一定满足 ( )
A.AC⊥BD
B.四边形ABCD为正方形
C.四边形ABCD为菱形
D.AC=BD
A
解析 如图,∵E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,∴EF,FG,
GH分别为△ABC,△BCD,△ADC的中位线,∴EF∥AC,EF= AC,GH∥AC,GH= AC,FG∥BD,∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH为平行四边形,当AC⊥BD时,∵EF∥AC,FG∥BD,
∴EF⊥FG,∴∠EFG=90°,
∴平行四边形EFGH为矩形,故选A.
8.如图,将正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA分别顺次延长至
E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH,则四边形EFGH是 ( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
D
解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,
∴∠FBE=∠GCF=∠HDG=∠EAH=90°,
∵BE=CF=DG=AH,
∴AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH,
即AE=BF=CG=DH,
在△FBE和△GCF中,
∴△FBE≌△GCF(SAS),
∴EF=FG,∠BFE=∠CGF,
∵∠GCF=90°,∴∠CGF+∠GFC=90°,
∴∠BFE+∠GFC=90°,即∠EFG=90°,
易证得△GCF≌△HDG≌△EAH≌△FBE,
∴FG=GH=HE=EF,
∴四边形EFGH是菱形,
又∵∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形.
故选D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.【新考向·中华优秀传统文化】李华在游玩的时候发现,中
国古代建筑中的窗格图案美观大方,如图所示,李华认为窗格
中的小四边形为菱形,请你用米尺帮李华设计一个检验的方
案:____________________________________________________
_______________________________________________.
如果四条边的长度相等,那么这个小四边就是菱形
用米尺测量窗格中小四边形的四条边的长度是否相等,
解析 四条边都相等的四边形是菱形.
10.(2025山东淄博博山二模)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD
是BC边上的中线,且BC+AD=18,则BC的长为__________.
12
解析 ∵∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,∴AD= BC,
∵BC+AD=18,∴BC=12.
11.(2024吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于
点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点,连接EF.若∠FEO=45°,
则 的值为_________.
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠DAC=45°,AD=
BC,∵∠FEO=45°,∴∠FEO=∠DAC,∴EF∥AD,∵点E是OA
的中点,∴点F是OD的中点,∴EF是△AOD的中位线,
∴EF= AD,∴EF= BC,即 = .
12.(2025山东泰安泰山学院附中三模)如图,在矩形ABCD中,
AB=6,BC=8,点P为对角线AC上的一个动点(点P不与点A,点C
重合),点P关于AB的对称点为E,点P关于BC的对称点为F,连接
EF,EF经过点B,则在点P的运动过程中,线段EF长度的最小值
等于___________.
9.6
解析 如图,连接BP,过点B作BH⊥AC于点H,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC= = =10,
由三角形的面积公式得S△ABC= AC·BH= AB·BC,
∴BH= = =4.8,
根据轴对称的性质得直线AB是线段PE的垂直平分线,直线BC
是线段PF的垂直平分线,
∴BE=BP,BF=BP,∴BE=BP=BF,
∵EF经过点B,∴EF=2BP,
当BP的长度最小时,EF的长度最小,
根据垂线段最短得,点P与点H重合时,BP的长度最小,最小值
为线段BH的长度,∴BP的最小值为4.8,
∴EF的最小值为9.6.
三、解答题(共52分)
13.(2025山东济南商河二模)(14分)如图,在菱形ABCD中,CE⊥
AB于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证:CE=DF.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵CE⊥AB,DF⊥BC,
∴菱形ABCD的面积=AB·CE=BC·DF,
∴CE=DF.
14.(2025山东烟台栖霞期中)(18分)如图,以△ABC的三边为直
角边分别向外作等腰直角△ABD,等腰直角△BCE和等腰直
角△ACF,连接DE,EF.当∠BAC满足什么条件时,四边形ADEF
是矩形 请证明你的结论.
解析 当∠BAC=135°时,四边形ADEF是矩形.
证明:∵△BCE和△ABD为等腰直角三角形,
∴∠DBA=∠EBC=90°,∠BDA=∠BAD=45°,DB=BA,EB=BC,
∴∠DBE+∠EBA=90°,∠ABC+∠EBA=90°,
∴∠DBE=∠ABC,∴△DBE≌△ABC(SAS),
∴DE=AC,∠EDB=∠BAC,
∵△ACF为等腰直角三角形,
∴FA=AC,∴DE=FA,
∵∠EDA=∠EDB-∠BDA=∠BAC-45°,∠DAF=360°-∠FAC-
∠BAD-∠BAC=360°-90°-45°-∠BAC=225°-∠BAC,
∴∠EDA+∠DAF=180°,∴DE∥FA,
∴四边形ADEF是平行四边形,
当∠BAC=135°时,∠DAF=90°,
∴平行四边形ADEF是矩形.
15.(2025吉林延边延吉期中)(20分)如图,在矩形ABCD中,∠BAD
的平分线交对角线BD于点M,交BC边于点N,ME⊥AB,MF⊥AD,垂足分别为E,F.
(1)求证:四边形AEMF是正方形.
(2)过点C作CG∥MN,若AB=4,BC=10,求四边形ANCG的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵ME⊥AB,MF⊥AD,
∴∠AEM=∠AFM=90°,
∴四边形AEMF是矩形,
∵∠BAD的平分线交对角线BD于点M,
∴∠EAM=∠FAM,
在△AEM与△AFM中,
∴△AEM≌△AFM(AAS),
∴AE=AF,∴矩形AEMF是正方形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴∠DAN=∠ANB,
∵∠BAD的平分线交对角线BD于点M,
∴∠DAN=∠BAN,∴∠BAN=∠ANB,
∴AB=BN=4,∴NC=BC-BN=10-4=6,∵CG∥MN,AD∥BC,
∴四边形ANCG是平行四边形,
∴四边形ANCG的面积=NC·AB=6×4=24.(共33张PPT)
第六章 特殊平行四边形
第2课时 矩形的判定
2 矩形的性质与判定
矩形的判定
1.【学科特色·易错题】(2025山东青岛莱西期末)我国古代有
“不以规矩,不能成方圆”的说法,人们把“规矩”当作几何
名词,“规”是圆,“矩”是方,所以初中以后就把长方形改为
比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上,小明用四根细木条
搭成如图所示的一个四边形,现要判断这个四边形是不是矩
形,以下测量方案正确的是 （ ）
A
A.测量是否有三个角是直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直
解析 ∵有三个角是直角的四边形是矩形,
∴要判断这个四边形是不是矩形,可以测量是否有三个角是
直角.故选A.
易错分析
此题易忽视前提条件是“四边形”,而不是“平行四边形”,从而
误选B.
2.(2025四川德阳中考)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需
要增加的一个条件可以是 （ ）
A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD
D
解析 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,可知增加
条件AC=BD能使平行四边形ABCD是矩形.故选D.
3.【新考向·条件开放题】(2025北京顺义月考)如图,在菱形
ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE=DF.只需添加一个条件
即可证明四边形AECF是矩形,这个条件可以是___________
_________(写出一个即可).
案不唯一)
AE⊥BC(答
解析 这个条件可以是AE⊥BC,理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AD=BC,
∵BE=DF,∴BC-BE=AD-DF,即CE=AF,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴四边形AECF是矩形.
4.(2025广东深圳模拟)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长
到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F,连接BE,AC.添加一个条
件,使四边形ABEC是矩形.下列四个条件:①∠DAC=∠EAC;
②AD=AE;③AB=AD;④∠AFC=2∠ABC中,你认为可选择的是
________.(填上所有满足条件的序号)
①②④
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AD
=BC,AB=CD,∵CE=CD,∴CE=AB,∴四边形ABEC是平行四边
形.
①∵AD∥BC,∴∠ACF=∠DAC,∵∠DAC=∠EAC,∴∠ACF=
∠EAC,∴FC=AF,∵四边形ABEC是平行四边形,∴AF= AE,
CF= BC,∴AE=BC,∴四边形ABEC是矩形,故①符合题意.
②∵AD=AE,AD=BC,∴AE=BC,∵四边形ABEC是平行四边形,
∴四边形ABEC是矩形,故②符合题意.
④∵∠AFC=2∠ABC,∠AFC=∠ABC+∠BAF,∴∠ABC=∠BAF,∴BF=AF,∵四边形ABEC是平行四边形,∴AF= AE,BF= BC,
∴AE=BC,∴四边形ABEC是矩形,故④符合题意.
③由AB=AD不能推出四边形ABEC是矩形.
综上,可选择的条件是①②④.
5.【学科特色·多解法】如图,在 ABCD中,∠ACB=90°,过点D
作DE⊥BC交BC的延长线于点E.求证:四边形ACED是矩形.
证明 【证法一】∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ACE=180°-90°=90°,
∵DE⊥BE,∴∠DEC=90°,
∴∠ACE=∠DAC=∠DEC=90°,
∴四边形ACED是矩形.
【证法二】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,
∵DE⊥BE,∴∠DEC=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠DEC=∠ACB,
∴DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形,
又∵∠DEC=90°,
∴平行四边形ACED是矩形.
6.(2025云南中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中
点.延长BO至点D,使OD=OB,连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△
AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长.
解析 (1)证明:∵O是AC的中点,
∴OA=OC,∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)∵AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形
ABCD的周长为l3,
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,l3=2(AB+BC)=2(a+b)=28,
∴ ∴ ∴AB=6,BC=8,
∴在Rt△ABC中,AC= =10.
7.(2025四川凉山中考,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,对角
线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于
点F,EG⊥AC于点G,连接FG,若AC=12,BD=16,则FG的长为____
_____.
5
解析 如图,连接OE,
∵四边形ABCD是菱形,AC=12,BD=16,
∴AC⊥BD,OC= AC=6,OD= BD=8,∴∠COD=90°,在Rt△
COD中,由勾股定理得CD= = =10,∵E是边
CD的中点,∴OE是Rt△OCD斜边上的中线,∴OE= CD=5,
∵EF⊥BD,EG⊥AC,∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°,∴四边形
OGEF是矩形,∴FG=OE=5.
8.【学科特色·方程思想】(2025江苏南京江宁月考,★★☆)如
图,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,E,F是对角线AC上的两个
动点,分别从A,C同时出发,相向而行,速度均为2 cm/s,运动时
间为t s(0≤t≤5,且t≠2.5),若G,H分别是AB,DC的中点,当以E,
G,F,H为顶点的四边形是矩形时,t的值为_______________.
0.5或4.5
解析 如图,连接GH,易知GH=BC=8 cm,
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,∠B=90°,∴∠GAE
=∠HCF,AC= = =10(cm),∵G,H分别是AB,
DC的中点,∴AG=CH,∵E,F是对角线AC上的两个动点,分别
从A,C同时出发,相向而行,速度均为2 cm/s,∴AE=CF,∴AE+
EF=CF+EF,即AF=CE,
在△AFG与△CEH中, ,
∴△AFG≌△CEH(SAS),∴GF=HE,
在△AGE与△CHF中, ,
∴△AGE≌△CHF(SAS),∴GE=HF,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∴当EF=GH=8 cm时,四边形EGFH是矩形,
分两种情况:
①当0≤t<2.5时,EF=(10-4t)cm,
易得10-4t=8,解得t=0.5;
②当2.5易得4t-10=8,解得t=4.5.
综上,当以E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时,t的值为0.5或4.5.
故答案为0.5或4.5.
思想解读
方程思想
在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段就是设元,寻找
已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程或方程
组,完成从未知向已知的转化,这种解决问题的思想称为方程思想.
9.(2025山东青岛市南二模,★★☆)如图,四边形ABCD是平行
四边形,延长CD至E,延长AB至F,使DE=BF,连接AE,CF.
(1)证明:△ADE≌△CBF.
(2)若D是CE的中点,AD平分∠EAF,则边AB与BC满足什么数
量关系时,四边形AECF是矩形 证明你的结论.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠ADC=∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)BC= AB时,四边形AECF是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,
∵DE=BF,D为CE的中点,
∴DE=CD=AB=BF,∴CE=AF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AD平分∠EAF,∴∠EAD=∠BAD,
∵AB∥CD,∴∠BAD=∠ADE,
∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,
∵BC= AB,
∴AD= ED,∴AE2+DE2=AD2,
∴∠AED=90°,∴四边形AECF是矩形.
10.【学科特色·教材变式P18T2】【学科特色·双角平分线模
型】(★★☆)如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点
O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角
∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.
(3)连接AE,AF,当点O在边AC的什么
位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
解析 (1)证明:∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB,
∵MN∥BC,∴∠ECB=∠OEC,
∴∠ACE=∠OEC,∴OC=OE,
同理可得OC=OF,∴OE=OF.
(2)∵CE,CF分别平分∠ACB和∠ACD,
∴∠ACE= ∠ACB,∠ACF= ∠ACD,
∴∠ACE+∠ACF= ∠ACB+ ∠ACD= ∠BCD= ×180°=
90°,
∴EF= = =13,
由(1)知OE=OF=OC,∴OC= EF=6.5.
(3)当O为AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:∵O为AC的中点,∴OA=OC,
由(1)可知,OC=OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵OA=OC=OE=OF,∴AC=EF,
∴四边形AECF为矩形.
11.【新课标·推理能力】(2025湖北武汉硚口期中)如图,在△
ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,∠ABC的平分线
BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G,连接
AF,AG.则下列结论错误的是 （ ）
D
A.当AF∥BG时,四边形AGBF为矩形
B.当AD=BD时,四边形AGBF为矩形
C.当AB=FG时,四边形AGBF为矩形
D.当BF=BG时,四边形AGBF为菱形
解析 ∵∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别
交直线DE于点F和G,∴∠DBG=∠GBM= ∠ABM,∠DBF=
∠FBC= ∠ABC,∴∠DBG+∠DBF= (∠ABM+∠ABC)= ∠MBC,∵∠MBC=180°,∴∠GBF=90°,
∵GE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠DGB=∠GBM,∴∠DFB=∠DBF,∠DGB=∠DBG,∴DG=DB=DF.
当AF∥BG时,∠FAD=∠DBG,∵∠ADF=∠BDG,∴△ADF≌
△BDG(AAS),∴AF=BG,∴四边形AGBF为平行四边形,
又∵∠GBF=90°,∴四边形AGBF为矩形,故A不符合题意;
当AD=BD时,∵DG=DF,∴四边形AGBF为平行四边形,
∵∠GBF=90°,∴四边形AGBF为矩形,故B不符合题意;
当AB=FG时,∵BD=DG=DF= FG,∴BD= AB,∴AD=BD,∴四
边形AGBF为矩形,故C不符合题意;
当BF=BG时,△GBF是等腰直角三角形,∵DG=DF,∴AB⊥FG,
不能证得四边形AGBF是平行四边形,
∴当BF=BG时,四边形AGBF不一定为菱形,故D符合题意.故
选D.(共28张PPT)
第六章 特殊平行四边形
第1课时 菱形的性质
1 菱形的性质与判定
菱形的定义
1.(2025山东德州五中期中改编)依据所标注的数据,下列平行
四边形一定为菱形的是 （ ）
C
解析 C中,根据三角形的内角和定理可得另一个角为180°-
70°-55°=55°,
∴四边形中一组邻边相等,
∵四边形是平行四边形,∴C中图形是菱形,故选C.
方法归纳
此题通过代数计算来解决几何问题,达到了“以数解形”的目的.
2.(2025山东枣庄峄城一模)如图,在平行四边形ABCD中,点F
在边AD上,AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边
BC于点E,连接EF.求证:四边形ABEF是菱形.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AFO=∠EBO,
∵O是BF的中点,∴OB=OF,
又∵∠AOF=∠EOB,
∴△AOF≌△EOB(ASA),∴OA=OE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形.
菱形的性质
3.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.四个角都相等
C
解析 根据菱形和平行四边形的性质可知菱形具有而平行四
边形不一定具有的性质是四条边都相等,对角线互相垂直,故
选C.
4.(2025山东淄博高青期中)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,连
接AC,若AC=6,则菱形ABCD的周长为__________.
24
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∵∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC=6,∴菱形ABCD的周长
为6×4=24.故答案为24.
5.(2024上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=
____°.
57
解析 如图,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,∵∠ABC=66°,∴∠BAC= ×(180°-66°)=
57°.
6.(2025云南中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相
交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是__________.
15
解析 ∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=5,
∴菱形ABCD的面积= AC·BD= ×6×5=15.
7.(2025四川泸州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,
BC上的点,且AE=CF.求证:AF=CE.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,
在△ABF和△CBE中,
∴△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE.
8.(2024海南中考,★★☆)如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=
120°,边AB在数轴上,将AC绕点A顺时针旋转,点C落在数轴上
的点E处,若点E表示的数是3,则点A表示的数是 （ ）
A.1 B.1- C.0 D.3-2
D
解析 如图,过点C作AE的垂线,垂足为点F,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=2,AC平分∠DAB,AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠DAB=180°-∠ABC=60°,
∴∠CAB= ∠DAB=30°,∴AC=2CF,
∵∠ABC=120°,∴∠CBF=60°,
∴∠BCF=30°,∴BF= BC=1,
∴CF= = = ,
∴AC=2CF=2 ,由旋转的性质可知,AE=AC=2 .
∵点E表示的数是3,
∴点A表示的数是3-2 .故选D.
9.【学科特色·教材变式P8例3】(2025山东枣庄台儿庄古城学
校月考,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC
于点E,则AE的长是 （ ）
A. B.6 C. D.12
A
解析 ∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,
∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
在Rt△OBC中,由勾股定理,得OC= = =3,
∴AC=2OC=6,
∵菱形ABCD的面积=AE·BC= BD·AC=OB·AC,
∴AE= = = ,故选A.
10.(2025内蒙古中考改编,★★☆)如图,在菱形ABCD中,AB=10,对角线BD的长为16,E是AD的中点,F是BD上一点,连接EF.
若BF=4,则EF的长为_________.
解析 如图,连接AC交BD于点O,
∵在菱形ABCD中,BD=16,∴BO=DO=8,∠AOD=90°.取DO的
中点H,连接EH,则DH=HO=4,FH=OB+OH-BF=8,∵E是AD的
中点,AB=10,∴DE= AD= AB=5,EH∥AO,
∴∠EHD=∠AOD=90°,
∴EH= = =3,
∴EF= = = .
11.【新课标·推理能力】(2025山东烟台栖霞期中)在菱形
ABCD中,∠A=60°,点E,F分别是边AB,BC上的点.
【尝试初探】
(1)如图1,若∠EDF=60°,求证:DE=DF.
【深入探究】
(2)如图2,点G,H分别是边CD,AD上的点,
连接EG与FH相交于点O,且∠EOF=60°,
求证:EG=FH.
证明 (1)如图1,连接BD,
∵菱形ABCD中,∠A=60°,
∴AB=AD=CB=CD,∠C=60°,AD∥BC,AB∥CD,∴△ABD和△
BCD都是等边三角形,
∴AD=BD,∠ADB=60°,∠DBF=60°,
∴∠A=∠DBF,
∵∠EDF=60°,∴∠ADE=∠BDF,
∴△ADE≌△BDF(ASA),∴DE=DF.
(2)如图2,连接BD,过点D作DP∥EG交AB于点P,DQ∥FH交BC
于点Q,
则∠PDQ=∠EOF=60°,四边形DPEG和四边形DHFQ都是平
行四边形,∴DP=EG,DQ=FH,
易知△ADP≌△BDQ,∴DP=DQ,∴EG=FH.
微专题 含60°角的菱形
方法指引
当菱形中出现60°角时,就会产生等边三角形,可借助等边三角
形的性质来解决问题.
1.(2025陕西铜川模拟)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,连接AC,
点O为AC的中点,OE∥BC交AB于点E,OF∥AB交BC于点F,则
图中的等边三角形共有 （ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
A
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=
60°,∴△ABC,△ADC都是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,
∵OE∥BC,OF∥AB,∴∠AEO=∠B=60°,∠OFC=∠B=60°,
∴△AEO,△COF都是等边三角形,∴题图中的等边三角形共有4
个.故选A.
2.(2025山东济南章丘质检)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AD
=4,点P是AB边上的一个动点,点E,F分别是DP,BP的中点,则线
段EF的长为 （ ）
A.2 B.4 C.2 D.2
A
解析 如图,连接BD,
∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=4,∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AD=4,∵点E,F分别是DP,BP的中点,∴EF为△PBD的中位线,∴EF= BD=2,故选A.
方法归纳
当题目中出现两个中点时,通过构造中位线、中线等方法,将分散的
条件整合,从而解决线段平行、长度比例、位置关系等问题.(共27张PPT)
专项突破2 特殊平行四边形折叠问题的三种类型
菱形中的折叠问题
1.(2025江苏连云港东海期中)如图,菱形ABCD的边长为1,∠B
=120°,将菱形折叠使点A,C都落在对角线AC上的点G处,折痕
分别为EF,MN,则阴影部分的周长为_________.
3
解析 设MN交AC于点L(图略),由折叠得GM=CM,GN=CN,
∠CLM=∠GLM=∠CLN=∠GLN=90°,
∵四边形ABCD是边长为1的菱形,∠B=120°,
∴AB=CB=CD=AD=1,∠BCA=∠BAC=∠DCA,∠BAD=∠BCD
=180°-∠B=60°,
在△CLN和△CLM中,
∴△CLN≌△CLM(ASA),∴CN=CM,
∴GM=CM=GN=CN,
∴四边形CMGN是菱形,∵CN=CM,∠NCM=60°,
∴△CMN是等边三角形,
同理,四边形AEGF是菱形,△AEF是等边三角形,
∴GM∥CN∥ED,GE∥AF∥MD,
∴四边形DMGE是平行四边形,
∴DM=GE=AE,∴DM+DE=AE+DE=AD=1,∵EF=AF,MN=CN,
∴EF+BF=AF+BF=AB=1,BN+MN=BN+CN=CB=1,
∴DM+DE+EF+BF+BN+MN=1+1+1=3,
∴阴影部分的周长为3.
2.在数学兴趣小组活动中,同学们对菱形的折叠问题进行了探
究.如图1,在菱形ABCD中,∠B为锐角,点E为BC的中点,连接
DE,将菱形ABCD沿DE折叠,得到四边形A'B'ED,点A的对应点
为点A',点B的对应点为点B'.
(1)A'D与B'E的位置关系为_________.
(2)连接B'C,判断∠DEC与∠B'CE是否相等,并说明理由.
(3)如图2,延长DC交A'B'于点G,连接EG,请探究∠DEG的度数,
并说明理由.
图1 图2
解析 (1)A'D∥B'E.
(2)∠DEC=∠B'CE.
理由:连接BB'(图略),由翻折可知EB=EB',
∵E为BC的中点,∴EC=EB=EB',∴∠BB'C=90°,
∴BB'⊥B'C,
由翻折可知BB'⊥直线DE,
∴DE∥CB',∴∠DEC=∠B'CE.
(3)∠DEG=90°.
理由:如图,连接DB,DB',B'B,
由翻折的性质可知∠BDE=∠B'DE,
设∠BDE=∠B'DE=x,∠A=∠A'=y.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADB=∠CDB=∠A'DB'=∠ABD=∠EBD=∠EB'D,
∴∠A'DB'-∠B'DG=∠BDC-∠B'DC,
∴∠A'DG=∠BDB'=2x,
∴∠DGA'=180°-2x-y,
易得∠BEB'=∠EBD+∠EB'D+∠BDB',∠EBD+∠EB'D=∠EBD+∠ABD=∠ABC=180°-∠A=180°-y,
∴∠BEB'=180°-y+2x,
∵EC=EB',
∴∠EB'C=∠ECB'= ∠BEB'=90°- y+x,
∴∠GB'C=∠A'B'E-∠EB'C=180°-y- 90°- y+x =90°- y-x,
∴∠DGA'=2∠GB'C,
∵∠CGA'=∠GB'C+∠GCB',∴∠GB'C=∠GCB',
∴GC=GB',
∵EB'=EC,∴EG⊥CB',
∵DE∥CB',∴DE⊥EG,∴∠DEG=90°.
矩形中的折叠问题
3.(2025山东东营广饶期末)将矩形纸片ABCD按如图所示的方
式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为 ( )
A.1 B.2 C. D.
D
解析 由题意得,AC=2BC,∠B=90°,∴AC2=AB2+BC2,∴(2BC)2
=32+BC2,∴BC= .故选D.
4.(2025河北中考)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A落
在A'处,A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠,点C落在△BDE内
的C'处,下列结论一定正确的是 ( )
A.∠1=45°-α B.∠1=α
C.∠2=90°-α D.∠2=2α
D
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°,∴∠ADB
=∠1,∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠,∴∠ADB=∠A'DB,∴
∠1=∠A'DB,∵∠DEC=90°-α,即2∠1=90°-α,∴∠1=45°- α,故A不正确.∵∠BDE与∠CDE不一定相等,∴∠1不一定等于α,
故B不一定正确.∵将△CDE沿DE折叠,点C落在△BDE内的C'
处,∴∠C'ED=∠CED,∴∠2=180°-2∠CED=180°-2(90°-α)=
2α,故C不正确,D正确.故选D.
5.(2025山东淄博张店期中改编)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,
使顶点C恰好落在AB边的中点C'处.已知AB=6,BC=9,AC'=D'E.
(1)求证:△AC'G≌△D'EG.
(2)求BF的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,由折叠的性质得∠D'=∠D=90°,
∴∠A=∠D',
在△AC'G和△D'EG中,
∴△AC'G≌△D'EG(AAS).
(2)∵将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中
点C'处,∴BC'= AB=3,CF=C'F,
在Rt△BC'F中,C'F2=BF2+C'B2,
∴CF2=(9-CF)2+32,∴CF=5,∴BF=4.
正方形中的折叠问题
6.如图,正方形ABCD的边长为6,E是边DC的中点,将正方形
ABCD沿着AE折叠,点D落在点F处,连接EF并延长,交BC于点
G,连接AG.
(1)求证:△ABG≌△AFG.
(2)求BG的长.
解析 (1)证明:在正方形ABCD中,∠B=∠D=90°,
根据折叠知,∠AFE=∠D=∠B=90°,AF=AD=AB,
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).
(2)∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴BG=FG,∠AFG=∠B=90°,
∵将正方形ABCD沿着AE折叠,点D落在点F处,
∴DE=EF,
设BG=FG=x,∴CG=6-x,
∵EF=DE=CE= CD=3,
∴EG=x+3,
∵在Rt△ECG中,EG2=CG2+CE2,
∴(x+3)2=(6-x)2+32,∴x=2,∴BG的长为2.
7.【新考向·实践探究题】图形变化是的重要内容,
某兴趣学习小组的同学利用所学知识,进行了一系列的图形
变化操作实践活动,让我们一起来体验他们的探究过程吧!
(1)轴对称:将正方形纸片ABCD折叠,使边AD,AB都落在对角
线AC上,展开得折痕AE,AF,连接EF,如图1,求∠EAF的大小.
(2)旋转:将图1中的∠EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边
BC,CD于点H,G,连接GH,如图2,则线段BH,GH,DG之间存在的
数量关系为___________,并证明你的结论.
(3)计算:在图2中,连接正方形ABCD的对角线BD,分别交∠GAH
的两边AH,AG于点M,N,如图3,若BM=3,DN=4,求正方形
ABCD的面积.
图1 图2 图3
解析 (1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,
由折叠得∠CAF=∠BAF= ∠BAC,∠CAE=∠DAE= ∠DAC,
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE= (∠BAC+∠DAC)= ×90°=45°.
(2)BH+DG=GH.
证明:如图,将△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABI,
由旋转可知AI=AG,BI=DG,∠BAI=∠DAG,∠ABI=∠D=90°,
∴∠ABI+∠ABC=180°,
∴I,B,H三点在同一条直线上,
∵∠BAD=90°,∠GAH=45°,
∴∠IAH=∠BAI+∠BAH=∠DAG+∠BAH=∠BAD-∠HAG=
90°-45°=45°,∴∠IAH=∠GAH,
∵AH=AH,∴△IAH≌△GAH(SAS),∴IH=GH,
∵IH=BH+BI=BH+DG,
∴BH+DG=GH.
(3)如图,将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABJ,连接JM,
由旋转可知AJ=AN,BJ=DN=4,∠BAJ=∠DAN,∠ADN=∠ABJ,
∵AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠ADB=45°,
∴∠ABJ=∠ADN=45°,
∴∠MBJ=∠ABJ+∠ABD=90°,
∵∠BAD=90°,∠GAH=45°,
∴∠MAJ=∠BAJ+∠BAH=∠DAN+∠BAH=∠BAD-∠GAH=
90°-45°=45°,
∴∠MAJ=∠MAN,
∵AM=AM,∴△MAJ≌△MAN(SAS),∴MJ=MN,
∵BM=3,∠MBJ=90°,
∴MN=MJ= = =5,
∴BD=BM+MN+DN=3+5+4=12,
∵四边形ABCD为正方形,∴AC=BD=12,
∴S正方形ABCD= BD·AC=72.(共25张PPT)
第六章 特殊平行四边形
第2课时 正方形的判定
3 正方形的性质与判定
正方形的判定
1.【学科特色·教材变式P30T19】(2025山东滨州无棣一模)小
琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需
要添加条件,则下列条件添加错误的是 ( )
D
A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D
解析 A.有一个角是直角的平行四边形是矩形,∴题图中(1)
处可填∠A=90°,故该选项不符合题意;B.有一组邻边相等的矩
形是正方形,∴题图中(2)处可填AD=AB,故该选项不符合题意;
C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形,∴题图中(3)处可填
DC=CB,故该选项不符合题意;D.有一个角是直角的菱形是正方形,由∠B=∠D无法判定两角是直角,故该选项符合题意.故选D.
2.(2025福建厦门六中期中)如图,已知四边形ABCD的对角线
相交于O,则下列条件能判定它是正方形的是 ( )
A.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,AB∥CD
B.AB=BC=CD,AD∥BC
C.AB=BC=CD=DA,AC=BD
D.AB∥CD,AD∥BC,∠ABC=∠BCD,AC=BD
C
解析 A.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,故不符合题意;B.∵AB=BC=
CD,AD∥BC,∴四边形ABCD可能是等腰梯形,不能判定四边
形ABCD是正方形,故不符合题意;C.∵AB=BC=CD=DA,∴四
边形ABCD是菱形,∵AC=BD,∴四边形ABCD是正方形,故符
合题意;D.∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD(或∠ABC=∠BCD),∴四边形ABCD是矩形,故不符
合题意.故选C.
3.【新考向·条件开放题】(2024黑龙江龙东地区中考)如图,在
菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件:____
____________________,使得菱形ABCD为正方形.
AC=BD(答案不唯一)
解析 答案不唯一,如添加AC=BD,由对角线相等的菱形是正
方形判定菱形ABCD为正方形.
4.(2025北京海淀期末)在初三数学志趣课活动中,老师把一张
长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸
片,你知道这是为什么吗 理由:__________________的矩形是
正方形.
有一组邻边相等
解析 如图,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAF=90°,∠B=90°,由折叠得AB=
AF,∠AFE=∠B=90°,∴四边形ABEF是矩形,∵AB=AF,∴四边
形ABEF是正方形,判定依据为有一组邻边相等的矩形是正方
形.
故答案为有一组邻边相等.
5.(2025山东济南莱芜期中)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD
⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥
AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足________时(添加一个条件),四边形ADCE
是正方形,并证明.
解析 (1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC,
∵AN是∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE= ∠CAM,
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE= (∠BAC+∠CAM)= ×180°=
90°,
∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)答案不唯一,如:当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE
是正方形.
证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ACB=∠B=45°,
∵AD⊥BC,
∴∠CAD=∠ACD=45°,∴DC=AD,
又∵四边形ADCE为矩形,
∴矩形ADCE是正方形.
中点四边形
6.(2025山东德州期中)如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,
点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接
EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形,则需添加的条件
是 ( )
A.AB=CD,AB⊥CD
A
B.AB=CD,AD=BC
C.AB=CD,AC⊥BD
D.AB=CD,AD∥BC
解析 ∵点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的
中点,∴EN,NF,FM,ME分别是△ABD,△BCD,△ABC,△ACD的
中位线,∴EN∥AB∥FM,ME∥CD∥NF,EN= AB=FM,ME=
CD=NF,∴四边形EMFN为平行四边形.若AB=CD,则EN=FM=
ME=NF,∴平行四边形EMFN是菱形.若AB⊥CD,则EN⊥ME,
∴∠MEN=90°,∴菱形EMFN是正方形.故选A.
7.(2025山东泰安新泰期中,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E,F
分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:①
四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形
AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱
形;④如果AD⊥BC,且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形.其
中,正确的有( )
C
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 ①∵DE∥CA,DF∥BA,∴四边形AEDF是平行四边形,
故说法①正确;②∵∠BAC=90°,∴平行四边形AEDF为矩形,
故说法②正确;③∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,∵DE∥
CA,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∴平行四
边形AEDF为菱形,故说法③正确;④∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD
平分∠BAC,可得平行四边形AEDF为菱形,故说法④错误.
综上,正确的有3个.故选C.
8.(2025福建福州闽侯期中,★★☆)正方形ABCD的边长为4,点
M,N在对角线AC上(可与点A,C重合),MN=2,点P,Q在正方形
ABCD的边上.下面四个结论:
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形;
②存在无数个四边形PMQN是菱形;
③存在无数个四边形PMQN是矩形;
④至少存在一个四边形PMQN是正方形.
所有正确结论的序号是________.
①②④
解析 如图,作线段MN的垂直平分线交AD于点P,交AB于
点Q.
∴PM=PN,QM=QN,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠PAN=∠QAN=45°,
∴∠APQ=∠AQP=45°,
∴AP=AQ,∴AC垂直平分线段PQ,
∴MP=MQ,∴PM=PN=QM=QN,∴四边形PMQN是菱形,
在MN的运动过程中,这样的菱形有无数个,当点M与A或C重合
时,四边形PMQN是正方形,
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形,
∵当点M与A或C重合时,四边形PMQN是正方形(即矩形),且
MN=2,∴不可能存在无数个四边形PMQN是矩形,∴①②④正
确.
故答案为①②④.
9.(2025山东青岛弘毅中学质检,★★☆)已知:如图,四边形
ABCD是菱形,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,连接AE,AF,
过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G,连接EG.
(1)求证:四边形AEGF是菱形.
(2)如果∠B=∠BAE=30°,求证:四边形AEGF是正方形.
证明 (1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF,∴∠EAG=∠FAG,
∵FG∥AE,∴∠EAG=∠FGA,
∴∠FAG=∠FGA,∴FG=AF=AE,
∵FG∥AE,FG=AE,
∴四边形AEGF是平行四边形,
又∵AF=AE,∴平行四边形AEGF是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,
∴∠B+∠BAD=180°,
∴∠BAD=180°-∠B=150°,
由(1)得△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°,
又∵四边形AEGF是菱形,
∴四边形AEGF是正方形.
10.【新课标·推理能力】已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别
是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:BM∥DN.
(2)求证:四边形MPNQ是菱形.
(3)矩形ABCD的边AB与AD满足什么数量关系时,四边形
MPNQ为正方形 请说明理由.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵M,N分别是AD,BC的中点,∴DM=BN,
∴四边形DMBN是平行四边形,∴BM∥DN.
(2)证明:由(1)得,四边形DMBN是平行四边形,∴BM=DN,BM∥
DN,
∵P,Q分别是BM,DN的中点,∴MP=NQ,
∴四边形MPNQ是平行四边形,
如图,连接MN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠C=90°,
∵M,N分别是AD,BC的中点,∴DM=CN,
∴四边形DMNC是矩形,∴∠DMN=90°,
∵在Rt△DMN中,Q是DN的中点,∴MQ=NQ,
∴四边形MPNQ是菱形.
(3)当AB= AD时,四边形MPNQ为正方形.
理由:∵AB= AD,∴CD= AD,∴CD=DM,
∴矩形DMNC是正方形,
∵Q为正方形DMNC的对角线DN的中点,
∴∠MQN=90°,
又∵四边形MPNQ是菱形,
∴四边形MPNQ是正方形.(共15张PPT)
专项突破1 正方形中的三大模型
十字架模型
1.(2025山东济宁兖州期中)正方形ABCD中,点E为BC边上的
任意一点(点E不与点B,C重合),点P为线段AE上一动点,过点P
作直线l⊥AE.
(1)如图1,当直线l经过点D时,直线l交AB边于点F,求证:DF=
AE.
(2)如图2,当直线l分别交AB边,CD边于点M,点N时,如果AE=6,
求MN的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,AD=AB,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵l⊥AE,∴∠APF=90°,
∴∠BAE+∠AFD=90°,∴∠AEB=∠AFD,
∴△AEB≌△DFA(AAS),∴DF=AE.
(2)如图,过点M作MH⊥CD于点H,
∴∠MHN=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°,AD=AB,
∴四边形AMHD是矩形,
∴∠AMH=∠AMP+∠NMH=90°,MH=AD=AB,
∵l⊥AE,∴∠APM=90°,
∴∠BAE+∠AMP=90°,∴∠BAE=∠NMH,
∴△BAE≌△HMN(ASA),∴MN=AE=6.
半角模型
2.(2025山东聊城模拟改编)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在
BC,CD上,且∠EAF=45°,连接EF.若∠BAE=α,则∠FEC的度数
是 ( )
A.45°-α B.2α
C.90°-α D.60°-α
B
解析 在正方形ABCD中,AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠ADC=
90°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABG,易知G,B,E
三点共线,如图所示,
则AF=AG,∠DAF=∠BAG,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠BAE+∠BAG=∠GAE=45°=∠FAE,
在△FAE和△GAE中, ,
∴△FAE≌△GAE(SAS),∴∠AEF=∠AEG,
∵∠BAE=α,∴∠AEB=90°-α.
∴∠AEF=∠AEB=90°-α,
∴∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-2×(90°-α)=2α.故选B.
3.如图,在正方形ABCD中,AB=12,E是AB边上一点,BE=4,且
∠GCE=45°,则GE的长为__________.
10
解析 如图,将△CBE绕点C顺时针旋转90°,得△CDF,易知A,
D,F三点共线.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠B=∠ADC=∠BCD=90°,
由旋转得,BE=DF=4,CE=CF,∠BCE=∠DCF,
∵∠GCE=45°,∠BCD=90°,
∴∠BCE+∠DCG=45°,
∴∠DCF+∠DCG=∠GCF=45°.
在△GCE和△GCF中,
∴△GCE≌△GCF(SAS),∴GE=GF.
∵AB=12,∴AE=AB-BE=12-4=8,
设AG=x,则GD=12-x,
∴GE=GF=GD+DF=12-x+4=16-x,
在Rt△AEG中,AE2+AG2=GE2,
∴82+x2=(16-x)2,解得x=6,
∴GE=16-6=10.故答案为10.
手拉手模型
4.(2025山东滨州阳信期中改编)如图,点G是正方形ABCD对角
线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形
AEFG,线段EB和GD相交于点H.
(1)求证:EB=GD.
(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAD+∠EAD=∠EAG+∠EAD,
∴∠BAE=∠DAG,
在△BEA和△DGA中, ,
∴△BEA≌△DGA(SAS),∴EB=GD.
(2)EB与GD的位置关系是EB⊥GD.
理由:设AD与BE相交于点P,如图,
由(1)可知,△BEA≌△DGA,∴∠ABE=∠ADG,
在△ABP中,∠ABE+∠BAD+∠BPA=180°,
在△DPH中,∠ADG+∠DHP+∠DPH=180°,
又∵∠BPA=∠DPH,
∴∠DHP=∠BAD=90°,∴EB⊥GD.(共31张PPT)
第六章 特殊平行四边形
第1课时 正方形的性质
3 正方形的性质与判定
正方形的定义
1.(2025山东青岛二十六中期中)四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=
90°,下列条件能使四边形ABCD是正方形的是 （ ）
A.∠D=90° B.AB=CD
C.BC=CD D.AC=BD
C
解析 四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,则四边形ABCD是
矩形,能使矩形ABCD是正方形的是BC=CD.故选C.
正方形的性质
2.如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O,
则图中与△AOB全等的三角形有 （ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,AB=BC=CD=DA,
∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA,
∴与△AOB全等的三角形有3个.故选C.
3.(2024山东枣庄中考)如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条
边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形
BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为 （ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
A
解析 ∵四边形BCMN是正方形,∴∠NBC=90°,∵∠ABN=
120°,∴∠ABC=360°-90°-120°=150°,∴正n边形的一个外角为180°-150°=30°,∴n的值为 =12.故选A.
4.(2025山东济宁任城期中)如图,正方形ABCD的对角线AC是
菱形AEFC的一边,则∠FAB等于 （ ）
A.135° B.45° C.22.5° D.30°
C
解析 ∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BAC= ×90°=45°,∵AF是菱形AEFC的对角线,∴∠FAB= ∠BAC= ×45°=
22.5°.故选C.
5.正方形的对角线长为8,则该正方形的面积为__________.
32
解析 ∵正方形的对角线长为8,
∴正方形的面积为 ×8×8=32.
6.(2024江苏常州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形
ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1),则
点C的坐标是_______________.
(-2,-1)
解析 过点A,C分别作x轴的垂线AE,CF,如图,
∴∠AEO=∠CFO=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC,
∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF,AE=
CF,∵点A的坐标是(2,1),∴OE=OF=2,AE=CF=1,∴点C的坐标
为(-2,-1).
7.【学科特色·一线三等角模型】如图,直线l经过正方形
ABCD的顶点A,分别过该正方形的顶点B,D作BE⊥l于E,DF⊥l
于F.若BE=3,DF=6,则EF的长为_________.
9
解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90°,∴∠EAB+∠FAD=90°,
∵DF⊥l,∴∠FAD+∠FDA=90°,
∴∠FDA=∠EAB,
在△DAF和△ABE中,
∴△DAF≌△ABE(AAS),∴AE=DF=6,AF=BE=3,
∴EF=AE+AF=6+3=9.
模型解读
一线三等角模型
当一条线段上存在三个相等的角(锐角、直角或钝角),且有一组边
相等时,考虑用“一线三等角模型”解题.如图,点P在线段AB上,∠1
=∠2=∠3=90°,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD),则△APC≌△BDP.
8.【学科特色·教材变式P23随堂练习T2】(2025浙江中考)
【问题背景】
如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状
纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△
CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求
“机翼角”∠BAE的度数.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD,
又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,
∵DE=DA,∴∠DEA=∠DAE,
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,
∴∠DAE=∠DEA=67.5°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
9.(2025山东烟台招远期中,★★☆)如图所示的是平行四边形
ABCD与正方形CEFG,其中E点在边AD上.若∠ECD=40°,
∠AEF=15°,则∠B的度数为（ ）
A.75° B.65° C.55° D.45°
B
解析 ∵四边形CEFG是正方形,∴∠CEF=90°,∵∠AEF=15°,
∴∠CED=180°-∠AEF-∠CEF=180°-15°-90°=75°,∵∠ECD=40°,∴∠D=180°-∠CED-∠ECD=180°-75°-40°=65°,∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠B=∠D=65°,∴∠B的度数为65°.故选B.
10.(2025四川自贡中考,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,
正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,B(0,-2).若将正方形
ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐
标为 （ ）
A.(-3,5) B.(5,-3)
A
C.(-2,5) D.(5,-2)
解析 ∵四边形ABCD是正方形,且边长为5,∴AB=BC=CD=
AD=5,∵点B(0,-2),∴OB=2,∴OA=AB-OB=3,由旋转的性质得
OA'=OA=3,且点A'在x轴的负半轴上,正方形A'B'C'D'的边长为
5,∴点D'的坐标为(-3,5).故选A.
11.(2025重庆中考,★★★)如图,正方形ABCD的边长为2,点E
是BC边的中点,连接DE,将△DCE沿直线DE翻折到正方形
ABCD所在的平面内,得△DFE,延长DF交AB于点G.∠ADG和
∠DAG的平分线相交于点H,连接GH,则△DGH的面积为
（ ）
A
A. B. C. D.
解析 如图,连接GE,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°,
AB=BC=CD=DA=2,∵点E是BC边的中点,∴BE=CE=1,∵将△
DCE沿直线DE翻折得△DFE,∴∠EFD=∠C=90°,FE=CE=BE
=1,DF=DC=2,∴∠GFE=∠GBE=90°,又∵GE=GE,∴Rt△EFG
≌Rt△EBG(HL),∴GF=GB,设GB=GF=x,则AG=2-x,DG=2+x,
根据勾股定理,得AG2+AD2=DG2,即(2-x)2+22=(2+x)2,解得x= ,
∴DG= ,AG= ,∵∠ADG和∠DAG的平分线相交于点H,∴点
H到AD,AG,GD的距离相等,∴S△GDH= ·S△ADG=
× × ×2= .故选A.
12.(2024北京中考,★★☆)如图,在正方形ABCD中,点E在AB
上,AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的
面积为_________.
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=5,∠ADC=∠
DAE=90°,∵AF⊥DE,CG⊥DE,
∴∠AFD=∠CGD=90°,∴∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF,
∴∠CDG=∠DAF,∴△CDG≌△DAF(AAS),∴AF=DG=
=3,DF=CG=4,设EF=x,则在Rt△AEF中,AE2=EF2+
AF2=x2+9.在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,∴(x+4)2=52+x2+9,解得
x= ,∴S△AEF= AF·EF= .
13.【新课标·推理能力】(2025安徽中考)已知点A'在正方形
ABCD内,点E在边AD上,直线BE是线段AA'的垂直平分线,连接
A'E,A'B.
(1)如图1,若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长.
(2)如图2,点F是AA'的延长线与CD的交点,连接CA'.
(i)求证:∠CA'F=45°.
(ii)如图3,设AF,BE相交于点G,连接CG,DG,DA',若CG=CB,判
断△A'DG的形状,并说明理由.
解析 (1)∵直线BE是线段AA'的垂直平分线,
∴A'E=AE=1,BA'=BA,
又∵BE=BE,∴△ABE≌△A'BE(SSS),
∴∠BAE=∠BA'E=90°,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,
∴△A'DE是等腰直角三角形,∴A'D=A'E=1,
∴DE= ,∴AD=AE+DE=1+ ,
∴AB=AD=1+ .
(2)(i)证明:由题意知,BA=BA'=BC,
∴∠BAA'=∠BA'A,∠BCA'=∠BA'C,
∴∠AA'C=∠AA'B+∠CA'B= (180°-∠ABA')+ (180°-∠CBA')
=180°-45°=135°,
∴∠CA'F=180°-∠AA'C=45°.
(ii)△A'DG是等腰直角三角形,理由如下:如图,作CN⊥BG交
BG于点M,交AB于点N,
∵CN⊥BG,CG=CB,∴M为BG的中点,
∵直线BE是线段AA'的垂直平分线,
∴AA'⊥BE,∴CN∥AF,
∴MN是△ABG的中位线,∴BN= AB,
∵∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,AB=BC,∠BAE=∠CBN=90°,
∴△ABE≌△BCN(ASA),
∴AE=BN= AB= AD,
∴E为AD的中点,
又∵AG=GA',∴EG∥A'D,
∴∠DA'G=∠EGA=90°,
易证△ADA'≌△BAG,
∴A'D=AG=A'G,
∴△A'DG是等腰直角三角形.(共27张PPT)
专项突破3 特殊平行四边形动点问题的三种类型
菱形中的动点问题
1.(2025北京北大附中期中)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,E是
线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接AE,F在线段CD上,连
接EF,满足∠CEF+∠AEB=120°.
(1)依题意补全图形,用等式表示AB,EC和CF的数量关系,并证
明.
(2)连接AC,过F作BC的平行线,交AC于点G.写出一个 的值,
使四边形ECFG为平行四边形,并证明.
解析 (1)补全图形如图所示:
AB,EC和CF的数量关系是AB=EC+CF.
证明:如图,连接AC,过点E作EG∥AB交AC于点G,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠D=∠B=60°,
∴△ABC和△ADC都是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AB=AC,∠ACD=60°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=120°,
∵EG∥AB,∴∠GEC=∠B=60°,
∴∠GEC=∠ACB=60°,
∴△GEC是等边三角形,
∴EG=EC=GC,∠EGC=60°,
∴∠AGE=180°-∠EGC=120°,
∴∠AGE=∠ECF=120°,
∵∠CEF+∠AEB=120°,
∴∠AEF=180°-(∠CEF+∠AEB)=60°,
∴∠AEF=∠CEG=60°,
∴∠1+∠GEF=∠GEF+∠2,∴∠1=∠2,
在△AEG和△FEC中,
∴△AEG≌△FEC(ASA),∴AG=CF,
∴AC=GC+AG=EC+CF,∴AB=EC+CF.
(2)当 = 时,四边形ECFG为平行四边形.
证明:如图,
∵ = ,∴设BE=a,AB=2a,
∵BC=AB=2a,∴EC=a,
由(1)可知,AB=EC+CF,∴2a=a+CF,
∴CF=a,∴CE=CF=a,
∵FG∥BC,∴∠FGC=∠ACB=60°,
又∵∠ACD=60°,∴△FGC是等边三角形,
∴FG=CF,∴FG=EC,
∴四边形ECFG为平行四边形.
矩形中的动点问题
2.(2025广东惠州惠城期中)长方形OABC在平面直角坐标系中
的位置如图所示,点B的坐标为(8,4),点P从点C出发向点O移
动,速度为每秒1个单位;点Q同时从点O出发向点A移动,速度
为每秒2个单位.设运动时间为t秒.
(1)直接写出点A,C的坐标.
(2)几秒后,P,Q两点与原点之间的
距离相等
(3)在点P,Q移动的过程中,四边形OPBQ的
面积有何变化 说明理由.
解析 (1)A(8,0),C(0,4).
(2)由题意知CP=t,OQ=2t,∴OP=4-t,
∵OP=OQ,∴4-t=2t,解得t= ,
即 秒后,P,Q两点与原点之间的距离相等.
(3)四边形OPBQ的面积不变.理由:
如图,连接OB.
∵S四边形OPBQ=S△OPB+S△OQB= (4-t)×8+ ×2t×4=16-4t+4t=16,
∴在点P,Q移动的过程中,四边形OPBQ的面积不变.
3.(2025江苏南京玄武期中)如图,矩形ABCD中,BD的垂直平分
线分别交AD,BC于E,F,垂足为O,连接BE,DF.
(1)判断四边形EBFD的形状,并说明理由.
(2)若AB=12 cm,BC=18 cm,动点P从点D出发沿折线D→F→B
运动至点B停止,同时点Q从点E出发沿折线E→A→B→E运动
至点E停止,设点P,Q的运动路程分别为a,b(单位:cm,ab≠0),当
以E,F,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求a与b满足
的数量关系式.
解析 (1)四边形EBFD为菱形,理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴∠BDA=∠DBC,∠DEF=∠BFE,
∵EF垂直平分BD,垂足为O,
∴OD=OB,EF⊥BD,
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(AAS),∴OE=OF,
又∵OB=OD,EF⊥BD,∴四边形EBFD为菱形.
(2)设菱形EBFD的边长为x cm,则DF=BF=x cm,
∴CF=(18-x)cm,
在Rt△DCF中,DC=12 cm,
由勾股定理,得122+(18-x)2=x2,解得x=13,
∴DF=13 cm,∴BE=DF=13 cm,
∴AE= =5 cm,
∴EA+AB+BE=5+12+13=30(cm),
如图,当Q在BE上,P在DF上时,四边形EQFP是平行四边形,
∴EQ=FP,
∵EQ=(30-b)cm,PF=(13-a)cm,
∴30-b=13-a,∴b-a=17;
如图,当Q在AE上,P在BF上时,四边形QPFE是平行四边形,
∴QE=FP,
∵QE=b cm,FP=(a-13)cm,
∴b=a-13,∴a-b=13.
综上所述,a与b满足的数量关系式是b-a=17或a-b=13(ab≠0).
正方形中的动点问题
4.如图,点E为正方形ABCD内一动点,∠AEB=90°.过点B作BG
⊥BE,且BG=BE,连接CG,DE.
(1)求证:∠EAB=∠GCB.
(2)延长AE交CG于点F,求证:EF=BE.
(3)在(2)的条件下,若在点E运动的过程中,存在四边形CFBE为
平行四边形,试探究此时DE,CD满足的数量关系.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∵BG⊥BE,∴∠CBE+∠CBG=90°,
∴∠ABE=∠CBG,
又∵BE=BG,∴△ABE≌△CBG(SAS),
∴∠EAB=∠GCB.
(2)证明:如图1,
∵∠AEB=90°,∴∠BEF=90°,
∵△EAB≌△GCB,∴∠AEB=∠CGB=90°,
∵BG⊥BE,∴∠EBG=90°,
∴四边形EBGF是矩形,
又∵BE=BG,∴矩形EBGF是正方形,
∴EF=BE.
(3)DE=CD.理由如下:
如图2,过点D作DK⊥AF交AF于点K,
∴∠DKA=∠DKE=90°,
∵∠AEB=90°,∴∠EAB+∠ABE=90°,
∵∠DAB=90°,∴∠DAE+∠EAB=90°,
∴∠DAE=∠ABE,
又∵∠DKA=∠AEB,DA=AB,
∴△KDA≌△EAB(AAS),
又∵△EAB≌△GCB,∴△KDA≌△GCB,
∴DK=CG,AK=BG,
∵四边形EBGF是正方形,四边形CFBE为平行四边形,
∴AK=BG=BE=FG=EF=CF,
易得AE=CG,∴EK=BE,AE=DK,
又∵∠DKE=∠AEB=90°,
∴△KDE≌△EAB(SAS),∴DE=AB,
∴DE=CD.
5.(2025山东青岛月考)如图1,正方形ABCD中,点O是对角线
AC的中点,点P是线段AO上(不与A,O重合)的一个动点,过点P
作PE⊥PB交边CD于点E.
(1)求证:PB=PE.
(2)过点E作EF⊥AC于点F,如图2,若正方形ABCD的边长为2,
则在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化 若不变,请直
接写出这个不变的值;若变化,请说明理由.
解析 (1)证明:如图1,过点P作MN∥AD,交AB于点M,交CD于
点N,
∵PB⊥PE,∴∠BPE=90°,
∴∠MPB+∠EPN=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,
∵AD∥MN,
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°,
∴∠MPB+∠MBP=90°,∴∠EPN=∠MBP,
在Rt△PNC中,∠PCN=45°,
∴△PNC是等腰直角三角形,∴PN=CN,
∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°,
∴四边形MBCN是矩形,
∴BM=CN,∴BM=PN,
∴△BMP≌△PNE(ASA),∴PB=PE.
(2)在点P运动的过程中,PF的长度不发生变化,PF的长度为
.
详解:如图2,连接OB,
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点,
∴OB⊥AC,∴∠AOB=90°,
∴∠AOB=∠EFP=90°,
∴∠OBP+∠BPO=90°,
∵∠BPE=90°,∴∠BPO+∠OPE=90°,
∴∠OBP=∠OPE,
由(1)得,PB=PE,
∴△OBP≌△FPE,∴PF=OB,
∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形,
∴由勾股定理,得OB= ,∴PF= ,
∴PF为定值,是 .(共33张PPT)
第六章 特殊平行四边形
第2课时 菱形的判定
1 菱形的性质与判定
菱形的判定
1.(2025山东临沂兰山期中)下列条件中,能判定四边形为菱形
的是 （ ）
A.对角线互相垂直
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相垂直且平分
D.对角线互相垂直且平分一组对角
C
解析 能判定四边形是菱形的是对角线互相垂直且平分.理
由:如图所示,
∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱
形).故选C.
2.(2025山东临沂蒙阴三中月考)小明用四个全等的含30°角的
三角尺拼成如图所示的三个图案,其中是菱形的有 （ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
D
解析 第一个四边形与第三个四边形的四条边都相等,∴第
一个图案与第三个图案是菱形.
如图,
由题意得,AD=BC=EF,CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ADF=∠FEB=30°,∠AFD=∠FBE=90°,∴AF= AD,
BF= EF,∴AF+BF= (AD+EF)= ×2AD=AD,∴AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形,∴三个图案都是菱形.故选D.
3.(2025山东济宁微山期中)如图,两个完全相同的含30°角的
三角尺ABC和DEF在直线l上滑动,可以添加一个条件,使四边
形CBFE为菱形,下列选项中正确的是 （ ）
A.BD=AE B.BD=BE
C.BF⊥AD D.FE=2AE
B
解析 由题意得∠FDE=30°,∠FED=∠CBA=60°,BC=EF,
∠DFE=∠ACB=90°,∴BC∥EF,EF= DE,∴四边形BFEC为
平行四边形.
当BD=BE时,B为DE的中点,∴BE= DE=EF,∴△EFB为等边三
角形,∴EF=BF,∴平行四边形BFEC为菱形,故B选项符合题意.
故选B.
4.【新课标·中华优秀传统文化】数学兴趣小组同学从“中国
结”的图案(图1)中发现,用相同的菱形纵向排列放置,可得到
更多的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置,得到3个菱形.下面
说法正确的是（ ）
B
A.用3个相同的菱形放置,最多能得到6个菱形
B.用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形
C.用5个相同的菱形放置,最多能得到27个菱形
D.用6个相同的菱形放置,最多能得到41个菱形
解析 由题意可列下表,
图形 最多得到菱形个数
2个相同的菱形 3
3个相同的菱形 8
图形 最多得到菱形个数
4个相同的菱形 16
5个相同的菱形 29
6个相同的菱形 47
∴B选项正确.
5.【新考向·条件开放题】(2025黑龙江龙东地区中考)如图,在
平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条
件:____________________,使平行四边形ABCD为菱形.
AC⊥BD(答案不唯一)
解析 答案不唯一,如:∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形,∴添加条件AC⊥BD,可使平行四边形ABCD为菱形.
6.(2025江苏扬州中考节选)如图,在 ABCD中,对角线AC的垂
直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.求证:四边形AFCE是
菱形.
证明 ∵直线EF是AC的垂直平分线,
∴EA=EC,FA=FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF(ASA),∴EA=FC,
∴EA=EC=FA=FC,
∴四边形AFCE是菱形.
7.(2025湖南中考,★★☆)如图,在四边形ABCD中,对角线AC
与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.18
C
解析 ∵对角线AC与BD互相垂直平分,∴四边形ABCD为菱
形,∵AB=3,∴四边形ABCD的周长为3×4=12.故选C.
8.【新考向·尺规作图】(2025四川内江中考,★★☆)按如下步
骤作四边形ABCD:(1)画∠EAF;(2)以点A为圆心,1个单位长为
半径画弧,分别交AE,AF于点B,D;(3)分别以点B和点D为圆心,
1个单位长为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,DC,BD.若
∠A=40°,则∠BDC的度数是 （ ）
D
A.64° B.66°
C.68° D.70°
解析 由尺规作图可知,AB=AD=BC=DC,∴四边形ABCD是
菱形,∴AB∥CD,∠BDC=∠ADB= ∠ADC,∴∠A+∠ADC=
180°,∵∠A=40°,∴∠ADC=180°-∠A=140°,∴∠BDC=
∠ADC=70°.故选D.
9.【学科特色·教材变式P8做一做】(2024广西中考,★★☆)如
图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐
角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为_________
cm.
8
解析 如图,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,
∴∠AEB=∠AFD=90°,∵两张纸条宽度均为3 cm,∴四边形
ABCD为平行四边形,且AE=AF=3 cm,∴∠ADF=∠ABE=60°,
∴△ADF≌△ABE(AAS),∴AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,在
Rt△ADF中,∠ADF=60°,∴∠DAF=30°,∴AD=2DF,∵AD2-
DF2=AF2,∴3DF2=32,∴DF= cm,∴AD=2 cm,∴四边形
ABCD的周长为2 ×4=8 (cm).
10.【新考向·尺规作图】(★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,
∠DAC是△ABC的一个外角.
实验与操作:
根据步骤要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作
图痕迹,不写作法):
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,
连接AE,CF.
猜想与证明:
判断四边形AECF的形状并加以证明.
解析 实验与操作:如图所示.
猜想与证明:四边形AECF是菱形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵AM平分∠DAC,∴∠DAM=∠CAM,
∵∠DAC=∠ABC+∠ACB,
∴∠CAM=∠ACB,∴AF∥EC,
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC,∠AOF=∠COE=90°,
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=EC,
∴四边形AECF为平行四边形,
∵EF垂直平分AC,
∴AF=FC,∴四边形AECF为菱形.
11.【新课标·推理能力】(2024黑龙江哈尔滨中考)四边形
ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD∥BC,OA=OC,AB=BC.
(1)如图1,求证:四边形ABCD是菱形.
(2)如图2,AB=AC,CH⊥AD于点H,交BD于点E,连接AE,点G在
AB上,连接EG交AC于点F,若∠FEC=75°,在不添加任何辅助
线的情况下,直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除
外).
解析 (1)证明:∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO,
在△ADO和△CBO中,
∴△ADO≌△CBO(AAS),∴OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
(2)与线段CE相等的线段有AE,DE,AG,CF.
详解:由(1)知,四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,
∵AB=AC,∴AB=BC=CD=AD=AC,
∴△ABC和△ADC为等边三角形,
∵CH⊥AD,∴AH=DH,
即直线CH为AD的垂直平分线,
∴AE=DE.
同理CE=AE,∴AE=DE=EC.
∵△ADC为等边三角形,CH⊥AD,
∴∠ACH= ∠ACD=30°,
∵∠FEC=75°,
∴∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=75°,
∴∠EFC=∠FEC,∴CF=CE.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=
120°,
∴∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°,
∴△AGE为等腰直角三角形,
∴AE=AG,∴AG=EC.(共31张PPT)
第六章 特殊平行四边形
第1课时 矩形的性质
2 矩形的性质与判定
矩形的定义
1.(2025山东济南高新区开学测试)如图,在△ABC中,AB=AC,D
是BC的中点,过点A作AE∥BC,使AE=BD,连接BE.求证:四边形
AEBD是矩形.
证明 ∵AE∥BC,AE=BD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,∴四边形AEBD是矩形.
矩形的性质
2.(2025山东泰安东平期中)矩形具有而菱形不一定具有的性
质是 （ ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线平分一组对角
C
解析 对于选项A,∵矩形和菱形的对角线都互相平分,∴矩
形和菱形都具有该性质,故选项A不符合题意;对于选项B,∵
菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定互相垂直,∴菱
形具有而矩形不一定具有该性质,故选项B不符合题意;对于
选项C,∵矩形的对角线相等,菱形的对角线不一定相等,∴矩
形具有而菱形不一定具有该性质,故选项C符合题意;对于选
项D,∵菱形的对角线平分一组对角,矩形的对角线不一定平
分一组对角,∴菱形具有而矩形不一定具有该性质,故D选项
不符合题意.故选C.
3.【学科特色·“猪蹄”模型】(2024江苏南通中考)如图,直线
a∥b,矩形ABCD的顶点A在直线b上,若∠2=41°,则∠1的度数
为 （ ）
A.41° B.51° C.49° D.59°
C
解析 如图,延长CB与直线b交于点M,
∵a∥b,∠2=41°,∴∠BMA=∠2=41°.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
∴∠1+∠BMA=90°,∴∠1=90°-41°=49°.故选C.
模型解读
所谓“猪蹄”模型,就是两条平行线被第三条折线(含一个拐
点)所截,形成类似“猪蹄”的“一主体两分叉”形状(如图).
条件:AB∥CD.
结论:∠BED=∠B+∠D.
4.【新考向·旋转中的矩形】(2024吉林中考)如图,在平面直角
坐标系中,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).以OA,OC为
边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩
形OA'B'C',则点B'的坐标为 （ ）
A.(-4,-2) B.(-4,2)
C
C.(2,4) D.(4,2)
解析 此题借助旋转考查矩形的性质.
∵点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2),∴OA=4,OC=2,∵四
边形OABC是矩形,∴BC=OA=4,∵将矩形OABC绕点O顺时针
旋转90°得到矩形OA'B'C',∴OC'=OC=2,B'C'=BC=4,B'C'⊥OC',
∴点B'的坐标为(2,4).故选C.
5.【学科特色·教材变式P14T2】(2025山东临沂莒南期中)矩形
ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=6 cm,∠AOB=60°,则
这个矩形的对角线长是_____________.
12 cm
解析 如图,
∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵∠AOB=60°,∴
△OAB是等边三角形,∴OA=OB=AB=6 cm,∴BD=2OB=12 cm,
即该矩形的对角线的长是12 cm.
6.(2025山东济南钢城一模)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,
BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F.求证:BE=CF.
证明 ∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC=OB=OD,
∵AE⊥BD,DF⊥AC,∴∠AEO=∠DFO=90°,
在△AOE和△DOF中,
∴△AOE≌△DOF(AAS),∴OE=OF,
∴BO-OE=OC-OF,即BE=CF.
直角三角形斜边上的中线
7.(2025四川德阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△
ABC沿CB边向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,
连接CD,若CD=1,则GE= （ ）
A.3 B.2 C.1 D.
B
解析 ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,∴CD是
Rt△ABC斜边上的中线,∴AB=2CD,∵CD=1,∴AB=2,由平移
得,GE=AB=2.故选B.
8.(★★☆)如图,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中
点,在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中,OP长度的变化情况是
（ ）
A.不断增大
B.不断减小
C.先减小后增大
D
D.不变
解析 ∵∠AOB=90°,P为AB的中点,∴OP= AB,即OP的长度
在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中始终保持不变,故选D.
9.【新考向·新定义题】(2024河北中考,★★☆)在平面直角坐
标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的
“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与
坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 ( )
B
A.点A B.点B C.点C D.点D
解析 设A(a,b),AB=m,AD=n,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=
BC=n,AB=CD=m,
∴D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m,b+n),∵ < < , <
,∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B,故选B.
10.(2025山东德州齐河期中改编,★★☆)如图,四边形ABCD是
矩形,对角线AC,BD相交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,
BC于点E,F,点G是BF的中点,连接OG.若∠OGB=124°,则
∠FOC的度数为 （ ）
A.24° B.28° C.36° D.34°
D
解析 ∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,∴OB=
OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-
2∠OBC,∵EF经过点O,且EF⊥BD,∴∠BOF=90°,∵点G是BF
的中点,∴OG=BG= BF,∴∠OBC=∠BOG,∴∠OGB=180°-
∠OBC-∠BOG=180°-2∠OBC,∴∠BOC=∠OGB=124°,∴∠FOC=∠BOC-∠BOF=124°-90°=34°.故选D.
11.(2025四川内江中考,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=8,
AD=6,点E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,点G为BE
的中点,点H为EF的中点,连接GH,则GH的最大值是_________.
5
解析 如图,连接BD,BF,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,在Rt△ABD中,AB=8,AD=
6,∴BD= =10,∵点G为BE的中点,点H为EF的中点,
∴BF=2GH,∴当BF取最大值时,GH取最大值,∵点F是边CD
上的动点,∴当点F与点D重合时,BF有最大值,最大值为10,
∴GH的最大值为5.
12.【新考向·尺规作图】(2025山东烟台中考,★★☆)如图,BD
是矩形ABCD的对角线,请按以下要求解决问题:
(1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于直线BD成轴对
称(不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,若BE交AD于点F,AB=1,BC=2,求AF的长.
解析 (1)如图,△BED即为所求作的三角形.
(2)如图,∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2,AD∥BC,∠A=90°,
∴∠ADB=∠CBD,
∵△BED与△BCD关于直线BD成轴对称,
∴∠EBD=∠CBD,∴∠FBD=∠FDB,
∴FB=FD,
设AF=x,则FB=FD=2-x,
在Rt△ABF中,12+x2=(2-x)2,解得x= ,
∴AF= .
13.【新课标·推理能力】【学科特色·分类讨论思想】(2024
黑龙江牡丹江中考)矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交
于点O,点E是BC边的三等分点,连接DE,点P是DE的中点,OP=
3,连接CP,则PC+PE的值为____________.
13或
解析 当CE>BE时,如图1,
∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD交于点O,∴点O是BD的
中点,∠BCD=90°,∵点P是DE的中点,∴BE=2OP=6,CP=PE=
PD,∵点E是BC边的三等分点,∴CE=2BE=12,BC=3BE=18,
∵矩形ABCD的面积是90,∴CD=5,∴DE= =13,∴PC+
PE=DE=13;
当CE∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD交于点O,∴点O是BD的
中点,∠BCD=90°,∵点P是DE的中点,∴BE=2OP=6,CP=PE=
PD,∵点E是BC边的三等分点,∴CE= BE=3,BC= BE=9,∵矩
形ABCD的面积是90,∴CD=10,∴DE= = ,∴PC+
PE=DE= .
综上,PC+PE的值为13或 .
