(共13张PPT)
第1章 四边形
1.2 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质定理2
1.2.1 平行四边形的性质
平行四边形的对角线的性质
1.(2025浙江杭州期中)如图,在 ABCD中,下列结论一定成立
的是 ( )
A.AD=BD B.OA=OC
C.AB⊥BD D.∠BAC=∠DAC
B
解析 A.当四边形ABCD是平行四边形时,不能得出AD=BD,
故A不符合题意;B.因为四边形ABCD是平行四边形,对角线
AC,BD交于点O,所以OA=OC,故B符合题意;C.当四边形ABCD
是平行四边形时,不能得出AB⊥BD,故C不符合题意;D.当四边
形ABCD是平行四边形时,不能得出∠BAC=∠DAC,故D不符
合题意.故选B.
2.【学科特色·教材变式】(2025湖南贝斯特中考二模改编)如
图,在平行四边形ABCD中,BC=10,AC=8.6,BD=16,△AOD的周
长是____________.
22.3
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC=10,AO=
CO= AC=4.3,BO=DO= BD=8,所以△AOD的周长=AD+AO+
DO=22.3,故答案为22.3.
3.【学科特色·多解法】(2025北京人大附中期中)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为BO,DO的中点,
求证:AF∥CE.
证明 【证法一】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=
CO,BO=DO,因为E,F分别为BO,DO的中点,所以OE=OF,
在△AFO和△CEO中,
所以△AFO≌△CEO(边角边),所以∠AFO=∠CEO,所以AF∥EC.
【证法二】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO
=DO,AD∥BC,所以∠ADF=∠CBE,因为E,F分别为BO,DO的
中点,所以DF=BE,
在△AFD和△CEB中, 所以△AFD≌△CEB(边
角边),所以∠AFD=∠CEB,所以∠AFO=∠CEO,所以AF∥EC.
4.【新考向·尺规作图】(2025湖南常德石门模拟,★★☆)如图,
平行四边形ABCD中,AC,BD交于点O,分别以点A和点C为
圆心,大于 AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线
MN,交AB于点E,交CD于点F,连接CE,若AD=3,△BCE的周长
为7,则CD的长为 ( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由作图可知MN是线段AC的垂直平分线,所以EA=EC,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以BC=AD=3,CD=AB,因为
△BCE的周长为7,所以BC+CE+BE=7,即3+AE+BE=7,所以CD
=AB=7-3=4.故选B.
5.(2025湖南娄底二模,★★☆)如图,在 ABCD中,BC= ,∠
BAC=90°,点E、F在对角线AC上,且AF=CE=2EF,∠ABF=45°,
连接BD,则BD=_________.
5
解析 因为∠BAC=90°,∠ABF=45°,所以∠AFB=45°,所以∠
AFB=∠ABF,所以AB=AF,因为AF=CE=2EF,所以AB=2EF,AC
=3EF,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC= ,由勾股定理,得AB2+
AC2=BC2,即(2EF)2+(3EF)2=( )2,所以EF=1,所以AB=2EF=2,
AC=3EF=3,设 ABCD的两条对角线相交于点O(图略),所以
在 ABCD中,OA= AC= ×3= ,BD=2OB,在Rt△ABO中,由勾
股定理,得OB= = = ,所以BD=2OB=2× =
5.故答案为5.
6.(2025北京房山期中,★★★)如图,在 ABCD中,AC,BD交于
点O,点P是线段AC上一点(不与端点重合),过A作AM⊥DP交
DP的延长线于点M,过C作CN⊥DP交PD的延长线于点N,连接
OM,ON.判断OM,ON的数量关系,并加以证明.
解析 OM=ON.
证明:如图,延长NO交AM的延长线于点T.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,因为AM⊥MN,
CN⊥NM,所以AT∥CN,所以∠NCO=∠TAO,因为∠CON=∠
AOT,所以△CON≌△AOT,所以ON=OT,因为∠NMT=90°,所以
OM=ON.(共30张PPT)
第1章 四边形
1.4 三角形的中位线定理
三角形中位线的定义
1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,连接AE,DE.下
列线段中,是△ABC的中位线的是 ( )
A.DE B.AE C.CE D.AD
A
解析 因为点D,E分别是AC,BC的中点,所以DE是△ABC的中
位线.故选A.
三角形的中位线定理
2.(2025湖南张家界永定期中)如图,A,B两地被池塘隔开,小明
先在AB外选一点C,然后测量找出AC,BC的中点M,N,若MN的
长为10米,则A,B间的距离是 ( )
A.10米 B.20米 C.30米 D.40米
B
解析 因为AC,BC的中点分别为M,N,所以MN是△ABC的中
位线,所以AB=2MN=20米.故选B.
3.(2025广东湛江期中)如图,点D,E分别是△ABC的边AB,AC的
中点,连接DE.若∠B=50°,∠A=60°,则∠AED的度数等于( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
C
解析 因为∠B=50°,∠A=60°,所以∠C=180°-∠A-∠B=
180°-60°-50°=70°,因为点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,所以DE∥BC,所以∠AED=∠C=70°.故选C.
4.(2025湖南怀化溆浦期中)如图,D,E,F分别是△ABC三边的中
点,AH⊥BC于H,求证:DF=EH.
证明 因为D,F分别是△ABC的边AB,BC的中点,所以DF是
△ABC的中位线,所以DF= AC,因为AH⊥BC于H,E是AC的中
点,所以EH= AC,所以DF=EH.
5.(2025湖南岳阳湘阴期中,★★☆)如图,在△ABC中,AC=BC,
DE为△ABC的中位线,连接CD.若∠B=68°,则∠EDC的度
数为 ( )
A.20° B.22°
C.32° D.34°
B
解析 因为AC=BC,∠B=68°,所以∠A=∠B=68°,所以∠ACB=
180°-68°×2=44°,因为DE为△ABC的中位线,所以D为AB中点,DE∥BC,所以AD=DB,∠EDC=∠DCB,因为AC=BC,
所以∠DCB= ∠ACB=22°,所以∠EDC=∠DCB=22°.故选B.
6.(2025山东威海乳山期末,★★☆)如图,在平行四边形ABCD
中,点E,F,G分别为AB,BD,AD的中点,则△AEG与 ABCD的面
积之比为 ( )
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶8 D.1∶16
C
解析 如图,连接AF,
因为点E,F,G分别为AB,BD,AD的中点,所以EF∥AG,EF= AD
=AG,所以四边形AEFG为平行四边形,所以S△AEG= S AEFG=
S△AEF,因为E是AB的中点,所以S△AEF= S△ABF,所以S△AEG= S△ABF,
因为F是BD的中点,所以S△ABF=S△ADF= S△ABD,所以S△AEG= S△ABD,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以S△ABD= S ABCD,所以S△AEG=
S ABCD.所以△AEG与 ABCD的面积之比为1∶8.故选C.
7.【学科特色·教材变式】(2025湖南长沙长郡教育集团四模,
★★☆)如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,四
边形BEFD的周长为15,则AB+BC的长为__________.
15
解析 因为D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,所以DF,EF是
△ABC的中位线,所以DF= BC=BE,EF= AB=DB,因为四边形
BEFD的周长为15,所以DF+EF= ×15=7.5,所以AB+BC=2(EF
+DF)=15.
8.(2025江苏扬州中考,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E分别是
边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若
AC=4,BC=8,则DF的长是_________.
6
解析 因为点D,E分别是边AB,BC的中点,AC=4,所以DE是
△ABC的中位线,所以DE= AC=2,因为在Rt△BFC中,E是斜边
BC的中点,BC=8,则FE= BC=4,所以DF=DE+FE=2+4=6.故答
案为6.
9.(2025湖南常德四中期中,★★☆)如图,在等腰直角三角形
ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D,E分别为边AB,AC的中点,延长
BC至点F,使CF= BC,连接DE,CD,EF.
(1)求证:四边形CDEF为平行四边形.
(2)求EF的长.
解析 (1)证明:因为D,E分别为边AB,AC的中点,所以DE是
△ABC的中位线,所以DE∥BC,DE= BC,因为CF= BC,所以DE
=CF,因为DE∥CF,所以四边形CDEF为平行四边形.
(2)因为D为边AB的中点,所以AD=BD= AB=2,因为∠A=90°,
所以在Rt△CAD中,CD= = =2 ,因为四边
形CDEF为平行四边形,所以EF=CD=2 .
10.【新课标·推理能力】如图1,BD、CE是△ABC的外角平分
线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,延长
AF、AG,分别与直线BC相交于M、N.
图1
(1)求证:FG= (AB+BC+AC).
(2)如图2,若BD、CE是△ABC的内角平分线,其他条件不变,则
线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系 请写出你的猜
想,并说明理由.
(3)如图3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平
分线,其他条件不变,请直接写出线段FG与△ABC的三边的数
量关系.
图2 图3
解析 (1)证明:因为BD⊥AF,
所以∠AFB=∠MFB=90°,
因为BD平分∠ABM,所以∠ABF=∠MBF,
在△ABF和△MBF中,
所以△ABF≌△MBF(角边角),
所以MB=AB,AF=MF,
同理可得CN=AC,AG=NG,
所以FG是△AMN的中位线,
所以FG= MN= (MB+BC+CN)= (AB+BC+AC).
(2)猜想:FG= (AB+AC-BC).
理由:因为AF⊥BD,所以∠AFB=∠MFB=90°,
因为BD平分∠ABC,所以∠ABF=∠MBF,
在△ABF和△MBF中,
所以△ABF≌△MBF(角边角),所以AB=MB,AF=MF,同理可得
CN=AC,AG=NG,所以FG是△AMN的中位线,
所以FG= MN= (BM+CN-BC)= (AB+AC-BC),所以线段FG
与△ABC的三边的数量关系是FG= (AB+AC-BC).
(3)FG= (AC+BC-AB).
微专题 巧借中位线解线段最值题
方法技巧 在求解线段最值问题时,若所求的线段恰好是两
个中点所连线段,这时可以借助中位线定理,将问题转化为求
解三角形第三边的最值问题,从而简化计算过程.
活学活用
1.(2025江苏扬州宝应期中)如图,在△ABC中,BA=BC=5,AC=6,
点D,点E分别是BC,AB边上的动点,连接DE,点F,点M分别是
CD,DE的中点,连接FM,则FM的最小值为_________.
解析 如图,连接CE,过点B作BG⊥AC于G,过点C作CH⊥AB
于H,
因为点F,点M分别是CD,DE的中点,所以FM是△DEC的中位
线,所以FM= CE,因为BA=BC,BG⊥AC,所以AG=GC= AC=3,
在Rt△ABG中,BG= = =4,因为S△ABC= AC·
BG= AB·CH,所以CH= = = ,由垂线段最短可知,
CE的最小值为 ,所以FM的最小值为 .故答案为 .
2.如图,△ABC和△ABE是等腰三角形,AB=BC=BE=2,∠ABC=
120°,E为一动点,D为AE的中点,连接CD,则线段CD的最大值
为___________.
+1
解析 取AB的中点G,连接DG,CG,过点C作CH⊥AB交AB的
延长线于点H,如图,
因为D是AE的中点,G是AB的中点,
所以DG是△ABE的中位线,
所以DG= BE,
因为AB=BC=BE=2,
所以DG=1,BG=1,
因为∠ABC=120°,
所以∠CBH=180°-120°=60°,
因为CH⊥BH,
所以∠CHB=90°,
所以∠BCH=90°-60°=30°,
所以BH= BC=1,
所以CH= = ,HG=BG+BH=1+1=2,
在Rt△CHG中,CG= = ,
因为CG-DG≤CD≤DG+CG,
所以 -1≤CD≤ +1,
故当且仅当点G在线段CD上时,CD取最大值,为 +1.(共30张PPT)
第1章 四边形
1.2 平行四边形
第1课时 平行四边形的性质定理1
1.2.1 平行四边形的性质
平行四边形的定义
1.【学科特色·教材变式】如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是
边AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行
四边形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 因为DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,所以题图中平行四边
形共有3个:平行四边形ADEF,平行四边形BEFD,平行四边形
DECF,故选C.
梯形的定义
2.【新考向·操作实践题】沿虚线将下列图形剪成两部分,这
两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是
( )
A B C D
D
解析 A.只能拼成长方形,不符合题意;B.能拼成平行四边形,
长方形和三角形,不符合题意;C.能拼成平行四边形和梯形,不
符合题意;D.按不同的相等的边重合可得到平行四边形,三角
形和梯形,符合题意.故选D.
平行四边形的边角性质
3.(2025湖南衡阳八中教育集团期中)下列性质中,平行四边形
不一定具备的是 ( )
A.对角相等 B.对角互补
C.邻角互补 D.对边相等
B
解析 A.平行四边形对角相等,正确,不合题意;B.平行四边形
对角不一定互补,符合题意;C.平行四边形的邻角互补,正确,不
合题意;D.平行四边形对边相等,正确,不合题意.故选B.
4.【学科特色·教材变式】(2025湖南长沙一模)如图,在平行四
边形ABCD中,延长BC到点E,连接AE,使AE=AB.若∠ADC=40°,
则∠E的度数为___________.
40°
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=40°,所以∠B
=∠ADC=40°,因为AE=AB,所以∠E=∠B=40°.故答案为40°.
5.【学科特色·多解法】(2025湖南常德澧县期中)如图,在 ABDC中,E,F是对角线BC上的两点,且∠AFC=∠DEB.求证:AF=DE.
证明 【证法一】因为四边形ABDC是平行四边形,所以AC=
BD,AC∥BD,所以∠ACF=∠DBE,
在△ACF与△DBE中,
所以△ACF≌△DBE(角角边),所以AF=DE.
【证法二】因为四边形ABDC是平行四边形,
所以AB=CD,AB∥CD,所以∠ABF=∠DCE,
因为∠AFC=∠DEB,
所以180°-∠AFC=180°-∠DEB,所以∠AFB=∠DEC,
所以△ABF≌△DCE(角角边),所以AF=DE.
在△ABF与△DCE中,
平行线间的平行线段
6.如图,在 ABCD中,点O为∠BAD与∠ADC的平分线的交点,
OE⊥AD于E,BM⊥CD于M,若OE=2,则BM的长为_________.
4
解析 过点O作OF⊥AB于F,FO的延长线交CD于G,如图,在
ABCD中,AB∥CD,所以OG⊥CD,因为AO平分∠BAD,OE⊥
AD,OF⊥AB,所以OF=OE=2,同理:OG=OE=2,所以FG=OF+
OG=2+2=4,因为BM⊥CD,FG⊥CD,所以BM∥FG,所以BM=
FG=4.故答案为4.
7.(2025湖南娄底期中,★★☆)在平行四边形ABCD中,∠B+∠D
=80°,则∠A等于 ( )
A.40° B.80° C.100° D.140°
D
解析 因为 ABCD中,∠B+∠D=80°,所以∠B=∠D=40°,AB
∥CD,所以∠A+∠D=180°,所以∠A=180°-∠D=140°.故选D.
8.(2025湖南岳阳湘阴期中,★★☆)在 ABCD中,∠A∶∠B∶
∠C∶∠D可以是 ( )
A.1∶2∶2∶1 B.1∶2∶3∶4
C.2∶1∶1∶2 D.2∶1∶2∶1
D
解析 由于平行四边形对角相等,所以只有D满足题意.故选D.
9.(★★☆)等腰梯形两底长的差是4,两腰的长都是4,则这个等
腰梯形的两锐角都是 ( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
B
解析 因为梯形ABCD是等腰梯形,所以AD∥BC,过点A作AE
∥CD交BC于E,如图,因为AD∥BC,所以四边形AECD是平行
四边形,所以AE=CD,AD=EC,因为等腰梯形两底长的差是4,所
以BC-AD=4,所以BE=BC-CE=4,因为两腰的长都是4,所以AB=
CD=4,所以AE=4,所以△ABE是等边三角形,所以∠B=60°,所
以这个等腰梯形的两锐角都为60°.故选B.
10.(2025湖南永州道县期中,★★☆)平行四边形ABCD的周长
为40,△ABC的周长为25,则对角线AC的长为_________.
5
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AD=BC,
因为 ABCD的周长为40,所以AB+BC=20,因为△ABC的周长
为25,所以AB+BC+AC=25,所以AC=25-20=5.
11.(2025湖南长沙周南教育集团二模,★★☆)如图,在 ABCD
中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF.
(2)若AD=4,AB=2,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
解析 (1)证明:在 ABCD中,AB∥CD,所以∠CDE=∠F,因为
DF平分∠ADC,所以∠ADE=∠CDE,所以∠F=∠ADF,所以
AD=AF.
(2)因为AD=AF=4,AB=2,所以BF=AF-AB=2.如图,过D作DH⊥
AF交FA的延长线于H,
所以∠H=90°,因为∠BAD=120°,所以∠DAH=180°-120°
=60°,所以∠ADH=180°-90°-60°=30°,所以AH= AD=2,所以DH= = =2 ,所以△ADF的面积= AF·DH
= ×4×2 =4 .
12.【新课标·运算能力】请阅读材料并完成相应的任务.
小明在学行四边形的相关知识后查阅相关资料,发现
平行四边形还有如下的性质:平行四边形的四条边的长的平
方和等于两条对角线长的平方和,如图1,在 ABCD中,AB2+
BC2+CD2+AD2=AC2+BD2.
小明在老师的提示下,对该性质进行了证明.
证明:如图1,分别过点A,D作BC的垂线,与BC交于点E,与BC的
延长线交于点F.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD(依据),AD∥BC,
AD=BC.设AB=CD=a,AD=BC=b,BE=c,则CE=b-c,AB2+BC2+CD2
+AD2=2a2+2b2.在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,即AE2=a2-c2.
在Rt△ACE中,AC2=AE2+CE2=a2-c2+(b-c)2=a2+b2-2bc.……
任务:
(1)证明过程中的“依据”是指____.
(2)请你补全小明的证明过程.
(3)如图2,在 ABCD中,AB= BC,AC=12,BD=16,则 ABCD的
周长为_______.
解析 (1)平行四边形的对边相等.
(2)证明:如题图1,分别过点A,D作BC的垂线,与BC交于点E,与
BC的延长线交于点F.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB=CD,AD∥BC,AD=BC.
设AB=CD=a,AD=BC=b,BE=c,则CE=b-c,
AB2+BC2+CD2+AD2=2a2+2b2.
在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,即AE2=a2-c2.
在Rt△ACE中,AC2=AE2+CE2=a2-c2+(b-c)2=a2+b2-2bc.
因为AD∥BC,AE⊥BC,DF⊥BF,所以AE=DF,
所以由勾股定理易得BE=CF=c,
所以EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD,
在Rt△BDF中,BD2=DF2+BF2=a2-c2+(b+c)2=a2+b2+2bc,所以AC2
+BD2=2a2+2b2=AB2+BC2+CD2+AD2.
(3)设BC=3x,则AB=4x,由(2)得2(4x)2+2(3x)2=122+162,解得x=2
或x=-2 (不合题意,舍去),所以 ABCD的周长为8x+6x=14x=
28 ,故答案为28 .
微专题 “平行线+角平分线”模型的运用
1.(2025湖南长沙外国语学校月考)如图,在平行四边形ABCD
中,∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交BC于点E,若AB=2,
AE=3,则DE的长为 ( )
A.5 B.
B
C. D.2.5
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,AB=2,所以AD=BC,
CD=AB=2,AD∥BC,AB∥CD,所以∠BAD+∠ADC=180°,
∠CED=∠ADE,∠AEB=∠DAE,因为∠BAD的平分线和∠CDA
的平分线交于点E,所以∠BAE=∠DAE= ∠BAD,∠CDE=
∠ADE= ∠ADC,所以∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠CDA)=90°,
∠AEB=∠BAE,∠CED=∠CDE,所以∠AED=180°-∠DAE-
∠ADE=90°,CE=CD=2,AB=BE=2,所以AD=BC=BE+CE=4,因为
AE=3,所以DE= = .故选B.
模型解读 在平行四边形中,通过“平行线+角平分线”就能
得到等腰三角形,利用等腰三角形的性质,就能解决一些与线
段有关的问题.
2.(2025新疆中考)如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于
点E,若AD=2,则BE=_________.
2
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,AD=2,所以BC=AD=2,
AB∥CD,所以∠DCE=∠BEC,因为CE平分∠BCD,所以∠BCE
=∠DCE,所以∠BCE=∠BEC,所以BE=BC=2.故答案为2.
3.(2025湖南长沙长郡教育集团一模)如图,在 ABCD中,BC=
2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=_______.
5
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AD=BC
=2,所以∠EAB=∠CBA,因为BA平分∠EBC,所以∠EBA=
∠CBA,所以∠EAB=∠EBA,所以AE=BE=3,所以DE=AD+AE=2+3=5,故答案为5.(共25张PPT)
第1章 四边形
1.1 多边形
第2课时 多边形的外角和
多边形的外角和
1.【学科特色·教材变式】(2025湖南长沙雅礼教育集团联考
一模)已知一个正多边形的一个外角是36°,则这个正多边形的
边数是 ( )
A.12 B.11 C.10 D.9
C
解析 正多边形的边数是360°÷36°=10.故选C.
2.(2025湖南邵阳新邵期中)2 025边形的外角和等于____________.
360°
解析 因为多边形的外角和为360°,所以2 025边形的外角和
为360°.故答案为360°.
多边形的外角和与内角和综合
3.【学科特色·教材变式】(2025湖南娄底二模)一个多边形的
外角和是内角和的 ,这个多边形的边数为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
D
解析 设这个多边形的边数为n,根据题意得 (n-2)×180°
=360°,所以n=10.故选D.
4.(2025湖南永州祁阳期中)若一个多边形的内角和与外角和
之比是5∶2,则这个多边形的边数是_________.
7
解析 设这个多边形的边数为n,由题意得 = ,解
得n=7.故答案为7.
5.(2025湖南张家界永定期中)若一个正多边形的内角和比外
角和多720°.
(1)求这个正多边形的边数.
(2)求这个正多边形每个内角的度数.
解析 (1)设这个正多边形的边数是n,则(n-2)×180°=360°
+720°,解得n=8,所以这个正多边形的边数为8.
(2)由(1)知该多边形为正八边形,所以正八边形每个内角的度
数为 =135°.
四边形的不稳定性
6.下列图形中,具有稳定性的是 ( )
A B C D
B
解析 选项B中四边形对角线两侧是三角形,具有稳定性,故B
符合题意.故选B.
7.四边形结构在生活实践中有着广泛的应用,如图所示的智能
电动晾衣架,通过控制平行四边形形状的升降杆,使晾衣架降
低或升高,其蕴含的数学道理是_____________________.
四边形的不稳定性
8.(2025湖南永州宁远期末,★★☆)一个n边形的每一个外角
都等于与其相邻内角的 ,则n的值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
C
解析 根据题意,设n边形的一个外角的度数为x,则其相邻内
角的度数为3x,因为n边形的每一个外角和它相邻内角的和为
180°,所以x+3x=180°,解得x=45°,因为多边形的外角和为
360°,所以n=360÷45=8.故选C.
9.(2025四川凉山州中考,★★☆)已知一个多边形的内角和是
它外角和的4倍,则从这个多边形的一个顶点处可以引出的对
角线有 ( )
A.6条 B.7条 C.8条 D.9条
B
解析 设这个多边形的边数为n,180°(n-2)=360°×4,
解得n=10,
所以这个多边形是十边形,所以从这个多边形一个顶点可以
引10-3=7条对角线.故选B.
10.(2025浙江省J12共同体联盟期中,★★☆)完美五边形是指
可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形.如图,五边形
ABCDE是人类发现的第15种完美五边形的示意图,其中∠1+
∠5=120°,则∠2+∠3+∠4等于 ( )
C
A.145° B.180° C.240° D.325°
解析 因为多边形的外角和为360°,
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,
因为∠1+∠5=120°,
所以∠2+∠3+∠4=360°-(∠1+∠5)=240°.
故选C.
11.(2025江苏常州北郊初中月考,★★☆)如图所示的是正n边
形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所
在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
B
解析 如图,l,m所在直线相交于点A,则∠A=60°,因为正多边
形的每个外角都相等,所以∠1=∠2= ×(180°-60°)=60°,所以n=360°÷60°=6.故选B.
12.【学科特色·多解法】(2025湖南衡阳一模,★★☆)一个正
多边形的每个外角的度数是72°,则这个正多边形的内角和是
___________度.
540
解析 【解法一】多边形的边数:360÷72=5,内角和:180°×
(5-2)=540°.
【解法二】多边形的边数:360÷72=5,内角和:5×(180°-72°)
=540°.故答案为540.
13.(2025湖南长沙望城期末,★★☆)如图,小林从点P向西直走
6米后,向左转α,再直走6米,……,如此重复,小林共走了72米后
回到点P处,则α为___________.
30°
解析 根据题意,设小林所走路线围成的图形为正n边形,则n
=72÷6=12,所以正多边形的边数为12,
所以α=360°÷12=30°.
14.(★★☆)小明用一些完全相同的三角形纸片(图中△ABC)
拼接图案,已知用6个△ABC纸片按照如图1所示的方法拼接
可得外轮廓是正六边形的图案,若按照如图2所示的方法拼接
下去,则得到的图案的外轮廓是正______边形.
九
解析 因为正六边形的每一个内角为120°,所以∠ACB=120°
-80°=40°,所以∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=60°,所以题图
2中拼接成的正多边形的每一个内角为60°+80°=140°,每一
个外角为180°-140°=40°,360°÷40°=9,即图案的外轮廓
是正九边形.
15.【学科特色·易错题】(2025四川德阳罗江中学月考改编,
★★☆)一个多边形的外角和是其内角和的 ,若这个多边形
截去一个角,求所形成的多边形是几边形.
解析 设原多边形的边数为n,依题意,得 (n-2)×180°=360°,解
得n=7.
如图,截去一个角有三种情况:
①不经过顶点截,则所形成的多边形是八边形;
②只过一个顶点截,则所形成的多边形是七边形;
③过两个顶点截,则所形成的多边形是六边形.
易错警示 解题时容易因考虑问题不全面而出错,应注意这
个多边形截去一个角有三种情况.
16.【新课标·模型观念】利用“模型”解决几何综合问题往
往会取得事半功倍的效果.
几何模型:如图1,我们称它为“A”形图,
易证明:∠EDF=∠A+∠B+∠C.
应用上面的模型结论解决问题:
(1)如图2,“五角星”中,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5的值.
分析:图中四边形A1A3DA4是“A”形图,于是有∠A2DA5=∠A1
+∠A3+∠A4,
所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_______.
(2)如图3,“七角星”中,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+
∠A7的值.
(3)如图4,“八角星”中,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+
∠A7+∠A8的值.
解析 (1)180°.(2)如图,
因为图中四边形A1A4EA5和四边形A6A2FA3都是“A”形图,
所以∠A2EA7=∠A1+∠A4+∠A5,∠A5FA7=∠A2+∠A3+∠A6,
在三角形A7EF中,因为∠A7+∠A2EA7+∠A5FA7=180°,
所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7=180°.
(3)如图,
因为图中四边形A1A4EA6和四边形A2A5FA7都是“A”形图,
所以∠A1+∠A4+∠A6=∠A3EA7,
∠A2+∠A5+∠A7=∠A4FA8,
在四边形A3EFA8中,因为∠A3+∠A8+∠A3EA7+∠A4FA8=360°,
所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8=360°.(共13张PPT)
第1章 四边形
1.1 多边形
第1课时 多边形的概念及内角和
多边形的相关概念
1.如图所示的图形中,多边形的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
A
解析 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形
叫作多边形.题图中,多边形有三角形、四边形和六边形,共3个.
2.(2025广西贵港港南期中)如果一个n边形过一个顶点有8条
对角线,那么n=__________.
11
解析 根据题意,得n-3=8,解得n=11.故答案为11.
正多边形
3.(2025江苏盐城响水期末)下列关于正多边形的说法中,正确
的是 ( )
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.各内角都相等的多边形是正多边形
C.过正n边形一个顶点的对角线有(n-2)条
D.正多边形的各边相等
D
解析 根据正多边形的定义,选项A、B中说法错误,不符合题
意;过正n边形一个顶点的对角线有(n-3)条,故选项C中说法错
误,不符合题意;正多边形的各边相等,选项D中说法正确,符合
题意,故选D.
多边形的内角和
4.(2025四川眉山中考)如图,直线l与正五边形ABCDE的边
AB、DE分别交于点M、N,则∠1+∠2的度数为 ( )
A.216° B.180° C.144° D.120°
C
解析 在正五边形ABCDE中,∠A=∠E= ×180°×(5-2)=108°,
所以在四边形AMNE中,∠AMN+∠ENM=360°-∠A-∠E=144°,
因为∠1=∠AMN,∠2=∠ENM,所以∠1+∠2=∠AMN+∠ENM
=144°.故选C.
5.【学科特色·教材变式】(2025湖南十三市州中考模拟)冰裂
纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一,被广泛应用于建筑
装饰和瓷器,图2是从图1中提取的多边形,则这个多边形的内
角和是____________.
720°
解析 这个多边形的内角和是(6-2)×180°=720°,
故答案为720°.
6.(2025河南驻马店期末,★★☆)在学习完多边形后,小华同学
将一个五边形沿直线l剪掉一个角后,得到一个新多边形如图
所示,下列说法正确的是 ( )
A.这个新多边形是一个五边形
B.从这个新多边形的顶点A出发,最多可以画4条对角线
C.从顶点A出发的所有对角线将这个新多边形分成4个三角形
C
D.以上说法都不正确
解析 由题图可得沿直线l减掉一个角后所得的新多边形为
六边形,故A选项错误;从六边形的顶点A出发,最多可以画6-3=
3(条)对角线,故B选项错误;从顶点A出发的所有对角线将六边
形分成的三角形个数为6-2=4,故C选项正确,D选项错误.故选C.
7.(2025湖南娄底期中,★★☆)如图,在正五边形ABCDE中,连
接两条对角线AD,BD,则∠ADB的度数为___________.
36°
解析 在正五边形ABCDE中,AE=DE=BC=CD,∠E=∠EDC=
∠C= =108°,所以∠ADE=∠BDC= ×(180°-108°)=36°,所以∠ADB=108°-36°-36°=36°.故答案为36°.
8.(2025浙江兰溪二中期中改编,★★☆)阅读小明和小红的对
话,解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”的度数是_______°.
(2)小明求的是_______边形的内角和.
30
十二
解析 (1)多边形的内角和是180°的整数倍,
1 800°=180°×10,
1 830°-1 800°=30°,故答案为30.
(2)设小明求内角和的多边形的边数为x,
依题意有(x-2)·180°<1 830°,解得x<12 .
因为x为大于或等于3的整数,且多加了一个30°的锐角,所以多
边形的边数是12,故小明求的是十二边形的内角和.(共25张PPT)
第1章 四边形
1.5 矩 形
1.5.2 矩形的判定
矩形的判定
1.(2025湖南娄底双峰期中)已知四边形ABCD是平行四边形,
下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 ( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
D
解析 A.当∠A=90°时, ABCD是矩形,该选项不符合题意;B.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以∠B+∠C
=180°,当∠B=∠C时,∠B=∠C=90°,此时 ABCD是矩形,该选
项不符合题意;C.当AC=BD时, ABCD是矩形,该选项不符合
题意;D.当AC⊥BD时,不能判定 ABCD是矩形,该选项符合题
意.故选D.
2.【新考向·数学文化】(2025湖南长沙市雅礼教育集团期中)
我国古代有“不以规矩,不能成方圆”的说法,人们把“规
矩”当作几何名词,“规”是圆,“矩”是方,所以初中以后就
把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上,小明
用四根细木条搭成如图所示的一个四边形,现要判断这个四
边形是不是矩形,以下测量方案正确的是 ( )
A
A.测量是否有三个角是直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直
解析 A.有三个角是直角的四边形是矩形,所以该方案正确.
B.只测量对角线是否相等无法确认该图形的具体形状,故该
方案不正确;C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,不
一定是矩形,故该方案不正确;D.只测量对角线是否互相垂直
不能明确图形的形状,故该方案不正确.故选A.
3.(2025江苏宿迁宿豫期中)在四边形ABCD中,有以下四个条
件:①AB∥CD;②AD∥BC;③AC=BD;④∠ADC=90°.若从中
选取三个条件,可以判定四边形ABCD为矩形,则这样的选择
共有_________种.
2
解析 因为AB∥DC,AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边
形.当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形;当∠ADC=90°时,平
行四边形ABCD是矩形,所以选取①②③或①②④可以判定四
边形ABCD为矩形,共2种.故答案为2.
4.(2025湖南岳阳湘阴洞庭四校期中)如图,小美用钉子将四根
木棍钉成了一个平行四边形框架,现固定AB,转动AD.
当∠ABC=__________时,四边形ABCD的面积最大,此时四边形是______形.
矩
90°
解析 过D作DE⊥AB于点E,如图,
根据题意可得, ABCD的面积为AB·DE,因为AB不变,所以当
DE=AD时,面积最大,即∠DAB=∠ABC=90°时,面积最大,此时
ABCD是矩形.故答案为90;矩.
5.【学科特色·多解法】【学科特色·教材变式】(2025湖南长
沙宁乡期中)如图,延长平行四边形ABCD的边DC到点F,使得
CF=CD,连接AF,BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
证明 【解法一】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB
∥CD,AB=CD,AD=BC,因为CF=CD,所以CF=AB,所以四边形
ABFC是平行四边形,因为AD=AF,AD=BC,所以BC=AF,所以平
行四边形ABFC是矩形.
【解法二】同【解法一】可知四边形ABFC是平行四边形,因
为AD=AF,所以△ADF是等腰三角形,因为CF=CD,所以AC⊥
DF,所以∠ACF=90°,所以平行四边形ABFC是矩形.
6.【新考向·动点探究题】(2025广西来宾兴宾期中,★★☆)如
图,在Rt△ABC中,∠A=90°,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF
⊥AC于F,动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段
EF的值的变化情况是 ( )
C
A.一直增大 B.不变
C.先减小后增大 D.先增大后减小
解析 连接AP,如图,因为PE⊥AB,PF⊥AC,所以∠PEA=
∠PFA=90°,
因为∠BAC=90°,所以四边形AFPE是矩形,所以EF=AP,由垂
线段最短,可得当AP⊥BC时,AP最短,则线段EF的值最小,所以
动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,线段EF的值的变
化情况是先减小后增大.故选C.
7.【学科特色·方程思想】(★★☆)如图,在矩形ABCD中,点E
在AD边上,点F在BC边上,且BF=DE,连接EF交对角线BD于点
O,BD=5,CD=3,连接CE,若CE=CF,则EF的长为_________.
解析 过点E作EH⊥BC于点H,如图所示,
因为四边形ABCD为矩形,BD=5,CD=3,∠CDE=∠BCD=90°,所
以四边形CDEH为矩形,BC= =4,所以EH=CD=3,ED
=HC,设CE=CF=x,则BF=DE=4-x,因为CD2+DE2=CE2,所以32+(4
-x)2=x2,解得x= ,所以ED=HC=4- = ,所以FH=CF-HC= ,所
以EF= = = .
8.(2025湖南永州道县期中,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,
D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
解析 (1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC,所以
∠ADC=∠ADB=90°,因为CE∥AD,所以∠ECD=∠ADB=90°,
因为AE⊥AD,所以∠EAD=90°,所以∠ADC=∠ECD=∠EAD=
90°,所以四边形ADCE是矩形.
(2)由(1)可知BD=CD= BC=2,四边形ADCE是矩形,所以AE=
CD=2,∠AEC=90°,在Rt△AEC中,由勾股定理得,AC=
= ,因为EF⊥AC,所以S△AEC= AC·EF= AE·CE,
所以EF= = = .
9.【新课标·推理能力】长与宽之比为 ∶1的矩形纸片被称
为标准纸,请思考并解答下列问题:
(1)将一张标准纸ABCD(AB片ABEF是标准纸,请给予证明.
(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<
BC)进行如下操作:
第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上的点F处,折痕
为AE(如图1);
第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上的点N处,折
痕为DG(如图2),此时E点恰好落在AE边上的点M处;
第三步:沿直线DM折叠(如图3),此时G点恰好与点N重合.
请你探究:矩形纸片ABCD是不是标准纸 并说明理由.
(3)不难发现,将一张标准纸按如图所示的方式一次又一次对
开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB
=1,BC= ,问:第5次对开后所得标准纸的周长是多少 探索并
直接写出第2 020次对开后所得标准纸的周长.
解析 (1)证明:因为矩形纸片ABCD是标准纸,且AB = .由对开的含义知AF= AD= BC,
所以 = =2· =2× = ,
所以矩形纸片ABEF是标准纸.
(2)矩形纸片ABCD是标准纸.理由如下:
设AB=CD=a,a>0.
由题图1折叠可知△ABE≌△AFE,
所以∠BAE=∠FAE,所以∠DAE= ∠BAD=45°.
由题图2折叠可知DG⊥EM,所以∠AGD=90°,
所以△ADG是等腰直角三角形,所以AG=DG,
由题图3折叠可知CD=DG=DN=a,所以AG=a,
所以在Rt△ADG中,AD= = a,
所以 = = ,所以矩形纸片ABCD是标准纸.
(3)
对开次数 周长
第1次 2×
第2次 2×
第3次 2×
第4次 2×
第5次 2×
第6次 2×
… …
所以第5次对开后所得标准纸的周长为 ,
第2 020次对开后所得的标准纸的周长为 .(共30张PPT)
第1章 四边形
1.2 平行四边形
第2课时 平行四边形的判定定理3
1.2.2 平行四边形的判定
对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.(2025湖南常德芷兰实验学校期中)如图,下列条件不能判定
四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB∥CD,AD=BC
B.AB=CD,AD=BC
A
C.AB=CD,AB∥CD
D.AO=CO,BO=DO
解析 A.根据AB∥CD,AD=BC,可能得出四边形ABCD是等腰
梯形,故A符合题意;B.根据AB=CD,AD=BC,能判定四边形
ABCD是平行四边形,故B不符合题意;C.根据AB=CD,AB∥CD,
能判定四边形ABCD是平行四边形,故C不符合题意;D.根据
AO=CO,BO=DO,能判定四边形ABCD是平行四边形,故D不符
合题意.故选A.
2.(2025湖南张家界慈利期中)根据所标数据,不能判定下列四
边形是平行四边形的是 ( )
A B
C D
C
解析 A.根据对角线互相平分能判定该四边形是平行四边
形,故本选项不符合题意;B.根据两组对边分别相等能判定该
四边形是平行四边形,故本选项不符合题意;C.由题图可知,该
四边形一组对边相等,另一组对边平行,不能判定该四边形是
平行四边形,本选项符合题意;D.由题图易知两组对边分别平
行,根据两组对边分别平行能判定该四边形是平行四边形,故
本选项不符合题意.故选C.
3.【学科特色·教材变式】阅读以下作图步骤:
①任意画两条相交直线m、n,记交点为O;
②以点O为中心,分别在直线m、n上截取OB与OD,OA与OC,
使OB=OD,OA=OC;
③顺次连接A,B,C,D四点得到四边形ABCD.
根据以上作图步骤,可以推断四边形ABCD的形状是____
______________.
平行四边形
解析 因为OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD是平行四边形,
故答案为平行四边形.
4.【学科特色·多解法】(2024陕西西安模拟)如图,在四边形
ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过B,D分别作AC的垂线,垂
足分别为点E,F,且BE=DF,AF=CE.求证:四边形ABCD为平行
四边形.
证明 【证法一】因为BE⊥AC,DF⊥AC,
所以∠BEO=∠DFO=90°,
所以在△BEO与△DFO中,
所以△BEO≌△DFO(AAS),所以EO=FO,BO=DO,
又因为AF=CE,所以AF-FO=CE-EO,所以AO=CO,
所以四边形ABCD是平行四边形.
【证法二】因为AF=CE,所以AF-EF=CE-EF,
所以AE=CF,
因为BE⊥AC,DF⊥AC,所以∠AEB=∠CFD=90°,
所以在△ABE与△CDF中,
所以△ABE≌△CDF(SAS),所以AB=CD,∠BAE=∠DCF,所以
AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.
5.(2025湖南郴州部分学校月考,★★☆)在四边形ABCD中,对
角线AC,BD相交于点O,且OA=OC.添加下列条件:①OB=OD;
②AD=BC;③AD∥BC;④∠BAD=∠BCD.其中,能判定四边形
ABCD是平行四边形的条件有 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
C
解析 ①因为OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD为平行四边
形;②OA=OC,AD=BC,不能判定四边形ABCD为平行四边形;
③因为AD∥BC,所以∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO,
在△ADO和△CBO中,
所以△ADO≌△CBO(角角边),所以OB=OD,
所以四边形ABCD为平行四边形;④OA=OC,∠BAD=∠BCD,
不能判定四边形ABCD为平行四边形.所以能判定四边形ABCD是平行四边形的条件为①③.故选C.
6.(2025山西一模,★★☆)如图,取两根长度不等的细木棒AC,
BD,将它们的中点重合固定(记为点O).转动木棒AC,在∠AOD
由锐角变成钝角的过程中,分析以木棒四个端点为顶点的四
边形ABCD,下列结论一定成立的是 ( )
D
A.AB=AD B.OA=AD
C.∠BAD=∠ABC D.∠BAD=∠BCD
解析 根据题意得AC,BD互相平分,所以四边形ABCD是平行
四边形,由平行四边形的对角相等可知∠BAD=∠BCD恒成立,
而AB=AD,OA=AD,∠BAD=∠ABC不一定成立,故选D.
7.(2025山东济宁曲阜期中,★★☆)阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
已知:如图1,△ABC及AC边的中点O.
求作:平行四边形ABCD.
小敏的作法如下:如图2,①连接BO并延长,在延长线上截取OD
=BO;②连接DA、DC.所以四边形ABCD就是所求作的平行四
边形.
老师说:“小敏的作法正确.”
请回答:小敏的作法正确的理由是_______________________
__________________________________________________.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
解析 因为O是AC边的中点,所以OA=OC,因为OD=OB,所以
四边形ABCD是平行四边形.故小敏的作法正确的理由:对角
线互相平分的四边形是平行四边形.
8.(★★☆)如图,线段AB,CD相交于点O,且图上各点把线段AB,
CD四等分,这些点可以构成的平行四边形有_________个.
4
解析 可构成平行四边形的情况如图所示,分别为 EFNM,
ADBC, EDNC, AFBM,共4种.
9.(2025湖南长沙长郡教育集团四模,★★☆)如图,在 ABCD
中,E,F是直线BD上的两点,DE=BF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若AD⊥BD,AB=5,BC=3,且EF-AF=2,求DE的长.
解析 (1)证明:连接AC交EF于O,如图,
在 ABCD中,OA=OC,OB=OD,因为DE=BF,所以OD+DE=OB
+BF,所以OE=OF,因为OA=OC,所以四边形AECF是平行四边形.
(2)因为在 ABCD中,BC=3,
所以AD=BC=3,
因为AD⊥BD,AB=5,
所以BD= = =4,
因为DE=BF,所以设DE=BF=x,
所以EF=2x+4,AF= = ,
因为EF-AF=2,所以AF=EF-2=2x+2,
所以2x+2= ,
所以x= (负值舍去),所以DE的长为 .
10.【新课标·推理能力】如图,△ABC是等边三角形,AD是BC
边上的高.点E在AB的延长线上,连接ED,∠AED=30°,过A作AF
⊥AB,与ED的延长线交于点F,连接BF,CF,CE.若AB=6,则四边
形BECF的周长是____________.
6 +6
解析 因为AD是等边△ABC中BC边上的高,所以BD=DC,
∠BAD=∠CAD=30°,因为∠AED=30°,所以∠AED=∠BAD,
∠ADF=∠AED+∠EAD=60°,所以DE=AD,因为AF⊥AB,所以
∠DAF=90°-∠EAD=90°-30°=60°,所以∠ADF=∠DAF,
所以△ADF为等边三角形,所以AD=DF,因为DE=AD,所以DE=
DF,因为BD=DC,所以四边形BECF为平行四边形,
因为在Rt△ABD中,AB=6,∠BAD=30°,所以BD=3,
所以AD= =3 ,因为△ADF为等边三角形,所以AF=
AD=3 ,所以BF= =3 ,
因为∠ABC=60°,∠AED=30°,所以∠BDE=30°,所以BE=BD=3,所以四边形BECF的周长为2(BF+BE)=2×(3 +3)=6 +6.
微专题 由角的关系判定平行四边形
1.(2025江苏南京玄武期中)一个四边形的三个内角的度数依
次如下,能判定该四边形是平行四边形的是 ( )
A.82°,98°,82° B.102°,88°,102°
C.82°,98°,98° D.92°,78°,92°
A
解析 A.四边形的第四个内角的度数是360°-82°-98°-82°=98°,所以得到四边形的两组对角分别相等,且邻角和为180°,可以判定该四边形是平行四边形,故A符合题意.故选A.
2.(2025广东珠海文园中学期中)如图,已知四边形ABCD,选项
中的条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB∥CD,AD∥BC
B.AD=BC,AB=CD
D
C.∠A=∠C,∠B=∠D
D.AB∥CD,AD=BC
解析 因为AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边
形,故A不符合题意;因为AD=BC,AB=CD,所以四边形ABCD是
平行四边形,故B不符合题意;因为∠A=∠C,∠B=∠D,且∠A+
∠C+∠B+∠D=360°,所以2∠A+2∠B=360°,
2∠A+2∠D=360°,所以∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°,
所以AD∥BC,AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形,故C不
符合题意;根据AB∥CD,AD=BC,可能得出四边形ABCD是等腰
梯形,所以由AB∥CD,AD=BC不能推出四边形ABCD一定是平行四边形,故D符合题意,故选D.
3.下列给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比:
①1∶2∶3∶4;②2∶2∶3∶4;③2∶3∶2∶3;④2∶3∶3∶2;
⑤3∶2∶3∶2.其中能使四边形ABCD为平行四边形的是
___________(填序号).
③ ⑤
解析 ①因为∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为1∶2∶3∶4,所
以四边形ABCD的四个内角都不相等,所以四边形ABCD不是
平行四边形,故①不符合题意;②因为∠A,∠B,∠C,∠D的度数
之比为2∶2∶3∶4,即四边形ABCD的两组对角不是分别相
等,所以四边形ABCD不是平行四边形,故②不符合题意;③因
为∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为2∶3∶2∶3,即四边形
ABCD的两组对角分别相等,所以四边形ABCD是平行四边形,
故③符合题意;④因为∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为2∶3∶
3∶2,即四边形ABCD的两组对角不是分别相等,所以四边形
ABCD不是平行四边形,故④符合题意;⑤因为∠A,∠B,∠C,
∠D的度数之比为3∶2∶3∶2,即四边形ABCD的两组对角分别
相等,所以四边形ABCD是平行四边形,故⑤符合题意.故答案
为③⑤.(共31张PPT)
第1章 四边形
1.6 菱 形
1.6.1 菱形的性质
菱形的定义
1.如图,在由六个全等的正三角形拼成的图中,菱形的个数为
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
解析 如图,
由题意可知,四边形EDGF,EDCG,FGBA,GCBA,EGAF,CDGB
都是菱形,共6个.故选D.
菱形的性质
2.(2025湖南三湘大联考教育联盟一模)如图,在菱形ABCD中,
E,F分别是AC,CD的中点,AB=8,则EF的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.不确定
A
解析 因为四边形ABCD是菱形,AB=8,所以AD=AB=8,因为E,
F分别是AC,CD的中点,所以EF是△ACD的中位线,所以EF=
AD= ×8=4,所以EF的长为4.故选A.
3.(2025湖南岳阳湘一南湖学校一模)如图,在菱形ABCD中,对
角线AC,BD相交于点O,若∠ABD=40°,则∠ADC的度数为
( )
A.100° B.80°
C.60° D.40°
B
解析 因为四边形ABCD是菱形,所以∠ABC=∠ADC,∠ABD
=∠CBD= ∠ABC,因为∠ABD=40°,所以∠ABC=80°,
所以∠ADC=∠ABC=80°.故选B.
4.(2025湖南长沙雅礼教育集团联考一模)如图,菱形ABCD的
周长为8,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点,则OE的
长为_________.
1
解析 因为菱形ABCD的周长为8,所以CD= ×8=2,AC⊥BD,
所以△OCD是直角三角形,因为E为CD的中点,所以OE= CD
=1.故答案为1.
5.【新考向·条件开放题】(2025湖南中考二模)如图,在菱形
ABCD中,点E、F分别为CD、AD边上的点.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得AE=CF,你添加
的条件是_________.
(2)添加了条件后,证明AE=CF.
解析 (1)DE=DF.(答案不唯一)
(2)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AD=CD,
在△ADE和△CDF中,
所以△ADE≌△CDF(边角边),所以AE=CF.
菱形的面积
6.(2025湖南永州道县期中)已知菱形ABCD的对角线AC=6,BD
=8,则菱形ABCD的面积为__________.
24
解析 因为四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,所以S菱形ABCD=
AC·BD= ×6×8=24.故答案为24.
7.【学科特色·多解法】(2025湖南张家界慈利期中,★★☆)如
图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足
为E,若∠BCD=70°,则∠BOE的大小为 ( )
A.20° B.25° C.35° D.55°
C
解析 【解法一】因为四边形ABCD是菱形,所以CA平分∠DCB,∠COB=90°,∠ABD=∠CBD,因为∠BCD=70°,所以∠BCO= ∠BCD=35°,所以∠CBO=90°-∠BCO=55°,因为∠ABO
=∠CBO,所以∠ABO=55°,因为OE⊥AB,所以∠BEO=90°,
所以∠BOE=90°-∠ABO=35°.
【解法二】因为四边形ABCD是菱形,∠BCD=70°,所以AC平
分∠DAB,∠AOB=90°,∠BAD=∠BCD=70°,所以∠BAO=
∠BAD=35°,因为OE⊥AB,所以∠AEO=90°,
所以∠AOE+∠EAO=90°,
因为∠AOB=90°,所以∠BOE+∠AOE=90°,
所以∠BOE=∠BAO=35°.故选C.
8.(2025湖南永州宁远二模,★★☆)如图,直线MN∥PQ,菱形
ABCD的两个顶点A,C分别在直线MN,PQ上,若∠ABC=150°,
∠NAD=130°,则∠DCQ=___________.
20°
解析 过点D作DE∥PQ,则DE∥PQ∥MN,∠ADE=∠NAD=130°,如图,
因为四边形ABCD是菱形,所以∠ADC=∠ABC=150°,所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=20°,因为DE∥PQ,所以∠DCQ=
∠EDC
=20°.故答案为20°.
9.(2025福建中考,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线相交于点
O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则
△AOE与△DOF的面积之和为_________.
1
解析 因为四边形ABCD是菱形,所以DO=BO=1,AO=CO=2,
AB∥CD,所以∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB,所以△DOF≌
△BOE(角角边),所以△DOF的面积=△BOE的面积,
所以△AOE与△DOF的面积之和=△BOA的面积= ×2×1=1.
故答案为1.
10.【学科特色·教材变式】【学科特色·多解法】(2025湖南
长沙浏阳期中,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,∠ACD=30°,
BD=6.
(1)求∠BAD的度数和AB、AC的长.
(2)若DH⊥BC,求DH的长.
解析 (1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,∠ACD=
∠ACB=30°,∠BAD=∠BCD,AB=AD=BC,OB=OD,OA=OC,所以
∠BCD=∠BAD=2×30°=60°,因为AB=AD,所以△ABD是等边
三角形,因为BD=6,所以AB=BD=6,所以OB=3,因为∠AOB=90°,所以AO= = =3 ,所以AC=2AO=6 .
(2)【解法一】因为AC=6 ,BD=6,所以S菱形ABCD= AC·BD= ×
6 ×6=18 ,因为DH⊥BC,BC=AB=6,所以S菱形ABCD=2× BC·
DH=6DH,所以6DH=18 ,所以DH=3 .
【解法二】因为AC⊥BD,所以∠AOB=90°,因为DH⊥BC,所以
∠DHB=90°,所以∠AOB=∠DHB,
因为四边形ABCD是菱形,所以∠ABO=∠DBH,
在△ABO和△DBH中,
所以△ABO≌△DBH(角角边),所以DH=AO=3 .
11.【新课标·推理能力】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直
线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时
针排列),点E的位置随动点P位置的变化而变化.
(1)如图①,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上
时,连接CE,则BP与CE的数量关系是_______,BC与CE的位
置关系是_______.
(2)如图②,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)
中的结论是否还成立 若成立,请予以证明;若不成立,请说明
理由.
解析 (1)如图1,连接AC,延长CE交AD于点H,
因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
所以△ABC,△ACD都是等边三角形,
∠ABD=∠CBD=30°,
所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,∠CAH=60°,
因为△APE是等边三角形,
所以AP=AE,∠PAE=60°,所以∠BAC=∠PAE,
所以∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC,
所以∠BAP=∠CAE,
所以△BAP≌△CAE(SAS),
所以BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°,
所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,所以CE⊥BC.
故答案为BP=CE;CE⊥BC.
图1 图2
(2)(1)中结论仍然成立,证明如下:
如图2,连接AC,
由(1)知△ABC,△ACD为等边三角形,
所以在△ABP和△ACE中,AB=AC,AP=AE,
又因为∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP,
∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP,
所以∠BAP=∠CAE,所以△ABP≌△ACE(SAS),
所以BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°,
所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,所以CE⊥BC.
微专题 含60°(或120°)角的菱形
方法技巧 在含60°(或120°)角的菱形中,连接对角线,可构造
出等边三角形和含30°角的直角三角形,利用特殊三角形的性
质可解决菱形中的问题.
活学活用
1.(2025湖南娄底市直学校联合体期中)如图,周长为24的菱形
ABCD中,∠BAD=120°,点E,F分别是AB,AD边上的动点,点P为
对角线BD上一动点,则线段PE+PF的最小值为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
A
解析 如图,连接AC,交BD于点O,过点A作AE'⊥BC,垂足为E',
交BD于点P,过E'作BD的垂线交AB于点E,
所以当点F与点A重合时,PE+PF有最小值,最小值为AE'的长,
因为菱形ABCD的周长为24,∠BAD=120°,所以AB=BC=6,
∠BAC= ∠BAD=60°,∠ABC=180°-120°=60°,
所以△ABC是等边三角形,所以AB=AC,
因为AE'⊥BC,所以BE'=CE'= BC=3,
在Rt△ABC中,AE'= = =3 .故选A.
2.(2025湖南长沙一中教育集团一模)如图,在菱形ABCD中,AB
=10,∠B=60°,则AC的长为__________.
10
解析 因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC,因为∠B=60°,所
以△ABC是等边三角形,所以AC=AB=10.故答案为10.(共29张PPT)
第1章 四边形
1.2 平行四边形
第1课时 平行四边形的判定定理1,2
1.2.2 平行四边形的判定
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.(2025湖南湘潭湘乡东皋学校期中)如图,给出了四边形
ABCD中的部分数据,若使得四边形ABCD为平行四边形,添加
的条件可以是 ( )
A.BD=3 B.BD=5
D
C.CD=2 D.BC=3
解析 因为在四边形ABCD中,∠ADB=∠CBD=24°,所以AD∥
BC,若添加BC=AD=3,则可以根据一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形来判定.故选D.
2.(2025湖南郴州宜章八中期中)如图,四边形ABCD的两条对
角线相交于点O,AB∥CD,且AB=CD,S△AOB=5,则四边形ABCD
的面积为__________.
20
解析 因为AB∥CD,且AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边
形,所以OA=OC,OB=OD,所以S△COB=S△COD=S△AOD=S△AOB=5,所以
S四边形ABCD=4S△AOB=20.故答案为20.
3.【学科特色·多解法】如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠B
=55°,∠1=85°,∠2=40°.
(1)求∠D的度数.
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
解析 (1)因为∠D+∠2+∠1=180°,
所以∠D=180°-∠2-∠1=180°-40°-85°=55°.
(2)证明:【证法一】因为AB∥DC,
所以∠2+∠ACB+∠B=180°,
所以∠ACB=180°-∠B-∠2=180°-55°-40°=85°,
所以∠ACB=∠1,所以AD∥BC,
所以四边形ABCD是平行四边形.
【证法二】因为AB∥DC,所以∠2=∠CAB,
又因为∠D=∠B=55°,AC=AC,
所以△ACD≌△CAB(AAS),所以AB=CD,
所以四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4.(2025广西北海合浦期中)下列选项中,不能判定一个四边形
是平行四边形的条件是 ( )
A.两组对边分别平行
B.一组对边平行,另一组对边相等
C.一组对边平行且相等
D.两组对边分别相等
B
解析 A.两组对边分别平行,可判定该四边形是平行四边形,
不符合题意;B.一组对边平行,另一组对边相等,不能判定该四
边形是平行四边形,也可能是等腰梯形,符合题意;C.一组对边
平行且相等,可判定该四边形是平行四边形,不符合题意;D.两
组对边分别相等,可判定该四边形是平行四边形,不符合题意.
故选B.
5.(2025湖南怀化溆浦期中)在四边形ABCD中,已知AB=CD,
AD=BC,AC,BD相交于点O.若AC=6,则AO的长等于_________.
3
解析 因为AB=CD,AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形,
所以AO=CO,因为AC=6,所以AO= AC=3.故答案为3.
6.【学科特色·多解法】(2025湖南长沙明德教育集团期中)如
图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,对角线AC,BD
相交于点O.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AB=5,AD=3,AC⊥BC,求AC的长和BD的长.
解析 (1)【证法一】证明:因为AD∥BC,所以∠ADB=∠CBD,
在△ABD和△CDB中,
所以△ABD≌△CDB(角角边),
所以AD=BC,AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形.
【证法二】证明:由【证法一】得△ABD≌△CDB(角角边),
所以AD=BC,因为AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.
【证法三】证明:由【证法一】得△ABD≌△CDB(角角边),
所以∠ABD=∠CDB,所以AB∥CD,因为AD∥BC,所以四边形
ABCD是平行四边形.
(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC=AD=3,因为AC⊥
BC,所以∠ACB=90°,所以AC= = =4,因为四
边形ABCD是平行四边形,所以OC= AC=2,BD=2OB,因为OB=
= = ,所以BD=2OB=2 .
7.(2025湖南常德二模,★★☆)如图,四边形ABCD的对角线AC
与BD相交于点O,已知AD∥BC,若要证明四边形ABCD为平行
四边形,则还需要添加的一个条件是 ( )
A.AB=BC B.OA=OB
C
C.AD=BC D.AC⊥BD
解析 A.添加AB=BC无法证明四边形ABCD为平行四边形,不
符合题意;B.添加OA=OB无法证明四边形ABCD为平行四边
形,不符合题意;C.因为AD∥BC,AD=BC,所以四边形ABCD为
平行四边形,符合题意;D.添加AC⊥BD无法证明四边形ABCD
为平行四边形,不符合题意.故选C.
8.(2025湖南长沙师大附中梅溪湖中学月考,★★☆)在四边形
ABCD中,AD=BC,添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD为
平行四边形的是 ( )
A.AB=CD B.AB∥CD
C.AD∥BC D.∠A+∠B=180°
B
解析 因为AD=BC,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形,
故A不符合题意;根据AD=BC,AB∥CD,不能判定四边形ABCD
为平行四边形,故B符合题意;因为AD=BC,AD∥BC,所以四边
形ABCD为平行四边形,故C不符合题意;因为∠A+∠B=180°,
所以AD∥BC,因为AD=BC,所以四边形ABCD为平行四边形,
故D不符合题意.故选B.
9.(2025江苏徐州期中,★★☆)如图,点D是直线l外一点,在l上
取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画
弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形.
依据是_____________________的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等
解析 由作图可知,BC=AD,CD=AB,所以四边形ABCD是平行
四边形,依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
10.(2025湖南永州祁阳黎家坪二中一模,★★★)如图,在△
ABC中,∠C=90°,D,E分别为BC,AC上一点,BD=AC,DC=AE,BE
与AD交于点P,则∠ADC+∠BEC=___________度.
135
解析 如图,过点B作BF⊥BC,使得BF=AE=DC,则∠FBC=90°,
连接AF,DF,因为∠C=90°,所以AC⊥BC,所以∠FBC=∠C,BF
∥AC,所以四边形AFBE为平行四边形,所以∠BFA=∠AEB,因
为BF=CD,∠FBD=∠C=90°,BD=AC,所以△BDF≌△CAD(边
角边),所以∠DFB=∠ADC,∠BDF=∠CAD,DF=AD,因为∠ADC
+∠DAC=90°,所以∠ADC+∠BDF=90°,所以∠ADF=90°,
所以∠DFA=∠DAF=45°,因为∠AEB+∠BEC=180°,
所以∠AFB+∠BEC=180°,所以∠DFB+∠DFA+∠BEC=180°,所以∠ADC+∠DFA+∠BEC=180°,因为∠DFA=45°,
所以∠ADC+∠BEC=135°.故答案为135.
11.(★★☆)如图,在四边形ABCD中,AD∥CB,AC与BD交于点
E,E为BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD,连接AF.
(1)求证:AE=CE.
(2)求证:四边形ABDF为平行四边形.
(3)若CD=1,AF=2,∠BEC=2∠F,求四边形ABDF的面积.
解析 (1)证明:因为AD∥CB,所以∠DAC=∠BCA,
因为E为BD的中点,所以DE=BE,
在△ADE和△CBE中,
所以△ADE≌△CBE(角角边),所以AE=CE.
(2)证明:由(1)得AE=CE,BE=DE,所以四边形ABCD是平行四边
形,所以AB∥CD,AB=CD,
因为DF=CD,所以AB=DF,
因为AB∥DF,所以四边形ABDF为平行四边形.
(3)因为四边形ABDF为平行四边形,
所以∠F=∠DBA,BD=AF=2,AB=DF,
因为∠BEC=2∠F,∠BEC=∠DBA+∠BAC,
所以∠DBA=∠BAC,所以AE=BE=DE,所以∠BAD=90°,
因为AB=DF=CD=1,所以AD= = ,
所以四边形ABDF的面积=AB·AD= .
12.【学科特色·分类讨论思想】【学科特色·易错题】【新课
标·推理能力】(2025湖南张家界永定期中)如图,在四边形ABCD中,AD=6,BC=16,AD∥BC,AB=8,∠ABC=60°,点E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1)线段PD=_______;CQ=_______;QE=________(用含t
的代数式表示).
(2)当t为何值时,以P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形
解析 (1)由题意得,AP=t,CQ=2t,因为AD=6,BC=16,点E是BC的
中点,点P在AD上,点Q在BC上,所以PD=6-AP=6-t,BE=CE= BC
=8,所以QE=8-CQ或QE=CQ-8,若点Q与点E重合,则2t=8,
解得t=4,若点P与点D重合,则t=6,当0QE=2t-8,故答案为6-t;2t;8-2t(0(2)因为AD∥BC,点E是BC的中点,点P在AD上,点Q在BC上,所
以PD∥QE,所以当PD=QE时,以P,Q,E,D为顶点的四边形是平
行四边形.当0与点E重合,不合题意,舍去;当4得t= .综上所述,当t=2或t= 时,以P,Q,E,D为顶点的四边形
是平行四边形.
易错警示 解题时忽略对运动时间t的取值范围的讨论,从而
导致解答时漏解.(共25张PPT)
第1章 四边形
1.6 菱 形
1.6.2 菱形的判定
菱形的判定
1.(2025湖南邵阳隆回月考)如图, ABCD的对角线相交于
点O,添加下列一个条件,仍然不能判定它一定是菱形的是
( )
A.AB=BC B.AC⊥BD
C.∠ABD=∠CBD D.AC=BD
D
解析 A.添加AB=BC后,根据“一组邻边相等的平行四边形
是菱形”,可判定 ABCD是菱形;B.添加AC⊥BD后,根据“对
角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可判定 ABCD是菱
形;C.添加∠ABD=∠CBD后,根据“对角线平分一组对角的平
行四边形是菱形”,可判定 ABCD是菱形;D.对角线相等的
平行四边形是矩形,故添加AC=BD后,不能判定 ABCD一定
是菱形.故选D.
2.(2025湖南中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互
相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.18
C
解析 因为对角线AC与BD互相垂直平分,所以四边形ABCD
为菱形,因为AB=3,所以四边形ABCD的周长为3×4=12.故选C.
3.(2025湖南娄底一模)如图,分别以点A、B为圆心,以大于 AB的定长a为半径画弧,两弧相交于点C、D,则四边形ADBC
是菱形的理由是____________________________.
四边相等的四边形是菱形
解析 根据作图方法可知,AD=AC=BD=BC=a,所以四边形
ADBC是菱形,故理由:四边相等的四边形是菱形.
4.【新考向·条件开放题】【学科特色·多解法】(2025江苏泰
州泰兴期中)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,连
接EF,AC,相交于点O.下列三个条件:①AD∥BC;②EF垂直平
分AC;③AC平分∠DAF.从中选择两个作为条件,使四边形
AFCE是菱形,并写出你的证明过程.
你选择的条件为____________________(填序号).
证明:
①②(答案不唯一)
解析 ①②(答案不唯一)
证明:【证法一】因为AD∥BC,所以∠OAE=∠OCF,因为EF
垂直平分AC,所以AE=CE,AF=CF,OA=OC,在△AOE和△COF
中, 所以△AOE≌△COF(角边角),所以AE=
CF,所以AE=CE=AF=CF,所以四边形AFCE是菱形.
【证法二】由【证法一】得△AOE≌△COF(角边角),所以
OE=OF,因为OA=OC,所以四边形AFCE是平行四边形,因为EF
⊥AC,所以平行四边形AFCE是菱形.
5.【学科特色·教材变式】(2025湖南怀化二模)如图,在
ABCD中,对角线AC和BD交于点O,点E,F在AC上,且AE=CF,连
接BE,BF,DF,DE.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当平行四边形ABCD是菱形时,判断四边形BEDF的形状.
解析 (1)证明:在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,所以∠BAE=
∠DCF,在△ABE和△CDF中,
所以△ABE≌△CDF(边角边).
(2)四边形BEDF是菱形.理由:因为四边形ABCD是菱形,所以
OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,因为AE=CF,所以OA-AE=OC-CF,
即OE=OF,因为OB=OD,所以四边形BEDF是平行四边形,因为
EF⊥BD,所以平行四边形BEDF是菱形.
6.【新考向·尺规作图】(2025湖南岳阳一模,★★☆)小美同学
按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN;②以点A为圆心,1个
单位长为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为
圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C;④连接BC,CD,BD.
若∠A=44°,则∠CBD的大小是 ( )
C
A.64° B.66° C.68° D.70°
解析 由作图过程可得AB=AD=BC=DC,所以四边形ABCD是
菱形,所以AD∥BC,∠CBD=∠ABD=∠ADB,所以∠MBC=∠A
=44°,所以∠CBD= ×(180°-∠MBC)=68°.故选C.
7.(2025湖南郴州宜章八中期中,★★☆)如图,在平行四边形
ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,BD=8.过点A
作AE⊥BC于点E,则AE的长为_________.
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA= AC=3,OB=
BD=4,因为AB=5,所以OA2+OB2=AB2,所以△ABO是直角三角
形,所以AC⊥BD,所以平行四边形ABCD为菱形,所以BC=AB=
5,因为AE⊥BC,所以S菱形ABCD=BC·AE= AC·BD,即5AE= ×6×8,
所以AE= .故答案为 .
8.(2025湖南邵阳城步期中,★★☆)如图,将两张宽度都为6的
纸条重叠在一起,使∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积为
______.
24
解析 如图,过A作AE⊥BC,垂足为E,
因为纸条的对边平行,所以AB∥CD,AD∥BC,所以四边形
ABCD是平行四边形,因为两张纸条的宽度都是6,所以S ABCD=
AB×6=BC×6,所以AB=BC,所以 ABCD是菱形,因为AE⊥BC,
所以∠AEB=90°,因为∠ABC=60°,
所以∠BAE=90°-∠ABC=30°,
所以AB=2BE,在Rt△ABE中,AB2=BE2+AE2,即AB2= AB2+62,
解得AB=4 (舍负),所以BC=4 ,所以S四边形ABCD=BC·AE=4 ×
6=24 .故答案为24 .
9.【学科特色·教材变式】(2025湖南岳阳云溪期中,★★☆)在
Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A
作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)证明:四边形ADCF是菱形.
(2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.
解析 (1)证明:因为AF∥BC,所以∠AFE=∠DBE,因为E是AD
的中点,AD是BC边上的中线,所以AE=DE,BD=CD,在△AFE和
△DBE中, 所以△AFE≌△DBE(角角边),所以
AF=DB,因为DB=CD,所以AF=CD,所以四边形ADCF是平行四
边形,因为∠BAC=90°,D是BC的中点,所以AD=CD= BC,所以
四边形ADCF是菱形.
(2)连接DF,如图,因为AF∥BD,AF=BD,所以四边形ABDF是平
行四边形,所以DF=AB=5,因为四边形ADCF是菱形,AC=4,所
以S菱形ADCF= AC·DF= ×4×5=10.
10.(2025湖南长沙长郡教育集团期中,★★☆)如图,在四边形
ABCD中,AD∥BC,过A点作AE⊥CD,AE的延长线交BC的延长
线于点F,且CE=DE,连接DF,AC.
(1)求证:四边形ACFD是菱形.
(2)作AH⊥BC于点H,若AC=6,∠B=45°,∠ACB=60°,求BF的长.
解析 (1)证明:因为AD∥BC,
所以∠EAD=∠EFC,∠EDA=∠ECF,
因为CE=DE,所以△ADE≌△FCE,
所以AE=FE,所以四边形ACFD是平行四边形,
因为AE⊥CD,所以平行四边形ACFD是菱形.
(2)由(1)可知,四边形ACFD是菱形,
所以CF=AC=6,因为AH⊥BC,
所以∠AHB=∠AHC=90°,
因为∠ACB=60°,
所以∠CAH=90°-∠ACB=30°,
所以CH= AC=3,所以AH= =3 ,
因为∠B=45°,所以△ABH是等腰直角三角形,所以BH=AH=
3 ,所以BF=CF+CH+BH=6+3+3 =9+3 .
11.【新课标·几何直观】如图,已知△ABC和△DEF都是边长
为10 cm的等边三角形,且点B、D、C、E在同一直线上,连接
AD、CF.已知BD=3 cm,△ABC沿着射线BE的方向以1 cm/s的
速度运动,设△ABC的运动时间为t s.
(1)当t为何值时,四边形ADFC是菱形
(2)当t为何值时,四边形ADFC是矩形 并求其面积.
解析 (1)因为△ABC和△DEF都是边长为10 cm的等边三角
形,所以AC=DF,∠ACD=∠FDE=60°,
所以AC∥DF,
所以四边形ADFC是平行四边形,
当点B与点D重合,即t=3时,AD=DF,
所以平行四边形ADFC是菱形.
(2)由(1)知四边形ADFC为平行四边形,当点B与点E重合,
即t=13时,点A、E、F在同一条直线上,所以AF=CD,所以平行四边形ADFC是矩形,
所以∠CFD=90°,
所以CF= =10 cm,
所以S矩形ADFC=10×10 =100 (cm2).(共24张PPT)
第1章 四边形
1.3 中心对称和中心对称图形
中心对称的定义
1.(2025江苏徐州铜山期中)下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC
成中心对称的是 ( )
A B C D
D
解析 D中的△A'B'C'与△ABC成中心对称,故本选项正确.故
选D.
中心对称的性质及作图
2.(2025广东云浮罗定期中)如图,已知△ABC与△ADE关于点
A成中心对称,若AC=3 cm,则CE的长为_________cm.
6
解析 因为△ABC与△ADE关于点A成中心对称,所以△ABC
≌△ADE,所以AC=AE,因为AC=3 cm,所以AE=3 cm,所以CE=
AC+AE=6 cm.故答案为6.
3.【学科特色·多解法】(2025广西来宾象州期中)如图,△ABC
和△DEF关于点O成中心对称.
(1)找出它们的对称中心O.
(2)若AB=7,AC=5,BC=6,求△DEF的周长.
解析 (1)【解法一】连接AD,CF,交点为O,点O即为所求.
【解法二】连接BE,CF,交点为O,点O即为所求.
【解法三】连接AD,BE,交点为O,则点O即为所求.
(2)因为△ABC和△DEF关于点O成中心对称,所以AB=DE=7,
AC=DF=5,BC=EF=6,所以△DEF的周长=DE+DF+EF=7+5+6
=18.
中心对称图形
4.【新课标·中华优秀传统文化】(2025湖南岳阳弘毅新华中
学月考)围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有四千多
年的历史.以下是在棋谱中截取的四个部分,由黑白棋子摆成
的图案是中心对称图形的是 ( )
A B C D
D
解析 根据中心对称图形的定义,选项D中的由黑白棋子摆成
的图案中能找到一个点,使图形绕这一点旋转180度后与原来
的图形重合,是中心对称图形.故选D.
5.【学科特色·教材变式】如图,点A,B分别是两个半圆的圆心,
则该图案的对称中心是__________________.
线段AB的中点
解析 根据中心对称图形的定义,可知线段AB的中点是对称
中心.
6.【学科特色·教材变式】(2025湖南郴州期中)如下图所示,在
边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点
△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1,画出△ABC关于点A1中
心对称的图形.
解析 如图,△A'B'C'为所作.
7.(2025山西中考,★★☆)科技创新型企业的不断涌现,促进了
我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品
牌图标中,为中心对称图形的是 ( )
D
解析 选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点,使
图形绕该点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对
称图形,而选项D中的图形能找到这样的一个点.故选D.
8.(2025湖南衡阳月考,★★☆)八年级某数学兴趣小组在一次
综合实践活动中,为研究中心对称图形的性质,对于已知△ABC
以及△ABC外的一点O,分别作A,B,C关于O的对称点A',B',C',
得到△A'B'C',如图,则下列结论不成立的是 ( )
D
A.点A与点A'是对称点
B.BO=B'O
C.∠AOB=∠A'OB'
D.∠ACB=∠C'A'B'
解析 因为△ABC、△A'B'C'关于点O成中心对称,所以点A
与点A'是对称点,BO=B'O,故选项A、B正确;因为∠AOB与
∠A'OB'是对顶角,则∠AOB=∠A'OB',故选项C正确;∠ACB的
对应角是∠A'C'B',故选项D错误.故选D.
9.【学科特色·易错题】(2025江苏徐州邳州期中,★★☆)如图
所示,在3×3正方形网格中,已有三个小正方形被涂灰,将剩余
的白色小正方形再任意涂灰一个,则所得灰色图案是中心对
称图形的情况有_________种.
3
解析 根据中心对称图形的定义可知,可涂灰的小正方形的
位置分别为第1行的第3个,第3行的第1个和第3个,共3种.故答
案为3.
10.(2025湖南岳阳湘阴期中,★★☆)如图所示的是一个中心
对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,AC= ,则BB'的
长为__________.
4
解析 因为∠C=90°,∠B=30°,AC= ,所以AB=2AC=2 ,因
为点B与点B'关于点A成中心对称,所以BB'=2AB=4 ,故答案
为4 .
11.(2025江苏宿迁宿城期中,★★☆)如图,直线a、b互相垂直
且相交于点O,曲线C与曲线C'关于点O中心对称,点A的对称
点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部
分的面积之和为_________.
6
解析 如图,过点A作AE⊥b于点E.
根据题意,得AB=2,因为点A关于点O的对称点为A',曲线C与曲
线C'关于点O中心对称,所以图形①与图形②面积相等,所以
阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=3×2=6.故答案为6.
12.【新课标·几何直观】(2025浙江湖州长兴期中,★★☆)知
识背景:过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其
分成面积相等的两个部分.如图1,直线m经过 ABCD对角线
的交点O,则S四边形AEFB=S四边形DEFC.
(1)如图2,摆放了两个正方形,O为小正方形对角线的交点,请利
用直尺求作过点O的直线,将整个图形分成面积相等的两部分.
(2)图3中的每个图形均是由8个大小相同的正方形组成的,利
用直尺求作直线,将整个图形分成面积相等的两部分(用两种
不同的方法分割).
解析 (1)如图:
(2)如图(方法不唯一):(共31张PPT)
第1章 四边形
1.5 矩 形
1.5.1 矩形的性质
矩形的定义
1.根据矩形的定义,下列图形一定为矩形的是 ( )
A B C D
C
解析 在选项C中,由两边垂直于同一边可知这两边平行,再
由这两边的长度都是3可知这两边相等,所以这个四边形是平
行四边形,因为这个四边形有一个内角为直角,所以根据矩形
的定义,可得这个四边形是矩形.故选C.
矩形的性质
2.(2025湖南永州祁阳期中)矩形具备的性质是 ( )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.邻边相等
D.对角线平分一组对角
A
解析 根据矩形的性质,可知矩形的对角线相等.故选A.
3.(2025湖南娄底期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD
相交于点O,若OA=2,则BD的长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
B
解析 因为四边形ABCD是矩形,所以OB=OD=OA=2,所以BD
=OB+OD=4.故选B.
4.(2025江苏南京期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相
交于点O,∠AOB=54°,则∠ACB的度数是 ( )
A.54° B.27° C.20° D.18°
B
解析 因为四边形ABCD是矩形,所以OB=OC,所以∠OBC=
∠OCB,因为∠AOB=∠OBC+∠ACB=54°,所以∠ACB=
∠AOB= ×54°=27°.故选B.
5.(2025湖南郴州宜章八中期中)如图,矩形中有一个含30°角
的直角三角尺,其两个顶点在该矩形的边上,若∠1=20°,则∠2
=____________.
110°
解析 如图,
因为∠1=20°,所以∠3=180°-90°-20°=70°,因为矩形的
对边平行,所以∠2=180°-∠3=110°.故答案为110°.
6.(2025湖南岳阳湘阴期中)如图,在矩形ABCD中,O,E分别为
AC,BC的中点.若OE=3,OD=5,则BC的长为_________.
8
解析 因为四边形ABCD是矩形,所以∠ADC=90°,因为O,E分
别为AC,BC的中点,所以AC=2OD=10,OE是△ABC的中位线,
所以AB=2OE=6,所以BC= =8.故答案为8.
7.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,连接AE、DE,ED平分
∠AEC.
(1)求证:AE=AD.
(2)作DF⊥AE于点F,若AB=4,EF=1,求BC的长.
解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以AD∥BC,所以∠ADE=∠CED,
因为ED平分∠AEC,所以∠AED=∠CED,
所以∠ADE=∠AED,所以AE=AD.
(2)因为DF⊥AE于点F,所以∠DFE=∠C=90°,
在△DFE和△DCE中,
所以△DFE≌△DCE(AAS),所以EC=EF=1,
所以BE=BC-EC=BC-1,
因为∠B=90°,所以AB2+BE2=AE2,
因为AB=4,AE=AD=BC,所以42+(BC-1)2=BC2,
所以BC= ,所以BC的长是 .
8.【新考向·地域文化】(2025湖南十三市州一模,★★☆)翻花
绳是中国民间流传的儿童游戏,在中国不同的地域,有不同的
称法,如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等,图1是翻花绳的一
种图案,可以抽象成图2,在矩形ABCD中,IJ∥KL,EF∥GH,∠1
=∠2=30°,∠3的度数为 ( )
D
A.30° B.45° C.50° D.60°
解析 如图,因为四边形ABCD是矩形,所以∠C=∠D=90°,所
以∠1+∠MJG=90°,∠2+∠MGJ=90°,因为∠1=∠2=30°,
所以∠MJG=∠MGJ=60°,所以∠GMJ=180°-∠MJG-∠MGJ=
60°,所以∠5=60°,因为IJ∥KL,EF∥GH,所以四边形NPMO是平行四边形,所以∠4=∠5=60°,所以∠3=∠4=60°.故选D.
9.(2025湖南长沙一中教育集团期中,★★☆)如图,在矩形
ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,
BC边于点E,F,若AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为 ( )
A. B.2 C.2 D.4
B
解析 因为四边形ABCD是矩形,AB=2,AD=4,所以∠BAD=90
°,OD=OB,AD∥BC,所以∠ODE=∠OBF,在△EOD和△FOB
中,
所以△EOD≌△FOB(角边角),所以S△BOF=S△DOE,所以S阴影=S△BOF
+S△COF=S△BOC= S矩形ABCD= AB·AD= ×2×4=2.故选B.
10.(2025黑龙江绥化中考,★★☆)一个矩形的一条对角线长
为10,两条对角线的一个夹角为60°,则这个矩形的面积是
( )
A.25 B.25 C.25 D.50
B
解析 如图,由题意可知四边形ABCD是矩形,AC=10,∠1=60°,
所以BO=AO=OC,∠ABC=90°,所以△AOB为等边三角形,因为
AC=10,所以AB=AO= AC=5,在Rt△ABC中,BC= =
5 ,所以矩形ABCD的面积为5×5 =25 .故选B.
11.(2025湖南邵阳武冈期中,★★☆)如图,延长矩形ABCD的边
BC至点E,使CE=BD,连接AE,若∠ADB=30°,则∠E=__________度.
15
解析 如图,连接AC,交BD于点O,
因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BE,AC=BD,所以OA=OD,
∠E=∠DAE,所以∠CAD=∠ADB=30°,因为BD=CE,所以CE=
AC,所以∠E=∠CAE,因为∠CAD=∠CAE+∠DAE,所以∠E=
∠CAD= ×30°,所以∠E=15°.故答案为15.
12.(2025湖南衡阳部分学校联考,★★☆)如图,矩形ABCD中,O
为AC的中点.对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点
E、F,若BE=3,AF=5,则△EOC的面积是_________.
5
解析 连接AE,CF,如图,
因为O为AC中点,所以OA=OC,因为四边形ABCD是矩形,所以
AD=BC,AD∥BC,所以∠OAF=∠OCE,因为∠AOF=∠COE,所
以△AOF≌△COE,所以CE=AF=5,OF=OE,所以AD=BC=BE+
CE=3+5=8,因为AF∥CE,所以四边形AECF是平行四边形,因
为EF垂直平分AC,所以AE=CE=5,所以AB= =
=4,所以S AECF=EC·AB=5×4=20,所以S△EOC= S AECF=5.故
答案为5.
13.(2025北京门头沟一模,★★☆)如图,在矩形ABCD中,对角
线AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形.
(2)连接OE,如果AB=1,∠ACD=60°,求OE的长.
解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,∠ADC
=90°,BC∥AD,因为CE∥BD,所以四边形BCED是平行四边形.
(2)如图,过点O作OF⊥AD于点F,则F为AD的中点.
因为四边形ABCD是矩形,所以∠BCD=90°,因为∠ACD=60°,
所以∠ACB=30°,因为AB=1,所以AC=2,所以BC=AD=
= ,因为四边形BCED是平行四边形,所以DE=BC
=AD= ,因为点O为对角线交点,F为AD的中点,所以OF是
△ABD的中位线,所以OF= AB= ,EF=DE+ AD= ,
所以在Rt△OEF中,OE= = = .
14.【新课标·推理能力】(1)探究规律:如图1,点P为平行四边
形ABCD内一点,△PAB、△PCD的面积分别记为S1、S2,平行
四边形ABCD的面积记为S,试探究S1+S2与S之间的关系.
(2)解决问题:如图2,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E、F、G、H
分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=CG=3,AH=CF=2,连接
EG,与HF交于点P,四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记
为S1、S2,求S1+S2的值.
解析 (1)如图①所示,过点P作PG⊥BA交BA于点G,延长GP
交CD于点H,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,AB=CD,
因为PG⊥AB,所以PH⊥CD,
所以S1= AB·PG,S2= CD·PH,S=AB·GH,
所以S1+S2= AB·PG+ CD·PH= AB·PG+ AB·PH= AB·(PG+
PH)= AB·GH= S.
(2)如图②所示,过点P作PK⊥AB于点K,并延长KP交CD于点T,
过点P作PM⊥AD于点M,并延长MP交BC于点N,连接PA,PB,
PC,PD,因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BC,AB∥CD,
因为KT⊥AB,MN⊥AD,所以KT⊥CD,MN⊥BC,
所以PK+PT=BC=8,PM+PN=AB=5,
所以S1+S2= AE·PK+ AH·PM+ CG·PT+ CF·PN= ×3PK+
×2PM+ ×3PT+ ×2PN
= PK+PM+ PT+PN= BC+AB=12+5=17.(共30张PPT)
第1章 四边形
1.7 正方形
正方形的性质
1.(2025湖南永州新田期中)如图所示,在正方形ABCD中,E是
对角线AC上的一点.连接BE,且AB=AE,则∠EBC的度数是
( )
A.45° B.30° C.22.5° D.20°
C
解析 因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAC=45°,
∠ABC=90°,因为AB=AE,所以∠AEB=∠ABE= ×(180°-45°)=67.5°,所以∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.故选C.
2.(2025湖南师大附中教育集团期中)如图,点P是正方形ABCD
的对角线AC上一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的
距离为 ( )
A.2 B.2
C.3 D.3
C
解析 过点P作PF⊥AB于点F,如图,
因为四边形ABCD是正方形,所以∠DAC=∠BAC=45°,所以AC
平分∠DAB,因为PE⊥AD,PF⊥AB,所以PF=PE=3.故选C.
3.【学科特色·多解法】(2025湖南湘潭益智中学期中)如图,已
知正方形ABCD中,CD=6,则OD=__________.
3
解析 【解法一】因为四边形ABCD是正方形,所以OC=OD,
AC⊥BD,所以∠COD=90°,在Rt△COD中,由勾股定理得CD=
= OD,因为CD=6,所以OD= =3 .
【解法二】因为四边形ABCD是正方形,CD=6,所以BC=CD=
6,OD= BD,∠BCD=90°,在Rt△BCD中,BD= =6 ,
OD= BD=3 .故答案为3 .
4.【学科特色·方程思想】(2025湖南岳阳弘毅新华中学月考)
如图,四边形ABCD是正方形,△BCE是等边三角形,连接AE、
DE.
(1)求证:AE=DE.
(2)求∠AED的度数.
解析 (1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=DC,
∠ABC=∠DCB=90°,因为△BCE是等边三角形,所以BE=CE,
∠EBC=∠ECB=60°,所以∠ABC-∠EBC=∠BCD-∠ECB,
所以∠ABE=∠DCE,在△ABE和△DCE中,
所以△ABE≌△DCE(边角边),所以AE=DE.
(2)由(1)可得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形,
设∠DAE=x°,根据题意得180-2x=360-60-2[180-(90-x)-30],
解得x=15,所以∠AED=180°-2×15°=150°.
正方形的判定
5.(2025湖南岳阳十八中一模)数学活动课上,小明用四根长度
相同的木条制作成能够活动的菱形学具.老师问小明:要让这
个菱形学具成为正方形学具,需要添加的条件可以是 ( )
A
A.∠B=90° B.AB=BC
C.AB∥CD D.∠B=∠D
解析 A.有一个角为直角的菱形为正方形,该选项正确,符合
题意;B、C、D选项不能判定菱形为正方形,故不符合题意.故
选A.
6.【新考向·条件开放题】(2025辽宁大连名校联盟期中)如图,
在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件:
______________________,使得矩形ABCD为正方形.
AB=AD(答案不唯一)
解析 添加AB=AD(答案不唯一).理由:因为四边形ABCD是矩
形,AB=AD,所以矩形ABCD是正方形.
7.【学科特色·教材变式】(2025广东惠州一中教育集团期中)
如图,四边形AECF是菱形,对角线AC、EF交于点O,点D、B是
对角线EF所在直线上的两点,且DE=BF,连接AD、AB、CD、
CB,∠ADO=45°,求证:四边形ABCD是正方形.
证明 因为四边形AECF是菱形,所以AC⊥EF,OA=OC,OE=
OF,所以∠DOA=90°,因为DE=BF,所以BO=DO,所以四边形
ABCD是平行四边形,因为AC⊥BD,所以 ABCD是菱形,因为
∠ADO=45°,所以∠ADC=90°,所以菱形ABCD是正方形.
8.(2025广西来宾象州期中,★★☆)如图,点E在正方形ABCD
的内部,且△ABE是等边三角形,连接BD,DE,则∠BDE= ( )
A.37.5° B.35° C.30° D.25°
C
解析 因为四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,
所以∠DAB=90°,∠ADB=45°,∠EAB=60°,AD=AB=AE,
所以∠DAE=∠DAB-∠EAB=90°-60°=30°,
所以∠ADE= (180°-∠DAE)= ×(180°-30°)=75°,
所以∠BDE=∠ADE-∠ADB=75°-45°=30°.故选C.
9.(2025湖南长沙长雅中学月考,★★☆)如图,一个四边形顺次
添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相
等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.
顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.正确的是
( )
A.① B.③ C.①② D.②③
C
解析 ①由a得该四边形是平行四边形,添加c可得该平行四
边形是菱形,再添加d可得该菱形是正方形,故①正确;②由b得
该四边形是平行四边形,添加d可得该平行四边形是矩形,再添
加c可得该矩形是正方形,故②正确;③由a得该四边形是平行
四边形,添加b仍是平行四边形,再添加c可得该平行四边形是
菱形,不能得到该四边形是正方形,故③不正确.故选C.
10.(2025湖南湘潭湘乡东皋学校期中,★★☆)如图,顺次连接
任意四边形ABCD的各边中点,所得的四边形EFGH是中点四
边形.下列四个叙述:①中点四边形EFGH一定是平行四边形;
②当四边形ABCD是矩形时,中点四边形EFGH也是矩形;③当
四边形ABCD是菱形时,中点四边形EFGH也是菱形;④当四边
形ABCD是正方形时,中点四边形EFGH也是正方形.其中正确
的是_______.(只填序号)
①④
解析 连接AC,BD,如图,
因为E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,所以EF∥AC,
HG∥AC,EH∥BD,GF∥BD,所以EF∥GH,EH∥FG,所以四边
形EFGH是平行四边形,故①正确;因为四边形ABCD是矩形,
所以AC=BD,因为EF= AC,EH= BD,所以EF=EH,所以四边形
EFGH是菱形,故②错误;因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥
BD,因为EF∥AC,GF∥BD,所以EF⊥FG,所以四边形EFGH是
矩形,不一定是菱形,故③错误;因为四边形ABCD是正方形,所
以AC=BD,AC⊥BD,易得EF=EH,所以四边形EFGH是菱形,因
为AC⊥BD,所以易得EF⊥FG,所以∠FEH=90°,所以菱形E-
FGH是正方形,故④正确.故答案为①④.
11.(2025湖南常德芷兰实验学校期中,★★☆)如图,点E是正方
形ABCD的对角线BD上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F,
G,连接GF,AE,GF=3,则AE=_________.
3
解析 连接CE,如图,
因为四边形ABCD是正方形,所以∠GCF=90°,∠ABE=∠CBE,
AB=CB,在△ΑBE和△CBE中,
所以△ABE≌△CBE(边角边),所以AE=CE,
因为EF⊥BC,EG⊥CD,所以∠EFC=∠EGC=∠GCF=90°,
所以四边形EFCG是矩形,所以CE=GF,
所以AΕ=GF=3.故答案为3.
12.(2025湖南长沙一中金山桥学校月考,★★☆)如图,在矩形
ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥
AE于点G,DG与EF交于点O.
(1)判断四边形ABEF的形状,并说明理由.
(2)若AD=AE,AF=1,求DG的长.
解析 (1)四边形ABEF为正方形.理由:因为四边形ABCD为矩
形,所以∠DAB=∠B=90°,因为EF⊥AD,所以∠EFA=90°,所以
∠DAB=∠B=∠EFA=90°,所以四边形ABEF为矩形,因为AE平
分∠BAD,所以∠BAE=45°,因为∠B=90°,所以∠BEA=90°-
∠BAE=45°,所以AB=BE,所以矩形ABEF为正方形.
(2)因为四边形ABEF为正方形,AF=1,所以BE=AF=1,因为DG⊥
AE,所以∠AGD=90°,因为∠B=90°,所以∠AGD=∠B,
因为AE平分∠BAD,所以∠DAE=∠EAB,
在△ADG和△AEB中,
所以△ADG≌△AEB(角角边),所以DG=BE=1.
13.【新课标·几何直观】如图所示的是一张矩形纸片ABCD,
按照下面的步骤进行折叠:
第一步:如图①,将矩形纸片沿AM折叠,使得点D的对应点N落
在AB上,连接MN,然后把纸片展开.
第二步:如图②,将四边形ADMN沿PQ对折,使AD与NM重合.将
纸片展开,得到折痕PQ,然后连接NQ.
第三步:如图③,折叠纸片使得NQ落在DC上,折痕为EQ,点N的
对应点为F.
(1)求证:四边形ADMN是正方形.
(2)求图③中四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比
值.
解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以∠DAN=∠D=90°,
由折叠的性质可得∠ANM=∠D=90°,AD=AN,
所以四边形ADMN是正方形.
(2)因为四边形ADMN为正方形,
所以可设AD=DM=MN=2a,
因为将正方形ADMN沿PQ对折后,AD与MN重合,
所以DQ=QM=a,
在Rt△NQM中,由勾股定理得NQ= = =
a,由折叠的性质可得QF=NQ= a,
易得四边形NQFE为菱形,
因为四边形NQFE与四边形ADMN的高都为2a,
所以S四边形NQFE∶S四边形ADMN=QF∶DM= a∶2a= .
