(共15张PPT)
第2章 图形与坐标
2.2 简单图形的坐标表示
简单图形的坐标表示
1.(2025湖南长沙长郡双语白石湖实验中学月考)如图,在平面
直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是
(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是 ( )
A.(7,3)
B.(8,2)
C.(3,7)
A
D.(5,3)
解析 因为平行四边形ABCD的顶点A,B的坐标分别是(0,0),
(5,0),所以DC∥AB,DC=AB=5,因为点D的坐标为(2,3),所以点
C的横坐标为5+2=7,纵坐标为3,即点C的坐标是(7,3).故选A.
2.(2025广东广州七中教育集团期中)如图,在直角三角形ABC
中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以点B为原点建立平面直角坐标
系,则点A的坐标是______________.
(3,-4)
解析 如图,
因为AC=3,BC=4,所以点A的坐标是(3,-4).
3.(2025江苏常州二模)如图,在矩形ABCD中,点A,B,C的坐标分
别为(-3,2),(3,2),(3,-1),则点D的坐标为_______________.
(-3,-1)
解析 因为A(-3,2),B(3,2),所以AB=6,AB∥x轴,因为四边形
ABCD是矩形,所以CD=AB=6,AB∥CD∥x轴,同理可得AD∥
BC∥y轴,因为C(3,-1),点D与点A的横坐标相同,点D与点C的
纵坐标相同,所以D(-3,-1).故答案为(-3,-1).
4.【学科特色·教材变式】小明为画一个零件的轴截面,以该
轴截面底边所在的直线为x轴,对称轴为y轴,建立如图所示的
平面直角坐标系.若坐标轴的单位长度取1 mm,求图中点P的
坐标.
解析 如图,过点C作CD⊥y轴于D,
则BD=5 mm,CD=50÷2-16=9(mm),OA=OD-AD=40-30=10(mm),所以点P的坐标为(9,10).
5.【学科特色·分类讨论思想】(2025湖南长沙特立教育集团
月考,★★☆)已知直线MN∥x轴,M点的坐标为(2,3),并且线段
MN=3,则点N的坐标为 ( )
A.(-1,3) B.(5,3)
C.(1,3)或(5,3) D.(-1,3)或(5,3)
D
解析 因为直线MN∥x轴,且M点的坐标为(2,3),所以点N的纵
坐标为3,因为MN=3,,所以分两种情况:①若点N在点M的右边,
则点N的横坐标为2+3=5;②若点N在点M的左边,则点N的横坐
标为2-3=-1.所以点N的坐标为(-1,3)或(5,3).故选D.
6.(2025辽宁沈阳新民三模,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,菱形ABCD的边长为13,点B的坐标是(8,12),点D的坐标是
(8,2),则点A的坐标是 ( )
A.(3,6) B.(-4,5)
C.(-4,6) D.(-4,7)
D
解析 如图,连接BD,AC,交于点E,则BD与AC互相垂直平分,
因为B(8,12),D(8,2),所以BD∥y轴,BE=DE= ×(12-2)=5,所以
AC⊥y轴,点E的坐标是(8,7),因为AB=13,所以AE= =
12,所以点A的坐标是(8-12,7),即A(-4,7).故选D.
7.(2025江西抚州模拟,★★☆)如图所示的是一面钟表,以指针
的旋转中心O为坐标原点,分别以9点整的时针和分针所在的
直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,当时间为10点10分时,
分针的外端点落在点A处.若OA=10,则点A的坐标为__________
____.
(5 ,5)
解析 过点A作AB⊥x轴于点B,如图,
由题意得∠AOB=90°-360°÷12×2=90°-60°=30°.因为OA=10,所以AB= OA=5,所以OB= =5 ,所以点A的坐标为(5 ,5).
8.(2025湖南十三市州一模,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),固定点A,
B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上的点D'处,
此时∠ABC'=120°,则点C的对应点C'的坐标为______________.
(4,2 )
解析 如图,过点C'作C'E⊥x轴于点E,
因为四边形ABCD是正方形,所以推动后,四边形ABC'D'是菱
形,所以AB∥C'D',AD'=C'D',∠AD'C'=∠ABC'=120°,因为C'E⊥
x轴,D'O⊥x轴,所以C'E=D'O,因为∠OD'C'=90°,所以∠OD'A=
30°,因为A(-2,0),所以OA=2,所以AD'=2AO=4,所以OD'=
=2 ,C'D'=AD'=4,所以点C'的坐标为(4,2 ).(共23张PPT)
第2章 图形与坐标
2.3 轴对称和平移的坐标表示
第1课时 轴对称的点的坐标表示
轴对称的点的坐标特征
1.【学科特色·多解法】(2025湖南长沙岳麓西雅中学二模)已
知点B是点A(-2,-3)关于x轴对称的对称点,则点B所在的象限
是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 【解法一】因为A(-2,-3)在第三象限,点A与点B关于x
轴对称,所以点B所在的象限是第二象限.
【解法二】因为A(-2,-3),点A与点B关于x轴对称,所以点B的坐
标为(-2,3),所以点B在第二象限.故选B.
2.【学科特色·教材变式】(2025湖南永州道县期中)在平面直
角坐标系中,若点P的坐标为(2,1),则点P关于y轴对称的点的
坐标为 ( )
A.(-2,-1) B.(2,-1)
C.(-2,1) D.(2,1)
C
解析 点P(2,1)关于y轴对称的点的坐标是(-2,1).故选C.
3.【学科特色·教材变式】(2025湖南衡阳石鼓期中)在平面直
角坐标系中,点(5,-6)关于x轴对称的点的坐标是_________.
(5,6)
解析 因为关于x轴对称的两个点横坐标相同,纵坐标互为相
反数,所以点(5,-6)关于x轴对称的点的坐标是(5,6).故答案为
(5,6).
4.点P(a+1,2-a)关于x轴的对称点P'在y轴上,则点P的坐标为____
_________.
(0,3)
解析 因为点P(a+1,2-a)关于x轴的对称点为P'(a+1,a-2),且点
P'在y轴上,所以a+1=0,所以a=-1,所以2-a=3,所以点P的坐标为
(0,3).
5.(2025湖南永州冷水滩京华中学期中)△ABC在平面直角坐
标系中如图所示.
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)请求出△ABC的面积.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)△ABC的面积为3×3- ×2×3- ×2×1- ×1×3=3.5.
6.【学科特色·教材变式】(2025湖南长沙湘一外国语学校月
考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,
5),B(-4,2),C(-1,1).
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)求△ABC的周长.
解析 (1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)AB= = ,BC= = ,AC= = ,所以
△ABC的周长为AB+BC+AC= + + .
7.(2025江苏盐城期中,★★☆)在平面直角坐标系中,点P与点
A关于x轴对称,点P与点B关于y轴对称.已知点B(1,2),则点A的
坐标是 ( )
A.(-1,2) B.(-1,-2)
C.(-2,-1) D.(-2,1)
B
解析 因为点B(1,2)与点P关于y轴对称,所以P(-1,2),因为点A
与点P关于x轴对称,所以A(-1,-2).故选B.
8.(2025广东东莞期末,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,
∠A=90°,OA=2,OB平分OA与x轴的夹角,点B(a-1,a-2)关于x轴
的对称点是 ( )
A.(-2,1) B.(3,-2) C.(2,-1) D.(3,-1)
C
解析 如图,过B点作BC⊥x轴于点C,所以∠OCB=90°,
因为∠A=90°,所以∠A=∠OCB,因为OB平分∠AOC,
所以∠AOB=∠BOC,因为OB=OB,所以△OAB≌△OCB,
所以OC=OA=2,即a-1=2,解得a=3,所以B(2,1),所以点B关于x
轴的对称点是(2,-1).故选C.
9.(2025江苏镇江丹徒期末改编,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点B在第一象限内,AO=AB,∠OAB=90°,将△AOB先关于y轴对称得到△A1OB1,再将△A1OB1关于x轴对称得到
△A2OB2,再将△A2OB2关于y轴对称得到△A3OB3,再将△A3OB3关于x轴对称得到△A4OB4,……,则按照这样的顺序继续对称下去,第2 025次对称后,点B2 025的坐标为______________.
(-2,2)
解析 因为A(0,2),点B在第一象限内,AO=AB,∠OAB=90°,所
以B(2,2),根据题意得B1(-2,2),B2(-2,-2),B3(2,-2),B4(2,2),B5(-2,2),
……,因为2 025÷4=506……1,所以点B2 025的坐标与点B1的坐标
相同,所以点B2 025的坐标为(-2,2).
10.(2025湖南衡阳八中教育集团月考,★★☆)在平面直角坐
标系中,A(-5,3),B(-3,-2)(每个小正方形的边长均为1).
(1)若点C与点B关于原点对称,则点C的坐标为_______.
(2)线段AB的长为_______.
(3)请在图中表示出A、B、C三点,连接AB,BC,CA,并求出三角
形ABC的面积.
解析 (1)(3,2).
(2)因为A(-5,3),B(-3,-2),所以AB= =
= .故答案为 .
(3)如图,
S△ABC=8×5- ×2×5- ×6×4- ×8×1=19.
11.【新课标·几何直观】点P(a,b)是平面直角坐标系xOy内一
点,点P的轴变换定义:当|a|>|b|时,作点P关于x轴对称;当|a|≤|b|
时,作点P关于y轴对称.根据定义,解决下列问题:
如图,平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,1),点B的坐标为(-1,m),其中m<-1,点A,B轴变换后的对应点是点A',B'.
(1)求A',B'的坐标.
(2)若A'B=AB',求m的值.
解析 (1)因为点A(2,1),且|2|>|1|,
所以点A'的坐标是(2,-1),
因为点B的坐标为(-1,m),
其中m<-1,即|-1|<|m|,
所以点B'的坐标是(1,m).
(2)如图,连接AA',BB',A'B',延长AA'、BB'相交于点C,则C(2,m).
因为A'B=AB',A'B'=A'B',AA'=BB'=2,
所以△AA'B'≌△BB'A'(边边边),
所以∠B'AA'=∠B'BA',
因为∠C=∠C=90°,AB'=A'B,
所以△AB'C≌△BA'C(角角边),
所以A'C=B'C,即-1-m=2-1,所以m=-2.
微专题 关于原点对称的点的坐标
学法指导 两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,
即点P(a,b)关于原点的对称点为P'(-a,-b).
活学活用
1.(2025湖南邵阳隆回一模)在平面直角坐标系中,点(5,1)关于
原点对称的点的坐标是 ( )
A.(-5,1) B.(5,-1)
C.(1,5) D.(-5,-1)
D
解析 点(5,1)关于原点对称的点的坐标是(-5,-1).故选D.
2.(2025湖南永州祁阳浯溪二中一模)设点P(x,y)在第二象限
内,且|x|=3,|y|=2,则点P关于原点的对称点的坐标为 ( )
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(3,-2) D.(-3,2)
C
解析 因为|x|=3,|y|=2,所以x=±3,y=±2,因为点P(x,y)在第二象
限内,所以x<0,y>0,所以x=-3,y=2,所以P(-3,2),所以点P关于原
点的对称点的坐标是(3,-2).故选C.
3.已知点A(x1,y1)与点B(x2,y2)关于原点对称,若x1+y1=2,则x2+y2的
值为_______.
-2
解析 根据题意,得x2=-x1,y2=-y1,因为x1+y1=2,所以x2+y2=-(x1+y1)
=-2.(共24张PPT)
第2章 图形与坐标
2.1 平面直角坐标系
第2课时 用坐标或方位确定位置
用坐标确定位置
1.【学科特色·教材变式】(2025湖南衡阳八中教育集团期中)
如图所示的是某学校的部分平面示意图,在同一平面直角坐
标系中,若体育馆A的坐标为(-2,4),科技馆B的坐标为(-5,1),则
教学楼C的坐标为 ( )
A.(0,2) B.(1,-1)
C.(2,0) D.(-1,2)
D
解析 如图,根据题意建立平面直角坐标系,故教学楼C的坐
标为(-1,2).故选D.
2.【新课标·中华优秀传统文化】“凌波仙子生尘袜,水上轻
盈步微月.”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花.如图,将
水仙花示意图置于边长为1的正方形组成的网格中,点A,B,C
均在格点上.若点A(-1,2),C(2,1),则点B的坐标为__________.
(1,0)
解析 根据题意建立平面直角坐标系如图:
则B(1,0).故答案为(1,0).
3.【学科特色·教材变式】(2025广东阳江阳东期中)如图所示
的是有才中学校园的部分平面示意图,每个小正方形的边长
都为1.请建立适当的平面直角坐标系,使校门在x轴负半轴上,
花坛在y轴负半轴上,并写出图书馆和实验楼的坐标.
解析 如图,建立平面直角坐标系.
所以图书馆的坐标为(-5,4),实验楼的坐标为(2,-2).
用方位角和距离确定位置
4.如图,下列说法中正确的是 ( )
A.OA方向是北偏东30°
B.OB方向是北偏西75°
C.OC方向是南偏西75°
D.OD方向是东南方向
D
解析 A.OA方向是北偏东60°,原说法错误;B.OB方向是北偏
西15°,原说法错误;C.OC方向是南偏西25°,原说法错误;D.OD
方向是东南方向,原说法正确.故选D.
5.(2025湖南长沙望城期中)如图,小明在A处,小华在B处,AB=3 km.下列描述能确定小华位置的是 ( )
A.小华在小明的北偏东50°方向
B.小华在小明的北偏东50°方向,相距3 km处
C.小华在小明的北偏东40°方向
D
D.小华在小明的北偏东40°方向,相距3 km处
解析 由题图和题意可知,小华在小明的北偏东40°方向,相距
3 km处.故选D.
6.如图所示的是雷达探测到的6个目标,若目标B用(30,60°)表
示,目标D用(50,210°)表示,那么表示为(40,120°)的是目标
_____.
C
解析 因为目标B用(30,60°)表示,目标D用(50,210°)表示,
所以第一个数与所在位置的圈数有关,第二个数表示度数,所以表示为(40,120°)的是目标C.故答案为C.
7.(2025山西太原晋源部分学校期末,★★☆)如图所示的是李
明绘制的他所在社区的平面示意图,若学校所在位置的坐标
是(1,4),儿童公园所在位置的坐标为(-3,-2),则位于(2,0)的建筑
是 ( )
A
A.汽车站 B.医院 C.李明家 D.水果店
解析 如图,根据题意建立平面直角坐标系.
所以位于(2,0)的建筑是汽车站.故选A.
8.(2025广东省实验中学期中,★★☆)如图,船A遇险后向相距100
海里的救生船B报警.用方向和距离描述遇险船A相对于救
生船B的位置,下列描述最准确的是 ( )
A.南偏西65°方向上的100海里处
B.北偏东65°方向上的100海里处
C
C.南偏西25°方向上的100海里处
D.北偏东25°方向上的100海里处
解析 如图,根据题意可得,∠ABC=25°,AB=100海里,则船A相
对于救生船B的位置为南偏西25°方向上的100海里处.故选C.
9.(2025浙江金华模拟改编,★★☆)如图,小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C
处,则∠ABC的度数为____________.
110°
解析 如图,
因为小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,所以∠DAB=
40°,因为小明从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处,
所以∠CBE=70°,
易知AD∥BE,所以∠ABE=∠DAB=40°.
所以∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°.
10.【新课标·中华优秀传统文化】(2025北京人大附中期中,
★★☆)为进一步体会宋代的文化,某班来到清明上河园分组
开展研学活动,其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”,B组
在九龙桥观看“大宋·东京保卫战”,约定时间到大宋·校场集
合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”.为描述集合地点,同学
们想出了不同的方法.
(1)小文同学想到用平面直角坐标系来描述,如图1,网格中小
方格都是边长为1个单位长度的正方形,若文房博物馆的坐标
为(-2,2),九龙桥的坐标为(-1,-3).请在图1中画出平面直角坐标
系,并写出大宋·校场的坐标:_______.
(2)小化同学想到用方位角和距离来描述,如图2,以文房博物
馆为基准点,九龙桥在文房博物馆的南偏东11°,距离7 cm处,
记为(南偏东11°,7 cm),进一步使用工具测量并换算,可将大宋·
校场的位置记为_________.
解析 (1)如图,根据题意建立平面直角坐标系,大宋·校场的坐
标为(3,3).
(2)以文房博物馆为基准点,大宋·校场的位置记为(北偏东79°,
7 cm).
11.【新课标·几何直观】(2025湖南岳阳湘一南湖学校一模)
如图所示的是某校的平面示意图,如以正东为x轴正方向,正北
为y轴正方向建立平面直角坐标系后,得到初中楼的坐标是
(-4,2),实验楼的坐标是(-4,0).
(1)坐标原点应为_______的位置.
(2)在图中画出此平面直角坐标系.(只需画出x轴,y轴,标出原点)
(3)图书馆的坐标是_______.
(4)若宿舍楼A的坐标是(-3,-2),请在图上标出点A.
解析 (1)因为初中楼的坐标是(-4,2),实验楼的坐标是(-4,0),
所以坐标原点在初中楼右边4个单位,下方2个单位处,即坐标
原点应为高中楼的位置.
(2)根据题意建立平面直角坐标系,如图:
(3)由坐标系可知,图书馆的坐标为(4,1).
(4)如图,点A即为所求作的宿舍楼的位置.(共27张PPT)
第2章 图形与坐标
2.1 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系
平面直角坐标系与点的坐标
1.(2025广西14市部分学校一模)如图,在平面直角坐标系中,点
E的坐标是 ( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-1,2) D.(1,-2)
A
解析 由题图可知,点E的横坐标为1,纵坐标为2,所以点E的坐
标为(1,2).故选A.
2.四边形ACBD在平面直角坐标系中的位置如图所示,写出四
个顶点A,B,C,D的坐标.
解析 A(0,-2),B(-1,1),C(-1,-1),D(2,-1).
3.【学科特色·教材变式】在平面直角坐标系中,描出下列各点:
A(2,1),B(1,2),C(-1,2),D(-4,-3),E(0,3),F(3,0).
解析 如图所示.
象限及点的坐标特征
4.(2025湖南长沙雅礼教育集团期中)在平面直角坐标系中,下
列各点在第二象限的是 ( )
A.(3,1) B.(3,-1)
C.(-3,1) D.(-3,-1)
C
解析 因为第二象限的点的横坐标是负数,纵坐标是正数,所
以符合题意的只有选项C.故选C.
5.(2025湖南常德澧县期中)在平面直角坐标系中,已知点P(-5,
m)在第三象限,则m的值可能为 ( )
A.-1 B.4 C.0 D.
A
解析 因为点P(-5,m)在第三象限,所以m<0,故选A.
6.(2025四川广安中考)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标
为(a,b),且a,b满足(a-2)2+|b+3|=0,则点A在第______象限.
四
解析 因为(a-2)2+|b+3|=0,所以a-2=0,b+3=0,所以a=2,b=-3,所
以点A的坐标为(2,-3),所以点A在第四象限.故答案为四.
7.【学科特色·易错题】【学科特色·教材变式】(2025湖南衡
阳八中教育集团月考)在第三象限内,点P(m,n)到x轴的距离为
5,到y轴的距离为2,则点P坐标为_______________.
(-2,-5)
解析 因为点P(m,n)在第三象限内,且点P到x轴的距离为5,到
y轴的距离为2,所以点P坐标为(-2,-5).故答案为(-2,-5).
易错警示 解题时不要混淆点到坐标轴的距离与点的坐标之
间的关系.
8.(2025湖南岳阳临湘模拟)若点P(x,y)在第四象限,且|x|=2,|y|=
3,则x+y=_______.
-1
解析 因为点P(x,y)在第四象限,且|x|=2,|y|=3,所以x=2,y=-3,所
以x+y=2+(-3)=-1.故答案为-1.
9.(2025湖南长沙立信中学月考)在平面直角坐标系中,有一点
P(2x-1,3x).
(1)若点P在y轴上,求x的值.
(2)若点P在第一象限,且到两坐标轴的距离之和为9,求点P的
坐标.
解析 (1)因为点P(2x-1,3x)在y轴上,所以2x-1=0,所以x= .
(2)因为点P(2x-1,3x)在第一象限,所以点P到x轴的距离为3x,到
y轴的距离为2x-1,因为点P到两坐标轴的距离之和为9,所以3x
+2x-1=9,所以x=2,所以2x-1=3,3x=6,所以点P的坐标为(3,6).
10.(2025湖北黄冈黄梅期中,★★☆)已知a+b>0,ab>0,则在如
图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是
( )
A.(a,b)
B.(-b,a)
B
C.(-a,-b)
D.(a,-b)
解析 因为ab>0,所以a、b同号,因为a+b>0,所以a>0,b>0,由
题图可知,小手盖住的点在第二象限,A.(a,b)在第一象限,故此
选项不符合题意;B.(-b,a)在第二象限,故此选项符合题意;C.
(-a,-b)在第三象限,故此选项不符合题意;D.(a,-b)在第四象限,
故此选项不符合题意.故选B.
11.(2025湖南永州冷水滩京华中学二模,★★☆)如果点P(1-x,
x-3)在平面直角坐标系的第三象限内,那么x的取值范围在数
轴上可表示为 ( )
A B
C D
D
解析 因为P(1-x,x-3)在平面直角坐标系的第三象限内,所以
解得1 .故选D.
12.【学科特色·易错题】(★★☆)已知点Q的坐标为(-2+a,2a-
7),且点Q到两坐标轴的距离相等,则点Q的坐标是 ( )
A.(3,3) B.(3,-3)
C.(3,3)或(1,-1) D.(1,-1)或(3,-3)
C
解析 因为点Q(-2+a,2a-7)到两坐标轴的距离相等,所以-2+a
=2a-7或-2+a+2a-7=0,所以a=5或a=3,所以点Q的坐标是(3,3)或
(1,-1),故选C.
易错警示 点到两坐标轴的距离相等,包括横坐标和纵坐标
相等以及横坐标和纵坐标互为相反数两种情况,不要漏解.
13.(2025湖南邵阳城步期中,★★☆)若点A(-3,n)在x轴上,则点
B(n-1,n+1)位于第______象限.
二
解析 因为点A(-3,n)在x轴上,所以n=0,所以n-1=-1,n+1=1,所
以点B的坐标为(-1,1),所以点B位于第二象限.故答案为二.
14.【跨英语·单词】(2025湖南长沙青竹湖湘一外国语学校三
模,★★☆)如图,一个英文字母对应一个有序数对,例如字母K
对应(4,2),则有序数对(6,2),(1,1),(6,3),(1,2),(5,3)对应的字母恰
好为一个英文单词,这个单词为_____________.
MATHS
解析 因为(6,2)对应的字母为M,(1,1)对应的字母为A,(6,3)对
应的字母为T,(1,2)对应的字母为H,(5,3)对应的字母为S,所以
这个英文单词为MATHS.
15.(2025广东韶关南雄中学教育共同体期中,★★☆)已知点P
(2m+4,m-1),试分别根据下列条件,求出点P的坐标.
(1)点P在y轴上.
(2)点P的纵坐标比横坐标大3.
(3)点P到x轴的距离为2,且在第四象限.
解析 (1)因为点P(2m+4,m-1)在y轴上,
所以2m+4=0,解得m=-2,所以m-1=-2-1=-3,
所以点P的坐标为(0,-3).
(2)因为点P的纵坐标比横坐标大3,所以(m-1)-(2m+4)=3,解得m
=-8,所以m-1=-8-1=-9,2m+4=2×(-8)+4=-12,所以点P的坐标为
(-12,-9).
(3)因为点P到x轴的距离为2,所以|m-1|=2,解得m=-1或m=3,当m
=-1时,2m+4=2×(-1)+4=2,m-1=-1-1=-2,所以P(2,-2);当m=3时,
2m+4=2×3+4=10,m-1=3-1=2,所以P(10,2),因为点P在第四象限,
所以点P的坐标为(2,-2).
16.【新课标·抽象能力】【新考向·新定义题】(2025湖南长
沙望城期中)在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),若点B的坐标
为(x+ay,ax+y),则称点B是点A的a级亲密点.例如:点A(-2,6)的
级亲密点为B ,即点B的坐标为(1,5).
(1)已知点C(-1,5)的3级亲密点是点D,则点D的坐标为______
____.
(2)已知点M(m-1,2m)的-3级亲密点M1位于坐标轴上,求点M1的
坐标.
(3)若点E在x轴上,点E不与原点重合,点E的a级亲密点为点F,
且EF的长度为OE长度的 倍,求a的值.
解析 (1)根据题意可得,点C(-1,5)的3级亲密点为点D(-1+3×
5,-1×3+5),即点D的坐标为(14,2).故答案为(14,2).
(2)根据题意可得,点M(m-1,2m)的-3级亲密点为点M1(m-1+(-3)
×2m,-3×(m-1)+2m),即点M1的坐标为(-5m-1,-m+3),当M1位于y
轴上时,-5m-1=0,解得m=- ,所以M1 ;当M1位于x轴上时,
-m+3=0,解得m=3,所以M1(-16,0).综上所述,点M1的坐标为
或(-16,0).
(3)设E(x,0),则点E的a级亲密点为点F(x,ax),根据题意可得,OE
=|x|,EF=|ax|,因为EF的长度为OE长度的 倍,所以|ax|= |x|,
解得a=± .(共23张PPT)
第2章 图形与坐标
2.3 轴对称和平移的坐标表示
第2课时 平移的坐标表示
平移点的坐标特征
1.(2025湖南中考)在平面直角坐标系中,将点P(-3,2)向右平移3
个单位长度到P1处,则点P1的坐标为 ( )
A.(-6,2) B.(0,2)
C.(-3,5) D.(-3,-1)
B
解析 根据题意,得点P1的坐标为(-3+3,2),即P1(0,2).故选B.
2.(2025湖南长沙长郡教育集团四模)点P(3,-1)先向左平移4个
单位长度,再向上平移2个单位长度得到点P',则点P'的坐标是
( )
A.(3,3) B.(-1,3)
C.(-1,1) D.(3,1)
C
解析 由平移规律可知:P'(3-4,-1+2),即P'(-1,1).故选C.
3.【学科特色·教材变式】(2025湖南娄底涟源三模)平面直角
坐标系中,将点A向右平移3个单位长度得到点A'(2,1),则点A的
坐标是______________.
(-1,1)
解析 因为将点A向右平移3个单位长度得到点A'(2,1),所以
点A的坐标是(2-3,1),即点A的坐标为(-1,1).故答案为(-1,1).
用坐标表示图形的平移
4.如图所示,四边形ABCO中,AB∥OC,BC∥AO,A、C两点的坐
标分别为(- , )、(-2 ,0),A、B两点间的距离等于O、C
两点间的距离.
(1)点B的坐标为_______.
(2)若将四边形ABCO向下平移2 个单位长度后得到四边形
A'B'C'O',请你写出平移后四边形A'B'C'O'四个顶点的坐标.
解析 (1)因为C点的坐标为(-2 ,0),
所以OC=2 .
因为AB∥OC,AB=OC,
所以A、B的纵坐标相等,将A点向左平移2 个单位长度得到
B点,
又因为A点的坐标为(- , ),
所以B点的坐标为(- -2 , ),即(-3 , ).
(2)因为将四边形ABCO向下平移2 个单位长度后得到四边
形A'B'C'O',
所以A'点的坐标为(- ,- ),B'点的坐标为(-3 ,- ),C'点的
坐标为(-2 ,-2 ),O'点的坐标为(0,-2 ).
5.(2025湖南岳阳弘毅新华中学月考)如图,在平面直角坐标系
中,三角形ABC的顶点都在正方形网格的格点上,其中点C的
坐标为(1,2).
(1)写出点A,B的坐标.
(2)将三角形ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单
位长度,得到三角形A'B'C',分别写出三角形A'B'C'的三个顶点
的坐标.
(3)求三角形ABC的面积.
解析 (1)由题图可得A(2,-1),B(4,3).
(2)如图,三角形A'B'C'即为所求.A'(0,0),B'(2,4),C'(-1,3).
(3)三角形ABC的面积为3×4- ×1×3- ×1×3- ×2×4=5.
6.(2025湖南长沙一模,★★☆)如图所示的是某景点的示意图,
建立直角坐标系(以正北为纵轴正方向,正东为横轴正方向),
湿地和古村落的坐标分别为(-2,2),(-4,1),流动服务站在原点.
若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等,则该服务站可以
( )
A
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位
解析 因为湿地和古村落的坐标分别为(-2,2),(-4,1),所以坐标
原点在沙滩向北平移3个单位处,所以若要使服务站到古村落
和沙滩的距离相等,服务站可以向左平移1个单位.故选A.
7.(2025湖南十三市州一模,★★☆)将点P(m+2,m-2)向右平移3
个单位长度得到点Q,点Q刚好落在y轴上,则点P的坐标为
( )
A.(7,-3) B.(-3,-7)
C.(-3,-3) D.(-7,3)
B
解析 根据题意得Q(m+2+3,m-2),即Q(m+5,m-2),因为点Q在y
轴上,所以m+5=0,所以m=-5,所以P(-3,-7).故选B.
8.(2025湖南张家界桑植一模,★★☆)在平面直角坐标系xOy
中,作点P(1,-1)关于x轴的对称点P1,再将点P1向右平移3个单位
得到点P2,则点P2的坐标为_____________.
(4,1)
解析 因为点P(1,-1)关于x轴的对称点为点P1,所以P1(1,1),因
为点P1向右平移3个单位得到点P2,所以P2(4,1).故答案为(4,1).
9.(2025湖南长沙宁乡期中,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,点A在x轴上,点B(0,10),线段AB向右平移4个单位得到线段
CD,线段CD与y轴交于点E,若图中阴影部分的面积为24,则C
点坐标为______________.
(-1,0)
解析 如图,过点D作DF⊥x轴,
因为线段AB向右平移4个单位得到线段CD,B(0,10),所以D(4,10),AB=CD,所以OB=DF=10,因为∠AOB=∠CFD=90°,
所以Rt△AOB≌Rt△CFD,所以S△AOB=S△CFD,所以S阴影=S梯形OEDF= ×OE+DF)·OF= ×(OE+10)×4=24,所以OE=2,
设OC=m,则OA=m+4,
所以S阴影=S△OAB-S△OCE= ×10(m+4)- ×2m=24,
所以m=1,所以C(-1,0).
10.(2025湖南师大附中教育集团期中,★★☆)在平面直角坐
标系中,三角形ABC的位置如图所示,点A'的坐标是(-2,2),现将
三角形ABC平移,使点A平移到点A',点B',C'分别是B,C的对应
点.
(1)点B'的坐标为_______,点C'的坐标为_______.
(2)请画出平移后的三角形A'B'C'.
(3)求三角形ABC的面积.
解析 (1)由题意得,三角形ABC向左平移5个单位长度,再向
下平移2个单位长度得到三角形A'B'C',所以点B'的坐标为(-4,
1),点C'的坐标为(-1,-1).
(2)如图,三角形A'B'C'即为所求.
(3)三角形ABC的面积为3×3- ×1×3- ×2×1- ×2×3=3.5.
11.【新课标·抽象能力】【新考向·项目探究题】类比学习
数轴上一点先向右平移3个单位,再向左平移2个单位,相当于
向右平移了1个单位.用有理数加法表示这一过程为3+(-2)=1.
若坐标平面内的点进行如下平移:沿x轴方向平移数量a(向右
为正,向左为负,平移|a|个单位),沿y轴方向平移数量b(向上为
正,向下为负,平移|b|个单位),把有序数对{a,b}叫作这一平移
的“平移量”.“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运
算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}.
解决问题
(1)计算:{3,1}+{1,-2}.
(2)点P从坐标原点O出发,先按照“平移量”{3,1}平移到A,再
按照“平移量”{1,2}平移到B.若先把点P按照“平移量”{1,
2}平移到C,再按照“平移量”{3,1}平移到D,最后点D与点B
重合吗 在图1中画出四边形OABC,若∠OAB=α,则∠OCD=____
______(用含α的式子表示).
(3)如图2,一艘船从码头O出发,先航行到湖心岛码头P(2,3),再
从码头P航行到码头Q(5,5),最后回到出发点O.请用“平移
量”加法算式表示它的航行全过程,并求出三角形OPQ的面
积.
图1 图2
解析 (1){3,1}+{1,-2}={4,-1}.
(2)如图所示,最后点D与点B重合.
易知A(3,1),B(4,3),C(1,2),
所以OC=AB= = ,
OA=BC= = ,
所以四边形OABC是平行四边形,
所以∠OCD=∠OAB=α.
(3)从O到P,先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,可知从O
到P的“平移量”为{2,3},
同理可得,从P到Q的“平移量”为{3,2},从Q到O的“平移
量”为{-5,-5},
故航行全过程为{2,3}+{3,2}+{-5,-5}={0,0}.
S△OPQ=5×5- ×5×5- ×2×3- ×(2+5)×2=2.5.
