(共27张PPT)
第3章 一次函数
3.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
用描点法作函数图象
1.【学科特色·教材变式】在如图所示的平面直角坐标系中,
画出函数y=-x的图象.
(1)列表.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … …
(2)描点并连线.
解析 (1)列表.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 2 1 0 -1 -2 …
(2)描点并连线,如图所示.
正比例函数的图象及性质
2.(2025福建厦门杏东中学期中)在下列各图象中,表示函数y=
x的图象大致是 ( )
A B
C D
A
解析 因为k= >0,所以函数y= x的图象是一条经过一、三
象限,且经过原点的直线,选项A符合.故选A.
3.(2025广东茂名高州十三校联考)下列各点中,在正比例函数
y=-4x的图象上的点是 ( )
A.(1,4) B.(-1,4)
C.(-1,-4) D.(4,-1)
B
解析 A.当x=1时,y=-4×1=-4,4≠-4,所以点(1,4)不在正比例函
数y=-4x的图象上,A不符合题意;B.当x=-1时,y=-4×(-1)=4,所以
点(-1,4)在正比例函数y=-4x的图象上,B符合题意;C.当x=-1时,
y=-4×(-1)=4,4≠-4,所以点(-1,4)不在正比例函数y=-4x的图象
上,C不符合题意;D.当x=4时,y=-4×4=-16,-16≠-1,所以点(4,-1)
不在正比例函数y=-4x的图象上,D不符合题意.故选B.
4.(2025湖南长沙明德天心中学月考)已知正比例函数y= ,下
列结论正确的是 ( )
A.图象是一条射线
B.图象必经过点(-1,2)
C.图象经过第一、三象限
D.y随x的增大而减小
C
解析 A.正比例函数y= ,图象是一条直线,原结论错误;
B.因为当x=-1时,y=- ,所以图象不经过点(-1,2),原结论错误;
C.因为k= >0,所以图象经过第一、三象限,结论正确,符合题意;D.因为k= >0,所以y随x的增大而增大,原结论错误.故选C.
5.(2025湖南衡阳船山实验中学月考)点(m,m+3)在正比例函数
y=-2x的图象上,则m为_______.
-1
解析 把(m,m+3)代入y=-2x,得m+3=-2m,解得m=-1.故答案为-1.
6.【学科特色·多解法】(2025湖南岳阳湘一南湖学校一模)点
(-1,y1),(2,y2)是直线y=2x上的两点,则y1______y2(填“>”“=”
或“<”).
<
解析 【解法一】利用性质比较:因为k=2>0,所以y随x的增大
而增大,因为点(-1,y1),(2,y2)是直线y=2x上的两点,且-1<2,所以y1
【解法二】代入求值比较:因为点(-1,y1),(2,y2)是直线y=2x上的
两点,所以y1=-2,y2=4,所以y17.已知在正比例函数y=(m+2)x中,y的值随x的增大而增大,而正
比例函数y=(2m-3)x中,y的值随x的增大而减小,且m为整数,请
求出m所有可能的值.
解析 因为正比例函数y=(m+2)x中,y的值随x的增大而增大,
所以m+2>0,解得m>-2.
因为正比例函数y=(2m-3)x中,y的值随x的增大而减小,
所以2m-3<0,解得m< .
综上,-2因为m为整数,所以m所有可能的值为-1,0,1.
8.(2025广东广州十六中教育集团期中,★★☆)若正比例函数
y=(a-4)x的图象经过第一、三象限,化简 的结果是
( )
A.a-3 B.3-a
C.(a-3)2 D.(3-a)2
A
解析 根据题意,得a-4>0,解得a>4,所以3-a<0,所以 =
|3-a|=a-3.故选A.
9.(2025广东揭阳惠来期末,★★☆)如图,三个正比例函数的图
象分别对应的表达式是:①y=ax,②y=bx,③y=cx,下列用“<”
表示a,b,c的不等关系正确的是 ( )
A.aC.c B
解析 如图,作直线x=1,分别与函数y=bx,y=ax,y=cx的图象交
于点A,B,C,
则点A的坐标为(1,b),点B的坐标为(1,a),点C的坐标为(1,c),结
合A,B,C三个点的位置可知,c10.(★★☆)定义运算“※”:a※b= 如1※(-2)=1×
(-2)=-2,则函数y=2※x的图象大致是 ( )
A B
C D
A
解析 由题意得y=2※x=
当x>0时,函数图象是直线y=-2x在y轴右侧的部分;当x≤0时,函
数图象是直线y=2x在y轴左侧的部分(包括原点).故选A.
11.(2025江苏南通一中月考,★★☆)已知正比例函数y=(m-1)
,若y随x的增大而减小,则m的值是_______.
-2
解析 根据题意,得m2-3=1,且m-1<0,解得m=-2,故答案为-2.
12.【学科特色·多解法】(★★☆)如图所示,已知正比例函数y1=x和y2=3x,过点A(2,0)作x轴的垂线,与这两个正比例函数的图象分别交于B,C点,则△OBC的面积为_________(O为坐标原点).
4
解析 【解法一】当x=2时,y1=x=2,所以点B的坐标为(2,2),当x
=2时,y2=3x=6,所以点C的坐标为(2,6),所以BC=6-2=4.因为点A
的坐标为(2,0),所以OA=2,所以S△OBC= BC·OA= ×4×2=4.
【解法二】当x=2时,y1=2,所以B(2,2).
当x=2时,y2=6,所以C(2,6).
因为A(2,0),所以OA=2,
所以S△OCB=S△OAC-S△OAB= ×2×6- ×2×2=4.
13.(★★☆)甲、乙两地相距20千米,小明上午8:00骑自行车由
甲地去乙地,平均车速为8千米/小时;小丽上午10:00坐公共汽
车也由甲地去乙地,平均车速为40千米/小时.
(1)分别写出两人所走路程y(千米)与所用时间x(小时)之间的
函数关系式(不必写出自变量x的取值范围).
(2)求谁先到达乙地.
解析 (1)根据题意,得y小明=8x,y小丽=40x.
(2)当y小明=20时,有20=8x,解得x=2.5,8+2.5=10.5,即小明10:30到
达乙地;当y小丽=20时,有20=40x,解得x=0.5,10+0.5=10.5,即小丽
10:30到达乙地,由上可得,小明和小丽同时到达乙地.
14.【新课标·几何直观】如图,已知四边形ABCD是正方形,点
B,C分别在直线y=2x和y=kx上,点A,D是x轴上的两点.
(1)若此正方形的边长为2,则k=_______.
(2)若此正方形的边长为a,则k的值会不会发生变化 若会发生
变化,说明k随a如何变化;若不会发生变化,试求出k的值.
解析 (1)因为正方形的边长为2,
所以AB=AD=CD=2.
在直线y=2x上,当y=2时,x=1,
所以OA=1,所以OD=1+2=3,所以C(3,2).
将(3,2)代入y=kx,得2=3k,所以k= .
(2)k的值不会发生变化.
因为正方形的边长为a,
所以AB=AD=CD=a.
在直线y=2x上,当y=a时,x= ,所以OA= ,
所以OD= a,所以C .将 代入y=kx,得a=k× a,所以
k= .
故k的值不会发生变化,k的值为 .(共24张PPT)
第3章 一次函数
3.6 一次函数的应用
第1课时 利用一次函数解决实际问题1
建立一次函数模型解决预测问题
1.【跨物理·沸点测定】(2025湖北武汉武昌期末)食用油的沸点温度远高于水的沸点温度(100 ℃).为了用刻度不超过100 ℃的温度计测量出某种食用油沸点的温度,在锅中倒入一些这种食用
油,用煤气灶均匀加热,并每隔10 s测量一次锅中油温,测得的数
据如表:
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
观察发现,烧到第110 s时,油沸腾了,估计这种食用油的沸点温
度是 ( )
A.200 ℃ B.230 ℃
C.260 ℃ D.290 ℃
B
解析 由题表数据可知,油温y随时间t的增加而匀速增加,所
以设y=kt+b(k≠0),把(0,10),(10,30)代入y=kt+b,得
解得 所以y=2t+10,经验证(20,50),(30,70),(40,90)也在直
线y=2t+10上,当t=110时,y=2×110+10=230.故选B.
2.【跨地理·台风】(2025广东广州广雅中学二模)受台风“摩
羯”外围环流影响,珠江口某大型水库水位持续上升,防汛部
门监测到近10小时内水位将保持上涨趋势.如表记录了台风
影响初期3小时内5个时间点的水位数据,其中x表示时间(单
位:小时),y表示水位高度(单位:米).请根据表中数据,写出y关
于x的函数表达式:________________,用于合理预估台风影响
下的水位变化规律(不写自变量取值范围).
y=0.4x+4
x/小时 0 0.5 1 2.5 3
y/米 4.0 4.2 4.4 5 5.2
解析 观察表格可知,每小时水位高度增加0.4米,故y是x的一
次函数,设y=kx+b(k≠0),把(0,4),(1,4.4)代入y=kx+b,得
解得 即y=0.4x+4,经验证(0.5,4.2),(2.5,5),(3,
5.2)也在直线y=0.4x+4上,所以y关于x的函数表达式为y=0.4x+4.
3.【跨物理·体积与温度】【学科特色·教材变式】(2025陕西
中考)研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体
体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强
不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分
数据如表:
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
(1)求y与x的函数关系式.
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700
L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
解析 (1)因为y是x的一次函数,所以设y=kx+b(k≠0),把(25,596),
(30,606)代入y=kx+b,得 解得 即y=2x+546,
所以y与x的函数关系式为y=2x+546.
(2)当y=700时,2x+546=700,解得x=77.
答:停止加热时的气体温度为77 ℃.
4.(2025湖南长沙一中教育集团期中,★★☆)春节假期小明一
家自驾从长沙到离家约500 km的铜仁旅游,出发前将油箱加
满油.如表记录了轿车行驶的路程x(km)与油箱剩余油量y(L)
之间的部分数据:
轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400
油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18
下列说法不正确的是 ( )
A.该车的油箱容量为50 L
B.该车每行驶100 km耗油8 L
C.当小明一家到达铜仁时,油箱中剩余油量为8 L
D.油箱剩余油量y(L)与行驶的路程x(km)之间的关系式为y=
50-0.08x
C
解析 A.当x=0时,有y=50,所以该车的油箱容量为50 L,正确,
不符合题意;B.根据题表,可得轿车行驶的路程每增加100 km,
油箱油量减少8 L,即该车每行驶100 km耗油8 L,正确,不符合
题意;C.当小明一家到达铜仁时,油箱中剩余油量为50- ×8=
10(L),不正确,符合题意;D.由题表数据可知,油量y随行驶的路
程x的增加而匀速减少,设y=kx+b(k≠0),把(0,50),(100,42)代入y
=kx+b,得 解得 即y=-0.08x+50,
经验证(200,34),(300,26),(400,18)也在直线y=-0.08x+50上,
所以y与x的函数关系式为y=-0.08x+50,正确,不符合题意.故选C.
5.(2025山东济南中考模拟,★★☆)中国人逢山开路,遇水架桥,靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹.雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路,被国内外专家学者公认为是全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一,全长240 km.一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安,如图,线段OM表示货车离西昌的距离y1(km)与时间x(h)之间的函数关系,线段AN表示轿车离西昌的距离y2(km)与时间x(h)之间的函数关系,则货车出发___________小时后与轿车相遇.
1.8
解析 设线段OM的函数关系式为y1=k1x(k1为常数,且k1≠0),将
M(4,240)代入y1=k1x,得4k1=240,解得k1=60,所以y1=60x(0≤x≤
4).设线段AN的函数关系式为y2=k2x+b(k2、b为常数,且k2≠0),
将B(1.5,75)和N(3,240)代入y2=k2x+b,得 解得
所以y2=110x-90,当y2=0时,110x-90=0,解得x= ,所以
线段AN的函数关系式为y2=110x-90 .当两车相遇时,
y1=y2,则60x=110x-90,解得x=1.8,所以货车出发1.8小时后与轿车相遇.
6.【跨生物·细胞活性与温度】(2025广西一模,★★★)在生物
实验室,科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验,探索低
温环境对标本细胞活性的影响.标本初始温度为45 ℃,在真空
冷却过程中,温度T(单位:℃)与冷却时间t(单位:分钟)满足一次
函数关系:前8分钟,温度每分钟下降2.5 ℃;8分钟后,调整冷却
设备,温度每分钟下降2 ℃.同时,标本的细胞活性y与温度T也
满足一次函数关系,且当T=35 ℃时,y=0.7;当T=25 ℃时,y=0.3.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)求在不同阶段标本温度T关于冷却时间t的函数表达式.
(2)当细胞活性降至0.1时,求标本冷却时间.
解析 (1)根据题意,当0≤t≤8时,T=-2.5t+45.当t=8时,T=-2.5×
8+45=25,所以当t>8时,T=25-2(t-8),整理得T=-2t+41,所以在不
同阶段标本温度T关于冷却时间t的函数表达式为T=
(2)根据题意可设y=kT+b(k≠0),将T=35,y=0.7;T=25,y=0.3代入
得 解得 所以y=0.04T-0.7,在y=0.04T-0.7
中,令y=0.1,得0.04T-0.7=0.1,解得T=20,在T=-2.5t+45(0≤t≤8)
中,当t=8时,有T=-2.5×8+45=25,因为20<25,所以当T=20时,有t>
8,所以把T=20代入T=-2t+41,得-2t+41=20,解得t=10.5,所以当
细胞活性降至0.1时,标本冷却时间是10.5分钟.
7.【新课标·应用意识】【情境描述】
刘欣和妈妈周末去逛超市,发现超市的凳子按如图1所示的方
式叠放在一起时,每多叠放一个凳子,增加的高度是相同的.
【测量整理】
叠放凳子的总高度h(cm)与凳子的数量n(个)的部分对应值如表:
凳子的数量n/个 2 3 6 …
叠放凳子的总高度h/cm 50 55 70 …
【解决问题】
(1)在图2中描出表中对应的点,并顺次连接各点.
(2)根据图2中画出的图象确定符合实际的函数类型,求出h关
于n的函数表达式.(不要求写自变量的取值范围)
(3)若该超市的一位理货员将10个这种凳子叠放在一起,能否
将其放入层高为87 cm的货架 请说明理由.
图1 图2
解析 (1)如图:
(2)由图可知h是n的一次函数,设h=kn+b(k≠0),
把(2,50),(3,55)代入,得 解得
所以h关于n的函数表达式为h=5n+40.
(3)不能.理由:
在h=5n+40中,令n=10,得h=5×10+40=90,
因为90>87,所以将10个这种凳子叠放在一起,不能将其放入
层高为87 cm的货架.(共26张PPT)
第3章 一次函数
3.1 函数的概念和表示法
3.1.2 函数的表示法
图象法
1.(2025青海中考)如图,甲、乙两车从A地出发前往B地,在整
个行程中,汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系
如图所示,下列结论错误的是 ( )
C
A.乙车先到达B地
B.A、B两地相距300 km
C.甲车的平均速度为100 km/h
D.在8:30时,乙车追上甲车
解析 根据图象可知,乙车先到达B地,故选项A结论正确,不
符合题意;A、B两地相距300 km,故选项B结论正确,不符合题
意;甲车的速度为300÷(11-6)=60(km/h),故选项C结论错误,符
合题意;在8:30时,乙车追上甲车,故选项D结论正确,不符合题
意.故选C.
2.【学科特色·教材变式】周末,小明与小杰相约到市图书馆
参加阅读活动.他们同时从同一地点出发,小明先骑自行车然
后再步行,小杰一直步行,结果他们同时到达图书馆.已知他们
所走的路程s(km)与时间t(h)之间的关系图象如图所示.根据图
象,回答如下问题:
(1)点A表示的实际意义是_______.
(2)小明骑自行车的速度是_______km/h.
(3)小杰步行的过程中,他所走的路程s(km)与时间t(h)之间的
关系式是________.
(4)小明步行的路程是_______km.
解析 (1)小明先骑自行车行驶了0.2 h,路程为3 km.
(2)小明骑自行车的速度是3÷0.2=15(km/h),
故答案为15.
(3)小杰步行的速度为1.2÷0.2=6(km/h),
所以小杰步行的过程中,他所走的路程s(km)与时间t(h)之间的
关系式是s=6t(0≤t≤0.8),
故答案为s=6t(0≤t≤0.8).
(4)0.8×6-3=1.8(km),
即小明步行的路程是1.8 km.
故答案为1.8.
列表法
3.【跨物理·弹力】(2025湖南长沙浏阳期中)弹簧挂上物体后
会伸长,测得一弹簧的长度y(单位:cm)与所挂的物体的质量x
(单位:kg)(不超过10 kg)间的关系如表:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
则下列说法不正确的是 ( )
A.x与y都是变量
B.弹簧不挂重物时的长度为0 cm
C.物体质量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm
D.当所挂物体质量为7 kg时,弹簧的长度为13.5 cm(在弹性限
度内)
B
解析 A.x与y都是变量,说法正确,故A不符合题意;B.弹簧不
挂重物时的长度为10 cm,原说法错误,故B符合题意;C.物体质
量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm,说法正确,故C不符合题
意;D.当所挂物体质量为7 kg时,弹簧的长度为10+7×0.5=
13.5 cm,说法正确,故D不符合题意.故选B.
公式法
4.(2025湖南衡阳部分学校联考)在边长为8 cm的正方形铁皮
上剪去一个圆,则剩下的铁皮的面积S(cm2)与圆的半径r(cm)
之间的函数表达式为_______________________(写出自变量
的取值范围).
S=64-πr2(0解析 根据题意,得S=82-πr2=64-πr2.故答案为S=64-πr2(05.【学科特色·教材变式】(2025湖南张家界桑植一模)已知等
腰三角形的周长为18,设腰长为x,底边长为y.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)求自变量x的取值范围.
解析 (1)因为等腰三角形的周长为18,腰长为x,底边长为y,所
以2x+y=18,所以y关于x的函数表达式为y=18-2x.
(2)根据题意,得 解得0边长,所以2x>y,所以2x>18-2x,所以x> ,所以自变量x的取值范
围是 6.(2024广西中考,★★☆)激光测距仪L发出的激光束以3×105
km/s的速度射向目标M,t s后测距仪L收到从目标M处以同样
速度反射回的激光束,则L到M的距离d(km)与时间t(s)之间的
关系式为 ( )
A.d= t B.d=3×105t
C.d=2×3×105t D.d=3×106t
A
解析 激光束由L到M的时间为 s,
激光束的速度为3×105 km/s,
则d= ×3×105= t.
7.(2024湖北武汉中考,★★☆)如图,一个圆柱体水槽底部叠放
两个底面半径不等的实心圆柱体,向水槽匀速注水.下列图象
能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是
( )
D
解析 下层实心圆柱底面半径大,最初水面上升快,上层实心
圆柱底面半径稍小,所以水没过下层圆柱后水面上升变慢,水
没过上层圆柱后,水面上升更慢,所以对应图象是第一段比较
陡,第二段比第一段缓,第三段比第二段缓.故选D.
8.【新考向·动点探究题】(2025江苏南通田家炳中学月考,★
★☆)动点H以1 cm/s的速度沿图1中的长方形ABCD的边按AB
→BC→CD的路径匀速运动,△ADH的面积S(cm2)与运动时间t
(s)的关系如图2所示,已知AD=4 cm,则m=__________.
10
解析 观察题图可得,当点H运动到点D时,运动路径为AB→
BC→CD,运动时间为14 s,因为动点H以每秒1 cm的速度运动,
所以AB+BC+CD=14 cm,因为四边形ABCD是长方形,AD=4 cm,
所以BC=4 cm,AB=CD,所以AB=DC=5 cm,所以当点H运动
到点B时,有S=m,所以m= ×4×5=10.故答案为10.
9.(2025安徽蚌埠怀远期中,★★☆)如图,在△ABC中,BC=15,
高AD=8.动点C'由点C沿CB向点B移动(不与点B重合).设CC'
的长为x,△ABC'的面积为S.
(1)请写出S与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
(2)当x分别取10,5,3时,请计算出相应的S的值.
解析 (1)因为CC'的长为x,所以BC'=15-x,
所以S= ×(15-x)×8=60-4x(0≤x<15).
(2)当x=10时,S=60-4×10=20.
当x=5时,S=60-4×5=40.
当x=3时,S=60-4×3=48.
10.某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树
的生长规律.记果树的生长时间为x(单位:年),甲种果树的平均
高度为y1(单位:米),乙种果树的平均高度为y2(单位:米).记录的
部分数据如下:
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
y1 1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64
y2 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00
x 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 y1 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00 y2 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 对以上数据进行分析,补充完成以下内容.
(1)可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系,在同一平面直角坐
标系xOy中,已经画出y1与x的函数图象,请画出y2与x的函数图象.
(2)当甲种果树的平均高度达到8.00米时,生长时间约为_____
_____年(结果保留小数点后一位);当乙种果树的平均高度为
5.00米时,两年后平均高度约为______米(结果保留小数点后两
位).
(3)当甲、乙两种果树的平均高度相等时,生长时间约为_____
_____年(结果保留小数点后一位).
解析 (1)y2与x的函数图象,如图.
(2)3.3;5.98.(答案不唯一)
(3)2.3(答案不唯一).(共22张PPT)
第3章 一次函数
3.2 一次函数
一次函数与正比例函数
1.(2025上海中考)下列函数中,是正比例函数的是 ( )
A.y=3x+1 B.y=3x2 C.y= D.y=
D
解析 根据正比例函数的定义,可知y= 是正比例函数.故选D.
2.(2025湖南长沙一中教育集团期中)下列函数中,y是关于x的
一次函数的是 ( )
A.y=- x2+5x B.y=-
C.y=3x+5 D.y=
C
解析 A.自变量x的最高次数是2,所以不是一次函数;B.分母
中含有自变量x,所以不是一次函数;C.是一次函数,故此选项
符合题意;D.不是一次函数.故选C.
3.【学科特色·易错题】(2025湖南湘潭湘乡东皋学校期中)若
函数y=(m-3) +1是关于x的一次函数,则m=_______.
-3
解析 因为函数y=(m-3) +1是关于x的一次函数,所以m2-8
=1且m-3≠0,所以m=-3.
易错警示 解题时要注意系数不为零这一隐含条件.
根据实际问题列一次函数表达式
4.【学科特色·教材变式】(2025湖南师大附中梅溪湖中学月
考)下列变量之间,一个变量是另一个变量的正比例函数的是
( )
A.正方形的面积S随边长x的变化而变化
B.面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化
C.正方形的周长C随着边长x的变化而变化
D.水箱以0.5 L/min的流量往外放水,水箱中剩余的水量V(单
位:L)随着放水时间t(单位:min)的变化而变化
C
解析 A.S=x2不是正比例函数,故此选项不符合题意;B.h=
不是正比例函数,故此选项不符合题意;C.C=4x是正比例函数,
故此选项符合题意;D.设水箱中原来有水x L,则V=x-0.5t,不是
正比例函数,故此选项不符合题意.故选C.
5.如图,一块长为5 m,宽为2 m的长方形木板,现要在长边上截
去长为x m的一部分,则剩余木板(空白部分)的面积y(m2)与x
(m)(0≤x<5)的函数关系式为 ( )
A.y=10-x B.y=5x
C.y=2x D.y=-2x+10
D
解析 由题意可得y=2(5-x)=-2x+10.故选D.
6.(2025广东广州增城期中)汽车开始行驶时,油箱中有油40升,
若每小时耗油6升,则油箱内余油量y(升)与行驶时间x(小时)的
关系式为_______________.
y=40-6x
解析 根据题意得y=40-6x.
7.求下列各题中y与x之间的函数表达式,并判断y是不是x的一
次函数或正比例函数.
(1)某农场种植玉米,每平方米种植玉米6株,玉米株数y与种植
面积x(m2)之间的关系.
(2)圆柱的底面圆的面积为2 cm2,它的体积y(cm3)与圆柱的高x
(cm)之间的关系.
(3)一棵小树现在的高度为80 cm,以后每年长高20 cm,x年后,
小树的高度y(cm)与生长的年数x的关系.
解析 (1)由题知,y=6x,所以y是x的正比例函数.
(2)由题知,y=2x,所以y是x的正比例函数.
(3)由题知,y=20x+80,所以y是x的一次函数.
8.(2025北京二中教育集团期末,★★☆)下面的三个问题中都
有两个变量:①在压力F(N)一定的情况下,物体对地面的压强p
(Pa)与受力面积S(m2);②冷冻一个0 ℃的物体,使它每分钟下
降2 ℃,物体的温度T(℃)与冷冻时间t(min);③在弹性限度内,
弹簧原长度为6 cm,弹簧挂重物后的长度y(cm)与弹簧受到的拉力x(N).其中,两个变量之间的函数关系是一次函数的是 ( )
A.①②③ B.②③
C.①③ D.①②
B
解析 ①由题意得,p= (F为定值),分母中含有变量,不是一次
函数,故①不符合;
②由题意得,T=-2t,是一次函数,故②符合;
③由题意得,y=kx+6,是一次函数的形式,故③符合.
综上,是一次函数的是②③,故选B.
9.【跨信息技术·人工智能】(2025山东淄博临淄实验中学月
考,★★☆)在2025年春晚的舞台上,名为《秧BOT》的创新节
目惊艳亮相!这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的
表演,更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现.机
器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率,将
一台机器人的搬运时间x(h)和搬运货物的质量y(kg)记录如表:
搬运时间x/h 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y/kg 160 240 320 400 …
则y与x之间的关系式为________________.
y=80x+80
解析 根据表格可知,搬运时间每增加1 h,搬运货物的质量增
加80 kg,则y=160+80(x-1)=80x+80,所以y与x之间的关系式为y
=80x+80.
10.【新课标·中华优秀传统文化】(2025湖南衡阳部分学校联
考,★★☆)如图1,“燕几”即宴几,是世界上最早的一套组合
桌,由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子,包
括两张长桌、两张中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等.七
张桌面分开可组合成不同的图形.图2是《燕几图》中名称为
“回文”的桌面拼合方式,若设每张桌面的宽为x尺,长桌的长
为y尺,则y与x的关系式可以表示为____________.
y=4x
解析 由题图可知,“回文”的桌面的总面积为4x(x+y),其中
每张长桌的桌面面积为xy,每张中桌的桌面面积为3x2,每张小
桌的桌面面积为2x2.根据题意,得2xy+2×3x2+3×2x2=4x(x+y),化
简得y=4x.
11.(★★☆)已知关于x的函数y=(m+2 024)·x2 025-|m|+m-n+1.
(1)当m,n为何值时,此函数是一次函数
(2)当m,n为何值时,此函数是正比例函数
解析 (1)根据一次函数的定义得2 025-|m|=1,
m+2 024≠0,所以m=2 024,
所以当m=2 024,n为任意实数时,此函数是一次函数.
(2)根据正比例函数的定义得2 025-|m|=1,m+2 024≠0,m-n+1=
0,解得m=2 024,n=2 025,
所以当m=2 024,n=2 025时,此函数是正比例函数.
12.【新课标·应用意识】(2024广东佛山期中)如图1所示的是
一种圆环,它的外圆直径是8 cm,环宽为1 cm.
(1)如果把2个这样的圆环扣在一起并拉紧(如图2),长度为___cm.
(2)如果用x个这样的圆环相扣并拉紧,长度为y cm,则y与x之间
的关系式是什么
(3)你认为多少个这样的圆环相扣并拉紧,总长度为2 024 cm
为什么
解析 (1)由题意得,把2个圆环扣在一起并拉紧,长度为2×8-2
=16-2=14(cm),故答案为14.
(2)由题意得,把3个这样的圆环扣在一起并拉紧,长度为3×8-2
×2=20(cm),
把4个这样的圆环扣在一起并拉紧,长度为4×8-2×3=26(cm),
把5个这样的圆环扣在一起并拉紧,长度为5×8-2×4=32(cm),
……
把x个这样的圆环扣在一起并拉紧,长度为8x-2(x-1)=(6x+2)cm,
即y与x之间的关系式是y=6x+2.
(3)337个这样的圆环相扣并拉紧,总长度为2 024 cm.理由如下:
由题意可得6x+2=2 024,
所以x=337,
所以337个这样的圆环相扣并拉紧,总长度为2 024 cm.(共27张PPT)
第3章 一次函数
3.3 一次函数的图象
第2课时 一次函数的图象和性质
一次函数的图象及性质
1.下列各点在函数y=2x-1的图象上的是 ( )
A.(-1,3) B.(0,1)
C.(1,-1) D.(2,3)
D
解析 A.当x=-1时,y=2×(-1)-1=-3,所以点(-1,3)不在函数y=2x-
1的图象上;B.当x=0时,y=2×0-1=-1,所以点(0,1)不在函数y=2x-
1的图象上;C.当x=1时,y=2×1-1=1,所以点(1,-1)不在函数y=2x-
1的图象上;D.当x=2时,y=2×2-1=3,所以点(2,3)在函数y=2x-1的
图象上.故选D.
2.(2025新疆中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图
象是 ( )
A B
C D
D
解析 因为k=1>0,b=1>0,所以一次函数y=x+1的图象经过
一、二、三象限.故选D.
3.(2025湖南长沙长郡教育集团期中)一次函数y=-x-3的图象不
经过的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
解析 因为一次函数y=-x-3中的k=-1<0,b=-3<0,所以该函数图
象经过第二、三、四象限,即不经过第一象限.故选A.
技巧总结 直线y=kx+b(k≠0)的位置与k,b的关系:k>0时,直线必
经过第一、三象限;k<0时,直线必经过第二、四象限.b>0时,
图象与y轴正半轴相交;b=0时,图象必过原点;b<0时,图象与y
轴负半轴相交.
4.(2025湖南株洲一模改编)已知点P(2,m+1)是直线y= x-1上
一点,则m的值为 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.-
C
解析 把点P(2,m+1)代入y= x-1,得m+1= ×2-1,解得m=-1.故
选C.
5.【学科特色·教材变式】(2025湖南怀化二模)直线y=x-2与y
轴的交点坐标为______________.
(0,-2)
解析 令x=0,有y=-2,所以直线y=x-2与y轴的交点坐标为(0,-2).
6.【新考向·结论开放题】(2025湖南岳阳一模)请写出一个y
随x的增大而增大的一次函数的表达式:____________
__________________________.
答案不唯一,如y=x+1.
解析 因为在一次函数中,y随x的增大而增大,所以k>0,所以
这个一次函数的表达式可以是y=x+1,此题答案不唯一.
7.【学科特色·多解法】(2025湖南湘西州凤凰一模)已知直线
y=2x+1经过P1(3,y1),P2(-2,y2)两点,则y1______y2.(填“>”“<”
或“=”)
>
解析 【解法一】因为k=2>0,所以y随x的增大而增大,因为点
P1(3,y1),P2(-2,y2)是直线y=2x+1上的两点,且-2<3,所以y1>y2.故
答案为>.
【解法二】因为点P1(3,y1),P2(-2,y2)是直线y=2x+1上的两点,所
以y1=7,y2=-3,所以y1>y2.
8.(2025湖南郴州一模)直线y=3x-2向上平移4个单位,得到的直
线的表达式为______________.
y=3x+2
解析 直线y=3x-2向上平移4个单位得到的直线的表达式为y
=3x-2+4=3x+2.故答案为y=3x+2.
9.【学科特色·教材变式】在同一平面直角坐标系中,画出函
数y=2x+4与y=-x+3的图象,并指出每个函数中,当x增大时,y如
何变化.
解析 如图所示:
y=2x+4中,y随x的增大而增大;y=-x+3中,y随x的增大而减小.
10.【学科特色·教材变式】在平面直角坐标系中一次函数y=-
x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B.
(1)请在如图所示的坐标系中画出该函数的图象.
(2)已知点C的坐标为(0,-2),求△ABC的面积.
解析 (1)令y=0,有-x+4=0,解得x=4,所以A(4,0);令x=0,有y=0+4
=4,所以B(0,4),该函数的图象如图所示.
(2)如图,因为A(4,0),B(0,4),C(0,-2),所以BC=4-(-2)=6,OA=4,所
以S△ABC= BC·OA= ×6×4=12.
11.对于某个一次函数y=kx+b(k≠0),根据两位同学的对话得出
的结论,错误的是 ( )
A.k>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k=- b
C
解析 因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不经过第二象限,所
以k>0,b≤0,又因为函数图象经过点(2,0),所以2k+b=0,即k=- b,
图象经过第一、三、四象限,所以b<0,所以kb<0,k+b= b<0,
故选C.
12.(2025湖南长沙明德教育集团期中,★★☆)一次函数y=x+5
的图象经过点A(a,b)、B(c,d),则a(c-d)+b(d-c)= ( )
A.0 B.20 C.25 D.-25
C
解析 根据题意,得b=a+5,d=c+5,所以c-d=-5,d-c=5,a-b=-5,所
以a(c-d)+b(d-c)=-5a+5b=-5(a-b)=-5×(-5)=25.
13.(2025湖南永州一模,★★☆)已知函数y=- x-4,当-3≤x≤3
时,y的最大值是_______.
-3
解析 根据题意,得k=- <0,所以y随着x的增大而减小,
因为-3≤x≤3,所以当x=-3时,y最大=- ×(-3)-4=-3.故答案为-3.
14.(2025江苏南通期中,★★☆)当直线y=(2-3k)x+k-2经过第
一、二、四象限时,k的取值范围是___________.
k>2
解析 因为直线y=(2-3k)x+k-2经过第一、二、四象限,所以
解得k>2.
15.(2025浙江宁波慈溪期末,★★☆)对于一次函数y=kx-k-1(k
为常数,k≠0),当1≤x≤2时,y有3个整数值,则符合条件的整数
k的值为____________.
2或-2
解析 因为y=kx-k-1=k(x-1)-1,所以一次函数的图象过定点(1,
-1),因为当1≤x≤2时,y有3个整数值,所以当k>0时,有1≤2k-k-1
<2,解得2≤k<3,所以k=2.当k<0时,有-4<2k-k-1≤-3,解得-3-2,所以k=-2.综上所述,符合条件的整数k的值为2或-2.
16.(2025广东广州四十一中教育集团期中,★★☆)在平面直
角坐标系xOy中,一次函数y=-2x+4的图象与x轴,y轴分别交于
点B,A,以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠ABC=
90°,过C作CD⊥x轴于点D.
(1)如图1,求A,B,C三点的坐标.
(2)如图2,若点E,F分别是OB,AB的中点,连接EF,CF.判断四边
形FEDC的形状,并说明理由.
解析 (1)因为一次函数y=-2x+4的图象与x轴,y轴分别交于点
B,A,所以A(0,4),B(2,0),所以OA=4,OB=2,因为CD⊥BD,
所以∠CDB=∠AOB=∠ABC=90°,所以∠ABO+∠CBD=90°,
∠CBD+∠BCD=90°,所以∠ABO=∠BCD,因为AB=BC,
所以△AOB≌△BDC,所以BD=OA=4,CD=OB=2,
所以OD=6,所以C(6,2).
(2)四边形FEDC是矩形.理由:因为点E,F分别是OB,AB的中点,
所以EF∥OA,EF= OA,所以EF⊥x轴,EF= ×4=2,所以EF∥
CD,EF=CD=2,所以四边形FEDC是平行四边形,因为∠CDE=
90°,所以四边形FEDC是矩形.
17.【新课标·几何直观】如图,已知一次函数y=- x+ 的图象
与x轴,y轴分别交于点A,B,点C,D均在该函数图象上.
(1)判断点 是否在直线AB上,并说明理由.
(2)当-1≤y≤3时,求x的取值范围.
(3)在x轴上是否存在点P,使得△CDP的面积为2 若存在,请求
出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)点 在直线AB上.理由:
在y=- x+ 中,令x= ,则y=- × + =0,
所以点 在直线AB上.
(2)在y=- x+ 中,令y=-1,则-1=- x+ ,解得x=2,令y=3,则3=- x
+ ,解得x=-1,
所以当-1≤y≤3时,x的取值范围是-1≤x≤2.
(3)存在点P,使得△CDP的面积为2.
在y=- x+ 中,令x=-1,得y=3,所以D(-1,3),
在y=- x+ 中,令y=-1,得x=2,所以C(2,-1),
在y=- x+ 中,令y=0,得x= ,所以A ,
因为△CDP的面积为2,
所以 AP·|yD-yC|=2,即 AP×4=2,所以AP=1,
当P在A左侧时,点P的坐标为 ;
当P在A右侧时,点P的坐标为 .
综上所述,点P的坐标为 或 .(共19张PPT)
第3章 一次函数
3.1 函数的概念和表示法
3.1.1 变量与函数
常量与变量
1.(2025湖南衡阳八中教育集团期中)对于圆的周长公式C=2πr,
下列说法正确的是 ( )
A.π,r是变量,C,2是常量
B.r是变量,C,π是常量
C.C是变量,π,r是常量
D.C,r是变量,2,π是常量
D
解析 对于圆的周长公式C=2πr,C和r是变量,2和π是常量.故选D.
2.(2025广东珠海期中改编)司机王师傅在加油站加油,如图所
示的是所用的加油机上的数据显示牌,则其中的常量是 ( )
A.金额 B.数量
C.单价 D.金额和数量
C
解析 常量是固定不变的量,变量是变化的量,单价是不变的
量,而金额会随着数量的变化而变化.故选C.
函数
3.(2025湖南长沙雅礼教育集团期中)下列关系式中y不是x的
函数的是 ( )
A.y2=x B.y=x
C.y=x2 D.y=-x
A
解析 根据函数的定义,每一个确定的x值都有唯一确定的y
值与它对应,选项A中,给x一个正值,y有两个值与之对应,所以y
不是x的函数.故选A.
4.(2025广西来宾武宣月考)下列能表示y是x的函数的图象是
( )
A B C D
D
解析 根据函数的定义,变量y随变量x的变化而变化,若x每取
一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,则y是x的函数,D
选项符合要求.故选D.
5.【跨化学·电池】你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用吗
因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池,这两种电池的最佳
使用温度都是在25 ℃左右.随着温度降低,电池中的化学物质
活性降低,从而导致电池不耐用.在这个变化过程中,自变量是
_______,而钠离子电池有一大优势,那就是耐低温.在零下20 ℃的温度下,钠离子电池能够保持90%以上的放电保持率,能
够弥补传统铅酸电池和锂电池的不足.
温度
解析 因为随着温度降低,电池中的化学物质活性降低,从而
导致电池不耐用,所以在这个变化过程中,自变量是温度.
6.【学科特色·教材变式】判断下列各题中的两个变量之间是
否存在依赖关系,如果存在,指出哪个变量是另一个变量的函
数.
(1)一个正常婴儿的体重(单位:千克)与该婴儿成长经过的月
数.
(2)一次数学考试中某学生的成绩(单位:分)与该学生的体重
(单位:千克).
解析 (1)一个正常婴儿的体重(单位:千克)与该婴儿成长经
过的月数,两个变量存在依赖关系,婴儿体重是成长月数的函
数.
(2)一次数学考试中某学生的成绩(单位:分)与该学生的体重
(单位:千克),两个变量不存在依赖关系.
函数自变量的取值范围及函数值
7.(2025四川德阳中考)函数y= 的自变量x的取值范围是____
_______.
x≠3
解析 根据题意,得x-3≠0,解得x≠3.故答案为x≠3.
8.(2025湖南三模)铁的密度为7.9 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)
与它的体积V(单位:cm3)之间的函数关系式为V= ,当V=20 cm3时,m=___________g.
158
解析 根据题意,把V=20 cm3代入函数关系式V= ,得20=
,解得m=158 g.故答案为158.
9.求下列函数中自变量x的取值范围.
(1)y=2x-3. (2)y= . (3)y= .
(4)y= . (5)y= . (6)y= .
解析 (1)x的取值范围为全体实数.
(2)由题意得x+1≠0,所以x≠-1.
(3)由题意得x-2≥0,所以x≥2.
(4)由题意得x+3>0,所以x>-3.
(5)由题意得x+2≥0且x-1≠0,所以x≥-2且x≠1.
(6)由题意得x≥0且|x|-5≠0,所以x≥0且x≠5.
10.(2025湖南怀化九县部分学校联考,★★☆)函数y= +
中,自变量x的取值范围是 ( )
A.x≥2 B.x≥2且x≠9
C.x≠9 D.2≤x<9
B
解析 根据题意,得 解得x≥2且x≠9.故选B.
11.【新考向·数学文化】(2025广东东莞中学松山湖学校一模
改编,★★☆)十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号f(x)的形
式来表示关于x的多项式,把x等于某数n时的多项式的值用f
(n)来表示.例如x=1时,多项式f(x)=3x+2的值可以记为f(1),即f
(1)=3×1+2=5.如果定义f(x)=x2+2 + ,则f(-3)=__________.
10
解析 因为f(x)=x2+2 + ,
所以f(-3)=9+ + =10.故答案为10.
12.【新考向·程序计算题】(2025湖南衡阳部分学校期末联
考,★★☆)下图是关于变量x,y的计算程序,若开始输入x的值
为6,则最后输出y的值为__________.
42
解析 根据题意可得当x=6时,y=x(x+1)=6×(6+1)=42>15,所以
最后输出y的值为42.
13.【新课标·应用意识】由于惯性,行驶中的汽车在刹车后还
要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距
离”.为了测定某小型载客汽车的刹车性能,对这种型号的汽
车进行了测试,测得的数据如表.
刹车时车速v/(km/
h) 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s/m 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
请回答下列问题:
(1)在这个变化过程中,变量是____________.
(2)当刹车时车速为60 km/h时,刹车距离是_______m.
(3)该小型载客汽车在高速公路上发生了一次交通事故,现场
测得刹车距离为32 m,请推测刹车时车速是多少,并说明事故
发生时,小型载客汽车是超速行驶还是正常行驶.(相关法规:
高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h)
解析 (1)在这个变化过程中,变量是刹车时车速和刹车距离.
故答案为刹车时车速v和刹车距离s.
(2)由题表可知,刹车时车速每增加10 km/h,刹车距离增加2.5 m,
12.5+2.5=15(m),所以当刹车时车速为60 km/h时,刹车距离
是15 m.
故答案为15.
(3)由题表可知,刹车时车速每增加10 km/h,刹车距离增加2.5 m,
所以刹车距离s与刹车时车速v的关系式为s=0.25v.
当s=32时,有0.25v=32,解得v=128,
因为128>120,
所以刹车时车速是128 km/h,事故发生时,小型载客汽车是超
速行驶.(共23张PPT)
第3章 一次函数
3.5 一次函数与二元一次方程的关系
一次函数与二元一次方程的关系
1.在平面直角坐标系中,二元一次方程4x+y+3=0表示的直线
不经过下列哪个象限 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
解析 因为4x+y+3=0,所以y=-4x-3,因为k=-4<0,b=-3<0,所以一
次函数y=-4x-3的图象经过二、三、四象限,不经过第一象限,
即二元一次方程4x+y+3=0表示的直线不经过第一象限.故选A.
2.在平面直角坐标系中,二元一次方程x-y-1=0表示的直线大
致是 ( )
A B
C D
B
解析 因为x-y-1=0,所以y=x-1,因为k=1>0,b=-1<0,所以一次函
数y=x-1的图象经过一、三、四象限,即二元一次方程x-y-1=0
表示的直线经过一、三、四象限.故选B.
3.已知点(-3,2)在二元一次方程y-kx+7=0表示的直线上,则k等
于_______.
-3
解析 根据题意,得2-(-3k)+7=0,解得k=-3.故答案为-3.
4.二元一次方程y-x=2表示的直线如图所示,当y>0时,x的取值
范围是____________.
x>-2
解析 因为y-x=2,所以y=x+2,由题图可知,当x>-2时,图象在x
轴上方,即当y>0时,x的取值范围是x>-2.故答案为x>-2.
5.【学科特色·多解法】点A(1,y1),B(3,y2)在二元一次方程5x+y-
2=0表示的直线上,则y1______y2(用“>”“<”或“=”填空).
>
解析 【解法一】因为5x+y-2=0,所以y=-5x+2,当x=1时,y1=-5
×1+2=-3,当x=3时,y2=-5×3+2=-13,所以y1>y2.故答案为>.
【解法二】因为5x+y-2=0,所以y=-5x+2,因为k=-5<0,所以y随x
的增大而减小,因为点A(1,y1),B(3,y2)在二元一次方程5x+y-2=0
表示的直线上,所以点A(1,y1),B(3,y2)在一次函数y=-5x+2的图
象上,因为1<3,所以y1>y2.故答案为>.
6.【学科特色·教材变式】在平面直角坐标系中,画二元一次
方程x+2y-2=0表示的直线.
解析 因为x+2y-2=0,所以y=- x+1,令y=0,即- x+1=0,解得x=
2,当x=0时,y=1,所以该直线经过点(2,0),(0,1),则二元一次方程x
+2y-2=0表示的直线如图所示.
7.【学科特色·教材变式】如图,在平面直角坐标系xOy中,二
元一次方程x+y=m表示的直线与正比例函数y=3x的图象交于
点A(n,6).
(1)求m、n的值.
(2)设二元一次方程x+y=m表示的直线与x轴交于点B,求△AOB
的面积.
解析 (1)因为正比例函数y=3x的图象过点A(n,6),所以6=3n,
解得n=2,因为二元一次方程x+y=m表示的直线与正比例函数y
=3x的图象交于点A(2,6),所以2+6=m,解得m=8.
(2)因为二元一次方程x+y=m表示的直线与x轴交于点B,所以
令y=0,得x+0=8,解得x=8,所以点B的坐标为(8,0),所以△AOB的
面积为 ×8×6=24.
8.(★★☆)如图,点A,B,C,D为平面直角坐标系中的四个点,二
元一次方程kx-y=1(k<0)表示的直线不可能经过 ( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
D
解析 因为kx-y=1,所以y=kx-1,因为k<0,b=-1<0,所以一次函数
y=kx-1(k<0)的图象经过第二、三、四象限,因为点D在第一象
限,所以一次函数y=kx-1(k<0)的图象不可能经过点D,即二元
一次方程kx-y=1(k<0)表示的直线不可能经过点D.
9.(★★☆)如图,在同一平面直角坐标系中,二元一次方程y-x+
a=0和y-ax=0表示的直线可能是 ( )
A B C D
B
解析 二元一次方程y-x+a=0,y-ax=0表示的直线,即分别为一
次函数y=x-a,正比例函数y=ax的图象.当a>0时,正比例函数的
图象经过第一、三象限,一次函数的图象经过第一、三、四
象限,所以A、D选项不符合题意;当a<0时,正比例函数的图象
经过第二、四象限,一次函数的图象经过第一、二、三象限,
所以B选项符合题意,C选项不符合题意.故选B.
10.(★★☆)如图,平行四边形ABCD的边AB在二元一次方程3x
-2y+2=0表示的直线上,若点C的坐标是(2,-2),AD∥x轴,则图象
过顶点D的正比例函数的表达式为____________.
y= x
解析 因为3x-2y+2=0,所以y= x+1,当x=0时,y= ×0+1=1,所以
A(0,1),因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AD∥
BC,所以设直线CD的表达式是y= x+b(b≠1),将点C(2,-2)代入
y= x+b,得3+b=-2,解得b=-5,所以直线CD的表达式为y= x-5,
因为AD∥BC,所以点D的纵坐标为1,在y= x-5中,当y=1时,1=
x-5,解得x=4,所以D(4,1),设直线OD的表达式为y=mx,
将D(4,1)代入y=mx,得4m=1,解得m= ,所以图象过顶点D的正比例函数的表达式为y= x.故答案为y= x.
11.(★★☆)如图,直线l1:y1=x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,
二元一次方程kx-y2+b=0表示的直线l2与x轴交于点D(1,0),与y
轴交于点C(0,3),两直线交于点E.
(1)求k,b的值.
(2)求△ACE的面积.
(3)请根据图象直接写出x-4>kx+b时,x的取值范围.
解析 (1)因为二元一次方程kx-y2+b=0表示的直线l2与x轴交
于点D(1,0),与y轴交于点C(0,3),所以 解得
(2)因为k=-3,b=3,所以-3x-y2+3=0,所以y2=-3x+3,联立,得
解得 所以E ,因为直线y=x-4与x轴
交于点A,与y轴交于点B,所以A(4,0),B(0,-4),因为C(0,3),所以
BC=7,所以S△ACE=S△ABC-S△BCE= ×7×4- ×7× = .
(3)根据题图,得当x-4>kx+b时,直线l1在直线l2的上方,所以x的
取值范围是x> .
12.【新课标·几何直观】已知二元一次方程2x+y-4=0表示的
直线分别与x轴,y轴交于点A,B.
(1)请直接写出A,B两点坐标:A:_______,B:_______.
(2)在如图所示的直角坐标系中画出二元一次方程2x+y-4=0表
示的直线(不用列表,直接描点、连线).
(3)点P是二元一次方程2x+y-4=0表示的直线上一动点,求OP
的最小值.
解析 (1)因为2x+y-4=0,所以y=-2x+4,所以当x=0时,y=4;当y=0
时,x=2,所以A(2,0),B(0,4).故答案为(2,0);(0,4).
(2)由(1)知A(2,0),B(0,4),所以二元一次方程2x+y-4=0表示的直
线如图所示.
(3)如图,当OP与直线AB垂直时,OP有最小值,此时S△ABO= OA·
OB= AB·OP,因为OA=2,OB=4,所以AB= =2 ,
所以 ×2×4= ×2 OP,所以OP= .(共24张PPT)
第3章 一次函数
3.6 一次函数的应用
第2课时 利用一次函数解决实际问题2
建立一次函数模型解决实际问题
1.下图反映的是某网约车平台车费y(元)与所行驶的路程x(千
米)之间的函数关系.假设车速始终保持60千米/小时不变,不
考虑其他因素(红绿灯、堵车等),根据图中的信息,若小明乘
坐该网约车从家到机场共收车费64元,则他从家到机场需要
的时间是 ( )
D
A.10分钟 B.15分钟
C.18分钟 D.20分钟
解析 根据图象可知,收费64元时,行程已超过3千米,设当x≥
3时,y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(3,13)、(10,34)代入
得
解得 所以y=3x+4(x≥3),
当y=64时,代入可得3x+4=64,解得x=20.
因为20÷60×60=20(分钟).
所以他从家到机场需要的时间是20分钟.故选D.
2.(2025湖南一模)如图,一个弹簧不挂物体时长6 cm,挂上重物
后,在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比,
弹簧总长y(单位:cm)关于所挂物体质量x(单位:kg)的函数图象
如图所示,则图中a的值是_________.
3
解析 由图象可设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(0,6),
(9,10.5)代入,得 解得 即y与x的函数关系式
为y=0.5x+6,当y=7.5时,7.5=0.5x+6,解得x=3,所以a=3.故答案为
3.
3.天岩寨柑桔是湖南省长沙市浏阳市特产,其果面光洁,色泽
艳丽,果皮细薄易分离,果实肉质细嫩多汁,酸甜适度,深受大家
喜爱.某水果超市以每千克6元的价格购进一批天岩寨柑桔,销
售了一部分以后,将余下的天岩寨柑桔按照每千克降价4元进
行促销,全部售完.若销售收入y(元)与销售量x(千克)之间的关
系如图所示,则降价后y与x的函数关系式为______________.
(不用写自变量的取值范围)
y=8x+200
解析 由图象可知,降价前每千克的天岩寨柑桔售价为600÷
50=12(元),因为每千克降价4元,所以降价后每千克的天岩寨柑
桔售价是12-4=8(元),所以降价后的销售量为(680-600)÷8=10
(千克),所以天岩寨柑桔一共销售了50+10=60(千克),设降价后
y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),把(50,600),(60,680)代入得
解得 所以降价后y与x的函数关系式为y=
8x+200.
4.(2025山东青岛即墨期中)“生活即教育,行为即课程”.某校
将劳动教育融入立德树人全过程.学校给每个班划分一块地
供学生“种菜”,某班现要购买肥料对该地施肥,该班班长与
农资店店主商量后,店主给出了两种购买方案(如表),且都送
货上门.
方案 运费/元 肥料价格/(元/千克)
方案一 15 2.5
方案二 0 3
若该班购买x千克肥料,按方案一购买的付款总金额为y1元,按
方案二购买的付款总金额为y2元.
(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式.
(2)若该班计划用180元钱购买肥料,请问该班选择哪种购买方
案购买的肥料较多
(1)根据题意,得y1=2.5x+15,y2=3x.
(2)当y1=180时,2.5x+15=180,解得x=66.
当y2=180时,3x=180,解得x=60.
因为66>60,所以该班选择方案一购买的肥料较多.
5.(2025江苏镇江四模,★★☆)甲、乙两家通信服务公司提供
了两种通话收费方式,它们各自的费用y(元)与通话时间x(min)
之间的关系如图所示.若通话时间超过200 min,则乙公司的收
费方式比甲公司的收费方式便宜 ( )
C
A.10元 B.11元
C.12元 D.13元
解析 当x≥120时,设甲公司的费用与通话时间的函数关系
式为y1=k1x+b1(k1≠0),将(120,30)和(170,50)分别代入y1=k1x+b1,
得 解得 所以y1=0.4x-18;当x≥200时,设
乙公司的费用与通话时间的函数关系式为y2=k2x+b2(k2≠0),将
(200,50)和(250,70)分别代入y2=k2x+b2,得 解得
所以y2=0.4x-30,所以y1-y2=(0.4x-18)-(0.4x-30)=12,
所以若通话时间超过200 min,则乙公司的收费方式比甲公司的
收费方式便宜12元.故选C.
6.(2025北京大学附中期中,★★☆)某市为了鼓励居民节约用
电,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费,分两档收
费:第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”;第
二档是当用电量超过240度时,其中的240度仍按照“基础电
价”计费,超过的部分按照“提高电价”收费.设每个家庭月
用电量为x度时,应交电费为y元.具体收费情况如图所示,根据
图象,得出以下结论中错误的是 ( )
B
A.“基础电价”是0.5元/度
B.“提高电价”是0.56元/度
C.当x>240时,y与x的函数表达式为y=0.6x-24
D.若明明家五月份缴纳电费144元,则明明家这个月的用电量
为280度
解析 A.“基础电价”是120÷240=0.5(元/度),正确,不合题
意;B.“提高电价”是(216-120)÷(400-240)=0.6(元/度),错误,符
合题意;C.当x>240时,设y=kx+b(k≠0),易知(240,120),(400,216)
满足y=kx+b,所以 解得 所以y=0.6x-24
(x>240),正确,不符合题意;D.因为144>120,所以当y=144时,0.6x
-24=144,解得x=280,所以明明家这个月的用电量为280度,正确,不符合题意.故选B.
7.【学科特色·教材变式】(2025湖南长沙模拟,★★☆)健康绿
色生活,从饮用水开始.随着科技的发展和生活质量的不断提
高,人们对饮用水品质的需求也越来越高,某乡镇家电商场抓
住商机,准备用不超过10 000元购进40台净水器,其中A型净水
器每台200元,B型净水器每台300元,A型净水器每台售价为300
元,B型净水器每台售价为350元,预计销售额不低于12 800元.
设购进A型净水器x台,商场销售这两种净水器获得的总利润
为y元.
(1)该商场共有几种进货方案
(2)该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大 最大利润
是多少元
解析 (1)购进A型净水器x台,则购进B型净水器(40-x)台,根据
题意,得
解得20≤x≤24,因为x为整数,所以x可以为20,21,22,23,24,所
以共有5种进货方案.
(2)根据题意,得y=(300-200)x+(350-300)(40-x)=50x+2 000,因为
50>0,所以y随x的增大而增大,因为20≤x≤24,所以当x=24时,y
取得最大值,最大利润为50×24+2 000=3 200(元),40-24=16(台).
答:购进A型净水器24台,购进B型净水器16台,能使得总利润最
大,最大利润是3 200元.
8.【新课标·应用意识】(2025湖南衡阳部分学校四模)一条公
路上依次有A、B、C三地,甲车从A地出发,沿公路经B地到C
地,乙车从C地出发,沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发,匀
速行驶,乙车比甲车早 小时到达目的地.甲、乙两车之间的
路程y(km)与两车行驶的时间x(h)之间的函数关系如图所示,
请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是_______km/h,并在图中括号内填上正
确的数.
(2)求图中线段EF所在直线的函数表达式.
(3)请直接写出两车出发多少小时,乙车距B地的路程是甲车距
B地路程的3倍.
解析 (1)由题图可知,甲车 小时行驶的路程为200-180=20 km,所以甲车行驶的速度是20÷ =70(km/h),所以70×
=300(km),所以题图中括号内填300.
(2)由题图可知E,F的坐标分别为 ,(4,180),设线段EF所在
直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0),则 解得
所以线段EF所在直线的函数表达式为y=120x-300.
(3)两车出发 小时或 小时后,乙车距B地的路程是甲车距B
地路程的3倍.
详解:由(1)知,A、C两地之间的距离为300 km,所以乙车行驶
的速度为300÷ -70=50(km/h),所以C、B两地之间的距离为50
×4=200(km),所以A、B两地之间的距离为300-200=100(km),
设两车出发a小时,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍,
分两种情况:①甲车在A,B两地之间时,200-50a=3(100-70a),解
得a= ;②甲车在B,C两地之间时,200-50a=3(70a-100),解得a=
.综上,两车出发 小时或 小时后,乙车距B地的路程是甲
车距B地路程的3倍.(共27张PPT)
第3章 一次函数
3.4 用待定系数法确定一次函数的表达式
确定正比例函数的表达式
1.(2022广东广州中考)点(3,-5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图
象上,则k的值为 ( )
A.-15 B.15 C.- D.-
D
解析 因为点(3,-5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,所以-5
=3k,解得k=- ,故选D.
2.【学科特色·教材变式】点A'是点A(-1,2)关于x轴的对称点.
若一个正比例函数的图象经过点A',则该函数的表达式为_____
_______.
y =2x
解析 因为点A'是点A(-1,2)关于x轴的对称点,所以A'(-1,-2),设
该正比例函数的表达式为y=kx(k≠0),则-2=-k,解得k=2,所以该
函数的表达式为y=2x.
3.【学科特色·教材变式】(2025湖南师大附中梅溪湖中学月
考)已知y与x成正比例,当x=-1时,y=4.
(1)求出y与x的函数关系式.
(2)请通过计算,判断点(2,-8)是否在这个函数的图象上.
解析 (1)因为y与x成正比例,所以设y=kx(k≠0),根据题意,得4
=-k,解得k=-4,所以y=-4x.
(2)将x=2代入y=-4x,得y=-8,所以点(2,-8)在函数y=-4x的图象上.
确定一次函数的表达式
4.【学科特色·多解法】(2024湖南怀化期末)直线y=kx+b在平
面直角坐标系中的位置如图所示,则这条直线的函数表达式
为 ( )
A.y=2x+4 B.y=-2x+4
C.y=4x+2 D.y=-4x-2
A
解析 【解法一】由图象可知,直线与坐标轴的交点坐标为(-
2,0),(0,4),把(-2,0),(0,4)代入y=kx+b得 解得 所
以该直线的函数表达式为y=2x+4,故选A.
【解法二】由图象可知直线经过第一、二、三象限,所以k>0,
b>0,排除选项B、D,因为点(0,4)在直线y=kx+b上,所以b=4,排
除选项C.故选A.
5.已知y与x-2成正比例,且当x=3时,y=4,当x=5时,y的值为 ( )
A.-12 B.12 C.16 D.-16
B
解析 因为y与x-2成正比例,所以设y=k(x-2)(k≠0).
因为当x=3时,y=4,所以4=(3-2)k,解得k=4,所以该函数的解析式
为y=4(x-2)=4x-8,即y=4x-8,把x=5代入得,y=4×5-8=12.故选B.
6.(2025湖南长沙长郡教育集团期中)一次函数y=-4x+n的图象
经过点(3,-2),则一次函数的表达式为________________.
y=-4x+10
解析 将点(3,-2)代入y=-4x+n,得-2=-4×3+n,解得n=10,所以一
次函数的表达式为y=-4x+10.
7.(2025湖南株洲醴陵期末)小红在练习仰卧起坐,本月1日至4
日的成绩与日期的关系如表:
日期x/日 1 2 3 4
成绩y/个 40 43 46 49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系,则
该函数表达式为_______________.
y=3x+37
解析 设该函数表达式为y=kx+b(k≠0),根据题意得
解得 所以该函数表达式为y=3x+37.
8.【学科特色·教材变式】(2025湖南长沙长郡教育集团期中
改编)已知一次函数y=kx+b的图象经过(1,5)和(-1,1)两点.
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)当x=-4时,求y的值.
解析 (1)根据题意,得 解得 所以该一次函数
的表达式是y=2x+3.
(2)当x=-4时,有y=2×(-4)+3=-5.
9.【学科特色·易错题】(2025广东佛山南海月考,★★☆)已知
一次函数y=ax+b(a,b为常数,且a≠0),当1≤x≤2时,2≤y≤3,则
ab的值为 ( )
A.-4 B.4
C.1或-4 D.1或4
C
解析 分两种情形:①当a>0时,y随x的增大而增大,因为当1≤
x≤2时,2≤y≤3,所以当x=1时,y=2,当x=2时,y=3,所以
解得 所以ab=1;②当a<0时,y随x的增大而减
小,因为当1≤x≤2时,2≤y≤3,所以当x=1时,y=3,当x=2时,y=2.
所以 解得 所以ab=-4.综上,ab的值为-4或1.故
选C.
易错警示 解题时易忽略对一次项系数a的正负性进行讨论,
从而导致解题时漏解.
10.(2025江苏镇江二模,★★☆)在“探索一次函数y=kx+b的
系数k,b与图象的关系”活动中,老师给出了坐标系中的三个
点:A(0,2),B(3,1),C(4,4),如图所示,同学们画出了经过这三个点
中每两个点的一次函数图象,并得到对应的函数表达式:y1=k1x
+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3.分别计算2k1+b1,2k2+b2,2k3+b3的值,其中
最大的值是 ( )
D
A. B. C.5 D.3
解析 设直线AB对应的函数表达式为y1=k1x+b1,直线BC对应
的函数表达式为y2=k2x+b2,直线AC对应的函数表达式为y3=k3x
+b3.将A(0,2),B(3,1)代入y1=k1x+b1,得 解得 所
以2k1+b1=2× +2= ;同理得 所以2k2+b2=2×
3-8=-2,2k3+b3=2× +2=3.因为-2< <3,所以最大的值是3.故选D.
11.【学科特色·教材变式】(2025湖南衡阳部分学校期中,★
★☆)已知一种单肩包,其背带由双层部分、单层部分和调节
扣构成.小文购买时,售货员演示通过调节扣加长或缩短单层
部分的长度,可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的
和,其中调节扣所占长度忽略不计)加长或缩短,设双层部分的
长度为x cm,单层部分的长度为y cm.经测量,发现单层部分的
长度y与双层部分的长度x之间满足一次函数关系,部分数据
如下:
双层部分长
度x/cm 0 2 7
单层部分长
度y/cm 156 152 142
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)按小文的身高和习惯,当背带双层部分的长度调到18 cm时
最舒服.请计算此时单层部分的长度.
解析 (1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0),根据题
意,得 解得 所以y与x之间的函数表达式为
y=-2x+156.
(2)当x=18时,y=-2×18+156=120,所以此时单层部分的长度为
120 cm.
12.(★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在直线y=2x-
上,过点A的直线交y轴于点B(0,3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式.
(2)若点P(t,y1)在线段AB上,点Q(t-1,y2)在直线y=2x- 上,求y1-y2
的最大值.
解析 (1)把(2,m)代入y=2x- ,得m= .
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
把 ,(0,3)代入得 解得
所以直线AB的函数表达式为y=- x+3.
(2)因为点P(t,y1)在线段AB上,
所以y1=- t+3(0≤t≤2),
因为点Q(t-1,y2)在直线y=2x- 上,
所以y2=2(t-1)- =2t- ,
所以y1-y2=- t+3- =- t+ ,
因为- <0,所以y1-y2的值随t的增大而减小,
所以当t=0时,y1-y2的值最大,为 .
13.【新课标·几何直观】【学科特色·分类讨论思想】(2025
湖南永州冷水滩京华中学月考)如图,直线l:y=ax+3交x轴于点
A(6,0),将直线l向下平移4个单位长度,得到的直线分别交x轴,y
轴于点B,C.
(1)求a的值及B,C两点的坐标.
(2)点M为线段AB上一点,连接CM并延长,交直线l于点N,
若△AMN是等腰三角形,求点M的坐标.
解析 (1)因为直线l:y=ax+3交x轴于点A(6,0),
所以6a+3=0,解得a=- ,所以y=- x+3,
所以将直线l向下平移4个单位长度,得到的直线解析式为y=
- x+3-4=- x-1,
在y=- x-1中,令y=0,则- x-1=0,解得x=-2,令x=0,则y=-1,所以B
(-2,0),C(0,-1).
(2)如图,
分3种情况:①若MN=AN,则∠AMN=∠MAN,
因为AN∥BC,所以∠MAN=∠MBC,
因为∠AMN=∠BMC,
所以∠MBC=∠BMC,所以BC=CM,
因为CO⊥BM,所以OM=OB=2,所以M(2,0);
②若AM=AN,则∠AMN=∠ANM,
因为AN∥BC,所以∠ANM=∠BCM,
因为∠AMN=∠BMC,
所以∠BCM=∠BMC,所以BC=BM,
因为B(-2,0),C(0,-1),
所以BC= = ,
所以BM= ,所以OM=BM-OB= -2,
所以M( -2,0);
③若AM=MN,则∠MAN=∠MNA,
因为AN∥BC,所以∠MAN=∠MBC,∠MNA=∠MCB,
所以∠MBC=∠MCB,所以CM=BM,
所以CM2=(OB-OM)2=OM2+OC2,
即(2-OM)2=OM2+12,所以OM= ,所以M .
综上,点M的坐标为(2,0)或( -2,0)或 .
