(共23张PPT)
第4章 数据分析
4.1 平均数、中位数、众数
第2课时 中位数与众数
中位数
1.【新考向·地域文化】(2025湖南长沙宁乡期末)长沙是一座
具有历史底蕴的城市,市内有湖南博物院、湖南省科学技术
馆、湖南湘绣博物馆、隆平水稻博物馆、湖南省地质博物馆
等研学景点,某班同学分小组到以上五个地方进行研学,人数
分别为12,8,11,7,12,则这组数据的中位数是 ( )
A.12 B.8 C.11 D.7
C
解析 将这组数据按从小到大的顺序重新排列为7,8,11,12,
12,这组数据的中位数是11.故选C.
2.(2025湖南一模)一双好眼睛,能更好地探索未来,央视青少年
爱眼护眼公益广告——《好视力,好未来》中提到:航天员需
要裸眼视力不低于5.0,特警需要裸眼视力不低于4.8,射箭运动
员需要裸眼视力不低于4.8,船长需要裸眼视力不低于5.0.数据
5.0,4.8,4.8,5.0的中位数是___________.
4.9
解析 把数据5.0,4.8,4.8,5.0按从小到大的顺序排列为4.8,4.8,
5.0,5.0,所以数据5.0,4.8,4.8,5.0的中位数是(4.8+5.0)÷2=4.9.故
答案为4.9.
3.【学科特色·教材变式】求下列各组数据的中位数.
(1)2,4,6,8,10,3,7.
(2)数据10,20,30,40出现的次数分别为5,4,10,16.
解析 (1)把这组数据按从小到大的顺序排列为2,3,4,6,7,8,10,
所以中位数是6.
(2)因为数据的个数是5+4+10+16=35,最中间的数是30,所以中
位数是30.
众数
4.(2025湖南郴州一模)某班8名同学垫排球的测试成绩(单位:
个)分别为25,26,26,27,27,27,30,30,则这组数据的众数是 ( )
A.25 B.26 C.27 D.30
C
解析 在所给数据中,数据27出现了三次,次数最多,所以这组
数据的众数是27.故选C.
5.(2025广东茂名高州二模)某市某一周的PM2.5指数(大气中直
径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物指数)如
表,则该周PM2.5指数的众数为___________.
150
PM2.5指数 150 155 160 165
天数 2 1 1
解析 因为150出现了7-2-1-1=3(天),出现的次数最多,所以该
周PM2.5指数的众数是150.故答案为150.
6.【学科特色·教材变式】某商店销售5种领口尺寸分别为38 cm,
39 cm,40 cm,41 cm,42 cm的衬衫,为了了解各种领口尺寸
衬衫的销售情况,商店统计了6月份的销售情况,如表.
领口尺
寸/cm 38 39 40 41 42
销售量/
件 13 19 34 15 9
这组数据的众数是多少 这个众数表明的意义是什么
解析 因为这组数据中40 cm的销售量为34件,数量最多,所以
这组数据的众数是40 cm.
这个众数表明多数人的领口尺寸都分布在40 cm左右.
选择合适的统计量表示数据的集中程度
7.(2025浙江金华永康期末)某校设置了游泳课外兴趣小组,为
了统一服装,对同学们喜欢什么颜色的泳衣进行了调查统计,
老师应该关注的数据是 ( )
A.平均数 B.中位数
C.众数 D.以上都不对
C
解析 根据众数意义可知,最应该关注的是众数.故选C.
8.(2025湖南永州祁阳二模,★★☆)一组数据a,-2,7,3,5有唯一
的众数7,则这组数据的中位数是 ( )
A.-2 B.3 C.5 D.7
C
解析 因为一组数据a,-2,7,3,5有唯一的众数7,所以a=7,把这
些数从小到大排列为-2,3,5,7,7,则这组数据的中位数是5.故选
C.
9.【学科特色·分类讨论思想】(2025湖南长沙长郡双语实验
中学一模,★★☆)已知5个数据:8,8,x,10,10.如果这组数据的某
个众数与平均数相等,那么这组数据的中位数是____________.
8或10
解析 当x=8或10时,这组数据的众数不等于平均数,不符合题
意,当x≠8,10时,这组数据的众数为8或10,分两种情况:①设众
数是8,则(8+8+x+10+10)÷5=8,解得x=4,故中位数是8;②设众数
是10,则(8+8+x+10+10)÷5=10,解得x=14,故中位数是10.故答案
为8或10.
10.(★★☆)乐乐在处理一组数据“37,38,40,37,□”时,其中
一个数据印刷不清楚,已知这组数据的中位数和去掉“□”
后的4个数据的众数相等,请写出一个“□”里可填的整数:__
_________________.
36(答案不唯一)
解析 因为37,38,40,37的众数为37,所以“37,38,40,37,□”的
中位数为37,根据条件可知第2个37为原数据的第三个数,所以
□≤37,所以□可以是36.(答案不唯一)
11.(★★☆)下表是某校八年级(1)班20名学生某次数学测验
的成绩统计表:
成绩/分 60 70 80 90 100
人数 1 5 x y 2
(1)若这20名学生成绩的平均数为82分,求x,y的值.
(2)在(1)的条件下,设这20名学生本次测验成绩的众数为a,中
位数为b,求a,b的值.
解析 (1)根据题意,得
解得 即x的值为5,y的值为7.
(2)由(1)得,90分的人数最多,故众数a为90分,将题表中数据从
小到大排列后第10个数是80,第11个数是80,所以中位数b=(80
+80)÷2=80(分).
12.【跨信息技术·人工智能】(2025江西宜春期末,★★☆)随
着人工智能(AI)技术的不断突破,我国某大语言模型已发展到
世界领先位置,AI问答在很多领域展现出独特价值.某科技研
究团队对一款智能问答工具的用户进行调研,收集了20位科
研工作者在一周内使用该工具的次数,数据如下:
12 15 10 7 16 20 14 18 9 11 13 17 15 10
13 16 18 11 14 13
(1)若将每周使用次数不少于16次的用户定义为“深度用
户”,请直接写出“深度用户”在这20位用户中所占的百分
比为_______.
(2)这组数据的平均数是_______,中位数是_______,众数是
_______.
(3)该科技研究团队计划根据调研结果对该工具的功能进行
改进,若要关注大多数用户的使用情况,你认为应该参考哪个
统计量 请说明理由.
解析 (1)根据题意可知,每周使用次数不少于16次的用户有6
人,所以“深度用户”在这20位用户中所占的百分比为 ×
100%=30%.故答案为30%.
(2)这组数据的平均数为(12+15+10+7+16+20+14+18+9+11+13+
17+15+10+13+16+18+11+14+13)÷20=13.6;把这组数据从小
到大排列得7,9,10,10,11,11,12,13,13,13,14,14,15,15,16,16,17,18,
18,20,所以中位数是(13+14)÷2=13.5;众数是13.故答案为13.6,
13.5,13.
(3)应参考众数.理由:题干要求关注大多数用户的使用情况,而
众数代表多数.
13.【新课标·数据观念】(2025福建厦门翔安期末)某公司有
甲、乙两个销售部门,负责不同地区的销售业务,公司为了调
动各部门销售员的积极性,将根据销售情况对销售员进行奖
励.公司对甲、乙两个销售部门各20名销售员当月的销售额
进行统计,甲部门的销售员的销售情况如图所示,乙部门的销
售员的销售额的分析结果如表.
平均数 中位数 众数
18.15万元 17万元 17万元
(1)求甲部门销售员当月销售额的众数和平均数.
(2)公司决定奖励在各销售部门中销售额排名比较靠前的销
售员.小明、小红分别是甲、乙两个部门的销售员,他们这个
月的销售额都是18万元,你认为小明和小红谁更有机会获得
奖励 并说明理由.
解析 (1)由题中统计图可知,甲部门销售员当月销售额的众
数为19万元,甲部门销售员当月销售额的平均数为(16×5+17×
3+18×1+19×9+20×2)÷20=18(万元),所以甲部门销售员当月销
售额的众数为19万元,平均数为18万元.
(2)小红更有机会获得奖励.理由:根据题意,甲部门销售员当月
销售额的中位数为(19+19)÷2=19(万元),乙部门销售员当月销
售额的中位数为17万元,因为小明、小红分别是甲、乙两个
部门的销售员,他们这个月的销售额都是18万元,所以小明在
甲部门的排名是第12名,小红在乙部门的排名在第10名之前,
所以小红在乙部门中销售额排名比较靠前,所以小红更有机
会获得奖励.(共15张PPT)
第4章 数据分析
4.4 四分位数与箱线图
第1课时 四分位数
四分位数
1.一组数据27,12,15,14,31,17,19,23,10,35的第一四分位数是
( )
A.12 B.14 C.15 D.17
B
解析 根据题意,数据从小到大排列为10,12,14,15,17,19,23,27,
31,35,因为10×25%=2.5,所以第一四分位数是14.故选B.
2.(2025湖南邵阳月考)数据53,62,78,67,98,32,42,12,90的第三
四分位数是 ( )
A.67 B.42 C.62 D.78
D
解析 这组数据共9个数,从小到大排列是12,32,42,53,62,67,78,
90,98,因为9×0.75=6.75,所以第7个数是第三四分位数,即第
三四分位数是78.故选D.
3.(2025湖南株洲二中二模)数据2,3,5,7,9,11,13,14,17,21的第50百
分位数是__________.
10
解析 数据2,3,5,7,9,11,13,14,17,21的第50百分位数为中位数,
即(9+11)÷2=10.故答案为10.
4.(2025湖南长沙长郡中学期末)一组数据6,4,a,8,6,10,12的平
均数为7,则该组数据的第75百分位数为__________.
10
解析 根据题意,得(6+4+a+8+6+10+12)÷7=7,解得a=3,将数据
从小到大排列:3,4,6,6,8,10,12,因为7×75%=5.25,所以该组数据
的第75百分位数为第6个数,即为10.故答案为10.
5.一组数据由小到大排列为1,3,5,x,17,24,已知该组数据的第
二四分位数是6,则x的值是_________.
7
解析 因为这一组数据共6个数,且6×50%=3,所以该组数据的
第3个数与第4个数的平均数是该组数据的第二四分位数,所
以 =6,解得x=7.故答案为7.
6.【学科特色·教材变式】下表为12名毕业生的起始月薪(单
位:元):
毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪
1 2 850 7 2 890
2 2 950 8 3 130
3 3 050 9 2 940
4 2 880 10 3 325
毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪
5 2 755 11 2 920
6 2 710 12 2 880
求表中这12名毕业生的起始月薪的四分位数.
解析 将12个数据从小到大排列为2 710,2 755,2 850,2 880,
2 880,2 890,2 920,2 940,2 950,3 050,3 130,3 325.这组数据的中
位数是(2 890+2 920)÷2=2 905,即第二四分位数是2 905;因为12×25%=3,所以第3个数与第4个数的平均数是(2 850+2 880)÷2
=2 865,所以第一四分位数是2 865;因为12×75%=9,所以第9个
数与第10个数的平均数是(2 950+3 050)÷2=3 000,所以第三四
分位数是3 000.
7.(2025天津新华中学一模,★★☆)已知一组数据1,2,3,4,x的
第一四分位数是x,则x的可能取值为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
D
解析 因为数据共有5个,5×0.25=1.25,所以第一四分位数取
该组数据从小到大排序后的第二个数,所以这一组数据从小
到大排列的情况是1,x,2,3,4,所以x的取值范围是1≤x≤2,选项
D中x的取值符合要求.故选D.
8.(★★☆)按从小到大的顺序排列的两组数据:甲组为27,31,3
7,m,42,49;乙组为24,n,33,44,48,52.若这两组数据的第25百分
位数、第50百分位数都分别对应相等,则m+n=__________.
71
解析 因为甲组、乙组数据个数均为6,6×25%=1.5,所以第25
百分位数是第2个数据,所以n=31,因为6×50%=3,所以第50百
分位数是第3个数与第4个数的平均数,即 = ,解得
m=40,所以m+n=71.故答案为71.
9.(★★☆)李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心
遗失了一位学生的成绩,且剩余学生的成绩数据如下:4,5,5,6,
7,7,9,9,9.但李老师记得这名学生的成绩恰好是这10名学生成
绩的第75百分位数,则这10名学生的成绩的方差为_________.
3.4
解析 因为10×75%=7.5,所以该学生的成绩为从小到大排列
的第8个数,所以该学生的成绩为9,因为(4+5×2+6+7×2+9×4)÷10=7,所以方差为s2=[(4-7)2+(5-7)2×2+(6-7)2+(7-7)2×2+(9-7)2
×4]÷10=3.4.故答案为3.4.
10.(★★☆)从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,
得到它们的质量(单位:g)如下:7.9,9.3,9.1,9.0,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,
7.8,8.3,8.0.
(1)分别求出这组数据的第25,50,75百分位数.
(2)请你找出珍珠质量较小的前25%的珍珠质量.
(3)若用第25,50,75百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、
合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司
珍珠等级的划分标准.
解析 (1)将所有数据从小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,
8.5,8.5,9.0,9.1,9.3,9.9,因为共有12个数据,12×25%=3,12×50%=
6,12×75%=9,所以第25百分位数是(8.0+8.3)÷2=8.15,第50百分
位数是(8.5+8.5)÷2=8.5,第75百分位数是(9.0+9.1)÷2=9.05.
(2)因为第25百分位数是8.15,所以质量较小的前25%的产品有
3个,它们的质量分别为7.8,7.9,8.0.
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g,第50百分位
数为8.5 g,第75百分位数是9.05,所以质量小于或等于8.15 g的
珍珠为次品,质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格
品,质量大于8.5 g且小于或等于9.05 g的珍珠为优等品,质量大
于9.05 g的珍珠为特优品.(共22张PPT)
第4章 数据分析
4.1 平均数、中位数、众数
第1课时 平均数与加权平均数
平均数
1.(2025广东惠州惠城期末)一组数据:3,7,4,5,1的平均数是
( )
A.4 B.3 C.5 D.6
A
解析 这组数据的平均数为(3+7+4+5+1)÷5=4.故选A.
2.(2025湖南长沙二模)为响应“冰雪同梦,亚洲同心”的亚冬
会精神,某校组建青年冰球队,旨在通过冰雪运动增强学生的
自信心和团队协作能力.以下是该队12名队员的年龄(单位:
岁)分布:14,15,16,14,15,17,15,14,16,15,14,15,则这支冰球队队
员的平均年龄是__________岁.
15
解析 根据题意,得 =(14+15+16+14+15+17+15+14+16+15+
14+15)÷12=15,即这12名队员的平均年龄为15岁.故答案为15.
3.【学科特色·教材变式】某年A,B两座城市每个季节的平均
气温(单位:℃)如表.
城市 春 夏 秋 冬
A -4 19 9 -10
B 16 30 24 11
(1)分别计算A,B两座城市的年平均气温(结果取整数).
(2)哪座城市四个季节的平均气温较为接近
解析 (1)A城市的年平均气温为 ×(-4+19+9-10)≈4(℃),B城
市的年平均气温为 ×(16+30+24+11)≈20(℃).
(2)因为B城市四个季节的平均气温都分布在20 ℃左右,而A城
市四个季节的平均气温起伏较大,所以B城市四个季节的平均
气温较为接近.
权数与加权平均数
4.在计算四个数的加权平均数时,下列各组数可以作为权数的
是 ( )
A.-0.2,0.1,0.4,0.7 B. ,0, ,
C.0.2,0.7,0.1,0.2 D. , , ,
D
解析 权数不能为负数,所以A选项错误;第二个数的权是0,则
这个数没有出现,只有3个数,所以B选项错误;因为0.2+0.7+0.1
+0.2>1,所以C选项错误.故选D.
5.(2025湖南衡阳祁东期中)某校举行了以“珍爱生命,预防溺
水”为主题的演讲比赛,旨在提高学生的安全意识.演讲者的
最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分
分别占40%,40%,20%折算.已知李明同学的三项原始得分分
别是90分,95分,90分,那么李明同学最终比赛成绩为______分.
92
解析 李明的最终比赛成绩为90×40%+95×40%+90×20%
=92(分).故答案为92.
6.【学科特色·教材变式】学校食堂午餐供应8元/盒,10元/盒,
12元/盒三种价格的盒饭,如图所示的是食堂某月销售三种午
餐盒饭情况的统计图,求该月食堂销售午餐盒饭的平均价格是
每盒多少元.
解析 由题中统计图可计算出该月食堂销售午餐盒饭的平均
价格是10×60%+12×25%+8×15%=10.2(元/盒).
答:该月食堂销售午餐盒饭的平均价格为每盒10.2元.
7.(2025浙江绍兴嵊州期末,★★☆)若数据m,3,5,n的平均数为
4,则数据m,n的平均数是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
B
解析 根据题意,得(m+3+5+n)÷4=4,则m+n=8,所以数据m,n的
平均数是8÷2=4.故选B.
8.(★★☆)已知一组数据3,2,3,x的平均数为3,则数据3的权数
是 ( )
A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.4
C
解析 因为数据3,2,3,x的平均数为3,所以(3+2+3+x)÷4=3,解
得x=4,所以数据3的权数是2÷4=0.5.故选C.
9.(2025湖南长沙长郡教育集团期末,★★☆)长沙市拟实施
“人才引进”招聘考试,招聘考试分为笔试和面试,其中笔试
和面试成绩按6∶4计入总成绩.如果小维的笔试成绩为90分,
面试成绩为85分,那么他的总成绩为__________分.
88
解析 总成绩为90× +85× =88(分).故答案为88.
10.(★★☆)某超市储存了20袋大米,每袋标准质量为50千克.
由于大米在装袋时有误差,运输时有亏损,所以入库时需要知
道误差的数值.经过精确称量后每袋的质量(单位:千克)登记
如下:49.9,49.8,50.1,49.8,49.6,50.0,49.8,49.5,49.8,50.2,49.8,49.9,
50.1,49.8,49.5,50.0,49.8,49.7,49.6,49.7.请你完成如下统计
(高于标准的记“+”,低于标准的记“-”).
误差 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2
袋数 2 2 2 7
误差 -0.1 0 0.1 0.2
袋数 1
求出这20袋大米的平均质量.
解析 填表如下:
误差 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2
袋数 2 2 2 7
误差 -0.1 0 0.1 0.2
袋数 2 2 2 1
所以 =(-0.5×2-0.4×2-0.3×2-0.2×7-0.1×2+0×2+0.1×2+0.2×1)÷20+50=-0.18+50=49.82(千克).
答:这20袋大米的平均质量为49.82千克.
11.【新考向·地域文化】(2025福建泉州德化期末,★★☆)德
化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界.为继承和推广
陶艺文化,七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动.活动期
间,甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件,结束后从“造型
设计”“工艺技巧”和“文化内涵”三个部分进行评分,权
重比例为3∶x∶2(满分10分),并绘制了甲、乙两名学生的作
品得分情况统计表:
造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分
甲 8 8.4 9.3 8.5
乙 m 7.8 6.6 8
根据所给信息,回答下列问题.
(1)求x的值.
(2)若仅从“造型设计”方面进行评价,哪位学生的作品较为
突出 请说明理由.
解析 (1)根据题意,得8× +8.4× +9.3× =
8.5,整理得24+8.4x+18.6=42.5+8.5x,即0.1x=0.1,解得x=1.经检
验,x=1是原方程的解,且符合题意.
(2) m+7.8× +6.6× =8,解得m=9,因为9>8,所以若仅从“造型
设计”方面进行评价,乙学生的作品较为突出.
12.【新课标·数据观念】(2025浙江宁波鄞州期中)某校为了
提升初中学生学习数学的兴趣,培养学生的创新精神,举办
“玩转数学”比赛,评选出冠军组.现有甲、乙、丙三个小组
进入决赛,评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行
量化考核,各项得分如表:
小组 研究报告/分 小组展示/分 答辩/分
甲 83 79 90
乙 82 88 79
丙 88 83 75
(1)根据三项得分的平均分,从高到低确定三名选手的排名顺序.
(2)该校规定:研究报告、小组展示、答辩三个方面的得分分
别不得低于80分,80分,70分,并按50%,40%,10%的占比计入总
分.根据规定,请你通过计算说明哪一组获得冠军.
解析 (1)根据题意,得 =(83+79+90)÷3=84(分); =(82+88+
79)÷3=83(分); =(88+83+75)÷3=82(分).所以根据平均分,从
高到低排列是甲、乙、丙.
(2)由于甲小组的小组展示得分低于80分,所以甲小组不能获
得冠军,乙小组的最后得分为82×50%+88×40%+79×10%=
84.1(分),丙小组的最后得分为88×50%+83×40%+75×10%=
84.7(分),因为84.1<84.7,所以最后得到冠军的是丙小组.(共15张PPT)
第4章 数据分析
4.3 数据分类
组内离差平方和
1.已知一组数据10,8,9,8,11.刘丽将这些数分成了两组:第一组
为8,8;第二组为9,10,11,则此分组情况下的组内离差平方和是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 此分组情况下第一组的平均数为8,第二组的平均数为
10,组内离差平方和为 =(8-8)2+(8-8)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-
10)2=2.故选B.
2.甲、乙、丙三人分别将同一组数据分成两组并计算出其组
内离差平方和为 =5, =1.25, =7.5,则______同学的分法
能使两个组内数据的离散程度最小.
乙
解析 因为 =5, =1.25, =7.5,所以 < < ,所以乙同学
的分法能使两个组内离散程度最小.故答案为乙.
3.下面是某校八年级10名学生平均每周锻炼时长(单位:小时):
9,6,9,7,10,8,6,9,7,9.小明、小红分别将这些时长数据分成两
组,情况如下:
小明 第1组 6,6,7,7
第2组 8,9,9,9,9,10
小红 第1组 6,6,7,7,8
第2组 9,9,9,9,10
若要使组内数据的离散程度更小,谁的分组方式更好 请说明
理由.
解析 小明的分组方式更好.理由如下:小明:第1组数据的平
均数 = ×(6×2+7×2)=6.5,第2组数据的平均数 = ×(8+9×4+10)=9,所以此分组情况的组内离差平方和为2×(6-6.5)2+2×
(7-6.5)2+(8-9)2+4×(9-9)2+(10-9)2=3.
小红:第1组数据的平均数 = ×(6×2+7×2+8)=6.8,第2组数据
的平均数 = ×(9×4+10)=9.2,所以此分组情况的组内离差平
方和为2×(6-6.8)2+2×(7-6.8)2+(8-6.8)2+4×(9-9.2)2+(10-9.2)2=
3.6.因为3.6>3,所以要使组内数据的离散程度更小,小明的分组
方式更好.
组间离差平方和
4.下表是某超市上半年的月营业额(单位:万元).
月营业额 20 40 10
月数 3 2 1
将上半年的月营业额分成两组:第一组为10,20,20;第二组为20,
40,40.则上述分组情况下的组间离差平方和是_________.
解析 因为第一组数据的平均数 = ×(10+20+20)= (万元),第二组数据的平均数 = ×(20+40×2)= (万元),这一组6个
数据的平均数 = ×(20×3+10+40×2)=25(万元),所以该分
组情况下的组间离差平方和 =3× +3× =
.故答案为 .
5.(★★☆)甲、乙、丙、丁四人分别将某名运动员10次跳远
成绩的数据分成了两组,下表记录了他们计算出的组内离差
平方和(结果保留两位小数):
甲 乙 丙 丁
组内离差
平方和 0.16 0.13 0.07 0.11
则在这四人中,提供的分组方法使两组数据之间差异程度最
小的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
A
解析 设该名运动员10次跳远成绩这一组数据的离差平方和
是S2,则甲分组后的组间离差平方和为 =S2-0.16,乙分组后的
组间离差平方和为 =S2-0.13,丙分组后的组间离差平方和为
=S2-0.07,丁分组后的组间离差平方和为 =S2-0.11,所以
< < < ,所以在这四人中,提供的分组方法使两组数据之
间差异程度最小的是甲.故选A.
6.(★★☆)将一组数据分成了两组,第一组有5个数据,第二组
有3个数据,其组内离差平方和为 =(x1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+(x4-
3)2+(x5-3)2+(x6-4)2+(x7-4)2+(x8-4)2,则这8个数据的平均数是____.
解析 根据组内离差平方和的计算公式,得第一组5个数据的
平均数是3,第二组3个数据的平均数是4,所以这8个数据的平
均数是 ×(5×3+3×4)= .故答案为 .
7.(★★☆)为考察某品种小麦的长势,测量了8株麦苗的高(单
位:cm),数据如下:21,26,22,24,25,24,25,21.按照“组内离差平
方和达到最小”的方法,把这8个数据分成两组.
解析 将8个数据由小到大排列为21,21,22,24,24,25,25,26,不
同分组情况的组内离差平方和如下表:
第1组数据 第2组数据 组内离差平方和
第1种 21 21,22,24,24,25, 25,26
第2种 21,21 22,24,24,25, 25,26
第3种 21,21,22 24,24,25,25,26
第4种 21,21,22,24 24,25,25,26 8
第5种 21,21,22,24,24 25,25,26
第6种 21,21,22,24,24,25 25,26
第7种 21,21,22,24, 24,25,25 26
比较可知,第3种分组情况的组内离差平方和最小,故把8株麦
苗的高度分成的两组是{21,21,22}和{24,24,25,25,26}.(共12张PPT)
第4章 数据分析
4.5 数据的频数分布
4.5.1 频数与频率
频数
1.(2025湖南株洲攸县期末)在3,1,5,1,3,4中,数字“3”出现的
频数是 ( )
A.0.2 B.1 C.2 D.3
C
解析 根据频数的定义,得数字“3”出现的频数是2.故选C.
2.(2025浙江台州玉环期末)将某班40名学生的跳绳次数分成5
组,第1至4组的频数分别为5,10,6,9,则第5组的频数是_______.
10
解析 第5组的频数是40-5-10-6-9=10.故答案为10.
频率
3.(2025江苏徐州月考)调查某班30名同学的跳高成绩时,在收
集到的数据中,不足1.50米的数出现的频率是0.82,则达到或超
过1.50米的数出现的频率是 ( )
A.0.82 B.0.18 C.30 D.1
B
解析 在收集到的数据中,不足1.50米的数出现的频率是0.82,
则达到或超过1.50米的数出现的频率是1-0.82=0.18.故选B.
4.【跨地理·寒潮】(2025湖南长沙长郡双语实验学校期末)
“一九二九不出手,三九四九冰上走”.据气象预报,新一轮寒
潮即将到来,未来10天中“最低温度为零下2 ℃”将出现5天,
那么这10天中出现“最低温度为零下2 ℃”的频率是______.
0.5
解析 这10天中出现“最低温度为零下2 ℃”的频率是 =
0.5.故答案为0.5.
5.(2025湖南常德期末)王老师对本班40名学生的血型做了统
计,列出如下统计表,则本班A型血的有__________人.
16
组别 A型 B型 AB型 O型
频率 0.4 0.35 0.1 0.15
解析 本班A型血的人数是40×0.4=16.故答案为16.
6.(2025湖南张家界桑植期末,★★☆)某校八年级(6)班50名学
生的健康状况被分成5组,第1组的频数是8,第2,3组的频率之
和为0.4,第4组的频率是0.2,则第5组的频数是 ( )
A.6 B.12
C.10 D.22
B
解析 因为第2,3组的频数之和为50×0.4=20,第4组的频数为
50×0.2=10,所以第5组的频数为50-8-20-10=12.故选B.
7.(★★☆)一个样本中有50个数据,分成三组.若第一、二组数
据频率之和为a,第二、三组数据频率之和为b,则第二组的频
率为_____________.
a+b-1
解析 根据题意,得第二组的频率为a+b-1.故答案为a+b-1.
8.(★★☆)为了解手工社团在学生中受欢迎的程度,随机抽取
部分学生就“你是否喜欢手工社团”进行问卷调查,并将调
查结果统计后制成如下不完整的统计表,则m-n=___________.
0.5
不喜欢 一般 喜欢 非常喜欢
频数 10 5 30
频率 0.2 n m
解析 因为样本容量为10÷0.2=50,所以m= =0.6,n=(50-10-5-
30)÷50=0.1,所以m-n=0.6-0.1=0.5.故答案为0.5.
9.【学科特色·教材变式】(2025湖南常德澧县期末,★★☆)下
表是某中学八年级(3)班的40名学生的出生月份的调查记录:
2 5 4 12 5 10 6 9 8 11
12 7 1 10 8 4 6 2 10 5
9 6 7 7 11 5 10 9 3 9
6 5 12 11 3 7 6 12 9 5
(1)请你重新设计一张统计表,使全班同学在每个月的出生人
数情况一目了然.
(2)求出12月份出生的学生的频数和频率.
(3)同学们刚刚在4月份给你过完生日,如果你准备为下个月过
生日的每一位同学送一份小礼物,那你应该准备多少份礼物
解析 (1)按生日的月份重新分组可得统计表:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
人数 1 2 2 2 6 5 4 2 5 4 3 4
(2)根据题意可知,12月份出生的学生的频数是4,所以频率为
=0.1.
(3)5月份有6位同学过生日,因此应准备6份礼物.(共25张PPT)
第4章 数据分析
4.6 总体的平均数与方差的估计
用样本平均数估计总体平均数
1.(2025湖南岳阳湘阴部分学校月考)小颖随机抽查她家6月份
某5天的日用电量(单位:度),结果如下:9,11,7,10,8.根据这些数
据,估计她家6月份的用电量为 ( )
A.180度 B.210度
C.240度 D.270度
D
解析 因为这5天的日用电量的平均数为 ×(9+11+7+10+8)=
9(度),所以估计她家6月份用电量为9×30=270(度).故选D.
2.(2025湖南湘潭期末)从某地的某一个月中随机抽取5天,记
录这5天中午12时的气温(单位:℃),结果如下:22,32,25,13,18.
可估计该地这一个月中午12时的平均气温为____________.
22 ℃
解析 因为 ×(22+32+25+13+18)=22(℃),所以估计该地这一
个月中午12时的平均气温为22 ℃.故答案为22 ℃.
3.【学科特色·教材变式】在某校进行的“慈善捐赠”活动
中,为了解某年级学生的捐款情况,随机抽样调查了该年级部
分学生的捐款数(单位:元),并绘制成下面的统计图.估计该年
级学生捐款的平均数.
解析 根据题意,得 = ×(5×6+10×11+15×8+20×5)
=12(元),所以估计该年级学生捐款的平均数为12元.
用样本方差估计总体方差
4.(2025云南昆明盘龙三模)云南是我国普洱茶的核心产区,勐
海和临沧的茶园因独特气候存在显著差异,生产的茶叶也深
受喝茶人喜爱.某茶叶质量检测鉴定中心在两地各选择了一
家茶园,统计了近五年普洱茶的年产量(单位:吨),数据如下:
勐海茶园 102 98 100 101 99
临沧茶园 110 90 105 95 100
根据上述数据,茶叶的产量更稳定是 ( )
A.勐海茶园 B.临沧茶园
C.两者稳定性相同 D.无法判断
A
解析 根据题意,估计勐海茶园年产量的平均数为 = ×
(102+98+100+101+99)=100,方差为 = ×[(102-100)2+(98-
100)2+(100-100)2+(101-100)2+(99-100)2]=2.估计临沧茶园年产量的平均数为 = ×(110+90+105+95+100)=100,方差为 =
×[(110-100)2+(90-100)2+(105-100)2+(95-100)2+(100-100)2]=50.
因为 = , < ,所以茶叶的产量更稳定是勐海茶园.故
选A.
5.【学科特色·教材变式】为了选拔一名同学参加全市中学生
射击比赛,某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试,老
师从两人近一周的所有射击成绩中随机抽取10次,成绩(单位:
环)统计如下:
甲:3 4 6 8 8 6 7 9 10 9.
乙:6 9 8 5 7 8 7 6 7 7.
(1)分别求甲、乙两人射击成绩平均数的估计值.
(2)分别求甲、乙两人射击成绩方差的估计值.
(3)比较甲、乙两人射击成绩及发挥的稳定性,你认为学校派
谁参加比赛更合适 并说明理由.
解析 (1)因为 = ×(3+4+6+8+8+6+7+9+10+9)=7(环),所以
甲射击成绩平均数的估计值是7环;因为 = ×(6+9+8+5+7+
8+7+6+7+7)=7,所以乙射击成绩平均数的估计值是7环.
(2)因为 = ×[(3-7)2+(4-7)2+2×(6-7)2+(7-7)2+2×(8-7)2+2×
(9-7)2+(10-7)2]=4.6,所以甲射击成绩方差的估计值是4.6;
因为 = ×[(5-7)2+2×(6-7)2+4×(7-7)2+2×(8-7)2+(9-7)2]=1.2,
所以乙射击成绩方差的估计值是1.2.
(3)推荐乙参加比赛更合适,理由:因为 = , < ,所以乙比
甲更稳定,所以应派乙同学参加比赛.
6.(★★☆)李大伯有一片果林,共80棵果树,某日,李大伯开始
采摘今年第一批成熟的果子,他随机选取2棵果树,从树上摘得
的果子质量(单位:kg)分别为0.28,0.26,0.24,0.23,0.25,0.24,0.26,
0.26,0.25,0.23,以此计算,李大伯收获的这批果子的单个质量
和总质量分别约为 ( )
A.0.25 kg,200 kg B.2.5 kg,100 kg
C.0.25 kg,100 kg D.2.5 kg,200 kg
C
解析 因为(0.28+0.26+0.24+0.23+0.25+0.24+0.26+0.26+0.25
+0.23)÷10=0.25(kg),所以这批果子的单个质量约为0.25 kg.因
为(0.28+0.26+0.24+0.23+0.25+0.24+0.26+0.26+0.25+0.23)÷2×
80=100(kg),所以这批果子的总质量约为100 kg.故选C.
7.(★★☆)某中学八年级(1)班环保小组的同学,随机调查了本
班10名学生自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量(单位:个),
数据如下:10,10,9,11,10,7,10,14,7,12.若一个塑料袋平铺后面
积约为0.25 m2,利用上述数据,如果将全班40名同学的家庭在
一周内共丢弃的塑料袋全部铺开,面积约为______________.
100 m2
解析 根据题意得,本班10名学生自己家中一周内丢弃的塑
料袋数量的平均数为 ×(10+10+9+11+10+7+10+14+7+12)=
10个,则每名同学的家庭在一周内丢弃的塑料袋平铺后面积约
为10×0.25=2.5(m2),所以全班40名同学的家庭在一周内共丢弃的塑料袋全部铺开,面积约为40×2.5=100(m2).故答案为100 m2.
8.(★★☆)张先生几年前承包了甲、乙两块樱桃园,各栽种200
棵樱桃树,成活率为99%,现已挂果.为分析收成情况,他分别
从两块樱桃园随机抽取5棵树作为样本,并采摘完样本树上的
樱桃,每棵树的产量如图所示.
(1)分别计算甲、乙两块樱桃园样本数据的中位数与平均数.
(2)请根据样本中的平均数分别估算甲、乙两块樱桃园樱桃
的产量.
(3)根据样本,通过计算估计哪块樱桃园的樱桃产量比较稳定.
解析 (1)根据折线统计图,甲的数据从小到大排列为40,40,45,
46,54,乙的数据从小到大排列为38,42,43,48,49,所以甲样本
的中位数为45 kg,平均数为 ×(40+45+54+46+40)=45(kg),乙
样本的中位数为43 kg,平均数为 ×(43+38+49+42+48)=44(kg).
(2)甲樱桃园樱桃的产量约为200×99%×45=8 910(kg),乙樱桃
园樱桃的产量约为200×99%×44=8 712(kg).
(3)甲样本的方差为 ×[(40-45)2+(45-45)2+(54-45)2+(46-45)2+(40
-45)2]=26.4,乙样本的方差为 ×[(43-44)2+(38-44)2+(49-44)2+
(42-44)2+(48-44)2]=16.4,因为16.4<26.4,所以估计乙樱桃园的
樱桃产量比较稳定.
9.【新课标·数据观念】(2025山西临汾永和三模)随着人工智
能与物联网等技术的快速发展,机器人的应用场景不断拓展,
某快递企业为提高工作效率,使用了A,B两种型号的智能机器
人分拣快递.该公司员工小李从某省的一个快递分拣站随机
抽取A,B两种型号的智能机器人各10台,统计它们每天分拣的
快递数量.
【数据收集与整理】
A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位:万件)条形
统计图如图所示:
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位:万件)如表
所示:
分拣快递数量/万件 16 17 20 22 23
机器人台数/台 a a 4 3 a
【数据分析与运用】
两组样本数据的中位数、众数、平均数整理如表:
型号 中位数 众数 平均数
A b 14和16 15
B 20 c d
请你根据以上数据,解答下列问题:
(1)①请补全条形统计图;
②填空:表中a=_______,b=_______,c=_______.
(2)请求出表中d的值.
(3)若该省投放市场的A型号智能机器人有80台,B型号智能机
器人有60台,请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的
快递数量.
解析 (1)①每天可分拣的快递数量为“15万件”的有10-1-3
-3-1=2(台)智能机器人,补全条形统计图如图所示:
②根据题意,得3a+4+3=10,解得a=1,A型号的智能机器人每天
可分拣的快递数量的中位数b=(15+15)÷2=15,B型号的智能机
器人每天可分拣的快递数量的众数c=20.故答案为1;15;20.
(2)表中d的值为 ×(16+17+20×4+22×3+23)=20.2.
(3)80×15+60×20.2=2 412(万件),所以估计该省每天用这两种
智能机器人分拣的快递数量为2 412万件.(共24张PPT)
第4章 数据分析
4.7 统计的简单应用
用样本的频率推断总体的频率
1.(2025湖南娄底冷水江期末)某林场去年种植了10 000棵树
苗,年底抽查了其中的1 000棵,死亡率是2%.你估计一下,林场
去年种植的这批树苗的成活率是 ( )
A.80% B.2% C.98% D.96%
C
解析 估计林场去年种植的这批树苗的成活率是1-2%=98%.
故选C.
2.(2025湖南张家界桑植一模)质检部门从4 000件电子元件中
随机抽取100件进行检测,其中有2件是次品,据此这批电子元
件中次品数量大约为 ( )
A.2件 B.8件 C.20件 D.80件
D
解析 根据题意,得4 000× =80(件).故选D.
3.【新课标·中华优秀传统文化】(2025河南安阳一模)2025年
是乙巳蛇年,在十二地支中,“巳”对应蛇,其古文“巳”是蛇
的形象表达(如图).在对某地区初中学生进行的一次关于传统
文化知识的调查中,随机抽查了200名学生,其中知道上述传统
文化知识的学生有50名,若该地区共有初中学生8 000名,据此
样本估计,该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有
_____________名.
2 000
解析 该地区知道该传统文化知识的初中学生大约有8 000×
=2 000(名).故答案为2 000.
4.【学科特色·多解法】【学科特色·教材变式】某学校开展
了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动,为了解
学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园
内随机抽取了50名学生进行问卷调查,将他们的得分按优
秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,整理后得到如
下统计表.
等级 优秀 良好 合格 待合格
频数 24 7 4
试估计参与问卷调查的学生等级在良好及以上的频率.
解析 【解法一】等级为良好的频数为50-24-7-4=15,所以估
计参与问卷调查的学生等级在良好及以上的频率为 =
0.78.
【解法二】根据题意,估计参与问卷调查的学生等级在良好
及以上的频率为1- =0.78.
由样本的发展趋势推断总体的发展趋势
5.某快递企业准备从甲公司购进一批机器人用于货物搬运工
作,为了解机器人的工作效率,采购员从甲公司所生产的机器
人中随机抽取了一台,将该机器人的搬运时间x(单位:h)和搬
运货物的质量y(单位:kg)记录如表:
搬运时间x/h 1 2 3 4 …
搬运货物的质量y/kg 100 140 180 220 …
试估计当搬运时间为7 h时,机器人搬运货物的质量为_____kg.
340
解析 根据题意,该机器人搬运时间每增加1 h,搬运货物的质
量增加40 kg,所以y与x的关系可表示为y=100+40(x-1),所以可
估计当搬运时间为7 h时,机器人搬运货物的质量为100+40×(7
-1)=340(kg).故答案为340.
6.(2025江苏连云港东海期中,★★☆)育种实验室在相同的条
件下对某品种小麦发芽情况进行测试,得到如下数据:
抽查小麦粒数 100 500 1 000 2 000 3 000 4 000
发芽粒数 96 489 967 1 940 2 908 a
a的值最有可能是 ( )
A.3 600 B.3 720 C.3 880 D.3 970
C
解析 因为96÷100=0.960,489÷500=0.978,967÷1 000=0.967,
1 940÷2 000=0.970,2 908÷3 000≈0.969,所以可估计该品种小
麦发芽情况的频率为0.97,所以a的值最有可能是4 000×0.97=
3 880.故选C.
7.(2025青海西宁期末改编,★★☆)如图所示的是根据某市2025年八个节气日的日出、日落时刻绘制的散点图,下列说法
正确的是 ( )
C
A.冬至的白昼时长最长
B.从立春到夏至,白昼时长持续减少
C.从夏至到冬至,日出时间逐渐推后
D.从立春到夏至,日落时间逐渐提前
解析 A.白昼时长=日落时间-日出时间,冬至时,观察散点图
可知其日出晚、日落早,日落时间与日出时间的差值(白昼时
长)是较短的,选项A说法错误;B.从立春到夏至,日出时间逐渐
提前(散点图中日出时间点下移),日落时间逐渐推后(散点图
中日落时间点上移),那么白昼时长会持续增加,并非减少,选
项B说法错误;C.从夏至到冬至,日出时间会逐渐变晚(时间点
上移),也就是日出时间逐渐推后,选项C说法正确;D.从立春到
夏至,日落时间逐渐变晚(时间点上移),选项D说法错误.故选C.
8.(2025北京平谷一模,★★☆)下表是随机抽取的某年级50名
同龄男生身高(单位:cm)的数据:
身高 146 151 153 154 156 157 158 159
人数 1 2 2 2 3 4 8 4
身高 160 161 162 163 164 165 167 170
人数 4 2 4 3 3 3 4 1
根据以上数据估计该年级200名同龄男生身高在160(含160)cm
以上的人数为__________.
96
解析 根据统计表,50名同龄男生身高在160(含160)cm以上
的人数为4+2+4+3+3+3+4+1=24,则200名同龄男生身高在160
(含160)cm以上的人数约为200× =96.故答案为96.
9.【学科特色·教材变式】(★★☆)下面是某市一所小学近几
年的学生人数统计表:
年份 2020 2021 2022 2023 2024
人数 495 820 1 500 2 000 2 450
(1)以年份为横坐标,人数为纵坐标,建立如图所示的平面直角
坐标系,并根据上表数据在该坐标系中画出对应的点.
(2)试用直线表示该小学近几年学生人数的发展趋势,并预测2
026年该小学的学生人数.
解析 (1)如图所示:
(2)如图,该直线能较好地描述该小学近几年学生人数的发展
趋势.由图可知,人数与年份之间的关系趋势可以近似为一次
函数关系,不妨设人数y与年份x之间的函数表达式为y=kx+b(k
≠0),因为点(2 022,1 500),(2 023,2 000)在该函数图象上,所以
解得 所以人数y与年份x之间
数量关系的近似表达式为y=500x-1 009 500,所以当x=2 026时,
y=500×2 026-1 009 500=3 500,即预测该校2026年该小学的学
生人数将达到3 500人.
10.【新课标·数据观念】(2025湖北武汉江汉模拟)某校七年
级和八年级的学生人数都是200人,学校想了解这两个年级的
学生的阅读情况,分别从每个年级随机抽取了40名学生进行
调查,收集了这80名学生一周阅读时长(单位:h)的数据,并对数
据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图(不完
整)如下,两个年级的数据都分成6组:0≤x<2,2≤x<4,4≤x<6,6
≤x<8,8≤x<10,10≤x<12.
b.八年级学生一周阅读时长在6≤x<8这一组的数据是6,6,6,6,
6.5,6.5,7,7,7,7,7.5,7.5.
c.七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表:
平均数 中位数 众数
七年级 6.225 7 7
八年级 6.375 m 8
根据以上信息,回答下列问题:
(1)图1中p%=_______%.
(2)①补全八年级学生一周阅读时长统计图(图2);
②表中m的值为_______.
(3)估计两个年级共400名学生中,一周阅读时长不低于8小时
的人数.
解析 (1)因为p%=1-(5%+22.5%+27.5%+30%+5%)=10%,所
以p=10.故答案为10.
(2)①4≤x<6的人数为40-(3+5+12+10+2)=8,补全统计图如下:
②根据题意,这组数据的第20,21个数据分别为6,6.5,所以这组
数据的中位数m=(6+6.5)÷2=6.25.故答案为6.25.
(3)200×(30%+5%)+200× =130(人).
答:估计两个年级共400名学生中,一周阅读时长不低于8小时
的人数为130.(共23张PPT)
第4章 数据分析
4.5 数据的频数分布
4.5.2 频数直方图
频数分布表
1.(2025广西南宁二中初中部期末)某鞋店对40名顾客所购鞋
号统计如表,则该店应多购进的鞋号为 ( )
B
鞋号 35 36 37 38 39
频数 2 8 19 9 2
A.36 B.37 C.38 D.39
解析 在40名顾客所购鞋号中,37的鞋号出现的次数最多,即
众数为37,所以该店应多购进的鞋号为37.故选B.
2.(2025湖南株洲天元期末)对某班40位同学的一次考试成绩
进行统计,若频数分布表中80.5~90.5分这一组的频率是0.2,则
成绩在该分数段的人数是_________.
8
解析 因为40×0.2=8,所以这个分数段的人数是8.故答案为8.
3.【学科特色·教材变式】为调查K,T,B,L,H这5种不同品牌饮
料的市场销售情况,小芸同学在某天对一家超市50名顾客购
买饮料的品牌进行了记录,得到如下数据.
T L T K B K H K L K
K T K B L T T B K T
T K K T L T B L B B
H L B K B H K H K H
L K T B L H K B L T
(1)请根据上述记录结果完成下表:
品牌 K T B L H
频数
频率
(2)根据(1)中的表格,说一说哪种品牌的饮料最畅销
解析 (1)补全的表格如下:
品牌 K T B L H
频数 14 11 10 9 6
频率 0.28 0.22 0.2 0.18 0.12
(2)由(1)可知,K品牌饮料最畅销.
频数直方图
4.(2025湖南郴州汝城期末)已知一组数据的最大值为46,最小
值为27,在绘制频数分布直方图时,取组距为3,则这组数据应
分成 ( )
A.5组 B.6组 C.7组 D.8组
C
解析 因为数据的最大值为46,最小值为27,所以这组数据的
差是46-27=19,因为组距为3,所以19÷3=6 ,所以应分成7组.故
选C.
5.(2025湖南张家界桑植期末)某班学生参加学校组织的“垃
圾分类”知识竞赛,将学生的成绩制成如图所示的频数直方
图(每组数据包括左端值不包括右端值),其中成绩为“优良”
(80分及80分以上)的学生有__________人.
26
解析 根据题图可知,成绩为“优良”(80分及80分以上)的学
生有14+12=26(人).故答案为26.
6.【学科特色·教材变式】某校举行了“绿色家园”演讲比
赛,赛后整理参赛同学的成绩,制作成如图所示的频数直方图
(每组中含最大值,不含最小值).
(1)全校共有多少人参加比赛
(2)组距是多少 组数是多少
(3)哪个分数段范围内的人数最多 约占参加比赛总人数的百
分之几
解析 (1)5+10+6+3=24(人),所以全校共有24人参加比赛.
(2)组距是5,组数是4.
(3)10÷24×100%≈41.7%,所以85~90分范围内的人数最多,约
占参加比赛总人数的41.7%.
7.(★★☆)嘉嘉统计了他今年5月份打电话的次数及通话时
间,并列出了频数分布表:
通话时间x/min 频数(通话次数)
051015则通话时间不超过15 min的通话次数占5月份总通话次数的
百分比为 ( )
A.10% B.40% C.50% D.90%
D
解析 通话时间不超过15 min的通话次数占5月份总通话次
数的百分比为 ×100%=90%.故选D.
8.(2025湖南娄底期末,★★☆)如图所示的是一组数据的频数
直方图,一至四组各小长方形的高之比为2∶4∶3∶1,若第一
组的频数是40,则第二组的频数比第四组的频数多________.
60
解析 因为一至四组各小长方形的高之比为2∶4∶3∶1,所
以可设这四组的频数分别为2x,4x,3x,x,因为第一组的频数为40,所以2x=40,解得x=20,所以第二组频数比第四组频数多4x-x=
3x=60.故答案为60.
9.(2025湖南衡阳衡山期末,★★☆)某校八年级在实施数学作
业分层布置方案前,对学生某次考试的数学成绩进行了随机
抽样调查,并将获得的60名学生的数学成绩x(单位:分)绘制成
如图所示不完整的频数直方图,数据分为5组,A:50≤x<60,
B:60≤x<70,C:70≤x<80,D:80≤x<90,E:90≤x≤100.
(1)请补全频数直方图.
(2)本次考试的数学成绩在哪一组的学生最多 求出该组学生
人数占总人数的百分比.
(3)为给学生分层布置作业,需要确定一个分层标准,将本次考
试的数学成绩在m知抽样结果中,D组的11名学生的成绩依次为80,80,82,82,83,83,
85,86,87,88,89.若要将占总人数15%的学生认定为优秀学
生,请写出一个合理的m的值,并说明理由.
解析 (1)C组的学生人数为60-13-21-11-7=8,补全后的频数直
方图如图所示:
(2)由频数直方图可以看出,B组的学生最多,B组学生人数占总
人数的百分比=B组学生人数÷总人数×100%= ×100%=35%.
(3)m=87.理由如下:因为认定为优秀学生的人数=总人数×15%
=60×15%=9,E组的学生人数为7,所以D组的优秀学生人数为9
-7=2,又因为D组的11名学生的成绩由高到低依次为89,88,87,
86,85,83,83,82,82,80,80,所以m=87.
10.【新课标·数据观念】(2025江苏南通海安期末)为了解某
校七年级学生的气象知识竞赛成绩(百分制,单位:分),随机抽
取了若干名学生的成绩,该校甲、乙两个数学课外活动小组
对数据进行了整理、描述,部分信息如下:
Ⅰ.甲小组将数据分为4组,频数分布表如下:
分组 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
频数 9 10 m 15
Ⅱ.乙小组将数据分为5组,频数直方图与扇形统计图如下:
(1)补全乙小组绘制的七年级学生成绩频数直方图,并直接写
出m,n的值:m=_______,n=_______.
(2)根据甲小组的频数分布表,绘制扇形统计图(不用作图),求
竞赛成绩60≤x<70对应的扇形圆心角的度数.
(3)如果学校准备根据样本的数据分布情况,对七年级竞赛成
绩前20%的学生进行表彰,那么哪个数学课外活动小组对数
据的整理、描述更合理 为什么
解析 (1)抽取的总人数为6÷10%=60,则④组的人数为60×
40%=24,n=60-(8+6+10+24)=12,m=60-(9+10+15)=26.补全频数
直方图如下:
故答案为26;12.
(2)竞赛成绩60≤x<70对应的扇形圆心角的度数为
360°× =54°.
(3)乙数学课外活动小组对数据的整理、描述更合理,因为60×
20%=12(人),由分组知,乙小组的分组中,位于⑤组的恰好为12
人,所以乙数学课外活动小组对数据的整理、描述更合理.(共20张PPT)
第4章 数据分析
4.4 四分位数与箱线图
第2课时 箱线图
第一四分位数和第三四分位数的用处
1.如果一组数据的第一四分位数为20,第三四分位数为30,那
么下列说法正确的是 ( )
A.中位数是25
B.众数是25
C.平均值在20到30之间
D.以上说法都不对
C
解析 A.中位数不确定,故A错误;B.众数不确定,故B错误;C.
平均值在20到30之间,故C正确.故选C.
2.【学科特色·教材变式】某新能源汽车公司对其销售的A,B
两款汽车向消费者进行满意度调查,从购买这两款汽车的消
费者中各随机抽取10名进行评分(满分100分)调查,评分结果
如下:
数据Ⅰ(A型车):67,81,73,80,81,77,86,85,90,90.
数据Ⅱ(B型车):61,76,81,67,72,87,86,95,93,90.
这两组满意度评分,哪组比较分散
解析 将数据Ⅰ从小到大排列:67,73,77,80,81,81,85,86,90,90.
因为10×25%=2.5,所以第3个数77是第一四分位数,因为10×
75%=7.5,所以第8个数86是第三四分位数,所以第三四分位数
减去第一四分位数的差是86-77=9.将数据Ⅱ从小到大排列:61,
67,72,76,81,86,87,90,93,95.因为10×25%=2.5,所以第3个数72
是第一四分位数,因为10×75%=7.5,所以第8个数90是第三四
分位数,所以第三四分位数减去第一四分位数的差是90-72=18.因为9<18,所以消费者对B款汽车的满意度评分比较分散.
箱线图
3.下列各选项中的箱线图分别呈现出某班四次小考数学成绩
的分布情形,其中第三四分位数与第一四分位数之差最大的
是 ( )
A B C D
B
解析 A.第三四分位数减去第一四分位数的差是50-20=30;
B.第三四分位数减去第一四分位数的差是70-20=50;
C.第三四分位数减去第一四分位数的差是80-40=40;
D.第三四分位数减去第一四分位数的差是70-50=20.
选项B中的差值最大.
故选B.
4.【学科特色·教材变式】已知甲、乙两班人数相同,在一次
测试中两班成绩的箱线图如图所示.
(1)根据此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个.(直接
给出结论即可,不用说明理由)
(2)若在两班中随机抽取一人,发现他的分数小于128分,则该
同学来自哪个班的可能性更大
解析 (1)观察图形可得,甲班平均分较高.
(2)因为甲班的中位数是128,所以甲班有50%的学生分数不超
过128分,因为乙班的第三四分位数是128,所以乙班中有75%
的学生分数不超过128分,所以该同学来自乙班的可能性更大.
5.(★★☆)如图1所示,在箱线图中,位于最下面和最上面的实
横线分别表示最小值和最大值,中间箱体的底端是第一四分
位数,箱体中部的“×”表示平均数,箱体的顶端是第三四分
位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数
相等,在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示,则选项中说
法正确的是 ( )
C
A.一班成绩比二班成绩集中
B.一班成绩的第三四分位数是80
C.一班有同学的成绩超过140分
D.一班的平均分高于二班的平均分
解析 A.由题图可得二班成绩比一班成绩更集中,故A错误;
B.由题图可得一班成绩的第一四分位数是80,故B错误;
C.由题图可得一班有异常值超过140分,故C正确;
D.由题图可得一班的平均分低于二班的平均分,故D错误.
故选C.
6.(★★☆)乐乐所在班级有48人参加学校的英文听力测验,如
图所示的是全校与全班成绩的箱线图.若乐乐的成绩正好为
全校成绩的第75百分位数,则下列关于乐乐在班上排名的叙
述,正确的说法是______.(填序号)
①
①在第2~11名之间;②在第11~15名之间;③在第16~21名之间;
④在第21~25名之间.
解析 因为乐乐的成绩恰为全校成绩的第75百分位数,所以
乐乐的成绩在70分以上,但未满80分,在全班成绩的箱线图中
恰落在第三四分位数和最大值之间,48× =12,乐乐的成绩应
在第2~11名之间.故答案为①.
7.(★★☆)在统计数据时,我们将所有数值由小到大排列并分
成四等份,每一部分大约包含25%的数据项,处于三个分割点
位置的数从小到大分别记为Q1(第一四分位数)、Q2(第二四分
位数)、Q3(第三四分位数),再将最小值记为M,最大值记为N.
例如:某班共有男生23人,一次数学考试,男生的成绩从小到大
排列后,M=38,Q1=60,Q2=76,Q3=91,N=100,将这几个数值按如
图的方式绘制统计图,由于统计图的形状如箱子,我们把它称
为箱线图.该班女生共有23人,本次考试,女生的成绩中M=47,
Q1=57,Q2=70,Q3=87,N=96.
(1)请在图中画出该班女生本次考试成绩的箱线图.
(2)请根据男生和女生的箱线图,结合所学的统计知识,评价该
班男、女生的成绩.
解析 (1)如图:
(2)说法合理即可.从最高分和最低分的差距看,男生成绩的波
动范围较女生成绩的波动范围更大,女生成绩比较稳定;从Q1,
Q2,Q3这三个数据看,女生成绩总体略低于男生成绩.
8.【新课标·数据观念】【定义】把一组数据从小到大排序,
用m表示中位数,则m把这组数据分为两部分,依次记为S和T.
用a和b分别表示S和T的中位数,则所有数据中小于或等于a的
占25%,小于或等于b的占75%.这样a,m,b把所有数据分成个数
相等的四部分,称为四分位数.
【应用】甲、乙两组的测试成绩如下:
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98.
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数a,m,b.
(2)根据乙组数据的四分位数可绘制如下的箱线图,观察图中
乙组的箱线图,绘制甲组的箱线图.
【理解】
(3)根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈对两组成绩的看法.
解析 (1)把甲的成绩从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,
98,100,故m=(89+91)÷2=90,a=70,b=96.
(2)如图所示:
(3)根据箱线图和四分位数可知甲组成绩比较分散,乙组成绩
比较集中.(答案不唯一)(共28张PPT)
第4章 数据分析
4.2 方 差
离差平方和
1.已知一组数据:2,4,4,6,那么这组数据的离差平方和为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
B
解析 平均数为(2+4+4+6)÷4=4,S2=(2-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(6-4)2
=8.故选B.
2.某同学对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查,
统计后发现:九月份两个超市每天营业额的平均值相同,离差
平方和分别为 =75, =26,则九月份营业额较稳定的超市是
______(填“甲”或“乙”).
乙
解析 因为 =75, =26,所以 > ,所以九月份营业额较稳
定的超市是乙.故答案为乙.
3.【学科特色·教材变式】某水果店一周内甲、乙两种水果每
天的销售(单位:千克)情况统计如下:
一 二 三 四 五 六 日
甲 45 44 48 42 57 55 66
乙 48 44 47 54 51 53 60
分别求出两种水果每天销售量的离差平方和.
解析 甲种水果每天销售量的平均数为 =(45+44+48+42+57
+55+66)÷7=51(千克),乙种水果每天销售量的平均数为 =(48
+44+47+54+51+53+60)÷7=51(千克),甲种水果每天销售量的
离差平方和为 =(45-51)2+(44-51)2+(48-51)2+(42-51)2+(57-51)2
+(55-51)2+(66-51)2=452,乙种水果每天销售量的离差平方和
为 =(48-51)2+(44-51)2+(47-51)2+(54-51)2+(51-51)2+(53-51)2+
(60-51)2=168.
方差
4.(2025湖南永州祁阳期末)某市农科院对甲、乙两种甜玉米
的产量各用10块相同条件的试验田进行试验,得到两个品种
每公顷产量的两组数据,其方差分别为 =0.02, =0.005,则
( )
A.甲比乙的产量稳定
B.乙比甲的产量稳定
C.甲、乙的产量一样稳定
D.无法确定哪一品种的产量更稳定
B
解析 因为 =0.02, =0.005,所以 < ,所以乙比甲的产量
稳定.故选B.
5.(2025湖南常德石门期末)一组数据3,4,4,5,若添加一个数4后
得到一组新数据,则前后两组数据的统计量会发生变化的是
( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
D
解析 原数据3,4,4,5的平均数为(3+4+4+5)÷4=4,中位数为4,
众数为4,方差为 ×[(3-4)2+(4-4)2×2+(5-4)2]=0.5,新数据3,4,4,4,
5的平均数为(3+4+4+4+5)÷5=4,中位数为4,众数为4,方差为 ×
[(3-4)2+(4-4)2×3+(5-4)2]=0.4.故选D.
6.(2025湖南长沙长郡雨花外国语学校三模)在某学校运动会
的投掷实心球比赛中,甲、乙两人各投掷了10次实心球,其落
地位置如图所示,已知两人10次投掷所得的平均成绩相同,则
甲、乙两人这10次成绩的方差的大小关系为 ______ (填
“>”“<”或“=”).
>
解析 因为方差反眏的是一组数据的波动情况,甲、乙两人
成绩的平均数相同,从题图可以看出甲成绩的波动比乙成绩
的波动大,即甲的方差比乙的方差大,所以 > .故答案为>.
7.【学科特色·教材变式】(2025浙江杭州滨江期末)甲、乙两
名同学在五次数学测试中的得分如下:
甲:76,84,80,87,73.乙:78,82,79,80,81.
(1)分别求出甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数.
(2)分别求出甲、乙两名同学五次测试成绩的方差,并根据上
述计算结果对两位同学的成绩进行评价.
解析 (1) =(73+76+80+84+87)÷5=80, =(78+79+80+81+82)÷5=80.
(2) = ×[(73-80)2+(76-80)2+(80-80)2+(84-80)2+(87-80)2]=26,
= ×[(78-80)2+(79-80)2+(80-80)2+(81-80)2+(82-80)2]=2.
因为 = , < ,所以两位同学平均水平相当,而乙同学成绩
更加稳定.
8.(2025湖南娄底涟源一模,★★☆)娄底市某一周内每日最高
气温情况如图所示,下列说法错误的是 ( )
A.这周最高气温是30 ℃
D
B.这组数据的平均数是14
C.这组数据的众数是6
D.这组数据的方差是24
解析 A.这周最高气温是30 ℃,说法正确,不符合题意;B.这组
数据的平均数是 ×(24+30+7+6+6+9+16)=14,说法正确,不符
合题意;C.这组数据的众数是6,说法正确,不符合题意;D.这组
数据的方差是 ×[(24-14)2+(30-14)2+(7-14)2+2×(6-14)2+(9-14)2
+(16-14)2]= ≠24,说法错误,符合题意.故选D.
9.(★★☆)在献爱心活动中,五名同学捐款数(单位:元)分别是
20,20,30,40,40,后来每人都追加了10元.追加后的5个数据与之
前的5个数据相比,不变的是 ( )
A.平均数
B.众数
C.离差平方和
D.中位数
C
解析 根据题意,后来每人都追加了10元.追加后的5个数据与
之前的5个数据相比,平均数变为40,中位数变为40,众数变为30
和50,而数据的波动幅度不变,即离差平方和不变.故选C.
10.(2025浙江湖州长兴期中,★★☆)小明在计算一组数据的
方差时,先计算了这组数据的平均数 ,然后写出了如下计算
公式:s2= [(6- )2+(8- )2+(8- )2+(10- )2].这组数据的方差s2=
_____.
2
解析 因为方差的计算公式为s2= [(6- )2+(8- )2+(8- )2+(10-
)2],所以这组数据为6,8,8,10,所以这组数据的平均数为 ×(6+
8+8+10)=8,所以s2= ×[(6-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=2.
故答案为2.
11.(★★☆)在数学课堂上,老师给出一组数据1,3,2,2,a,b,c,已
知这组数据的唯一众数为3,平均数为2,那么这组数据的方差s2
为_________.
解析 这组数据的唯一众数为3,而在已知的数据中2出现2次,
所以3至少出现3次,不妨设a=3,b=3,因为这一组数据的平均数
为2,所以 ×(1+3+2+2+3+3+c)=2,解得c=0,将这组数据按从小
到大的顺序排列为0,1,2,2,3,3,3,所以这组数据的方差为s2= ×
[(0-2)2+(1-2)2+2×(2-2)2+3×(3-2)2]= .故答案为 .
12.(★★☆)某实验中学为了深入学习贯彻党的二十大精神,
传承红色基因,举行“党史知识”竞赛,向党的二十大精神致
敬,八年级和九年级各选出5名选手参加比赛,成绩如图所示.
平均数 中位数 众数
八年级 85 a 85
九年级 85 80 b
(1)根据图中数据填写上表中的a=_______,b=_______.
(2)计算两个年级竞赛成绩的离差平方和与方差,并说明哪个
年级的成绩比较稳定.
解析 (1)根据题图可知八年级5名选手的竞赛成绩为75,80,85,
85,100,九年级5名选手的竞赛成绩为70,100,100,75,80,所以
八年级5名选手的竞赛成绩位于正中间的是85,即中位数是85
分,所以a=85,九年级的竞赛成绩出现次数最多的为100分,即
众数为100分,所以b=100,故答案为85,100.
(2)八年级竞赛成绩的离差平方和为 =(75-85)2+(80-85)2+
(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2=350,八年级竞赛成绩的方差为
= =70,九年级竞赛成绩的离差平方和为 =(70-85)2
+(100-85)2+(100-85)2+(75-85)2+(80-85)2=800,
九年级竞赛成绩的方差为 = =160,
因为 < ,所以八年级的成绩更稳定.
13.【新课标·数据观念】(2025广东阳江阳春期末)某校七一
建党节举行方队检阅活动,方队需要走正步经过主席台,为此
需要进行正步训练,某班前两排同学和替补同学的步宽(单位:
cm)情况如下:
第一排同学的步宽 74 74 72 75 76 73
第二排同学的步宽 71 71 74 75 76 77
替补同学的步宽 70 71 72 74 75 77
数据整理如下:
平均数/cm 中位数/cm 众数/cm
第一排同学
的步宽 74 b 74
第二排同学
的步宽 a 74.5 c
根据以上信息,回答下列问题.
(1)表格中,a的值为______,b的值为______,c的值为_______.
(2)同一排步宽的方差越小,正步走得就越整齐,据以上信息判
断两排同学中正步走得更整齐的是第_______排同学.
(3)在实际检阅时,第一排步宽为73 cm和76 cm的两位同学因
为身体不适,不能参加检阅活动,由替补同学替补,替补同学应
选择步宽为_______cm和_______cm的两位同学才能使第
一排同学的正步走得更整齐.
解析 (1)根据题意,得a= ×(71+71+74+75+76+77)=74,b=(74+
74)÷2=74,c=71.故答案为74;74;71.
(2)第一排同学步宽的方差: = ×[(72-74)2+(73-74)2+2×(74
-74)2+(75-74)2+(76-74)2]= ,第二排同学步宽的方差: = ×
[2×(71-74)2+(74-74)2+(75-74)2+(76-74)2+(77-74)2]= ,因为
< ,所以两排同学中正步走得更整齐的是第一排同
学.故答案为一.
(3)替补同学的步宽数据70,71,72,74,75,77中,74和75相对更接
近第一排同学步宽的平均数和中位数,所以替补同学应选择
步宽为74 cm和75 cm的两位同学才能使第一排同学的正步走
得更整齐.故答案为74,75.
