2025-2026学年安徽省安庆市宿松县部分学校九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年安徽省安庆市宿松县部分学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若y=（a-4）x|a|-2+7x-5是二次函数，则a的值为（　　）
A. -4 B. 4 C. ±4 D. ±2
2.下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 9 3 1 3 9 …
则下列说法正确的是（　　）
A. 二次函数图象开口向下
B. 二次函数的最小值为2
C. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根
D. 若点A（-2，y1），B（2，y2）都在抛物线上，则y1＞y2
3.在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
4.若，则=（　　）
A. B. C. 5 D. -5
5.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是（　　）
A. DE∥BC
B. △ADE∽△ABC
C. BC=2DE
D. S△ADE=S△ABC
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则sinA的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若，AB=6，则AF的长为（　　）
A. 2
B.
C. 3
D. 4
8.如图，△ABC和△DEF关于点O位似，若DO：AO=2：1，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　）
A. 24
B. 16
C. 12
D. 8
9.下列四个图形中，为中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
10.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（　　）

A. r≥ B. r=3或r=4 C. ≤r≤3 D. ≤r≤4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.将抛物线y=（x+1）2+3向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式是 .
12.如图，在△ABC中，AB=3，BC=6，BD平分∠ABC，则的值为 .
13.在边长为10的正方形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，将△BCE沿着BE折叠得到△BC'E，连接AC'、DC'.若∠CDC'=∠DAC'，且，则CE= .
14.点O是△ABC的外心，若∠BOC=110°，则∠BAC为 °.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．
（1）画出旋转后的△AB′C′；
（2）求边AB在旋转过程中扫过的面积．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知x：y=3：7，x：z=4：1，求x：y：z.
17.(本小题10分)
小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（4，4），反比例函数的图象经过点C.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标.
18.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD=∠B，DE∥BC．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若DE=6，BC=10，求线段CD的长．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且BD=BE，∠CAD=∠ABE.
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值.
20.(本小题10分)
如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于点A（2，3），B（n,1）.
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（-2，0），点D在y轴上.连接AD，BD，求△ABD的面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集.
21.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，AB=10cm,∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF.点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y cm2，点E的运动时间为x秒.
（1）求证：BE=EF；
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求x为何值时，线段DF的长度最短.
22.(本小题10分)
某地铁段施工距离全长为300米.经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：①甲公司施工单价y1（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1=27.8-0.09x,②乙公司施工单价y2（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2=15.8-0.05x.（注：工程款=施工单价×施工长度）
（1）如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款______万元；
（2）考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程.因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元（从工程款中扣除）.
①如果设甲公司施工a米（0＜a＜300），试求市政府共支付工程款P（万元）与a（米）之间的函数关系式；
②如果市政府支付的工程款为2900万元，那么乙公司的施工距离有多长？
23.(本小题14分)
如图，已知二次函数y=ax2+bx+6（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，连接BC，tan∠ABC=2，AO：BO=2：3．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若将函数图象向下平移m个单位长度后，仍然与坐标轴有3个交点，求m的取值范围；
（3）在第一象限内的二次函数图象上有一点D，连接AD，与BC相交于点E，若DE=kAE，求k的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】y=（x+4）2+2
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】55或125
15.【答案】解：（1）如图，△AB′C′为所作；
（2）AB==3，
所以边AB在旋转过程中扫过的面积==π．
16.【答案】12：28：3．
17.【答案】（1） （2）（-2，8）
18.【答案】（1）证明：∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
∴，
∴，
∴CD=2．
19.【答案】∵BD=BE，
∴∠ADB=∠BED，
∵∠CAD=∠ABE，
∴∠BAD=∠BED-∠ABE=∠ADB-∠CAD，
∵∠C=∠ADB-∠CAD，
∴∠BAD=∠C，
∵∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA.的值是
20.【答案】解：（1）将A（2，3）代入双曲线y=，
∴m=6，
∴双曲线的解析式为y=，
将点B（n,1）代入y=，
∴n=6，
∴B（6，1），
将A（2，3），B（6，1）代入y=kx+b,
∴，
解得，
∴直线解析式为y=-x+4；
（2）∵直线AB向下平移至CD，
∴AB∥CD，
设直线CD的解析式为y=-x+n,
将点C（-2，0）代入y=-x+n,
∴1+n=0，
解得n=-1，
∴直线CD的解析式为y=-x-1，
∴D（0，-1），
过点D作DG⊥AB交于G，
设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，
∴H（0，4），F（8，0），
∵∠HFO+∠OHF=90°，∠OHG+∠HDG=90°，
∴∠HDG=∠HFO，
∵OH=4，OF=8，
∴HF=4，
∴cos∠HFO==，
∴cos∠HDG==,
∵DH=5，
∴DG=DH=2，
∵AB=2，
∴△ABD的面积=2×2=10；
（3）由图可知2＜x＜6时，-x+4＞．
21.【答案】（1）证明：设CD与EF相交于点M，

∵四边形ABCD为菱形，∴BC-=DC，∠BCE=∠DCE，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCF=60°，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE，BE=DE，
∵∠EMD=∠DEF+∠CDE=∠DCF+∠CFE，
又∵∠DEF=∠DCF=60°，
∴∠CDE=∠CFE，
∴∠CBE=∠CFE，
∴BE=EF；
（2）解：过点E作EN⊥BC于N，

则∠ENC=90°，
∵BE=EF，
∴BF=2BN，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴ВС=АВ=10cm,∠АСВ=∠BСD=60°，即∠ECN=60°，
∵CE=2x cm,
∴EN=CE sin60°=2x =x（cm），CN=CE cos60°=2x =x（cm），
∴BN=BC-CN=10-x（cm），
∴BF=2（10-x）cm,
∴у=ВF ЕN=×2（10-х）×х=-х2+10х，
∵0＜2x≤10，
∴0＜x≤5，
∴y=-х2+10х（0＜x≤5）；
（3）解：∵BE=DE，BE=EF，
∴DE=EF，
∵∠DEF=60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE=DF=EF，
∴BE=DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图，

∵四边形 ABCD是菱形，
∴АВ=ВС，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=10cm,
∵BE⊥AC，
∴CE=AC=5cm,
∴x==，
∴当x=时，线段DF的长度最短．
22.【答案】240 ①P=-0.14a2+42a+100；②200米或100米
23.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+6（a＜0）的图象与y轴交于C点，
∴C（0，6），
∴OC=6，
∵tan∠ABC=2，
∴=2，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∵AO：BO=2：3，
∴AO=2，
∴A（-2，0），
∵二次函数y=ax2+bx+6（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y=-x2+x+6；
（2）∵y=-x2+x+6=-（x-）2+，
∴将函数图象向下平移m个单位长度后，新抛物线的解析式为y=-（x-）2+-m，
∵新抛物线y=-（x-）2+-m与坐标轴有3个交点，
∴0＜-m＜，且6-m≠0，
∴0＜m＜且m≠6；
（3）如图，过点D作DF∥x轴交BC于点F，
设直线BC的解析式为y=kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=-2x+6，
设D（t，-t2+t+6），则F的纵坐标为-t2+t+6，
∴-t2+t+6=-2x+6，
解得：x=（t2-t），
∴F（，-t2+t+6），
∴DF=t-（t2-t）=t2+t，
∵A（-2，0），B（3，0），
∴AB=3-（-2）=5，
∵DF∥x轴，即DF∥AB，
∴△DEF∽△AEB，
∴=，
∵DE=kAE，
∴=k，
∴DF=kAB，
即t2+t=5k，
∴k=t2+t=（t-）2+，
∵＜0，
∴当t=时，k有最大值，
∵当t=0时，k=0；当t=3时，k=0；
∴0＜k≤．
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