人教B版高中数学必修第四册第九章解三角形9.1.1正弦定理第二课时正弦定理的应用课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
第九章 9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理
1.能根据条件判断三角形解的个数.
2.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题.
学习目标
在上节课掌握了三角形面积公式、正弦定理的推导过程和简单应用的基础上，进一步研究正弦定理的推论和变形及应用，在这过程中进一步渗透直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
引入
课时精练
一、三角形解的个数的判断
二、利用正弦定理判断三角形的形状
三、利用正弦定理证明有关问题
课堂达标
内容索引
三角形解的个数的判断
一
探究1 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，三角形的解是否唯一确定？
提示　三角形唯一确定.
探究2 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，三角形的解是否唯一确定？
提示　三角形不能唯一确定，可能出现两解的情况.
知识梳理
(2)几何角度：
例1
法一(从代数角度)
判断三角形解的情况
先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况.
思维升华
训练1
√
√
由题意知a>b，则x>2，
利用正弦定理判断三角形的形状
二
1.利用正弦定理判断三角形的形状，求解证明有关问题，常用到如下变形式：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝____________.
(2)a＝2Rsin A，b＝________________，c＝________________.
知识梳理
a∶b∶c
2Rsin B
2Rsin C
2.三角形中边角的不等关系
(1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C；
(2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C.
√
例2
又A是锐角，所以A＝60°.
又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，
所以B＝C.故△ABC为等边三角形.
√
由正弦定理，得2sin Acos B＝sin C，
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
整理得sin Acos B＝cos Asin B，
∴tan A＝tan B，又A，B∈(0，π)，∴A＝B.
思维升华
√
训练2
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin Acos C＝sin(A＋C)，
即cos Asin C＝0.
∵sin C≠0，∴cos A＝0，即A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选A.
√
(2)(多选)在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC的形状为
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
√
由正弦定理及已知得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
∵2A，2B∈(0，2π)，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
利用正弦定理证明有关问题
三
例3
即sin A＋sin Acos C＋sin C＋sin Ccos A＝3sin B，
所以sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，
所以sin A＋sin C＝2sin B，
所以由正弦定理可得a＋c＝2b.
思维升华
对于三角形中含有边角关系的证明问题，往往利用正弦定理实现边与角的转化：
(1)已知或所求等式中只有边的关系就用边化角的变形公式.
(2)已知或所求等式中只有角的正弦的关系就用角化边的变形公式.
(3)已知或所求等式中既有边的关系也有角的关系，就尝试使用这两组变形公式.
训练3
【课堂达标】
√
√
3.在△ABC中，已知sin B＝2sin C，BC＝6，角A的平分线交BC于点D，则BD＝________.
2
因为AD为角平分线，
60°或120°
【课时精练】
√
在△ABC中，
√
由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
√
√
4.在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
由正弦定理得sin A＝2sin Bcos C，
∴sin (B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，又B，C∈(0，π)，
∴B－C∈(－π，π)，
∴B＝C，故选A.
√
√
故三角形有两解.
C中，∵c180°，
故三角形无解.
又a>b，∴A>45°，故A＝60°或120°，
都满足A＋45°<180°，故有两解.
3
等边
9.在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
所以A＝90°，
所以B＋C＝90°，
由sin A＝2sin Bcos C，
得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，
√
√
2
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b.
(1)求角C的大小；
由题意，根据正弦定理，可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，
又由A＝π－(B＋C)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
可得2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B，
即2sin Bcos C＋sin B＝0，
又∵ B∈(0，π)，则sin B>0，
√
由正弦定理及8b＝5c，得8sin B＝5sin C，