人教B版高中数学必修第四册第九章解三角形9.1.1正弦定理第一课时利用正弦定理解三角形课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第九章 9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理
1.掌握两边及其夹角表示的三角形面积公式.
2.掌握正弦定理的内容及其证明方法.
3.能初步运用正弦定理解一些三角形问题.
学习目标
古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？
引入
课时精练
一、正弦定理的推导
二、三角形的面积计算问题
三、已知两角及任意一边解三角形
课堂达标
内容索引
四、已知两边及其中一边的对角解三角形
正弦定理的推导
一
探究1 在△ABC中，如何根据a，b与C的值，求出这个三角形的面积？
可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时成立，而当C为钝角时，如图所示，仍设△ABC中BC上的高为AD.
探究2 已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理.
提示　①在锐角△ABC中，如图1，连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，
则圆周角A′＝A.
∵A′B为直径，长度为2R，
②若A为直角(如图2所示)，sin A＝1，
在Rt△BAC中，可直接得a＝2Rsin A；
③若A为钝角(如图3所示)，作直径BA′，连接A′C，
则A′＝π－A，在Rt△BCA′中，
BC＝A′Bsin A′＝2Rsin(π－A)＝2Rsin A，
即a＝2Rsin A.
由①②③得a＝2Rsin A，
1.一般地，若记△ABC的面积为S，
则S＝______________＝ ______________ ＝ ______________.
2.正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，
即 ＝ ___________＝ ___________＝2R.
知识梳理
三角形的面积计算问题
二
(1)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝120°，b＝3，c＝8，则△ABC的面积为________.
例1
(2)在△ABC中，若 ＝2，且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为_____.
思维升华
√
训练1
√
已知两角及任意一边解三角形
三
探究3 根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？
提示　利用正弦定理，可以解决：(1)已知两角和一边解三角形，(2)已知两边和其中一边的对角解三角形.
解三角形：把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形若干元素求其他元素一般称为解三角形.
知识梳理
已知△ABC中，根据下列条件解三角形：
(1)a＝20，A＝30°，C＝45°；
例2
∵A＝30°，C＝45°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
(2)a＝8，B＝60°，C＝75°.
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
思维升华
已知三角形的两角和任一边解三角形的方法
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.
提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解.
训练2
√
已知两边及其中一边的对角解三角形
四
例3
迁移
思维升华
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角，则由正弦值可求出另一边所对的角为锐角且唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角是否为锐角，这时由正弦定理可求两个角，要分类讨论.
训练3
√
∵a＞b，∴A＞B，
又∵A＝60°，∴B为锐角.
【课堂达标】
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列等式中一定成立的是
A.asin A＝bsin B B.bsin A＝csin B
C.asin C＝csin B D.asin C＝csin A
√
2.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则△ABC的外接圆面积等于
A.32π B.36π C.64π D.128π
√
【课时精练】
√
√
结合b则A＝180°－B－C＝75°.
√
√
4.已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，AC＝3，则角C的大小为
A.75° B.60° C.45° D.30°
√
√
6.在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝______________.
∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，
∴A＝120°，B＝30°，C＝30°，
1
2
因为角A，B，C为△ABC的内角，
(2)求△ABC的面积.
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD.
(2)若A＝30°，AB＝1，求AD的值.
因为A＝30°，所以C＝150°－B，
√
11.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列结论可能正确的是
√
由sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，得sin B＋2sin Bcos C＝
2sin Acos C＋cos Asin C，
12.在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________________.
√