人教B版高中数学必修第四册第九章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第九章 解三角形
1.能够综合运用正弦、余弦定理等知识和方法求解三角形的长度、角度、航海问题.
2.会根据实际问题，正确分析并提出解决方案.
学习目标
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形，例如，如图所示，要测量故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量，这就需要设计恰当的测量方案.这正是这一节我们将要研究的内容.
引入
课时精练
一、高度问题
二、距离问题
三、角度、速度问题
课堂达标
内容索引
高度问题
一
(1)如图所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
例1
√
在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
(2)某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________m(精确到1 m，sin 35°≈0.574).
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过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
当要测量的高度不可直接测量时，常利用一个直角三角形和一个斜三角形问题求解，要先从实际问题中抽象出一个或几个三角形，使用正、余弦定理解三角形，得出实际问题的解.
思维升华
如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
训练1
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
距离问题
二
例2
在△ABC中，由余弦定理，得
思维升华
要求不可达两点间的距离时，将实际问题抽象为数学问题，将已知量与要求的量尽量集中在有关的三角形中，利用正、余弦定理解出三角形，有时需先解一个三角形求出某个量，然后再解另一个三角形得到所求的量.
如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为
______千米/分.
训练2
易知A，B，C，D四点在同一水平面上，
∴在△ACD中，CD＝1，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°，
∴∠CAD＝180°－30°－105°＝45°.
角度、速度问题
三
探究 “北偏西45°”与“方位角45°”表示相同的方位吗？
提示　不同.北偏西45°是指以正北方向为始边，偏西45°，而方位角45°表示从指北方向线起顺时针转过45°.
1.角度问题常用名称、术语
知识梳理
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
名称 定义 图示
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
对常见术语的几点说明
(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆.
(2)方位角中的顺时针易记错为逆时针.
温馨提示
2.解三角形实际问题的流程
例3
设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，
思维升华
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇(如图所示).若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
训练3
如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2(舍负)，
故需2小时拦截蓝方小艇.
故AC＝28，BC＝20.
【课堂达标】
1.(多选)下列叙述正确的是
A.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β
B.若点P在点Q的北偏东44°50′方向上，则点Q在P处的南偏西44°50′方向上
C.从A点望B处的仰角为30°，从A点望C处的俯角为45°，则从C点望B处的仰角为75°
D.在△ABC中，A＝105°，B＝30°，在C点望A，B的视角为45°
√
√
√
对于A，根据题意和仰角、俯角的概念知α＝β；
B正确；
对于C，由AB与AC的关系不确定，故角不确定；
对于D，C点望A、B的视角∠ACB＝180°－105°－30°＝45°.
√
由题意知，A＝B＝30°，
3.如图所示，为测得河对岸塔AB的高，在地平面上任取两点C，D，使DC＝10 m，且B，C，D三点共线，从D，C两点测得A点的仰角分别为30°和45°，则AB＝__________.
∵∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
∴∠CAD＝15°.
在△ACD中，由正弦定理得
4.江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得其俯角分别为45°和30°，则两条船相距____________ m.
【课时精练】
√
1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是
A.50 n mile B.70 n mile C.90 n mile D.110 n mile
√
如图所示，
√
如图所示，
√
4.(多选)为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图，测得下面四组数据，不合理的是
A.c与α B.c与b
C.b，c与β D.b，α与γ
√
√
由于测量者在A、C处测量，
故合理的是b、α、γ.
√
如图所示，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，
7.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米.
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在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝180°－60°－75°＝45°.
(2)求灯塔C与D处的距离.
10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.
设建筑物的高度为h，由题图知，
√
√
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如图所示，依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，
13.甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？
如图所示，
设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇.
在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
14.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为________h.
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如图，虚线圆是以B为圆心，30 km为半径的圆，
则BC＝BD＝30，当台风中心在线段CD上时，城市B处于危险区内.