人教B版高中数学必修第四册第九章解三角形9.1.2余弦定理课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第九章 9.1　正弦定理与余弦定理
1.掌握余弦定理及其变形，会运用余弦定理解三角形.
2.会运用余弦定理解决一些与测量、几何计算有关的问题.
学习目标
利用如图所示的现代测量工具，可以方便地测出3点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离和角.
引入
例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小，你能根据这三个量求出AB吗？通过学习本节即可解决上述问题.
课时精练
一、余弦定理的推导
二、已知两边及一角解三角形
三、已知三边解三角形
课堂达标
内容索引
四、利用余弦定理判断三角形形状
余弦定理的推导
一
探究1 情境中的问题可以转化为：已知b，c和角A，如何求a
法二(解析法)
如图(2)所示，以A为原点，AC边所在的直线为x轴建立直角坐标系，则可得点A，C的坐标分别为A(0，0)，C(b，0).
故a2＝b2＋c2－2bccos A，
同理，可得b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
这就是余弦定理，三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.
1.余弦定理的公式表达形式：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝______________________________，
b2＝______________________________，
c2＝______________________________.
2.余弦定理的文字语言叙述：三角形任何一边的平方，等于其他两边的________减去这两边与它们夹角余弦的__________.
知识梳理
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
平方和
积的2倍
(1)运用余弦定理时注意边角关系的对应.
(2)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，都可以知三求一.
温馨提示
已知两边及一角解三角形
二
√
例1
根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
思维升华
已知两边及一角解三角形有以下两种情况：
(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法：一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.
√
训练1
2
由余弦定理得22＝12＋c2－2c·cos B，
已知三边解三角形
三
余弦定理的推论
cos A＝_______________；
cos B＝ _______________ ；
cos C＝ _______________.
知识梳理
(1)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，求cos C；
例2
由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4.
(2)在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
∵a>c>b，∴A为最大角.
思维升华
1.已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解.在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.
2.若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.
训练2
√
√
利用余弦定理判断三角形形状
四
探究2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
提示　A为直角 b2＋c2＝a2；
A为锐角 b2＋c2>a2；
A为钝角 b2＋c2在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，试判断△ABC的形状.
例3
整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
故三角形为等腰三角形或直角三角形.
法二　由正弦定理，原等式可化为
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
∴sin Csin Bcos B＝sin Csin Acos A，
∵sin C≠0，
∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A，
又A，B∈(0，π)，
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
思维升华
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.
训练3
法二　在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，
得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sin Ccos A，
∴sin Acos C＝0.
∵A，C都是△ABC的内角，∴sin A≠0，
【课堂达标】
√
√
【课时精练】
√
∵b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b＝7.
√
根据正弦定理，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，
√
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝
A.30° B.45° C.60° D.120°
由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，得b2＋c2－a2＝－bc.
√
4.某地需要建设临时医院，该医院占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为
故正方形面积为160 000(2－2cos α)＝320 000(1－cos α)，
√
√
由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
又b2＝ac＝a2，∴a＝b＝c，故三角形为等边三角形.故选AB.
30°
2
8.在△ABC中，若a＝2，则bcos C＋ccos B＝________.
9.在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
由acos B＋acos C＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
即15＝16＋c2－4c，
√
11.(多选)在△ABC中，下列关系式一定成立的有
A.asin B＝bsin A B.a＝bcos C＋ccos B
C.a2＋b2－c2＝2abcos C D.b＝csin A＋asin C
√
√
对于A，C，由正弦、余弦定理知一定成立.对于B，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，知显然成立.对于D,利用正弦定理得sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋
cos Asin C，与上式不一定相等，所以D不一定成立，故选ABC.
12.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若m＝(bsin B－
asin A，c－b)，n＝(1，sin C)，且m⊥n，则角A的大小为________；若a＝7，b＋c＝8，则△ABC的面积是________.
由m⊥n，得(bsin B－asin A)·1＋(c－b)·sin C＝0，
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2－2bccos A＝a2－2accos B，c＝2.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
因为b2－2bccos A＝a2－2accos B，
所以a2－c2＝b2－c2，
可知a2＝b2，
即a＝b，即△ABC为等腰三角形.
选①，由(1)可知a＝b，则A＝B，
所以C＝π－2B，
所以7cos B＝2cos C＝2cos(π－2B)＝－2cos 2B＝2－4cos2B，
整理得4cos2B＋7cos B－2＝0，
√