人教B版高中数学必修第四册第十章复数10.1.1复数的概念课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
第十章 10.1　复数及其几何意义
1.通过方程的解认识复数，了解虚数单位i的引入.
2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义.
学习目标
在初中，我们学习实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法时，需要将判别式Δ＝b2－4ac开平方.由于负实数在实数范围内没有平方根，因此当判别式Δ<0时，一元二次方程就没有实数解.那么，此时该方程仅仅是没有实数解，还是纯粹没有解呢？还是我们的认识具有局限性，没有办法求出它的解呢？这就是我们本节课需要学习的内容.
引入
课时精练
一、复数的有关概念
二、复数的分类
三、复数相等的充要条件
课堂达标
内容索引
复数的有关概念
一
探究1 为了解决上述问题，人们采取了什么办法？
提示　为了解决上述问题，人们引入了一个符号i，规定它满足：
(1)i2＝－1，即i表示－1的一个平方根；
(2)在引入符号i后，实数系中的运算律仍然成立.
1.复数
(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.其中i称为_________，满足i2＝______.
(2)表示：一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的_______，b称为z的______，分别记作Re(z)＝____，Im(z)＝____.
2.复数集
(1)定义：__________组成的集合称为复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}.
知识梳理
虚数单位
－1
实部
虚部
a
b
所有复数
(1)i2＝－1.
(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算.
(3)a，b∈R.
(4)当两个复数的虚部为0时，能比较大小，两个虚数或虚数与实数不能比较大小.
温馨提示
(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
例1
√
对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题.
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.
5
在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数.
思维升华
已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于
A.－3 B.3 C.－1 D.1
训练1
√
复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1.
复数的分类
二
知识梳理
实数
虚数
例2
(2)虚数；
复数z是虚数的充要条件是
(3)纯虚数.
复数z是纯虚数的充要条件是
思维升华
复数的分类主要依据实部、虚部满足的条件列方程(组).
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)为实数 b＝0，
(2)z＝a＋bi(a，b∈R)为虚数 b≠0，
(3)z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数 a＝0且b≠0.
已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z
(1)是实数；
训练2
z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
令m2－m－6＝0 m＝3或m＝－2，
即m＝3或m＝－2时，z为实数.
(2)是虚数；(3)是纯虚数？
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，
解得m＝－1.
所以m＝－1时，z是纯虚数.
复数相等的充要条件
三
探究2 由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
提示　由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.
(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________.
例3
－3
∵z<0，
∴m＝－3.
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值.
设a是原方程的实根，
则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
迁移
思维升华
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数.
5
复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
训练3
因为m∈R，z1＝z2，
【课堂达标】
1.复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝
A.0 B.2 C.4 D.－4
√
根据复数相等的充要条件，
2.(多选)下列说法正确的是
A.若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i
B.设m∈R，z＝m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则m＝－2
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等
√
√
A中，两虚数不能比较大小；
B中，m2＋m－2＝0且m2－1≠0，解得m＝－2，B正确；
C中，复数为纯虚数的充要条件是实部等于零且虚部不为零；D正确.
3.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为________.
1，1
∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2－2i
【课时精练】
√
√
2.已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝
A.－3 B.3 C.－1 D.1
z1的实部为1，z2的虚部为－a，
故－a＝1，∴a＝－1.
√
3.已知a，b∈R，若a2＋b＋(a－b)i>2(i为虚数单位)，则实数a的取值范围是
A.a>2或a<－1 B.a>1或a<－2 C.－1因为a，b∈R, a2＋b＋(a－b)i>2，
解得a>1或a<－2.
√
4.复数z＝a2－b2＋(a＋|b|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是
A.a＝±b B.a<0且a＝－b C.a>0且a＝b D.a>0且a＝±b
要使复数z＝a2－b2＋(a＋|b|)i(a，b∈R)为纯虚数，
若a>0，则a＋|b|＝2a>0；
若a≤0，则a＋|b|＝a－a＝0，
所以a>0且a＝±b.故选D.
√
5.(多选)已知i是虚数单位，下列命题正确的是
A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B.若a，b∈R且a＞b，则ai＞bi
C.若x2－1＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1
D.两个虚数不能比较大小
√
对于A，当a＝－1时，(a＋1)i不是纯虚数，A不正确；
对于B，∵a，b∈R且a＞b，
∴ai与bi至少有一个为纯虚数，ai与bi不能比较大小，B不正确；
3－3i
7.若z1＝x＋yi，z2＝－y－i，且z1＝z2，x，y∈R，则x－y＝________.
2
{－2}
8.若x2－3x－2＋(x2＋2x)i>2，则实数x的取值集合是________.
(2)虚数；(3)纯虚数？
(2)若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，
且m＋3≠0，解得m≠6且m≠－3，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数.
10.已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且满足M∩N M，M∩N≠ ，求整数a，b的值.
由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①得a＝－3，b＝±2，
由②得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意，
综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
√
√
√
由题意得cos α＝－cos 2α，
12.已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________
2
±2
当m＝3时，代入②得n<－1，
与n是自然数矛盾，
综上可得m＝0，n＝1.
14.已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为
√