2025-2026学年北京四中九年级（下）统练数学试卷（2）（含答案）

2025-2026学年北京四中九年级（下）统练数学试卷（2）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A. a＞0 B. a+b＜0 C. |a|＞1 D. ab＜0
3.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为2340°，那么这个多边形的一个外角的度数为（　　）
A. 24° B. 30° C. 36° D. 60°
4.泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　）
A. B. C. D.
5.若关于x的方程kx2-x+4=0有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（　　）
A. 16 B. C. D.
6.2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒.用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（　　）
A. 8.5×102米/秒 B. 8.5×103米/秒 C. 8.5×104米/秒 D. 85×103米/秒
7.如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（　　）

A. 5 B. C. 4 D.
8.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，）．
其中正确结论的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若式子有意义，则x的取值范围为______．
10.分解因式：a2（x-y）+9（y-x）= .
11.分式方程的解为 .
12.学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）.最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成.已知小兰、小竹两位选手的评分如下：
唱功 舞台表现 音色 创意
小兰 90 k 88 85
小竹 92 86 90 89
若小兰的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为 .
13.若要说明命题“若a＞b,则”是假命题，c的值可以是 .
14.如图，PB，PC为⊙O的切线，点A在圆周上，且∠A=60°，，连接OP，则OP的长为 .
15.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE交对角线AC于点F，连结BF.若AB=6，则BF的长为 .
16.小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次.现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的.要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功.
（1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮.如果只拍第一组的灯，则最少需要拍 盏，挑战成功.
（2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么n= .
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
解不等式组：.
19.(本小题5分)
已知a-b-3=0，求代数式的值.
20.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为CD的中点，连接OE并延长到点F，使得OE=EF，连接CF，DF.
（1）求证：四边形OCFD是矩形；
（2）若AB=5，sin∠DOF=，求BD的长.
21.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象过点（-1，3）和点（1，-1）.
（1）求k,b的值；
（2）当x≤2时，对于x的每一个值，函数的值都小于y=kx+b的值且大于-4，求n的取值范围.
22.(本小题6分)
小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14km/h,从宜昌到荆州的速度约为10km/h.从奉节到荆州的水上距离约为350km.经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h.
根据小刚的假设，回答下列问题：
（1）奉节到宜昌的水上距离是多少千米？
（2）李白能在一日（24h）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由.
23.(本小题5分)
某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务.该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长.下面给出了该活动的部分信息.
a.七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b.学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3
志愿服务得分/分 60 70 80 90
c.每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为m1，m2，则m1______m2，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则 ______（填“＞”“＜”或“=”）；
（2）某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组120≤x＜130，第2组130≤x＜140，第3组140≤x＜150，第4组150≤x＜160，第5组160≤x＜170，第6组170≤x＜180）；
①该频数分布直方图反映的是______（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第______组；
（3）该校七年级有120名学生，八年级有100名学生.若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为______.
24.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O一点，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.连接AC，OC，过点A作OC的垂线，交OC，BC于点G，E，交⊙O于另一点F.
（1）求证：AE=AD；
（2）若，，求AD的长.
25.(本小题5分)
某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响.
添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降.添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（0-120mg/kg），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：dB=0.05c+3.
在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：mg/kg），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：
添加剂浓度c（mg/kg） 0 20 40 60 80 100 120
保质期d（天） 3 5 8 10 9 7 4
（1）以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接.
（2）①工厂分析发现，每增加10mg/kg添加剂，成本增加2元；而每延长1天/kg保质期，可减少5元的损失.若增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过______天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）.
②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）.当添加剂A浓度为40mg/kg时，总成本（添加剂成本与损失之和）为______元.
（3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省______mg/kg的添加剂（保留整数）.
②当浓度c在______≤c≤______范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线对称轴为直线x=a,且经过点A（2a,0）.
（1）用含a的式子表示b,并求c的值；
（2）已知抛物线，过点P（t,0）作x轴的垂线，交抛物线y1于点M，交抛物线y2于点N，点H为线段MN的中点（若M，N重合，取点H为M）.
①若a=2，t=1，求H点坐标；
②已知点P从点B（a,0）运动到C（3a,0）的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=α，点D在射线CB上，将射线DC绕点D逆时针旋转180°-2α，所得射线交直线AC于点E，点F为EC的中点，连接BF.
（1）如图1，若BC=BD，求证：CD=2BF.
（2）如图2，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AG，连接DG.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段BF与DG的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2.对于点A，给出如下定义：若⊙O上存在点B使得线段AB的垂直平分线与⊙O相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段AB的长度a称为点A关于点C的垂切系数.
（1）如图1，点C（-2，0），在A1（0，4），A2（-4，2），A3（6，0）中，点______是点C的“垂切点”，垂切系数a=______.
（2）点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标xC的取值范围为______.
（3）已知点，，若线段MN上存在点P，使得点P是⊙O上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足4≤a≤6，直接写出t的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】x≥-
10.【答案】（x-y）（a+3）（a-3）
11.【答案】x=-3
12.【答案】93
13.【答案】-2（答案不唯一）
14.【答案】2
15.【答案】2
16.【答案】5
15

17.【答案】．
18.【答案】解：，
解①，得x＜；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
19.【答案】．
20.【答案】（1）证明：∵E为CD的中点，
∴EC=ED．
∵EF=EO，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=5，BD=2OD，
∵四边形OCFD是矩形，
∴OF=CD=5，∠ODF=90°，OC=DF，
∵sin∠DOF==，
即=，
∴OC=DF=3，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD===4，
∴BD=2OD=2×4=8．
21.【答案】k=-2，b=1；
-3＜n＜-2．
22.【答案】解：（1）奉节到宜昌的水上距离为x千米，
根据题意得：-=1，
解得x=210．
答：奉节到宜昌的水上距离为210千米．
（2）+=15+14=29（时），
∵29＞24，
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．
23.【答案】解：（1）＜ ，＞；
（2）①八；② 4；
（3）78.
24.【答案】AB是⊙O的直径，点C为⊙O一点，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
∵AD是切线，AB是直径，
∴AD⊥AB，即∠BAD=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∵AF⊥OC，
∴∠CGF=90°，
∴∠GCE+∠GEC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠AEC=90°，
∴∠D=∠AEC，
∴AD=AE
25.【答案】描点并连线为：
0.4;18 60;20;80
26.【答案】b=-2a，c=0 ①H（1，-4）；②a＞3或
27.【答案】∵将射线DC绕点D逆时针旋转180°-2α，所得射线交直线AC于点E，
∴∠CDE=180°-2α，
在△CDE中，∠C=α，∠C+∠E+∠CDE=180°，
∴∠C+∠E=180°-∠CDE=180°-（180°-2α）=2α，
∴∠E=∠C=α，
∴CD=DE，
∵BC=BD，
∴点B是线段CD的中点，
又∵F为EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
∴，
∴DE=2BF，
∴CD=2BF ①补全图形，如图2即为所求；
②DG=2BF；证明：如图3，∠ABC=90°，在CB的延长线上取一点M，使BM=BC，连接AM，EM，CG，令CD交AG于点Q，
∴AB垂直平分CM，
∴AM=AC，
∴∠AMC=∠C=α，
∴∠MAC=180°-2α，
由旋转得AD=AG，∠DAG=180°-2α，
∴∠MAC=∠DAG，
∴∠MAC-∠MAG=∠DAG-∠MAG，
∴∠MAD=∠CAG，
在△ADM和△AGC中，
，
∴△ADM≌△AGC（SAS），
∴DM=CG，∠ADM=∠AGC，
∵AD=AG，∠DAG=180°-2α，
∴∠ADG=∠AGD=α，
在△ADG中，∠DAG=180°-2α，
∵∠CDE=180°-2α，
∴∠CDE=∠DAG，
∵∠ADQ=∠QGC，∠AQD=∠CQG，∠DAQ+∠ADQ+∠AQD=∠CQG+∠CGQ+∠QCG=180°，
∴∠DAQ=∠DCG，
∴∠GCD=∠MDE，
由（1）可知，CD=DE，
在△DME和△CGD中，
，
∴△DME≌△CGD（SAS），
∴DG=EM，
∵BM=BC，F为EC的中点，
∴BF是△CEM的中位线，
∴，
∴EM=2BF，
∴DG=2BF
28.【答案】A2;4 或 或
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