人教B版高中数学必修第四册第十章复数10.1.2复数的几何意义课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
第十章 10.1　复数及其几何意义
1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系.
2.掌握共轭复数的概念及性质，会计算复数的模.
学习目标
我们知道，在引入了新数“i”之后，我们对数的认知也扩充到了复数，复数都可以表示为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，其中，当b＝0时，z为实数，也就是说，实数是复数中的一部分.我们又知道，实数从形的角度来说，它与数轴上的点一一对应，那么一个自然的问题就是：复数从几何角度又有什么意义呢？这节课我们一起来学习吧.
引入
课时精练
一、复数与复平面内点的关系
二、复数与复平面内向量的关系
三、复数的模
课堂达标
内容索引
四、共轭复数
复数与复平面内点的关系
一
探究1 数轴可以看成实数的一个几何模型，那么你能为复数找一个几何模型吗？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
提示　如图所示.
1.复平面
建立了直角坐标系来表示______的平面也称为复平面.在复平面内，x轴上的点对应的都是______，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为方便起见，称y轴为虚轴.
知识梳理
复数
实数
2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi←→复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.
复平面及复数的几何意义的理解：
(1)复数的实质是有序实数对；
(2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说复平面内的实轴上的单位长度是1，虚轴上的单位长度也是1，而不是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0，0)对应复数0；
(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点(除原点)表示纯虚数.复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z书写时应小写，复平面内的点Z(a，b)书写时应大写.
温馨提示
在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点分别在：
(1)虚轴上；(2)第二象限；
例1
复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8,虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.
∴m的取值范围为{－2，4}.
(3)第二或四象限；
(4)直线y＝x上，试分别求实数m的取值范围.
(3)由题意得(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，
∴2∴m的取值范围为(2，4)∪(－5，－2).
复数的实部、虚部分别对应复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所对应的点所处位置决定了复数实部、虚部的取值特征.
思维升华
在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是点A，B，C.则平行四边形ABCD的D点所对应的复数为__________.
训练1
3＋3i
由已知得A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，
复数与复平面内向量的关系
二
探究2 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？
这是复数的另一种几何意义.
知识梳理
(a，b)
复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点，否则不能建立一一对应关系.
温馨提示
√
(1)向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是
A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i
例2
由复数的几何意义，
√
思维升华
根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即向量对应的复数；反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段表示的向量，即复数对应的向量.
训练2
2－i
复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，
复数的模
三
知识梳理
|z|
温馨提示
(1)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
例3
设z＝a＋bi(a，b∈R)，
思维升华
1.复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
2.复数模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|表示点Z和原点间的距离，类似地，|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.
训练3
√
(2)设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？
由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
共轭复数
四
1.定义：一般地，如果两个复数的实部______，而虚部____________，则称这两个复数互为共轭复数.
知识梳理
相等
互为相反数
(1)设a，b∈R，i是虚数单位，若复数a＋i与－1＋bi互为共轭复数，则实数a，b的值为
A.a＝－1，b＝1 B.a＝－1，b＝－1
C.a＝1，b＝1 D.a＝1，b＝－1
√
例4
因为复数a＋i与－1＋bi互为共轭复数，
思维升华
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数的共轭复数是它本身，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
训练4
√
√
(2)(多选)下列说法正确的是
A.复数和其共轭复数都是成对出现的
B.实数不存在共轭复数
C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D.复数和其共轭复数的模相等
√
由共轭复数的相关知识可知，A，D正确.
【课堂达标】
√
√
复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；
z的共轭复数为－1＋2i，C正确；
复数z在复平面内对应的点为(－1，－2)，
不在直线y＝－2x上，D不正确.故选AC.
√
即y2＝4，解得y＝±2.
∵复数z对应的点在第二象限，
∴y＝2.
4.若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________.
5
【课时精练】
√
1.当0A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
∵0∴m＋1>0，－1故对应的点在第四象限内.
√
√
3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是
A.4＋8i B.8＋2i C.2＋4i D.4＋i
由题意知点A的坐标为(6，5)，
点B的坐标为(－2，3).由中点坐标公式得线段AB的中点C的坐标为(2，4)，
故点C对应的复数为2＋4i.
√
√
√
因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
7.若复数z1＝(x－3)＋(y－1)i，z2＝2x－i(x，y∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z1的模为________.
3＋i
3－i
9.复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，求|z|.
∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
因为点Z在虚轴上，
所以m－1＝0，解得m＝1，
所以z＝－2i，
(2)若点Z在直线y＝2x上，求复数z的模|z|.
因为点Z在直线y＝2x上，
所以m2－m－2＝2(m－1)，
解得m＝0或m＝3，
所以z＝－1－2i或z＝2＋4i，
√
11.(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i(t∈R)，则下列结论正确的是
A.z的对应点位于第一象限 B.z一定不是纯虚数
C.z的对应点在实轴上方 D.z一定不是实数
√
复数z对应的点为(2t2＋5t－3，t2＋2t＋2).
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z可以是纯虚数，
一定不是实数，z的对应点在实轴上方，故B错误，C，D正确.
√
√
当a＝0时，b＝1，
由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；