人教B版高中数学必修第四册第十章复数10.2.1复数的加法与减法课件(共54张PPT)

(共54张PPT)
第十章 10.2　复数的运算
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
学习目标
我们知道，任意两个实数都可以相加、减，实数的加法运算还满足交换律与结合律.
复数中的加法应如何规定，才能满足类似于实数加法的交换律与结合律？这正是这一节我们要讨论的问题.
引入
课时精练
一、复数的加、减法运算
二、复数加、减法的几何意义
三、复数模的综合问题
课堂达标
内容索引
复数的加、减法运算
一
探究1 多项式的加减运算实质是合并同类项，类比想一想复数如何进行加减运算？
提示　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
1.运算法则
(1)复数的加法
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________________.
(2)复数的减法
①一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的________记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi.
②复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2).
③一般地，如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________________________.
知识梳理
(a＋c)＋(b＋d)i
相反数
(a－c)＋(b－d)i
2.加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1＋z2＝z2＋z1
结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
例1
－2－i
(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，
若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
z1－z2＝(3x－4y)－(－2x＋y)＋[(y－2x)－(x－3y)]i
＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
1.复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，类似于多项式合并同类项.
2.当需设出复数z的表达式时，一般设z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解.
思维升华
(1)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________________.
(2)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝____________.
训练1
－a＋(4b－3)i
－4＋3i
(1)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
复数加、减法的几何意义
二
探究2 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
类比平面向量的加减运算，给出空间向量的加减运算及运算律.
知识梳理
温馨提示
例2
思维升华
在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长.
训练2
复数模的综合问题
三
探究3 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
提示　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
(1)若|z－i|＝|z＋i|，则复数z对应的点Z在
A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限
√
例3
角度1　复平面内动点的轨迹
∵|z－i|＝|z＋i|，∴点Z到(0，1)和(0，－1)的距离相等，即点Z在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段的中垂线上.故选A.
√
(2)满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应点的轨迹是
A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.一条线段
因为|z－i|＝|3＋4i|＝5，所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆.
(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是________.
例4
角度2　两复数和及差的模的关系
1
设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，
所以|z＋i＋1|min＝1.
(变条件，变设问)若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|的最小值.
迁移
因为|z|＝1且z∈C，作图如图所示.
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，
思维升华
1.|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
2.在复平面内，复数z1，z2对应的点为A，B.
(1)若|z－z1|＝|z－z2|，则复数z对应点的轨迹是线段AB的中垂线；
(2)若|z－z1|＝r(r＞0)，则复数z对应点的轨迹是圆.
3.复平面内最值问题，可利用数形结合方法解决，有时也可直接用||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解.
训练3
√
√
√
【课堂达标】
√
√
对于A，若z为纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)，
对于B，由z1＋z2＝0，得出z1＝－z2，
可设z1＝1＋i，
√
3.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
3
由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，
又z1＋z2是纯虚数，
4.复数z满足|z－2＋i|＝1，则|z|的最大值是________.
由|z－2＋i|＝1得|z－(2－i)|＝1，
则z对应的点构成以C(2，－1)为圆心，1为半径的圆，|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离，
【课时精练】
√
1.若z＋3－2i＝4＋i，则z＝
A.1＋i B.1＋3i C.－1－i D.－1－3i
z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
√
2.已知a，b∈R，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，且z1－z2＝0，则复数a＋bi＝
A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i
z1－z2＝2＋bi－a－i＝(2－a)＋(b－1)i＝0，
∴2－a＝0，b－1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∴a＋bi＝2＋i.
√
√
4.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，
∴P为△ABC的外心.
√
5.(多选)已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值可以是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
由题意得z1－z2＝(2－a)＋(a－1)i，
6.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
-1
∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，
因为z＋2i是正实数，可设z＝a－2i(a＞0)，
3＋5i
∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，
9.计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)].
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
10.已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点D对应的复数.
设第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图.
√
设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，
又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
12.已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝___________，z2＝___________.
5－9i
－8－7i
z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
由已知，复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心，半径为2的圆上，
√
√
√
复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，