人教B版高中数学必修第四册第十章复数10.2.2复数的乘法与除法课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第十章 10.2　复数的运算
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
学习目标
复数的代数形式的加法、减法可参照多项式的相关运算法则进行，那么复数的乘除法可以看作多项式乘除吗？这正是这一节我们要研究的问题.
引入
课时精练
一、复数乘法的运算法则和运算律
二、复数除法的运算法则
三、实系数一元二次方程在复数范围内的解
课堂达标
内容索引
复数乘法的运算法则和运算律
一
探究1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
提示　复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
探究2 我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有c(a＋b)＝ac＋bc，而且实数的正整数次幂满足aman ＝am＋n，(am)n ＝amn，(ab)n ＝anbn，其中m，n均为正整数，那么，你认为复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？请证明你的猜想.
提示　猜想：
对于任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；
(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
证明：
设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i.
(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，
z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，
又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，
b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，
∴z1z2＝z2z1.
(2)(3)略.
1.复数的乘法法则
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝__________________________________.
知识梳理
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝__________
结合律 (z1z2)z3＝__________________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
温馨提示
(1)(2＋2i)(1－2i)＝
A.－2＋4i B.－2－4i C.6＋2i D.6－2i
例1
√
(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.
(2)计算下列各题：
①(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；②(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；③(1－2i)(3＋4i)(－2＋i).
①(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
②(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
③(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.
复数乘法运算的注意事项
(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似，展开后化简即可，注意i2＝－1的应用.
(2)多个复数的乘法运算，可以利用乘法交换律和结合律进行简便运算，注意两个共轭复数的积是实数.
提醒：灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”进行复数乘法计算.
思维升华
(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于
A.2i－13 B.13＋2i C.13－2i D.－13－2i
训练1
√
(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
√
复数除法的运算法则
二
探究3 复数的除法运算与乘法运算有什么联系？怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算？
知识梳理
温馨提示
例2
思维升华
复数除法运算的注意事项
(1)将复数的除法运算转化为“分式”的形式，再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.
(2)多个复数的除法运算，有括号先算括号内的，没有括号按照从左向右的顺序进行计算.
提醒：复数的除法运算不满足交换律和结合律.
√
训练2
√
√
√
实系数一元二次方程在复数范围内的解
三
探究4 我们已经知道虚数i是方程x2＝－1的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数a>0，那么方程x2＝－a在复数范围内的解集是什么？
1.实系数一元二次方程根的判定
当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的.
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的________；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为______的虚数根.
知识梳理
实数根
共轭
已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
例3
∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
(2)试判断1－i是不是方程的根.
由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
思维升华
(1)(多选)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是
A.－3＋2i B.－3－2i C.－2＋3i D.2＋3i
训练3
√
√
∵方程x2＋6x＋13＝0中Δ＝62－13×4＝－16＜0，
1
【课堂达标】
√
√
√
3.方程x2＋3＝0在复数范围内的解集为_____________________.
－2＋4i
0
【课时精练】
√
√
√
√
∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
√
√
－2
7.若－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为______________.
－3－2i
实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，∴－3＋2i的共轭复数－3－2i也是方程的根.
1
√
√
由已知得z＝－1－2i，
因为复数(1＋ai)z是纯虚数，
则(1＋ai)(－1－2i)＝－1＋2a＋(－a－2)i，
所以－1＋2a＝0，且－a－2≠0，
13.已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
∵(z－3)(2－i)＝5，
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值.
由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，
14.设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则|z|＝________，复数z对应的点位于复平面的____________象限.
第一或第三
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i.