山东济南市历城区2025-2026学年下学期九年级3月质量检测数学试题（含答案）

山东济南市历城区2025-2026学年下学期九年级3月质量检测数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下面四个实数中，最小的数是（）
A. B. C. 0 D. 3
2.已知一粒红豆的质量是千克，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）
A. B. C. D.
4.中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. 如意纹 B. 风车纹
C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹
5.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
6.光线在不同介质中的传播速度是不同的, 因此光线从水中射向空气时, 要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,1=,2 =,则3+4=( )
A. B. C. D.
7.“泰山”“曲阜三孔”“崂山”和“趵突泉”是山东省四个有代表性的旅游景点。若小辉从这四个景点中随机选择两个景点游览,则这两个景点中有“趵突泉”的概率是( )
A. B. C. D.
8.定义新运算：m*n＝m2-2m-3n，例如：3*4＝32-2×3-3×4＝-9．若关于x的一元二次方程x*a＝3有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，垂足为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10.关于二次函数y=-4ax-5(a0)的四个结论:对任意实数m,都有=2+m与=2-m对应的函数值相等;当3x4时,函数值y的取值范围内恰有4个整数,则-< a-1或1a<;若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB6,则a<-或a1;M(,),N(,)是抛物线上两点,若<,+>4,则<。其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若分式有意义，则实数的取值范围是 ．
12.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是 .
13.如图，中，，，以为直径的交于点，则弧的长为 ．
14.如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了 小时.
15.如图，在四边形中，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
16.计算：
17.解不等式组，并写出它的所有正整数解．
四、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE．
19.(本小题8分)
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：）
(1) 求屋顶到横梁的距离；
(2) 求房屋的高（结果精确到）．
20.(本小题8分)
如图，内接于⊙，为⊙的直径，平分交⊙于点，交于点，连接，过点作⊙的切线交的延长线于点．
(1) 求证：；
(2) 如果，求的长．
21.(本小题12分)
某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生的测试成绩，进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：，，，，，，，，，，，．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 所抽取的学生成绩为等级的人数为________，并将条形统计图补充完整；
(2) 成绩为等级的人数对应的扇形圆心角度数是 度；
(3) 所抽取的学生成绩的中位数是 分；
(4) 该校七年级共有名学生参加本次测试，若测试成绩不低于分的为优秀，请估计该校七年级参加本次测试成绩达到优秀的学生人数．
22.(本小题8分)
某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类处理不可回收垃圾，B类处理可回收垃圾，已知每一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨．
(1) 求该市A，B两类垃圾处理场各有多少个？
(2) 为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨，市政府拟将个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，请给出新建的垃圾处理场日处理垃圾最多的改建方案，最多日处理垃圾为多少吨？
23.(本小题9分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知，顶点在第一象限，在轴的正半轴上（在的右侧），与关于所在的直线对称．
(1) 当时，求点的坐标；
(2) 若点和点在同一个反比例函数的图象上，求的长
(3) 如图2，将（2）中的四边形向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点．问：在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题9分)
【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
(1) 【尝试探究】
如图1，当时，易知；

如图2，当时，则与的数量关系为 ；
(2) 如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；
(3) 【拓展应用】
如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．
25.(本小题9分)
如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 如图2，连接，，，设的面积为．
①求关于的函数表达式：
②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】1.5
15.【答案】
16.【答案】解：原式
．

17.【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴它的所有正整数解为．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB-AE=BC-CF，
即BE=BF，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE．
19.【答案】【小题1】
解：房屋的侧面示意图，是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，
（米），
答：屋顶到横梁的距离约为米；
【小题2】
如图②，过作于，设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，
，
解得：（米），
（米），
答：房屋的高约为米．

20.【答案】【小题1】
解：如图所示，连接，
因为为⊙的直径．
所以．
因为平分，
所以．
所以．
因为与相切于点，
所以．
所以．
所以．
所以．
【小题2】
解：如图所示，过点作的垂线，交于点．
因为，
所以．
因为，
所以．
又因为，
所以四边形为矩形．
因为
所以，．
所以．
所以．

21.【答案】【小题1】
解：∵等级的人数为人，所占百分比为，
∴抽取的总人数为（人），
∴等级的人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小题2】
【小题3】
【小题4】
解：∵所抽取的学生成绩为优秀的人数为（人），
∴名学生中，本次测试成绩达到优秀的学生人数为（人）．

22.【答案】【小题1】
解：设该市A类垃圾处理场有x个，则B类垃圾处理场有个，
根据题意得：，
解得：，则（个）
答：该市A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个；
【小题2】
解：设改建后日处理垃圾为y吨，
根据题意得到改建后一个A类垃圾处理场日处理量为25吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有个，
则，
即，
，
随a的增大而减小，
，
当时，y有最大值，最大值为：（吨）
答：将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，垃圾处理场日处理垃圾最多，最多日处理垃圾为635吨．

23.【答案】【小题1】
解：如图，过点作轴于点，
由轴对称的性质可知，，
∴，
∴在中，，，
∵，
∴，
∴点的坐标为．
【小题2】
解：如图，过点作轴于点，
∵，，
∴，
设，则，
由（1）已得：，，
∴，
∴，
∵点和点在同一个反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴的长为3．
【小题3】
解：①如图，当时，以点为顶点的三角形是直角三角形，
连接，，，
∵，，
∴，，
由轴对称的性质可知，，，，
由平移的性质可知，，，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
又∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
设，则，
同（2）可得：，
∴，即，
∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴；
②如图，当时，以点为顶点的三角形是直角三角形，
连接，，，其中与交于点，
同理可得：，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴（两直线平行，内错角相等），，
∴，
∴，
∴，在中，，
∴，
设，则，
同（2）可得：，
∴，即，
∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴；
综上，存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形；此时的值为或．

24.【答案】【小题1】

【小题2】
解：；
如图，过点A作于点H，

∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
【小题3】
．
方法一：
如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，

∴．
∴．
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴．
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
方法二：
如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，

∴．
∴．
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
设，则，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：∵抛物线与轴交于两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
【小题2】
解：如图，连接，交对称轴于，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为，
∵四边形是菱形，
∴，，轴，
∵抛物线解析式为，
∴当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【小题3】
解：①如图，过点作轴于，交于，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴．
②如图，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，即点到直线的距离的最大值为，
当时，，
∴．

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