人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.1.5旋转体课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
第十一章 11.1　空间几何体
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式.
学习目标
举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点.它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个几何体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单图形通过旋转形成的旋转体构成的.常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球等，这些几何体分别是由什么图形旋转而成的呢？
引入
课时精练
一、旋转体的结构特征
二、圆柱、圆锥、圆台的有关计算
三、球的有关计算
课堂达标
内容索引
旋转体的结构特征
一
知识梳理
1.圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体
图形
结构特征 表示 圆柱O1O 圆锥______ 圆台O1O
底面 两底面______且半径相等的圆面 圆面 两底面是平行且半径不相等的圆面
母线 平行且______ 相交于顶点 延长线交于一点
平行于底面的截面 与两底面平行且半径相等的圆面 平行于底面且半径不相等的圆面 与两底面平行且半径不相等的圆面
轴截面 ______ ____________ 等腰梯形
SO
平行
相等
矩形
等腰三角形
圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
温馨提示
2.球的概念及结构特征
球 图形及表示
定义：球面可以看成一个__________________所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球
图中的球表示为球O
相关概念：
球心：形成球面的半圆的______；
半径：连接球面上一点和球心的______；
直径：连接球面上______且通过球心的______；
大圆：球面被经过球心的平面截得的____；
小圆：球面被不经过球心的平面截得的____
半圆绕着它的直径
圆心
线段
两点
线段
圆
圆
球与球面是完全不同的两个概念，球是几何体，而球面是曲面，是球的表面.过两点的大圆中，若两点恰为球的直径端点，则这时大圆有无数个.
温馨提示
下列说法中正确的是________(填序号).
①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥；
②以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体是圆柱；
③用一个平面去截圆柱，得到的截面是一个圆面或者矩形面.
例1
②
对于①，以直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是两个圆锥构成的组合体，故①错误；
对于②，由圆柱的定义可以判断②正确；
对于③：用不平行于底面的平面截圆柱，可以得到的是椭圆形截面，故③错误.
1.判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成；
(2)明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
思维升华
(多选)下列命题正确的是
A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥
D.半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球
训练1
√
√
对于A，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周而形成的几何体为圆台；对于B，它们的底面为圆面；CD正确.
圆柱、圆锥、圆台的有关计算
二
圆柱、圆锥、圆台的有关计算公式
知识梳理
旋转体 图形 表面积公式
圆柱 底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝____________________
圆锥 底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝________
表面积：S＝________________
2πrl＋2πr2
πr2
πrl
πrl＋πr2
旋转体 图形 表面积公式
圆台 上底面面积：S上底＝__________
下底面面积：S下底＝________
侧面积：S侧＝__________________
表面积：S＝____________________
πr′2
πr2
πl(r＋r′)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
(1)已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径；
例2
法一　圆台的轴截面如图所示，
根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.
在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，
AD＝AO－A′O′＝2x cm，
所以A′D＝AD＝2x cm.
(2)已知圆台的两底面面积分别为π，49π，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
画出圆台的轴截面，如图所示.O1，O，O2分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心.
令OO1＝h1，OO2＝h2，
∴h1＝2h2，
∴h1∶h2＝2∶1，即圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
思维升华
1.旋转体基本量的计算，一般从轴截面入手，利用等腰梯形、等腰三角形、矩形或结合题目条件，利用平行线分线段成比例，相似等知识解决.
2.有关截面圆半径的计算可以借助圆锥的轴截面，利用相似三角形的相似比求解.
3.过圆锥顶点的截面中，面积最大的是过顶点且两条母线的夹角为90°的等腰三角形.
(1)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.则圆台的高为________cm；截得此圆台的圆锥的母线长为________cm.
训练2
20
如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线长为x cm，由条件可得圆台上底面半径r′＝2 cm，下底面半径r＝5 cm.
(2)已知一个圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面圆的面积为________.
9π
设SO＝x，SO2＝4x，则OO2＝3x，
因为OO1∶O1O2＝2∶1，所以OO1＝2x.
球的有关计算
三
1.球的截面的性质
(1)球的截面是一个______；
(2)球心与截面圆圆心的连线______于截面；
知识梳理
圆面
垂直
2.球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积为______________，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
S＝4πR2
(链接教材P80例2)(1)在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________.
例3
12
(2)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是________.
3
如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，
设球心到大截面圆的距离为d，
则5＋(d＋1)2＝8＋d2，
思维升华
1.设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解.
2.球的截面为两个截面时，要考虑两个截面在球的同侧和异侧两种情况.
11
在半径是13 cm的球面上有A，B，C三点，AB＝BC＝CA＝12 cm，则球心到经过这三点的截面的距离为________cm.
训练3
设经过A，B，C的截面圆的圆心为O1，球心为O，
连接OO1，则OO1为球心到经过A，B，C三点的截面的距离.
因为O1为正三角形ABC的外心，
【课堂达标】
1.有下列四种说法：
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；
②以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；
③圆台的轴截面为等腰梯形；
④圆锥的底面是圆面，侧面是个曲面.
其中错误的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转一周形成的几何体，故①错误；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，故②错误；由圆台的性质知③正确；④是圆锥的性质，故④正确.
√
设截面半径为r，则πr2＝π，∴r2＝1.
3.已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________.
144π
∴该圆锥的侧面积为π·8×10＝80π，
底面积为π·82＝64π，
∴该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.
4.已知湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球的半径是________ cm，表面积是________ cm2.
5
100π
设球心为O，OC是与冰面垂直的球的半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，
设球的半径为R，
则OD＝R－1，
则(R－1)2＋32＝R2，解得R＝5 cm，
所以该球的表面积S＝4πR2＝4π·52＝100π(cm)2.
【课时精练】
√
1.(多选)下列命题正确的是
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个
B.用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面
C.圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交
D.过圆锥顶点的截面是等腰三角形
√
B错误，截面可能是一个三角形；C错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；A，D正确.
√
2.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是
A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确
当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.
√
√
4.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面圆的面积与球的一个大圆面积之比为
A.1∶4 B.1∶2 C.3∶4 D.2∶3
设球的半径为R，
√
5.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球的表面积为
A.42π B.48π C.54π D.56π
设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r.
如图，O为球心，O′是△ABC的外心，则OO′⊥平面ABC.
连接CO′并延长，交AB于点D.
6.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________.
7.若正方体的表面积为a2，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______.
设正方体棱长为x，球半径为R，
8.已知圆锥母线长为8，底面半径为2，A为底面圆周上一点，从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后再回到A，则绳长的最小值为________.
将圆锥侧面沿过A点的母线展开，
9.设球面上三点A，B，C组成这个球的内接三角形，AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，求球的半径.
如图所示，
△ABC为球O的内接三角形，
由题意知AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且AC为斜边.
∴△ABC所在平面截球所得的小圆圆心为△ABC的外心，
且小圆圆心O1恰好为AC边的中点，
则OO1⊥平面ABC，∴OO1即为球心到△ABC所在平面的距离.
10.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r.
过轴SO作截面，如图所示.
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
√
11.(多选)下列命题为真命题的是
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球
D.空间中到一个定点的距离等于定长的所有的点组成的曲面是球面
√
A中命题是真命题；B是假命题，只有两点的连线通过球心时才为直径；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故C中命题为假命题；D项中命题为真命题.
12.如图，在直角梯形中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2，AB＝3，∠ABC＝60°，将此梯形以边AD所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的侧面积是________，表面积是________.
10π
23π
将此梯形以AD所在直线为旋转轴旋转一周，得到的是圆台，其中圆台的上底面圆的半径r＝CD＝2，下底面圆的半径R＝AB＝3，母线BC＝2，
∴圆台的上底面圆的面积为πr2＝4π，下底面圆的面积为πR2＝9π，圆台的侧面积为(πr＋πR)·BC＝π·(2＋3)×2＝10π，
∴圆台的表面积为4π＋9π＋10π＝23π.
如图所示，
取△ABC，△A1B1C1的外接圆的圆心分别为M，N，连接MN，取MN的中点O，则O是三棱柱ABC－A1B1C1外接球的球心，连接OA，AM.
14.一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，则过该顶点的圆锥截面中最大截面面积为________，轴截面的面积为________.
因为圆锥的轴截面的顶角为120°，大于90°，