人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
第十一章 立体几何初步
1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实与推论.
2.会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置关系.
学习目标
通过前面的学习，我们直观认识了点、线、面之间的位置关系，初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素.现在我们将在直观认识的基础上来论证空间点、线、面之间的关系，以进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.
引入
课时精练
一、平面的概念、画法及表示
二、基本事实及应用
课堂达标
内容索引
平面的概念、画法及表示
一
探究1 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海平面都给我们以平面的形象，请问生活中的平面有大小之分吗？几何中的“平面”呢？如何表示平面？
提示　生活中的平面有大小之分.而几何中的“平面”是从生活中的物体抽象出来的，是平的，无限延展的，且无大小之分；平面可用α，β，γ等表示，也可用表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写字母表示.
1.平面
(1)定义：几何里所说的“平面”，是从生活中的课桌面、黑板面、平静的水面等抽象出来的.
(2)本质：由点构成，平的，向四周__________.
知识梳理
无限延展
2.平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用______画出来.如图②.
虚线
3.平面的表示法
如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.
下列说法正确的是
A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面 D.一个平面可以将空间分成两部分
例1
√
A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；
B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；
C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面；
D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.
1.“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；
2.“平面”无厚薄之分；
3.“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.
思维升华
(多选)下列说法正确的是
A.平面是处处平的面 B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
训练1
√
√
平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，A，B两种说法是正确的；C，D两种说法是错误的.
基本事实及应用
二
探究2 (1)观察图中的三脚架，你能得出什么结论？
(2)若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的
其余点和桌面有何关系？
(3)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？
提示　(1)三个不共线的点将桌面固定.
(2)直尺边缘上的其余点都在桌面上.
(3)不一定，当三点在同一条直线上时，不能判断两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面，两平面重合.
1.三个基本事实
知识梳理
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，__________一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在__________内 如果A∈α，B∈α，那么直线__________
有且只有
两个点
这个平面
AB α
基本事实 内容 图形 符号
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________ A∈α且A∈β A∈a，α∩β＝a
公共直线
2.三个推论
推论 内容 图形
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
(1)本质：基本事实是人们通过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，进一步研究立体几何的基础.
(2)应用
基本事实1：确定平面；
基本事实2：确定直线在平面内；
基本事实3：确定点共线.
温馨提示
(链接教材P94例1)如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
例2
角度1　点、线共面问题
法一(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，
又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
思维升华
证明点、线共面问题的常用方法
若一条直线与两平行直线都相交，求证：这三条直线共面.
训练2
由题意，如图，设a∥b，直线c与直线a，b相交于点A，P，
因为a∥b，所以b与a确定一个平面α，且A∈α，P∈α.
所以AP α.即c α，
所以a，b，c共面，即原命题得证.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
例3
角度2　共线、共点问题
如图，连接EF，D1C，A1B，
所以E，F，D1，C四点共面，
可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以由基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点.
(变条件、变证法)若将题目条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线.
迁移
因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面ABCD，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立.
所以点D，A，M三点共线.
思维升华
1.证明三点共线的方法
思维升华
2.证明三线共点的步骤
已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，γ∩β＝a，α∩γ＝b.若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点.
训练3
记平面PBC为α，平面PAB为β，平面PAC为γ，
∵α∩γ＝b，γ∩β＝a，
∴a γ，b γ.
又直线a和b不平行，
∴直线a和b必相交.
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
又∵a β，b α，∴P∈α，P∈β.
又α∩β＝c，
∴P∈c，即直线c经过点P，
∴a，b，c三条直线必过同一点.
【课堂达标】
1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则
A.C∈α B.C α C.AB α D.AB∩α＝C
√
因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.
2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是
√
画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示，并画出两平面的交线.
3.一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定________个平面.
4
设直线为a，直线a外不共线的三点为A，B，C，
则A，B，C三点确定一个平面；
直线a与A确定一个平面；
直线a与B确定一个平面；
直线a与C确定一个平面，
故最多可确定4个平面.
4.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.
4
7
(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
【课时精练】
√
1.(多选)空间不共线的四点确定平面的个数可以为
A.1 B.3 C.4 D.5
√
若四点共面，则可确定1个平面；
若四点不共面，则可确定4个平面.
√
2.空间四点E，F，G，H共面而不共线，那么这四点中
A.必有三点共线 B.可能三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
E，F，G，H共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，
A错误，B正确；当任意三点不共线时，也满足条件，
故C错误；当其中三点共线时，
也满足条件，故D错误.
√
3.下列命题中正确的是
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
共线的三点不能确定一个平面，故A错误；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错误；四边都相等的四边形可以是空间四边形，D错误.
√
4.如图，平面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝
A.直线AC B.直线BC
C.直线CR D.以上都不对
由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.
√
5.(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
√
√
∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β).
由基本性质可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β＝A的写法错误，∴C不正确；A，B，D均正确.
6.设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
∈
因为a∩b＝M，a α，b β，
所以M∈α，M∈β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
7.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.
共线
∵AC∥BD，
∴AC，BD确定一个平面β(推论3)，
∴α∩β＝CD，AB β，
又O∈AB，∴O∈β.
又O∈α，∴O∈CD，
即O，C，D三点共线.
2
8.给出下列说法：
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内；
③三条两两相交的直线在同一平面内；
④有三个不同公共点的两个平面重合；
⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面.
其中正确的个数是________.
易知①⑤正确；②错误，因为在空间中，这两条直线可能是异面直线；③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内.④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上.
9.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线.
∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面，记为β，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，
∴E∈β，∴E在α与β的交线l上，
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
10.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线.
∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∴AB∩CD＝P，∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵AC∩α＝Q，∴Q∈α，Q∈β.
同理P∈α且P∈β，R∈α且R∈β.
∴P，Q，R在平面α与β的交线上，
故P，Q，R三点共线.
√
11.(多选)下列命题是假命题的是
A.不共面的四点中，其中任意三点不共线
B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
√
√
A为真命题；B中，当A，B，C三点共线时，结论有可能不成立；C中，b，c可能不共面；D中，四边形的四条边可以不在一个平面上.故BCD均为假命题.
12.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上.
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在______________上；
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在______________上.
直线BD
直线AC
(1)EH 平面ABD，FG 平面BCD，EH∩FG＝P，又平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴点P在两平面的交线BD上，
(2)同理，Q在AC上.
13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BC的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与正方体表面的交线.
连接C1P并延长交B1B的延长线于点M，连接MA1与AB相交于Q，连接A1C1，PQ，则A1C1，C1P，PQ，QA1就是所求的交线(如图所示).
14.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
√
√
√
连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确.