人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.1.6祖暅原理与几何体的体积课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
第十一章 11.1　空间几何体
学习目标
1.理解祖暅原理的内容.
2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.
3.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.
引入
(链接教材P83)取一摞书放在桌子上，将他们改变一下形状(如图)，这时这摞书高度没有改变，每本书底面的面积也没有改变，观察改变前后这摞书的体积如何变化？从以上事实中你得到什么启发？这节课，我们用数学的知识去解释这一现象，这正是我们要学的祖暅原理.
课时精练
一、柱体、锥体、台体的体积
二、球的体积
三、组合体的体积
课堂达标
内容索引
一
柱体、锥体、台体的体积
探究 如果一个锥体的底面积和高与一个柱体的底面积和高都相等，那么这个锥体的体积与柱体的体积有什么关系？
1.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个__________间的两个几何体，如果被______于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定______.
2.作用：________________的两个柱体或锥体的体积相等.
知识梳理
平行平面
平行
相等
等底面积、等高
3.柱体、锥体、台体的体积公式如下表，其中，棱柱、棱锥的底面积为S，圆柱、圆锥的底面圆半径为r，高为h，台体上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，圆台上、下底面圆的半径分别为r′和r.
Sh
柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
温馨提示
(链接教材P84例1)如图所示三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比.
例1
设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
1.常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
2.求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.
思维升华
训练1
√
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，则点A1到平面AB1D1的距离为________.
设点A1到平面AB1D1的距离是h，由题意知VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1.
球的体积
二
知识梳理
在球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积.
例2
∵PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，
∴以PA，PB，PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P，A，B，C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径.
思维升华
求球的体积的方法
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
训练2
在△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即∠ACB＝90°，
所以O1是AB的中点，
即O1B＝O1A＝5，
组合体的体积
三
√
例3
(2)如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴旋转一周得到一几何体，其中∠BAC＝30°，求该几何体的体积.
如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.
思维升华
求组合体体积的方法
(1)分析组合体的结构特征：弄清组合体的组成形式，找准常见几何体的关键量.
(2)设计计算方法：依据组合体的组成形式，经常利用“切割”“补形”的方法求解.
(3)计算求值：依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解.
训练3
√
【课堂达标】
√
√
√
由题意知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，则分两种情况：
10
设底面边长为a cm，高为h cm，
4.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为________.
4R
【课时精练】
√
设正方体的棱长为a，则6a2＝96，
∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.
√
√
3.若一个球的直径为d，体积为V球，一个正方体的棱长为a，体积为V正，且它们的表面积相同，则有
A.d＞a，V球＞V正 B.d＞a，V球＜V正
C.d＜a，V球＞V正 D.d＜a，V球＜V正
球直径为d，则表面积S＝πd2.正方体棱长为a，则表面积为6a2.
√
4.如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面的边A1B1作平行于CC1的平面A1B1EF，则这个平面分三棱台成两部分的体积之比为
A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.4∶5
设棱台上底面面积为S，由上、下底面边的比为1∶2，可知下底面面积为4S.
√
5.如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为
6.若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm3，则棱台的高度为________cm.
2
由题意设正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5x，2x，8x，
7.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的高为________，体积为________.
8
224π
设上底面半径为r，则下底面半径为R＝4r，高为4r，如图.
∵母线长为10，
∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
8.现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为
________.
设正三棱柱的底面积为S.
∵E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点，
9.若正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积.
如图，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，O1，O分别为上、下底面的中心，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，
S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，
10.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的.已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm.
求：(1)“浮球”的体积；
由已知可得，半球的直径为6 cm，则其半径R＝3 cm，
(2)“浮球”的表面积.
根据题意，上下两个半球的表面积之和为S球表＝4πR2＝4π·9＝36π(cm2)，
又圆柱的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2π·3×2＝12π(cm2)，
∴“浮球”的表面积S＝36π＋12π＝48π(cm2).
√
11.(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
√
依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR·2R＝4πR2，∴A错误；
12.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是
A.54 B.54π C.58 D.58π
√
设上底面半径为r，则由题意得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则
法一　将正四面体ABCD置于正方体中，如图所示，
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球的直径.
设外接球的半径为R，
法二　如图所示，
设正三角形BCD的中心为O1，O为球心，正四面体ABCD外接球的半径为R，
因为AE为球的直径，
所以AD⊥DE，AE⊥O1D.
14.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰激凌，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰激凌的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰激凌融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
设圆锥形杯子的高为h cm，
要使冰激凌融化后不会溢出杯子，
则必须V圆锥≥V半球，