人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.1.1空间几何体与斜二测画法课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
第十一章 11.1　空间几何体
1.认识空间几何体.
2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、棱柱等)的直观图.
学习目标
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系.在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系，这就需要学习直观图的有关知识.
引入
课时精练
一、空间几何体
二、平面图形的直观图
三、空间几何体直观图的画法
课堂达标
内容索引
四、直观图的还原与计算
空间几何体
一
探究1 除了长方体、正方体外，我们以前还接触过哪些几何体？
提示　棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
空间几何体的定义
如果只考虑一个物体占有的空间______和______，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.
知识梳理
形状
大小
平面图形的直观图
二
探究2 空间几何体在生活中很常见，你知道这些几何体是如何画出来的吗？
观察下面的图形，回答有关问题：
(1)从图1到图2，图形中的角发生了怎样的变化？
(2)从图1到图2，从图形中的位置关系和数量关系上观察，你能发现什么？
提示　(1)由直角变成锐角或钝角.
(2)从位置关系看：图1中平行的线段，在图2中保持平行.
从数量关系看：与y轴重合或平行的线段数量减半；与x轴重合或平行的线段数量不变.
1.直观图
立体几何中，用来表示空间图形的__________，习惯上称为空间图形的直观图.为了使直观图具有立体感，人们经常使用____________来作直观图.
知识梳理
平面图形
斜二测画法
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x′轴或y′轴
的线段
保持原长度不变
一半
(链接教材P60练习BT2)已知水平放置的正五边形ABCDE，如图，试作出其直观图.
例1
画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中作出相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
思维升华
1.在画平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.
2.在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.
用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
训练1
(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
空间几何体直观图的画法
三
探究3 画空间几何体的直观图与画平面图形的直观图有什么区别？
提示　画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
用斜二测画法作立体图形直观图的步骤
(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相______的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴).
(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴______于x轴与y轴，过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴______于x′轴.
图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴______ (或______)的线段，且长度不变.
连接有关线段.
(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成______ (或擦除).
知识梳理
垂直
垂直
垂直
平行
重合
虚线
如果两条相等线段平行，则直观图中仍平行且长度相等，若只相等而不平行，则对应的线段长度不一定相等.
温馨提示
用斜二测画法画出正六棱锥的直观图.
例2
①在正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取与AD垂直的对称轴MN为y轴，两轴相交于点O，建立直角坐标系(如图(1)所示).
②画相应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，
使∠x′O′y′＝45°.
以O′为A′D′及M′N′的中点，
在x′轴上取A′D′＝AD，
以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC，
再以点M′为中点画E′F′平行于x′轴，
并且等于EF.
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，则得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)在直观图中画六棱锥的顶点P′.连接O′P′，以O′P′所在直线为z轴.过O′作与z轴对应的z′轴，在O′z′上取点P′，使O′P′＝OP.
连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′(如图(2)所示).
(3)擦去x′轴、y′轴、z′轴，被面遮挡住的线段A′F′，E′F′，P′F′改成虚线，
便得到正六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(如图(3)所示).
思维升华
1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为：
“一斜、二半、三不变.”
画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图.
训练2
画法：(1)画轴.
画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).
(2)画底面.
以O为中心在xOy平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP＝3.
(4)成图：顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，被面遮挡住的线段AD，PD，CD改成虚线，得四棱锥的直观图如图(2).
直观图的还原与计算
四
√
例3
√
思维升华
1.由直观图还原平面图形关键有两点：
(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的2倍；
(2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴的平行线，确定其在xOy中的位置.
训练3
√
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形通过斜二测画法画出的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________，面积为________cm2.
菱形
【课堂达标】
1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
√
平行的线段在直观图中仍平行，但直角在直观图中不是直角.故选B.
√
原梯形上、下两底长度与直观图中上、下两底的长度分别对应相等，但高不同.
3.如图所示的直观图△A′O′B′，若O′A′＝2，O′B′＝3，则其平面图形的面积为________.
6
由直观图可知其对应的平面图形AOB中，
4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________.
16
由题图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4.
【课时精练】
√
1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于
A.45° B.135° C.45°或135° D.90°
在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°，故∠A′＝45°或135°.
2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是
根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边在其原图中与底边垂直.
√
√
3.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
√
√
根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直，B错误，其余选项均正确.
√
4.(多选)等腰三角形ABC中，AB＝AC，其直观图可能是
√
等腰三角形ABC的斜二测画法的两腰变为不等，故选CD.
√
6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
2.5
由直观图知，原平面图形为直角三角形且∠ACB＝90°，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
7.利用斜二测画法：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是________(填序号).
①②
斜二测画法得到的图形中，原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
8.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平
面图形的面积为__________.
过A作AE⊥BC，垂足为E，
9.作出如图水平放置的直角梯形的直观图.
(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴，
使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示.
(3)擦去作图过程中的辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是水平放置的直角梯形OBCD的直观图，如图③所示.
10.如图，若△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，试将其恢复成原图形.
(1)在已知图形中画坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，
C′A′在x′轴上，C′与O′重合，如图(1)；
(2)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′，如图(2)所示；
(3)在图(1)中过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在图(2)中，在x轴上取OD＝O′D′，
过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(4)连接AB，BC，则△ABC即为原图形，如图(2)所示.
√
11.(多选)下列说法正确的是
A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等
B.最长的线段在直观图中对应的线段仍最长
C.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
D.直角梯形的直观图可能是等腰梯形
√
在斜二测画法中，平行性不变，线段上点的相对位置不变，但线段的长度、角的大小都可能改变.
√
由△ABC的直观图，知在原△ABC中，AO⊥BC.
∵B′O′＝C′O′＝1，
∴BC＝2，AB＝AC＝2，
∴△ABC为等边三角形.
13.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其面积.
正方形A′B′C′D′的原图形为如图所示的四边形ABCD.
∵A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
A′D′＝B′C′，
14.如图，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________.
设△AOB的边OB上的高为h，