人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.3.2直线与平面平行课件(共53张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.3.2直线与平面平行课件(共53张PPT) |
|
|
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共53张PPT)
第十一章 11.3 空间中的平行关系
掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系.
学习目标
(链接教材P101)前面我们已经通过一些常见几何体直观认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外，根据平面的基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，它是我们判断一条直线是否在平面内的重要依据.如果一条直线与平面的公共点有且只有一个，则直线与平面相交，若没有公共点，则直线与平面平行.那么如何判断直线与平面平行呢？这正是我们这一节要讲的内容.
引入
课时精练
一、直线与平面平行的判定定理
二、直线与平面平行的性质定理
三、线面平行的综合应用
课堂达标
内容索引
直线与平面平行的判定定理
一
探究1 将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，假设封面边缘为AB，那么请思考以下两个问题：
(1)翻转中你发现了哪些变化和哪些关系？
(2)AB所在的直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系呢？
提示 (1)翻转的过程其实是以装订边为轴的一个绕轴运动，转动过程中始终AB∥装订边.
(2)AB所在的直线与桌面所在的平面平行或AB在桌面所在平面内.
知识梳理
文字语言 如果平面外的一条直线与______________________，那么这条直线与这个平面平行
符号语言 l α，m α，l∥m l∥α
图形语言
平面内的一条直线平行
(1)判定定理简记为：线线平行 线面平行.
(2)定理中的三个条件缺一不可，特别要注意直线l不在平面α内.
温馨提示
(链接教材P102例1)如图所示，已知P是 ABCD所在平面外的一点，M是PB的中点，求证：PD∥平面MAC.
例1
连接BD交AC于点O，连接OM.
根据题意，得O是BD的中点，M是PB的中点.
所以在△BPD中，OM是中位线，所以OM∥PD.
又因为OM 平面MAC，PD 平面MAC.
所以PD∥平面MAC.
1.判定直线与平面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助反证法来证明.
(2)判定定理法：由线线平行证明线面平行.
2.用直线与平面平行的判定定理证明线面平行
(1)基本步骤：
思维升华
思维升华
(2)上面的第一步是证题的关键，其常用方法有：①利用三角形中位线、梯形中位线的性质；
②利用平行四边形的性质等.
提醒：在证明线面平行时，一定要说明一条直线在平面内，一条直线在平面外，这样才可以得到结论.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1.
训练1
取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略).
∴OF∥BE且OF＝BE，
∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.
∵EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
直线与平面平行的性质定理
二
探究2 如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b，这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
提示 直线a，b共面，直线a与平面α不相交.
知识梳理
文字语言 如果一条直线与一个平面______，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的__________
符号语言 l∥α，____________________ l∥m
图形语言
平行
交线平行
l β，α∩β＝m
性质定理简记为：线面平行 线线平行.该定理是证明两直线平行的重要方法.
温馨提示
(链接教材P103例2)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：四边形MNPQ是平行四边形.
例2
因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以四边形MNPQ是平行四边形.
迁移
由例2知PQ∥AB，
(2)若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积.
∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，
∴四边形MNPQ是矩形.
又BP∶PD＝1∶1，
∴PQ＝5，QM＝4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.
思维升华
若题目条件中有直线l与平面α平行的条件
(1)首先观察过直线l的平面，观察这些平面与平面α是否有交线，如果有，则直线l与交线平行；
(2)若过直线l的平面与平面α没有交线，则应设法作出交线，再利用直线l与交线平行进行证明.
√
训练2
由于AD∥平面PEF，AD 平面ACD，
平面ACD∩平面PEF＝FG，
根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.
由于点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，
(2)如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.
求证：AC＝BD.
如图所示，连接CD，
因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面β，
又因为AB∥α，AB β，α∩β＝CD，
所以AB∥CD.
所以四边形ABDC是平行四边形.
所以AC＝BD.
线面平行的综合应用
三
探究3 (1)若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
(2)若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
提示 (1)不是.
(2)若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个.这些平面与α的交线与直线a之间相互平行.
如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)l与BC是否平行？说明理由；
例3
平行，理由如下：
因为BC∥AD，BC 平面PAD，
AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PBC∩平面PAD＝l，BC 平面PBC，
所以BC∥l.
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.
平行.证明如下：如图所示，
取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM.
所以四边形AMNE是平行四边形，
所以MN∥AE.
又AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
思维升华
2.应用线面平行判定定理，关键是找或作平行线，应用线面平行性质关键是找(或作)过线的平面.
平行四边形
如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______________.
训练3
因为平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，
所以EF∥CD；
同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.
所以GH∥EF，EG∥FH.
所以四边形EFHG是平行四边形.
【课堂达标】
1.直线在平面外是指
A.直线与平面没有公共点 B.直线与平面相交
C.直线与平面平行 D.直线与平面最多有一个公共点
√
直线在平面外是指直线与平面相交或直线与平面平行，故选D.
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则
A.GH∥SA B.GH∥SD
C.GH∥SC D.以上均有可能
√
因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，
所以GH∥SD，故选B.
3.如图，E，F分别为三棱锥A－BCD的棱BC，BA上的点，且BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，则直线EF与平面ACD的位置关系是________.
平行
因为BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，
所以EF∥AC.
又EF 平面ACD，AC 平面ACD，
所以EF∥平面ACD.
4.梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.
CD∥α
因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
【课时精练】
√
1.(多选)下列说法中正确的是
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α或a与α相交
C.若直线a∥b，b α，则a∥α
D.若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线
√
A中，当直线l α时，l与α不平行，故A不正确；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，故B正确；C中直线a可能在平面α内，故C不正确，D正确.
√
2.下列命题中正确的是
A.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D.若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点
A中，若l∩α＝A时，除A点外所有的点均不在α内；
B中，l∥α时，α中有无数条直线与l异面；
C中，另一条直线可能在平面内.
√
3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
由长方体性质知EF∥平面ABCD，
∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH，又∵EF∥AB，
∴GH∥AB，故选A.
√
4.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线
A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，在平面α内
C.有两条，不一定都在平面α内 D.有无数条，不一定都在平面α内
如图所示，
∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，
∴P∈m，
∴l∥m且m是唯一的.
√
5.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
由题意知，OM∥PD，且OM 平面PCD，OM 平面PAD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA，OM与平面PBA、平面PBC均相交，故正确的个数有3个.
6.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有______________条.
0或1
过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.
如图，连接AC交BE于点O，连接OF.
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________.
9.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.
因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，
所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°.
由于AB＝2EF，
因此BC＝2FG.
如图，连接AF.
在 ABCD中，M是线段AD的中点，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，
因此GM∥FA.
又FA 平面ABFE，GM 平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
10.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
法一 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN，
又∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM＝QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又PQ 平面CBE，MN 平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
法二 连接AQ，并延长交直线BC于点R，连接ER，如图.
又PQ 平面CBE，ER 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
√
如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，
∴四边形ADGE为平行四边形，
则AE∥DG，又AE 平面DB1C，
DG 平面DB1C，可得AE∥平面DB1C.
12.(多选)已知直线l，a，b和平面α，则下列结论正确的是
A.若a∥α，b∥α，则a∥b
B.若直线l与平面α内的任意一条直线都不平行，则直线l和平面α相交
C.若l α，则直线l与平面α内某些直线平行
D.若l∩α＝A，则存在平面α内的直线b，使b⊥l
√
√
A中，直线a，b可以平行、相交、异面；C中，
如果直线l和平面α相交，那么在α内没有直线与其平行.B，D正确.
13.如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
法一 如图，连接AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
∵OM 平面BMD，PA 平面BMD，∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA 平面PAHG，
∴PA∥GH.
法二 同法一有AP∥OM.
∵PA 平面PAHG，OM 平面PAHG，
∴OM∥平面PAHG.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
OM 平面BMD，
∴OM∥GH，∴AP∥GH.
14.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件____________________时，A1P∥平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可).
P是CC1的中点
如图，取CC1中点P，连接A1P，
∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，
∴当点P满足条件P是CC1的中点时，A1P∥CD，
∵A1P 平面BCD，CD 平面BCD，
∴当点P满足条件P是CC1的中点时，A1P∥平面BCD.
第十一章 11.3 空间中的平行关系
掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系.
学习目标
(链接教材P101)前面我们已经通过一些常见几何体直观认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外，根据平面的基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，它是我们判断一条直线是否在平面内的重要依据.如果一条直线与平面的公共点有且只有一个，则直线与平面相交，若没有公共点，则直线与平面平行.那么如何判断直线与平面平行呢？这正是我们这一节要讲的内容.
引入
课时精练
一、直线与平面平行的判定定理
二、直线与平面平行的性质定理
三、线面平行的综合应用
课堂达标
内容索引
直线与平面平行的判定定理
一
探究1 将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，假设封面边缘为AB，那么请思考以下两个问题：
(1)翻转中你发现了哪些变化和哪些关系？
(2)AB所在的直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系呢？
提示 (1)翻转的过程其实是以装订边为轴的一个绕轴运动，转动过程中始终AB∥装订边.
(2)AB所在的直线与桌面所在的平面平行或AB在桌面所在平面内.
知识梳理
文字语言 如果平面外的一条直线与______________________，那么这条直线与这个平面平行
符号语言 l α，m α，l∥m l∥α
图形语言
平面内的一条直线平行
(1)判定定理简记为：线线平行 线面平行.
(2)定理中的三个条件缺一不可，特别要注意直线l不在平面α内.
温馨提示
(链接教材P102例1)如图所示，已知P是 ABCD所在平面外的一点，M是PB的中点，求证：PD∥平面MAC.
例1
连接BD交AC于点O，连接OM.
根据题意，得O是BD的中点，M是PB的中点.
所以在△BPD中，OM是中位线，所以OM∥PD.
又因为OM 平面MAC，PD 平面MAC.
所以PD∥平面MAC.
1.判定直线与平面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助反证法来证明.
(2)判定定理法：由线线平行证明线面平行.
2.用直线与平面平行的判定定理证明线面平行
(1)基本步骤：
思维升华
思维升华
(2)上面的第一步是证题的关键，其常用方法有：①利用三角形中位线、梯形中位线的性质；
②利用平行四边形的性质等.
提醒：在证明线面平行时，一定要说明一条直线在平面内，一条直线在平面外，这样才可以得到结论.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1.
训练1
取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略).
∴OF∥BE且OF＝BE，
∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.
∵EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
直线与平面平行的性质定理
二
探究2 如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b，这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
提示 直线a，b共面，直线a与平面α不相交.
知识梳理
文字语言 如果一条直线与一个平面______，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的__________
符号语言 l∥α，____________________ l∥m
图形语言
平行
交线平行
l β，α∩β＝m
性质定理简记为：线面平行 线线平行.该定理是证明两直线平行的重要方法.
温馨提示
(链接教材P103例2)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：四边形MNPQ是平行四边形.
例2
因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以四边形MNPQ是平行四边形.
迁移
由例2知PQ∥AB，
(2)若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积.
∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，
∴四边形MNPQ是矩形.
又BP∶PD＝1∶1，
∴PQ＝5，QM＝4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.
思维升华
若题目条件中有直线l与平面α平行的条件
(1)首先观察过直线l的平面，观察这些平面与平面α是否有交线，如果有，则直线l与交线平行；
(2)若过直线l的平面与平面α没有交线，则应设法作出交线，再利用直线l与交线平行进行证明.
√
训练2
由于AD∥平面PEF，AD 平面ACD，
平面ACD∩平面PEF＝FG，
根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.
由于点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，
(2)如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.
求证：AC＝BD.
如图所示，连接CD，
因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面β，
又因为AB∥α，AB β，α∩β＝CD，
所以AB∥CD.
所以四边形ABDC是平行四边形.
所以AC＝BD.
线面平行的综合应用
三
探究3 (1)若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
(2)若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
提示 (1)不是.
(2)若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个.这些平面与α的交线与直线a之间相互平行.
如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)l与BC是否平行？说明理由；
例3
平行，理由如下：
因为BC∥AD，BC 平面PAD，
AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PBC∩平面PAD＝l，BC 平面PBC，
所以BC∥l.
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.
平行.证明如下：如图所示，
取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM.
所以四边形AMNE是平行四边形，
所以MN∥AE.
又AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
思维升华
2.应用线面平行判定定理，关键是找或作平行线，应用线面平行性质关键是找(或作)过线的平面.
平行四边形
如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______________.
训练3
因为平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，
所以EF∥CD；
同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.
所以GH∥EF，EG∥FH.
所以四边形EFHG是平行四边形.
【课堂达标】
1.直线在平面外是指
A.直线与平面没有公共点 B.直线与平面相交
C.直线与平面平行 D.直线与平面最多有一个公共点
√
直线在平面外是指直线与平面相交或直线与平面平行，故选D.
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则
A.GH∥SA B.GH∥SD
C.GH∥SC D.以上均有可能
√
因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，
所以GH∥SD，故选B.
3.如图，E，F分别为三棱锥A－BCD的棱BC，BA上的点，且BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，则直线EF与平面ACD的位置关系是________.
平行
因为BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，
所以EF∥AC.
又EF 平面ACD，AC 平面ACD，
所以EF∥平面ACD.
4.梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.
CD∥α
因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
【课时精练】
√
1.(多选)下列说法中正确的是
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α或a与α相交
C.若直线a∥b，b α，则a∥α
D.若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线
√
A中，当直线l α时，l与α不平行，故A不正确；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，故B正确；C中直线a可能在平面α内，故C不正确，D正确.
√
2.下列命题中正确的是
A.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D.若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点
A中，若l∩α＝A时，除A点外所有的点均不在α内；
B中，l∥α时，α中有无数条直线与l异面；
C中，另一条直线可能在平面内.
√
3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
由长方体性质知EF∥平面ABCD，
∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH，又∵EF∥AB，
∴GH∥AB，故选A.
√
4.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线
A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，在平面α内
C.有两条，不一定都在平面α内 D.有无数条，不一定都在平面α内
如图所示，
∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，
∴P∈m，
∴l∥m且m是唯一的.
√
5.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
由题意知，OM∥PD，且OM 平面PCD，OM 平面PAD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA，OM与平面PBA、平面PBC均相交，故正确的个数有3个.
6.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有______________条.
0或1
过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.
如图，连接AC交BE于点O，连接OF.
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________.
9.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.
因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，
所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°.
由于AB＝2EF，
因此BC＝2FG.
如图，连接AF.
在 ABCD中，M是线段AD的中点，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，
因此GM∥FA.
又FA 平面ABFE，GM 平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
10.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
法一 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN，
又∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM＝QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又PQ 平面CBE，MN 平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
法二 连接AQ，并延长交直线BC于点R，连接ER，如图.
又PQ 平面CBE，ER 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
√
如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，
∴四边形ADGE为平行四边形，
则AE∥DG，又AE 平面DB1C，
DG 平面DB1C，可得AE∥平面DB1C.
12.(多选)已知直线l，a，b和平面α，则下列结论正确的是
A.若a∥α，b∥α，则a∥b
B.若直线l与平面α内的任意一条直线都不平行，则直线l和平面α相交
C.若l α，则直线l与平面α内某些直线平行
D.若l∩α＝A，则存在平面α内的直线b，使b⊥l
√
√
A中，直线a，b可以平行、相交、异面；C中，
如果直线l和平面α相交，那么在α内没有直线与其平行.B，D正确.
13.如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
法一 如图，连接AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
∵OM 平面BMD，PA 平面BMD，∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA 平面PAHG，
∴PA∥GH.
法二 同法一有AP∥OM.
∵PA 平面PAHG，OM 平面PAHG，
∴OM∥平面PAHG.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
OM 平面BMD，
∴OM∥GH，∴AP∥GH.
14.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件____________________时，A1P∥平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可).
P是CC1的中点
如图，取CC1中点P，连接A1P，
∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，
∴当点P满足条件P是CC1的中点时，A1P∥CD，
∵A1P 平面BCD，CD 平面BCD，
∴当点P满足条件P是CC1的中点时，A1P∥平面BCD.