人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.3.3平面与平面平行课件(共55张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.3.3平面与平面平行课件(共55张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
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文档简介
(共55张PPT)
第十一章 11.3 空间中的平行关系
掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用上述定理解决空间中的平行问题.
学习目标
(链接教材P105)前面我们通过棱柱直观认识了平面与平面平行，根据平面的基本事实3，知道两个平面的位置关系只有相交、平行两种.而且我们也知道，如果平面α和平面β没有公共点，则α∥β，那么我们又该如何判定两平面平行呢？这正是我们这一节要解决的问题.
引入
课时精练
一、平面与平面平行的判定定理
二、平面与平面平行的性质定理
三、平行问题的综合应用
课堂达标
内容索引
平面与平面平行的判定定理
一
探究1 如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
提示 硬纸片不一定平行，三角尺和桌面一定平行.
1.平面与平面平行的判定定理
知识梳理
判定定理 推论
文字语言 如果一个平面内有_____________分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有_____________分别平行于另一个平面内的__________，则这两个平面平行
符号语言 l α，m α，l∩m≠ ，l∥β，m∥β，则α∥β a∥c，b∥d，a∩b＝A，a α，b α，c β，d β α∥β
图形语言
两条相交直线
两条相交直线
两条直线
(1)定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立.
(2)判定定理：由线面平行 面面平行.
温馨提示
(1)如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
例1
√
因为A1E∥BE1，A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，
所以A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1 平面EFD1A1，
所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1，故选A.
(2)(链接教材P106例1)如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，
又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF 平面EFG，
EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
平面与平面平行的判定方法.
(1)定义法：证明两平面没有交点，常用反证法；
(2)利用判定定理，即由线线平行→线面平行→面面平行；
(3)用推论转化为证明线线平行；
(4)用平行平面的传递性，若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
思维升华
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.
求证：平面AMN∥平面EFDB.
训练1
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，连接B1D1(图略)，
则MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴MN∥EF.
又∵MN 平面EFDB，EF 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
易知AM∥平面EFDB.
又∵MN∩AM＝M，又MN 平面AMN，
AM 平面AMN，
∴平面AMN∥平面EFDB.
平面与平面平行的性质定理
二
探究2 用平行于底面的平面截棱锥，观察交线A′B′与AB是否平行，交线B′C′与BC是否平行？
提示 都平行.
平面与平面平行的性质定理
知识梳理
平行
成比例
l∥m
性质定理 推论
图形语言
(1)定理成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交.
(2)定理的实质：面面平行 线线平行.
(3)面面平行还有如下性质：两个平面平行，一个平面内的直线平行于另一个平面，可作为证明直线和平面平行的依据.
温馨提示
如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
例2
因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
思维升华
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.
训练2
∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，
∴A′D′∥B′C′.
∵A′D′ 平面BB′C′C，B′C′ 平面BB′C′C，
∴A′D′∥平面BB′C′C.
同理AA′∥平面BB′C′C.
∵A′D′，AA′ 平面AA′D′D，
且A′D′∩AA′＝A′，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，
平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，
∴AD∥BC.
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行问题的综合应用
三
已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，
求证：(1)MN∥平面PAD；
例3
如图，取DC中点Q，连接MQ，NQ.
∵NQ是△PDC的中位线，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴MQ∥AD，又MQ 平面PAD，
AD 平面PAD，从而MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
(2)MN∥PE.
由(1)知平面MNQ∥平面PAD，
又平面PEC∩平面MNQ＝MN，
平面PEC∩平面PAD＝PE，∴MN∥PE.
思维升华
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键；面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.
训练3
在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD.
∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB.
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP 平面PAB，AP 平面EFG，
∴AP∥平面EFG.
【课堂达标】
1.(多选)给出下面四个说法正确的是
A.分别在两个平行平面内的两直线平行
B.若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面
C.如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行
D.如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行
√
√
A错误，可能异面；B正确；C错误，只有这两条直线是相交直线才满足；D正确.
2.已知a，b表示不同直线，α，β表示不同平面，下列选项正确的是
A.α∩β＝a，b α a∥b B.α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C.a∥β，b∥β，a α，b α α∥β D.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
√
A中，α∩β＝a，b α，a，b可能平行也可能相交；B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，b∥β，也可能b在平面α或β内；C中，a∥β，b∥β，a α，b α，根据平面与平面平行的判定定理，缺少条件a∩b＝A；根据平面与平面平行的性质定理可知D正确.
3.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.
平行
由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，
所以l∥A1C1.
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.
∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
【课时精练】
√
1.下列说法中正确的是
A.如果两个平面α，β只有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a
B.两平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线
C.两平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A
D.两平面ABC与DBC相交于线段BC
B不正确，若A∈α∩β，则α，β相交于过A点的一条直线；同理C不正确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段.
√
2.(多选)已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条相交的直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交
√
A，C不正确，因为两个平面可能相交；由两个平面平行的判定定理知B正确；D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.
√
3.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合
若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行；若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.
√
4.已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，有以下命题：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
设m∩n＝P，
记m与n确定的平面为γ.
由题意知γ∥α，γ∥β，则α∥β，故①正确；②③中，α与β既可平行，也可相交，故均错误.
√
5.(多选)在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列平面彼此平行的是
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面EF1H1
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
√
如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
∴平面E1FG1∥EGH1，故A正确，同理可得B正确，故选AB.
6.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).
平行
假若α∩β＝l，设在平面α内，与l相交的直线为a，且a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置为____________________.
与点D重合
由面面平行的判定定理知，当点E与点D重合时，平面AB1C∥平面A1EC1.
因为α∩平面GAC＝AC，β∩平面GBD＝BD，
9.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.已知G，H，I分别是EC，FB和FC的中点，求证：平面GHI∥平面ABC.
在△CEF中，∵G是CE的中点，I是CF的中点，
∴GI∥EF.
又∵EF∥DB，
∴GI∥DB.
又∵GI 平面ABC，DB 平面ABC，
∴GI∥平面ABC.
在△CFB中，
∵H是FB的中点，I是FC的中点，
∴HI∥BC.
又∵HI 平面ABC，BC 平面ABC，
∴HI∥平面ABC.
又HI∩GI＝I，HI，GI 平面GHI，
∴平面GHI∥平面ABC.
10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点.
求证：(1)AC∥平面B1MN；
由于M，N分别为AB，BC的中点，故MN∥AC，而AC 平面B1MN，MN 平面B1MN，故AC∥平面B1MN.
(2)平面ACP∥平面B1MN.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，由于N，P分别为BC，B1C1的中点，
故B1P∥CN，B1P＝CN，故四边形B1PCN为平行四边形，故PC∥B1N，
而PC 平面B1MN，B1N 平面B1MN，
故PC∥平面B1MN，由(1)知AC∥平面B1MN，且AC∩PC＝C，AC，PC 平面ACP，
故平面ACP∥平面B1MN.
√
11.(多选)在空间中，下列命题为假命题的是
A.若a∥α，b∥a，则b∥α
B.若a∥α，b∥α，a β，b β，则β∥α
C.若α∥β，b∥α，则b∥β
D.若α∥β，a α，则a∥β
√
√
A中，若a∥α，b∥a，则b∥α或b α；B中，只有在a和b是相交直线时才成立；C中，若α∥β，b∥α，则b∥β或b β；由面面平行的性质知，D为真命题.故选ABC.
12.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为
√
过P点的直线m，n确定一个平面γ.
13.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：
(1)BE∥平面DMF；
如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过点O.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)平面BDE ∥平面MNG.
因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
又BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
又DE∩BD＝D，DE 平面BDE，BD 平面BDE，
所以平面BDE∥平面MNG.
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面BDD1B1(填上一个你认为正确的条件即可).
M∈FH
如图，取B1C1的中点P，
连接NP，NH，MN，HF，PF，
则可证明平面NPFH∥平面BDD1B1，
若MN 平面NPFH，则MN∥平面BDD1B1.
又点M在四边形EFGH及其内部运动，故M∈FH.
第十一章 11.3 空间中的平行关系
掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用上述定理解决空间中的平行问题.
学习目标
(链接教材P105)前面我们通过棱柱直观认识了平面与平面平行，根据平面的基本事实3，知道两个平面的位置关系只有相交、平行两种.而且我们也知道，如果平面α和平面β没有公共点，则α∥β，那么我们又该如何判定两平面平行呢？这正是我们这一节要解决的问题.
引入
课时精练
一、平面与平面平行的判定定理
二、平面与平面平行的性质定理
三、平行问题的综合应用
课堂达标
内容索引
平面与平面平行的判定定理
一
探究1 如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
提示 硬纸片不一定平行，三角尺和桌面一定平行.
1.平面与平面平行的判定定理
知识梳理
判定定理 推论
文字语言 如果一个平面内有_____________分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有_____________分别平行于另一个平面内的__________，则这两个平面平行
符号语言 l α，m α，l∩m≠ ，l∥β，m∥β，则α∥β a∥c，b∥d，a∩b＝A，a α，b α，c β，d β α∥β
图形语言
两条相交直线
两条相交直线
两条直线
(1)定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立.
(2)判定定理：由线面平行 面面平行.
温馨提示
(1)如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
例1
√
因为A1E∥BE1，A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，
所以A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1 平面EFD1A1，
所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1，故选A.
(2)(链接教材P106例1)如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，
又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF 平面EFG，
EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
平面与平面平行的判定方法.
(1)定义法：证明两平面没有交点，常用反证法；
(2)利用判定定理，即由线线平行→线面平行→面面平行；
(3)用推论转化为证明线线平行；
(4)用平行平面的传递性，若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
思维升华
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.
求证：平面AMN∥平面EFDB.
训练1
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，连接B1D1(图略)，
则MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴MN∥EF.
又∵MN 平面EFDB，EF 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
易知AM∥平面EFDB.
又∵MN∩AM＝M，又MN 平面AMN，
AM 平面AMN，
∴平面AMN∥平面EFDB.
平面与平面平行的性质定理
二
探究2 用平行于底面的平面截棱锥，观察交线A′B′与AB是否平行，交线B′C′与BC是否平行？
提示 都平行.
平面与平面平行的性质定理
知识梳理
平行
成比例
l∥m
性质定理 推论
图形语言
(1)定理成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交.
(2)定理的实质：面面平行 线线平行.
(3)面面平行还有如下性质：两个平面平行，一个平面内的直线平行于另一个平面，可作为证明直线和平面平行的依据.
温馨提示
如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
例2
因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
思维升华
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.
训练2
∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，
∴A′D′∥B′C′.
∵A′D′ 平面BB′C′C，B′C′ 平面BB′C′C，
∴A′D′∥平面BB′C′C.
同理AA′∥平面BB′C′C.
∵A′D′，AA′ 平面AA′D′D，
且A′D′∩AA′＝A′，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，
平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，
∴AD∥BC.
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行问题的综合应用
三
已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，
求证：(1)MN∥平面PAD；
例3
如图，取DC中点Q，连接MQ，NQ.
∵NQ是△PDC的中位线，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴MQ∥AD，又MQ 平面PAD，
AD 平面PAD，从而MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
(2)MN∥PE.
由(1)知平面MNQ∥平面PAD，
又平面PEC∩平面MNQ＝MN，
平面PEC∩平面PAD＝PE，∴MN∥PE.
思维升华
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键；面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.
训练3
在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD.
∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB.
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP 平面PAB，AP 平面EFG，
∴AP∥平面EFG.
【课堂达标】
1.(多选)给出下面四个说法正确的是
A.分别在两个平行平面内的两直线平行
B.若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面
C.如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行
D.如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行
√
√
A错误，可能异面；B正确；C错误，只有这两条直线是相交直线才满足；D正确.
2.已知a，b表示不同直线，α，β表示不同平面，下列选项正确的是
A.α∩β＝a，b α a∥b B.α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C.a∥β，b∥β，a α，b α α∥β D.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
√
A中，α∩β＝a，b α，a，b可能平行也可能相交；B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，b∥β，也可能b在平面α或β内；C中，a∥β，b∥β，a α，b α，根据平面与平面平行的判定定理，缺少条件a∩b＝A；根据平面与平面平行的性质定理可知D正确.
3.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.
平行
由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，
所以l∥A1C1.
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.
∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
【课时精练】
√
1.下列说法中正确的是
A.如果两个平面α，β只有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a
B.两平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线
C.两平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A
D.两平面ABC与DBC相交于线段BC
B不正确，若A∈α∩β，则α，β相交于过A点的一条直线；同理C不正确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段.
√
2.(多选)已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条相交的直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交
√
A，C不正确，因为两个平面可能相交；由两个平面平行的判定定理知B正确；D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.
√
3.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合
若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行；若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.
√
4.已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，有以下命题：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
设m∩n＝P，
记m与n确定的平面为γ.
由题意知γ∥α，γ∥β，则α∥β，故①正确；②③中，α与β既可平行，也可相交，故均错误.
√
5.(多选)在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列平面彼此平行的是
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面EF1H1
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
√
如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
∴平面E1FG1∥EGH1，故A正确，同理可得B正确，故选AB.
6.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).
平行
假若α∩β＝l，设在平面α内，与l相交的直线为a，且a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置为____________________.
与点D重合
由面面平行的判定定理知，当点E与点D重合时，平面AB1C∥平面A1EC1.
因为α∩平面GAC＝AC，β∩平面GBD＝BD，
9.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.已知G，H，I分别是EC，FB和FC的中点，求证：平面GHI∥平面ABC.
在△CEF中，∵G是CE的中点，I是CF的中点，
∴GI∥EF.
又∵EF∥DB，
∴GI∥DB.
又∵GI 平面ABC，DB 平面ABC，
∴GI∥平面ABC.
在△CFB中，
∵H是FB的中点，I是FC的中点，
∴HI∥BC.
又∵HI 平面ABC，BC 平面ABC，
∴HI∥平面ABC.
又HI∩GI＝I，HI，GI 平面GHI，
∴平面GHI∥平面ABC.
10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点.
求证：(1)AC∥平面B1MN；
由于M，N分别为AB，BC的中点，故MN∥AC，而AC 平面B1MN，MN 平面B1MN，故AC∥平面B1MN.
(2)平面ACP∥平面B1MN.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，由于N，P分别为BC，B1C1的中点，
故B1P∥CN，B1P＝CN，故四边形B1PCN为平行四边形，故PC∥B1N，
而PC 平面B1MN，B1N 平面B1MN，
故PC∥平面B1MN，由(1)知AC∥平面B1MN，且AC∩PC＝C，AC，PC 平面ACP，
故平面ACP∥平面B1MN.
√
11.(多选)在空间中，下列命题为假命题的是
A.若a∥α，b∥a，则b∥α
B.若a∥α，b∥α，a β，b β，则β∥α
C.若α∥β，b∥α，则b∥β
D.若α∥β，a α，则a∥β
√
√
A中，若a∥α，b∥a，则b∥α或b α；B中，只有在a和b是相交直线时才成立；C中，若α∥β，b∥α，则b∥β或b β；由面面平行的性质知，D为真命题.故选ABC.
12.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为
√
过P点的直线m，n确定一个平面γ.
13.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：
(1)BE∥平面DMF；
如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过点O.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)平面BDE ∥平面MNG.
因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
又BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
又DE∩BD＝D，DE 平面BDE，BD 平面BDE，
所以平面BDE∥平面MNG.
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面BDD1B1(填上一个你认为正确的条件即可).
M∈FH
如图，取B1C1的中点P，
连接NP，NH，MN，HF，PF，
则可证明平面NPFH∥平面BDD1B1，
若MN 平面NPFH，则MN∥平面BDD1B1.
又点M在四边形EFGH及其内部运动，故M∈FH.