人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系第二课时平面与平面垂直的性质课件(共63张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系第二课时平面与平面垂直的性质课件(共63张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
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文档简介
(共63张PPT)
第十一章 11.4 11.4.2 平面与平面垂直
1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决问题.
2.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的相互联系.
学习目标
上节学面与平面的判定，这节课我们来研究平面与平面的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论.
引入
课时精练
一、平面与平面垂直的性质定理
二、垂直关系的应用
三、平行、垂直关系的综合应用
课堂达标
内容索引
平面与平面垂直的性质定理
一
探究 教室四周的墙壁和地面是垂直的，墙壁面上的线都与地面垂直吗？在墙壁上怎样画线才能保证所画的线与地面垂直？
提示 不一定.当直线与墙壁和地面的交线垂直时，线与地面垂直.
平面与平面垂直的性质定理
知识梳理
文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们______的直线______于另一个平面
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，________，________ a⊥β
图形语言
交线
垂直
a α
a⊥l
平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β b α.
(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥β，γ∥β γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即α⊥β，b⊥β b∥α 或b α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n l⊥m，m⊥n，l⊥n.
温馨提示
已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为
A.①② B.③
C.②③ D.①②③
例1
√
对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；
对于②，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB，故②不正确；
对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确.故选B.
思维升华
(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是
A.若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
B.若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α
C.若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
D.若α⊥β，m∥α，则m⊥β
训练1
√
√
根据平面与平面垂直的性质知A正确；
B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；
C中，α⊥β，m⊥β，m α时，只能有m∥α，正确；
D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m β或m与β相交，不正确.故选A，C.
垂直关系的应用
二
如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
例2
在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，又PA∩AD＝A，
PA，AD 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
思维升华
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥底面ABCD，点E是棱AB的中点.求证：
(1)CD∥平面PAB；
训练2
因为底面ABCD是菱形，
所以CD∥AB.
又因为CD 平面PAB，AB 平面PAB，
所以CD∥平面PAB.
(2)PE⊥AD.
因为PA＝PB，点E是棱AB的中点，
所以PE⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE 平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD.
又AD 平面ABCD，所以PE⊥AD.
平行、垂直关系的综合应用
三
如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.
求证：(1)AE∥平面BCD；
例3
取BC的中点M，连接DM，AM，
因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，
所以DM＝1，DM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，DM 平面BCD，
所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，
所以AE∥DM，
又DM 平面BCD，AE 平面BCD，
所以AE∥平面BCD.
(2)平面BDE⊥平面CDE.
由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，
所以四边形DMAE是平行四边形，
所以DE∥AM.
因为△ABC为正三角形，
所以AM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，
平面BCD∩平面ABC＝BC，AM 平面ABC，
所以AM⊥平面BCD，
所以DE⊥平面BCD.
又CD 平面BCD，
所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以CD⊥平面BDE.
因为CD 平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE.
思维升华
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
训练3
如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，
又CE 平面ABC，所以DE⊥CE.
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.
又因为DE，CE为平面CDE内的两条相交直线，
所以AB⊥平面CDE.由CD 平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
【课堂达标】
1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是
A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α
√
根据平面与平面垂直的性质定理判断.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β.
2.(多选)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是
√
A.CD⊥平面ABD B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADC
√
由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BDC，
∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，
故AB⊥平面ADC.
又AB 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选AD.
3.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
4.已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足.若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________.
如图，连接BC.
∵二面角α－l－β为直二面角，AC α，且AC⊥l，α∩β＝l，
∴AC⊥β.
又BC β，∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3.
【课时精练】
√
1.(多选)下列命题正确的是
A.若α⊥β，则α内所有直线都垂直于β
B.如果α不垂直于β，那么α内不存在直线垂直于β
C.若α⊥β，则α内一定存在直线平行于β
D.若α⊥β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内
√
√
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，AB1 平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错；B，C，D均正确.
√
2.已知两个平面互相垂直，下列命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
正确命题的个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件，所以这条直线不一定垂直于另一个平面，因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交，另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面，因而也垂直于这个平面内的任一直线；
③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线，过一点作一条直线的垂线有无数多条，只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线，这条垂线才垂直于另一个平面，选C.
√
3.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若l∥α，l∥β，则α∥β B.若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β
设α∩β＝a，若l∥a，且l α，l β，
则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；
由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，
又因为l⊥β，
所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；
若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，
此时l在平面β内，因此C错误；
已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，l∥α，则l∥β，因此D错误.
√
4.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
如图，AB∥l∥m，
AC⊥l，m∥l AC⊥m，AB∥l AB∥β.
只有当AC α时，AC⊥β才成立.故选D.
√
5.如图，在四面体D－ABC中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的正投影H必在
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
∵AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，
∴AC⊥平面ABD.
又∵AC 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在平面ABC内的投影H必在AB上.故选A.
6.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________.
平行
∵α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，
∴n⊥α，又m⊥α，∴m∥n.
7.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α与β之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；② α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________.(用序号代替)
①③④ ②(或②③④ ①)
共有四个命题：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①.
对于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，
则m与α可平行或相交，故命题错误；
对于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，
则n与β可平行或相交，故命题错误；
对于①③④ ②，因为m⊥n，n⊥β，
则m∥β，
又因为m⊥α，则α⊥β，故命题正确；
对于②③④ ①，因为m⊥α，α⊥β，
则m∥β，
又因为n⊥β，则m⊥n，命题正确.
8.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝3，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.
如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ABD，
所以DE⊥平面ABC.
又CE 平面ABC，可知DE⊥CE.
9.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
在平面ABC内取一点D，
作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，
∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，DG，DF 平面ABC，
∴PA⊥平面ABC.
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
连接BE并延长交PC于H.
∵AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴AE⊥PC，
∵E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BH，且AE∩BH＝E，
∴PC⊥平面ABE.又AB 平面ABE，
∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴PA⊥AB，
又PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，又AC 平面PAC，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC.
∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BC 平面ABCD，
∴BC⊥平面ABEF.
∵AG 平面ABEF，∴BC⊥AG.
∵AD＝2a，AF＝a，
四边形ABEF是矩形，G是EF的中点，
∵AB＝2a，∴AB2＝AG2＋BG2，
∴AG⊥BG.
又BG∩BC＝B，BG，BC 平面BGC，
∴AG⊥平面BGC.
∵AG 平面AGC，
∴平面AGC⊥平面BGC.
√
11.(多选)已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是
A.若α⊥β，l⊥β，则l∥α
B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C.若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α
D.若α⊥β，α∥γ，则β⊥γ
√
对于A，由α⊥β，l⊥β，得l α或l∥α，故A错误；
对于B，过直线l作第三个平面与平面β相交于直线m，根据线面平行的性质，
知m∥l，又l⊥α，则m⊥α，又m β，
所以α⊥β，故B正确；
对于C，l还可能与α相交，故C错误；
对于D，在平面α内作与α和β的交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质，得m⊥β，再过直线m作平面δ，并与平面γ相交于直线n，根据面面平行的性质，知m∥n，所以n⊥β，又n γ，所以γ⊥β，故D正确.
12.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长为________.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
平面ABCD∩平面DCEF＝CD，
MG 平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，
又NG 平面DCEF，可得MG⊥NG，
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，
又PA 平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
(2)BE∥平面PAD；
∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD.
又∵BE 平面PAD，AD 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
∵AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
又CD 平面ABCD，
∴AP⊥CD.
又PA∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD 平面PAD，
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF，∴CD⊥EF.
又∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，
EF，BE 平面BEF，
∴CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
14.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是
A.PE⊥AC B.PE⊥BC
C.平面PBE⊥平面ABCD D.平面PBE⊥平面PAD
√
因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，
所以结论A，B一定成立.
又PE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面ABCD，
所以结论C一定成立.
若平面PBE⊥平面PAD，
则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.
第十一章 11.4 11.4.2 平面与平面垂直
1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决问题.
2.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的相互联系.
学习目标
上节学面与平面的判定，这节课我们来研究平面与平面的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论.
引入
课时精练
一、平面与平面垂直的性质定理
二、垂直关系的应用
三、平行、垂直关系的综合应用
课堂达标
内容索引
平面与平面垂直的性质定理
一
探究 教室四周的墙壁和地面是垂直的，墙壁面上的线都与地面垂直吗？在墙壁上怎样画线才能保证所画的线与地面垂直？
提示 不一定.当直线与墙壁和地面的交线垂直时，线与地面垂直.
平面与平面垂直的性质定理
知识梳理
文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们______的直线______于另一个平面
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，________，________ a⊥β
图形语言
交线
垂直
a α
a⊥l
平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β b α.
(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥β，γ∥β γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即α⊥β，b⊥β b∥α 或b α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n l⊥m，m⊥n，l⊥n.
温馨提示
已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为
A.①② B.③
C.②③ D.①②③
例1
√
对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；
对于②，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB，故②不正确；
对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确.故选B.
思维升华
(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是
A.若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
B.若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α
C.若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
D.若α⊥β，m∥α，则m⊥β
训练1
√
√
根据平面与平面垂直的性质知A正确；
B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；
C中，α⊥β，m⊥β，m α时，只能有m∥α，正确；
D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m β或m与β相交，不正确.故选A，C.
垂直关系的应用
二
如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
例2
在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，又PA∩AD＝A，
PA，AD 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
思维升华
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥底面ABCD，点E是棱AB的中点.求证：
(1)CD∥平面PAB；
训练2
因为底面ABCD是菱形，
所以CD∥AB.
又因为CD 平面PAB，AB 平面PAB，
所以CD∥平面PAB.
(2)PE⊥AD.
因为PA＝PB，点E是棱AB的中点，
所以PE⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE 平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD.
又AD 平面ABCD，所以PE⊥AD.
平行、垂直关系的综合应用
三
如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.
求证：(1)AE∥平面BCD；
例3
取BC的中点M，连接DM，AM，
因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，
所以DM＝1，DM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，DM 平面BCD，
所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，
所以AE∥DM，
又DM 平面BCD，AE 平面BCD，
所以AE∥平面BCD.
(2)平面BDE⊥平面CDE.
由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，
所以四边形DMAE是平行四边形，
所以DE∥AM.
因为△ABC为正三角形，
所以AM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，
平面BCD∩平面ABC＝BC，AM 平面ABC，
所以AM⊥平面BCD，
所以DE⊥平面BCD.
又CD 平面BCD，
所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以CD⊥平面BDE.
因为CD 平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE.
思维升华
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
训练3
如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，
又CE 平面ABC，所以DE⊥CE.
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.
又因为DE，CE为平面CDE内的两条相交直线，
所以AB⊥平面CDE.由CD 平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
【课堂达标】
1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是
A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α
√
根据平面与平面垂直的性质定理判断.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β.
2.(多选)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是
√
A.CD⊥平面ABD B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADC
√
由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BDC，
∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，
故AB⊥平面ADC.
又AB 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选AD.
3.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
4.已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足.若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________.
如图，连接BC.
∵二面角α－l－β为直二面角，AC α，且AC⊥l，α∩β＝l，
∴AC⊥β.
又BC β，∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3.
【课时精练】
√
1.(多选)下列命题正确的是
A.若α⊥β，则α内所有直线都垂直于β
B.如果α不垂直于β，那么α内不存在直线垂直于β
C.若α⊥β，则α内一定存在直线平行于β
D.若α⊥β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内
√
√
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，AB1 平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错；B，C，D均正确.
√
2.已知两个平面互相垂直，下列命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
正确命题的个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件，所以这条直线不一定垂直于另一个平面，因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交，另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面，因而也垂直于这个平面内的任一直线；
③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线，过一点作一条直线的垂线有无数多条，只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线，这条垂线才垂直于另一个平面，选C.
√
3.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若l∥α，l∥β，则α∥β B.若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β
设α∩β＝a，若l∥a，且l α，l β，
则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；
由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，
又因为l⊥β，
所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；
若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，
此时l在平面β内，因此C错误；
已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，l∥α，则l∥β，因此D错误.
√
4.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
如图，AB∥l∥m，
AC⊥l，m∥l AC⊥m，AB∥l AB∥β.
只有当AC α时，AC⊥β才成立.故选D.
√
5.如图，在四面体D－ABC中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的正投影H必在
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
∵AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，
∴AC⊥平面ABD.
又∵AC 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在平面ABC内的投影H必在AB上.故选A.
6.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________.
平行
∵α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，
∴n⊥α，又m⊥α，∴m∥n.
7.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α与β之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；② α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________.(用序号代替)
①③④ ②(或②③④ ①)
共有四个命题：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①.
对于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，
则m与α可平行或相交，故命题错误；
对于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，
则n与β可平行或相交，故命题错误；
对于①③④ ②，因为m⊥n，n⊥β，
则m∥β，
又因为m⊥α，则α⊥β，故命题正确；
对于②③④ ①，因为m⊥α，α⊥β，
则m∥β，
又因为n⊥β，则m⊥n，命题正确.
8.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝3，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.
如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ABD，
所以DE⊥平面ABC.
又CE 平面ABC，可知DE⊥CE.
9.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
在平面ABC内取一点D，
作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，
∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，DG，DF 平面ABC，
∴PA⊥平面ABC.
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
连接BE并延长交PC于H.
∵AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴AE⊥PC，
∵E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BH，且AE∩BH＝E，
∴PC⊥平面ABE.又AB 平面ABE，
∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴PA⊥AB，
又PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，又AC 平面PAC，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC.
∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BC 平面ABCD，
∴BC⊥平面ABEF.
∵AG 平面ABEF，∴BC⊥AG.
∵AD＝2a，AF＝a，
四边形ABEF是矩形，G是EF的中点，
∵AB＝2a，∴AB2＝AG2＋BG2，
∴AG⊥BG.
又BG∩BC＝B，BG，BC 平面BGC，
∴AG⊥平面BGC.
∵AG 平面AGC，
∴平面AGC⊥平面BGC.
√
11.(多选)已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是
A.若α⊥β，l⊥β，则l∥α
B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C.若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α
D.若α⊥β，α∥γ，则β⊥γ
√
对于A，由α⊥β，l⊥β，得l α或l∥α，故A错误；
对于B，过直线l作第三个平面与平面β相交于直线m，根据线面平行的性质，
知m∥l，又l⊥α，则m⊥α，又m β，
所以α⊥β，故B正确；
对于C，l还可能与α相交，故C错误；
对于D，在平面α内作与α和β的交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质，得m⊥β，再过直线m作平面δ，并与平面γ相交于直线n，根据面面平行的性质，知m∥n，所以n⊥β，又n γ，所以γ⊥β，故D正确.
12.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长为________.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
平面ABCD∩平面DCEF＝CD，
MG 平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，
又NG 平面DCEF，可得MG⊥NG，
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，
又PA 平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
(2)BE∥平面PAD；
∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD.
又∵BE 平面PAD，AD 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
∵AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
又CD 平面ABCD，
∴AP⊥CD.
又PA∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD 平面PAD，
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF，∴CD⊥EF.
又∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，
EF，BE 平面BEF，
∴CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
14.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是
A.PE⊥AC B.PE⊥BC
C.平面PBE⊥平面ABCD D.平面PBE⊥平面PAD
√
因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，
所以结论A，B一定成立.
又PE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面ABCD，
所以结论C一定成立.
若平面PBE⊥平面PAD，
则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.