人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.3.1平行直线与异面直线 课件(共53张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.3.1平行直线与异面直线 课件(共53张PPT) |
|
|
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共53张PPT)
第十一章 11.3 空间中的平行关系
1.了解空间中两条直线的位置关系.
2.理解空间平行线的传递性，会应用等角定理.
3.理解异面直线的概念.
学习目标
(链接教材P97)前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系：相交、平行、异面.在这一节我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质.
引入
课时精练
一、平行直线与异面直线
二、空间平行线的传递性和等角定理的应用
三、空间四边形的认识
课堂达标
内容索引
平行直线与异面直线
一
探究1 在如图所示的正方体中，DC∥AB，A′B′∥AB，DC与A′B′平行吗？由此，你能得到什么结论？AA′与BC的位置关系是什么呢？
提示 DC与A′B′平行.得到结论：平行于同一条直线的两条直线互相平行.AA′与BC异面.
1.平行直线
(1)定义：在同一平面内________的两条直线称为平行直线.
(2)传递性：平行于同一条直线的两条直线互相______.
知识梳理
不相交
平行
2.异面直线
(1)定义：空间中既不平行也不相交的直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
例1
平行
异面
(1)在正方体中，因为A1D1綉BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，B B1C，
又A1 平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面.
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
相交
异面
(3)因为D1D∩D1C＝D1，
所以直线D1D与直线D1C相交.
(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面.
判定两条直线是异面直线的方法
(1)证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，B l，l α，则AB与l是异面直线(如图).
思维升华
分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能
训练1
√
如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面.
空间平行线的传递性和等角定理的应用
二
探究2 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
提示 成立.
1.定理
知识梳理
文字语言 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等
符号语言 AC∥A′C′，AB∥A′B′ ∠BAC＝∠B′A′C′
图形语言
作用 判断或证明两个角相等
2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
温馨提示
如图，已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
例2
如图，连接AC，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
由(1)可知MN∥A1C1，
又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
思维升华
在证出两个角的对应两边分别平行后，要借助于图形判断两个角是相等，还是互补.在证相等时，不要忽略“对应两边方向”的判断.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点.
求证：∠BGC＝∠FD1E.
训练2
∵E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，
∴CE綉GD1，BF綉GD1.
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
∴GC綉D1E，GB綉D1F.
又∠BGC与∠FD1E对应两边的方向相同，
∴∠BGC＝∠FD1E.
空间四边形的认识
三
知识梳理
例3
又∵λ＝μ，∴EH＝GF，且EH∥GF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形.
由(1)知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF.
∴四边形EFGH是梯形.
思维升华
在解答与空间四边形有关的问题时，往往转化为平面图形，借助平面几何中的有关性质或定理来解决.
已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝DC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系.
训练3
由已知，得E，F不重合.设△BCD所在平面为α，则DF α，A α，E∈α，E DF，所以AE与DF异面.
【课堂达标】
1.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH的位置关系是
A.异面 B.平行 C.相交 D.重合
√
由题意易知四边形EFGH是平行四边形，则EG与FH是两条对角线，一定相交.
2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列说法正确的是
A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交
√
如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；
如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.
3.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________.
矩形
如图所示.
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
即MN∥PQ且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ是矩形.
4.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是_____________________________.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
因为在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，
所以∠A1AB与∠D1DC相等.
又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，
所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
【课时精练】
√
1.若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′＝
A.130° B.50° C.130°或50° D.不能确定
根据等角定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，
即∠A′O′B′＝130°或50°.
√
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是
A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面
可能相交也可能异面，但一定不平行，否则与条件矛盾.
√
3.下列说法中正确的是
A.空间中没有交点的两条直线是平行直线
B.一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交
C.已知空间中四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c
D.分别在两个平面内的直线是异面直线
空间中没有交点的直线也可能是异面直线，故A错误；B中还可能异面；在两个平面的直线可能平行、相交或异面，故D错误.
√
4.(多选)已知图中点P，Q，R，S分别在正方体所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的为
√
A，B中平行.
√
5.(多选)下列命题中正确的结论为
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
√
由空间平行直线的传递性及等角定理知，只有BD正确，故选BD.
6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为________.
20
7.若空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH是________.
菱形
易知四边形EFGH是平行四边形.
又AC＝BD，∴EH＝HG，故四边形EFGH为菱形.
④
8.下列叙述中不正确的是________(填序号).①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边和两条对角线；②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边适当翻折而成的空间图形；③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形；④有三个角都是直角的空间四边形是矩形.
由空间四边形定义知①②③正确，④中，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD1符合三个直角的条件，但不是矩形，故④不正确.
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.
求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
连接MM1，在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
∴A1M1綉AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綉M1M.
又∵A1A綉B1B，∴M1M綉B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
由已知FG＝GA，FH＝HD，
∴GH綉BC，
∴四边形BCHG为平行四边形.
√
11.(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有
A.AA1 B.BB1 C.CC1 D.DD1
√
显然BB1∩BM＝B，DD1∩BM＝M，B、D错误；
AA1与CC1与直线BM既不平行，也不相交，是异面直线，A、C正确.
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，
(1)∠DBC的两边与_________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与_________的两边分别平行且方向相反.
∠D1B1C1
∠B1D1A1
(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同.
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反.
13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为AD，AB，B1C1，C1D1的中点.
求证：(1)EF綉E1F1；
连接BD，B1D1.
∵E，F分别为AD，AB的中点，
而在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綉DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1且BD＝B1D1，∴EF綉E1F1.
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
取A1B1的中点M，连接BM，F1M，
又BF∥A1M，∴BF綉A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
∵M，F1分别为A1B1，C1D1的中点，
∴F1M綉C1B1，
而C1B1綉BC，∴F1M∥BC且F1M＝BC，
∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥F1C.
又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理A1E∥CE1.
∵∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，
即A1E∥CE1，A1F∥CF1且方向都相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
14.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是
A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1
√
√
√
对于A，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故不正确；
对于B，因为A1C 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1C，P 平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故正确；
对于C，因为A1A 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1A，P 平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故正确；
对于D，因为AD1 平面AD1C，O∈平面AD1C，O AD1，P 平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故正确.选BCD.
第十一章 11.3 空间中的平行关系
1.了解空间中两条直线的位置关系.
2.理解空间平行线的传递性，会应用等角定理.
3.理解异面直线的概念.
学习目标
(链接教材P97)前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系：相交、平行、异面.在这一节我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质.
引入
课时精练
一、平行直线与异面直线
二、空间平行线的传递性和等角定理的应用
三、空间四边形的认识
课堂达标
内容索引
平行直线与异面直线
一
探究1 在如图所示的正方体中，DC∥AB，A′B′∥AB，DC与A′B′平行吗？由此，你能得到什么结论？AA′与BC的位置关系是什么呢？
提示 DC与A′B′平行.得到结论：平行于同一条直线的两条直线互相平行.AA′与BC异面.
1.平行直线
(1)定义：在同一平面内________的两条直线称为平行直线.
(2)传递性：平行于同一条直线的两条直线互相______.
知识梳理
不相交
平行
2.异面直线
(1)定义：空间中既不平行也不相交的直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
例1
平行
异面
(1)在正方体中，因为A1D1綉BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，B B1C，
又A1 平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面.
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
相交
异面
(3)因为D1D∩D1C＝D1，
所以直线D1D与直线D1C相交.
(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面.
判定两条直线是异面直线的方法
(1)证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，B l，l α，则AB与l是异面直线(如图).
思维升华
分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能
训练1
√
如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面.
空间平行线的传递性和等角定理的应用
二
探究2 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
提示 成立.
1.定理
知识梳理
文字语言 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等
符号语言 AC∥A′C′，AB∥A′B′ ∠BAC＝∠B′A′C′
图形语言
作用 判断或证明两个角相等
2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
温馨提示
如图，已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
例2
如图，连接AC，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
由(1)可知MN∥A1C1，
又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
思维升华
在证出两个角的对应两边分别平行后，要借助于图形判断两个角是相等，还是互补.在证相等时，不要忽略“对应两边方向”的判断.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点.
求证：∠BGC＝∠FD1E.
训练2
∵E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，
∴CE綉GD1，BF綉GD1.
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
∴GC綉D1E，GB綉D1F.
又∠BGC与∠FD1E对应两边的方向相同，
∴∠BGC＝∠FD1E.
空间四边形的认识
三
知识梳理
例3
又∵λ＝μ，∴EH＝GF，且EH∥GF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形.
由(1)知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF.
∴四边形EFGH是梯形.
思维升华
在解答与空间四边形有关的问题时，往往转化为平面图形，借助平面几何中的有关性质或定理来解决.
已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝DC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系.
训练3
由已知，得E，F不重合.设△BCD所在平面为α，则DF α，A α，E∈α，E DF，所以AE与DF异面.
【课堂达标】
1.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH的位置关系是
A.异面 B.平行 C.相交 D.重合
√
由题意易知四边形EFGH是平行四边形，则EG与FH是两条对角线，一定相交.
2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列说法正确的是
A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交
√
如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；
如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.
3.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________.
矩形
如图所示.
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
即MN∥PQ且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ是矩形.
4.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是_____________________________.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
因为在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，
所以∠A1AB与∠D1DC相等.
又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，
所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
【课时精练】
√
1.若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′＝
A.130° B.50° C.130°或50° D.不能确定
根据等角定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，
即∠A′O′B′＝130°或50°.
√
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是
A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面
可能相交也可能异面，但一定不平行，否则与条件矛盾.
√
3.下列说法中正确的是
A.空间中没有交点的两条直线是平行直线
B.一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交
C.已知空间中四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c
D.分别在两个平面内的直线是异面直线
空间中没有交点的直线也可能是异面直线，故A错误；B中还可能异面；在两个平面的直线可能平行、相交或异面，故D错误.
√
4.(多选)已知图中点P，Q，R，S分别在正方体所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的为
√
A，B中平行.
√
5.(多选)下列命题中正确的结论为
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
√
由空间平行直线的传递性及等角定理知，只有BD正确，故选BD.
6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为________.
20
7.若空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH是________.
菱形
易知四边形EFGH是平行四边形.
又AC＝BD，∴EH＝HG，故四边形EFGH为菱形.
④
8.下列叙述中不正确的是________(填序号).①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边和两条对角线；②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边适当翻折而成的空间图形；③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形；④有三个角都是直角的空间四边形是矩形.
由空间四边形定义知①②③正确，④中，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD1符合三个直角的条件，但不是矩形，故④不正确.
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.
求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
连接MM1，在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
∴A1M1綉AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綉M1M.
又∵A1A綉B1B，∴M1M綉B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
由已知FG＝GA，FH＝HD，
∴GH綉BC，
∴四边形BCHG为平行四边形.
√
11.(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有
A.AA1 B.BB1 C.CC1 D.DD1
√
显然BB1∩BM＝B，DD1∩BM＝M，B、D错误；
AA1与CC1与直线BM既不平行，也不相交，是异面直线，A、C正确.
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，
(1)∠DBC的两边与_________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与_________的两边分别平行且方向相反.
∠D1B1C1
∠B1D1A1
(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同.
(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反.
13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为AD，AB，B1C1，C1D1的中点.
求证：(1)EF綉E1F1；
连接BD，B1D1.
∵E，F分别为AD，AB的中点，
而在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綉DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴BD∥B1D1且BD＝B1D1，∴EF綉E1F1.
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
取A1B1的中点M，连接BM，F1M，
又BF∥A1M，∴BF綉A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
∵M，F1分别为A1B1，C1D1的中点，
∴F1M綉C1B1，
而C1B1綉BC，∴F1M∥BC且F1M＝BC，
∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥F1C.
又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理A1E∥CE1.
∵∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，
即A1E∥CE1，A1F∥CF1且方向都相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
14.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是
A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1
√
√
√
对于A，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故不正确；
对于B，因为A1C 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1C，P 平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故正确；
对于C，因为A1A 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1A，P 平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故正确；
对于D，因为AD1 平面AD1C，O∈平面AD1C，O AD1，P 平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故正确.选BCD.