人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系第一课时平面与平面垂直的判定课件(共62张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系第一课时平面与平面垂直的判定课件(共62张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
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文档简介
(共62张PPT)
第十一章 11.4 11.4.2 平面与平面垂直
1.理解二面角及其平面角的概念.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角.
3.掌握两个平面互相垂直的判定定理，会用判定定理证明面面垂直.
学习目标
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.下面就让我们开启今天的学习吧.
引入
课时精练
一、二面角的概念及求法
二、平面与平面垂直的定义
三、平面与平面垂直的判定定理
课堂达标
内容索引
二面角的概念及求法
一
探究1 随手打开一本书，发现每两页之间所在的平面也形成一个角度；修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度.
(1)两个半平面形成的二面角可以为0°角吗？
(2)两个半平面成二面角的范围是什么？
提示 (1)可以.
(2)[0°，180°].
1.二面角
(1)定义：从__________出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.
(2)表示法：二面角____________或二面角______________或P－AB－Q.
(3)相关概念：①定义中的直线叫做二面角的____；
②定义中的两个半平面叫做二面角的____.
(4)画法：
知识梳理
一条直线
α－l－β
α－AB－β
棱
面
2.二面角的平面角
(1)满足条件：如图所示.
α∩β＝l，O∈l，OA α，__________，OB β，__________.
(2)结论：∠AOB叫做二面角的平面角.
(3)范围：__________________________.
(4)直二面角：若二面角α－l－β的平面角∠AOB＝90°，则该二面角叫做__________.
OA⊥l
OB⊥l
0°≤∠AOB≤180°
直二面角
(1)注意区别二面角和平面与平面所成的角，二面角的范围为[0°，180°]，而平面与平面所成的角指两平面所成的4个二面角中不大于90°的角.
(2)二面角的大小与垂足在l上的位置无关，一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的.
(3)二面角的棱与二面角的平面角所在的平面垂直.
温馨提示
(链接教材P119例1)如图，三棱锥P－ABC 中，已知PA⊥ 平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6 .求二面角P－BC－A的正弦值.
例1
取BC的中点D，连接PD，AD，
∵PB＝PC，
∴PD⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵PA∩PD＝P，PA，PD 平面PAD，
∴BC⊥平面PAD. 又AD 平面PAD，即BC⊥AD.
∴∠PDA即为二面角P－BC－A的平面角，
∵PB＝PC＝BC＝6，
求二面角的平面角的大小的步骤
思维升华
训练1
√
如图所示，在平面PBD内，过P作BD的垂线，垂足为E，连接AE，
因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD，
因为PE⊥BD，PA∩PE＝P，PA，PE 平面PAE，
故BD⊥平面PAE，
因为AE 平面PAE，故AE⊥BD，
所以∠PEA为A－BD－P的平面角，
在直角三角形BAD中， AB＝3，AD＝4，
60°
折叠过程中，AD⊥BD，AD⊥C′D，
平面与平面垂直的定义
二
探究2 教室拐角处相邻的两个墙面是什么位置关系？教室的墙面与地面是什么位置关系？怎样用符号表示这种位置关系？
提示 都是垂直关系.设拐角处的两个墙面所在平面为α，β，地面为γ，则α⊥β，α⊥γ，β⊥γ.
两个平面互相垂直的定义
(1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.
(2)图形：如图所示.
知识梳理
直二面角
(3)表示：平面α与β垂直，记作________.
α⊥β
例2
取BD的中点E，连接AE，CE，
因为△ABD与△BCD是等腰三角形，
所以AE⊥BD，BD⊥CE.
所以∠AEC是二面角A－BD－C的平面角.
所以AC2＝AE2＋CE2，
所以AE⊥CE，
所以∠AEC＝90°，
所以平面ABD⊥平面BCD.
思维升华
利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的二面角的平面角；②证明这个二面角的平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直.
如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.
训练2
如图，取BC中点D，
连接SD，AD，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，
得AB＝AC＝SA.
则AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角.
∴SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，
∴平面ABC⊥平面BSC.
平面与平面垂直的判定定理
三
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
(2)画法：
知识梳理
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面经过另外一个平面的__________，则这两个平面互相垂直
符号语言 l⊥α，________ α⊥β
图形语言
一条垂线
l β
3.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的.因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.
4.有助于判断面面垂直的结论
(1)m∥n，m⊥α，n β α⊥β；
(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n α⊥β；
(3)α∥β，γ⊥α γ⊥β.
(链接教材P121例3)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，E，F，G分别是AD，DC，CA的中点.
例3
求证：平面BEF⊥平面BDG.
连接EG，FG.
∵E，F，G分别是AD，DC，CA的中点，且AD＝DC，
∴DF綉EG，且DF＝DE，
∴四边形EDFG为菱形，
∴EF⊥DG，
又∵AB＝BC，AG＝GC，∴AC⊥BG，
又∵EF∥AC，∴EF⊥BG.
又DG∩BG＝G，DG，BG 平面BDG，
∴EF⊥平面BDG，
又∵EF 平面BEF，∴平面BEF⊥平面BDG.
思维升华
1.证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理.
2.利用面面垂直的判定定理证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.其证明的基本步骤
如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PDB.
训练3
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥PD，又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC 平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
【课堂达标】
1.给出下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角.
其中正确的命题是
A.①③ B.②
C.③ D.①②
√
由二面角的定义知，①错误；
a，b分别垂直于两个平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；
③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误.故选B.
2.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为
A.90° B.60° C.45° D.30°
√
因为PA⊥平面ABC，BA，CA 平面ABC，
所以BA⊥PA，CA⊥PA.
因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，
又∠BAC＝90°，
所以二面角B－PA－C的平面角为90°.故选A.
60°
4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则二面角C－BB1－D的正切值是________.
由长方体特点可知，BB1⊥平面ABCD.
又BC，BD 平面ABCD，
∴BC⊥BB1，BD⊥BB1，
∴∠CBD即为二面角C－BB1－D的平面角.
又CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，BC⊥CD，
【课时精练】
√
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面
A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在
由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
√
2.二面角是
A.两平面相交所成的角
B.一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形
C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
D.从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该平面所组成的图形
由二面角定义可知选C.
√
√
4.下列命题中正确的是
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错误；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错误，C正确.
√
5.(多选)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中成立的是
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC
√
√
∵BC∥DF，BC 平面PDF，DF 平面PDF，
∴BC∥平面PDF，A正确；
又BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，
PE，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，
又DF 平面PDF，
∴平面PDF⊥平面PAE，B，C正确.
6.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个五面体的五个面中互相垂直的共有________对.
5
因为PA⊥平面ABCD，
所以平面PDA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，
又因为四边形ABCD为矩形，
所以AB⊥平面PAD，得平面PAB⊥平面PAD，
同理可得平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PCD.
故图中互相垂直的平面共有5对.
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.
1
∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，
∴∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角，
∵平面ABD⊥平面ACD，
∴∠BDC＝90°，
又AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，
45°
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B－PC1－C的大小为________.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1，BC1 平面BCC1B1，
所以PC1⊥BC1，且PC1⊥CC1，
所以∠BC1C即为二面角B－PC1－C的平面角，
又BB1＝BC，易得∠BC1C＝45°.
9.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
∵AB是⊙O的直径，C是圆周上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，
又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
10.如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；
∵SC⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴SC⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
又AC∩SC＝C，AC，SC 平面SAC，
∴BC⊥平面SAC，
又P，M分别是SC，SB的中点，
∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，
又PM 平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC.
(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值.
同(1)，可证AC⊥平面SBC，
∴AC⊥CM，AC⊥CB，
从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴过点M作MN⊥CB于点N，连接AN，
如图所示，∴MN∥PC，
则∠AMN＝60°，
在Rt△CAN中，CN＝PM＝1，AC＝1，
√
11.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是
A.MN∥AB
B.平面VAC⊥平面VBC
C.MN与BC所成的角为45°
D.OC⊥平面VAC
由题意得BC⊥AC，
因为VA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以VA⊥BC.
因为AC∩VA＝A，AC，VA 平面VAC，
所以BC⊥平面VAC.
因为BC 平面VBC，
所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.
12.(多选)下列命题正确的为
A.两个相交平面组成的图形称为二面角
B.异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补
C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角的最小角
D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
√
√
由二面角的定义知A错误；a，b分别垂直于两个半平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C错误；由定义知D正确.故选B，D.
如图所示，连接BD，由底面ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD.
又AB∥CD，
所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE 平面ABCD，所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
因此BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)求二面角A－BE－P的大小.
由(1)知，BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.
14.(多选)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的为
A.PB⊥AE B.平面ABC⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE D.∠PDA＝45°
√
√
由PA⊥平面ABC，AE 平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，
又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，得AE⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，∴AE⊥PB，A正确；
∵PA⊥平面ABC，PA 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面PBC不成立，B错误；
由正六边形的性质得BC∥AD，
又AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∴直线BC∥平面PAE也不成立，C错误；
在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，
∴∠PDA＝45°，∴D正确.
第十一章 11.4 11.4.2 平面与平面垂直
1.理解二面角及其平面角的概念.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角.
3.掌握两个平面互相垂直的判定定理，会用判定定理证明面面垂直.
学习目标
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.下面就让我们开启今天的学习吧.
引入
课时精练
一、二面角的概念及求法
二、平面与平面垂直的定义
三、平面与平面垂直的判定定理
课堂达标
内容索引
二面角的概念及求法
一
探究1 随手打开一本书，发现每两页之间所在的平面也形成一个角度；修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度.
(1)两个半平面形成的二面角可以为0°角吗？
(2)两个半平面成二面角的范围是什么？
提示 (1)可以.
(2)[0°，180°].
1.二面角
(1)定义：从__________出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.
(2)表示法：二面角____________或二面角______________或P－AB－Q.
(3)相关概念：①定义中的直线叫做二面角的____；
②定义中的两个半平面叫做二面角的____.
(4)画法：
知识梳理
一条直线
α－l－β
α－AB－β
棱
面
2.二面角的平面角
(1)满足条件：如图所示.
α∩β＝l，O∈l，OA α，__________，OB β，__________.
(2)结论：∠AOB叫做二面角的平面角.
(3)范围：__________________________.
(4)直二面角：若二面角α－l－β的平面角∠AOB＝90°，则该二面角叫做__________.
OA⊥l
OB⊥l
0°≤∠AOB≤180°
直二面角
(1)注意区别二面角和平面与平面所成的角，二面角的范围为[0°，180°]，而平面与平面所成的角指两平面所成的4个二面角中不大于90°的角.
(2)二面角的大小与垂足在l上的位置无关，一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的.
(3)二面角的棱与二面角的平面角所在的平面垂直.
温馨提示
(链接教材P119例1)如图，三棱锥P－ABC 中，已知PA⊥ 平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6 .求二面角P－BC－A的正弦值.
例1
取BC的中点D，连接PD，AD，
∵PB＝PC，
∴PD⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵PA∩PD＝P，PA，PD 平面PAD，
∴BC⊥平面PAD. 又AD 平面PAD，即BC⊥AD.
∴∠PDA即为二面角P－BC－A的平面角，
∵PB＝PC＝BC＝6，
求二面角的平面角的大小的步骤
思维升华
训练1
√
如图所示，在平面PBD内，过P作BD的垂线，垂足为E，连接AE，
因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD，
因为PE⊥BD，PA∩PE＝P，PA，PE 平面PAE，
故BD⊥平面PAE，
因为AE 平面PAE，故AE⊥BD，
所以∠PEA为A－BD－P的平面角，
在直角三角形BAD中， AB＝3，AD＝4，
60°
折叠过程中，AD⊥BD，AD⊥C′D，
平面与平面垂直的定义
二
探究2 教室拐角处相邻的两个墙面是什么位置关系？教室的墙面与地面是什么位置关系？怎样用符号表示这种位置关系？
提示 都是垂直关系.设拐角处的两个墙面所在平面为α，β，地面为γ，则α⊥β，α⊥γ，β⊥γ.
两个平面互相垂直的定义
(1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.
(2)图形：如图所示.
知识梳理
直二面角
(3)表示：平面α与β垂直，记作________.
α⊥β
例2
取BD的中点E，连接AE，CE，
因为△ABD与△BCD是等腰三角形，
所以AE⊥BD，BD⊥CE.
所以∠AEC是二面角A－BD－C的平面角.
所以AC2＝AE2＋CE2，
所以AE⊥CE，
所以∠AEC＝90°，
所以平面ABD⊥平面BCD.
思维升华
利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的二面角的平面角；②证明这个二面角的平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直.
如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.
训练2
如图，取BC中点D，
连接SD，AD，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，
得AB＝AC＝SA.
则AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角.
∴SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，
∴平面ABC⊥平面BSC.
平面与平面垂直的判定定理
三
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
(2)画法：
知识梳理
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面经过另外一个平面的__________，则这两个平面互相垂直
符号语言 l⊥α，________ α⊥β
图形语言
一条垂线
l β
3.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的.因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.
4.有助于判断面面垂直的结论
(1)m∥n，m⊥α，n β α⊥β；
(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n α⊥β；
(3)α∥β，γ⊥α γ⊥β.
(链接教材P121例3)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，E，F，G分别是AD，DC，CA的中点.
例3
求证：平面BEF⊥平面BDG.
连接EG，FG.
∵E，F，G分别是AD，DC，CA的中点，且AD＝DC，
∴DF綉EG，且DF＝DE，
∴四边形EDFG为菱形，
∴EF⊥DG，
又∵AB＝BC，AG＝GC，∴AC⊥BG，
又∵EF∥AC，∴EF⊥BG.
又DG∩BG＝G，DG，BG 平面BDG，
∴EF⊥平面BDG，
又∵EF 平面BEF，∴平面BEF⊥平面BDG.
思维升华
1.证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理.
2.利用面面垂直的判定定理证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.其证明的基本步骤
如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PDB.
训练3
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥PD，又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC 平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
【课堂达标】
1.给出下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角.
其中正确的命题是
A.①③ B.②
C.③ D.①②
√
由二面角的定义知，①错误；
a，b分别垂直于两个平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；
③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误.故选B.
2.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为
A.90° B.60° C.45° D.30°
√
因为PA⊥平面ABC，BA，CA 平面ABC，
所以BA⊥PA，CA⊥PA.
因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，
又∠BAC＝90°，
所以二面角B－PA－C的平面角为90°.故选A.
60°
4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则二面角C－BB1－D的正切值是________.
由长方体特点可知，BB1⊥平面ABCD.
又BC，BD 平面ABCD，
∴BC⊥BB1，BD⊥BB1，
∴∠CBD即为二面角C－BB1－D的平面角.
又CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，BC⊥CD，
【课时精练】
√
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面
A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在
由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
√
2.二面角是
A.两平面相交所成的角
B.一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形
C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
D.从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该平面所组成的图形
由二面角定义可知选C.
√
√
4.下列命题中正确的是
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错误；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错误，C正确.
√
5.(多选)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中成立的是
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC
√
√
∵BC∥DF，BC 平面PDF，DF 平面PDF，
∴BC∥平面PDF，A正确；
又BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，
PE，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，
又DF 平面PDF，
∴平面PDF⊥平面PAE，B，C正确.
6.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个五面体的五个面中互相垂直的共有________对.
5
因为PA⊥平面ABCD，
所以平面PDA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，
又因为四边形ABCD为矩形，
所以AB⊥平面PAD，得平面PAB⊥平面PAD，
同理可得平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PCD.
故图中互相垂直的平面共有5对.
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.
1
∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，
∴∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角，
∵平面ABD⊥平面ACD，
∴∠BDC＝90°，
又AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，
45°
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B－PC1－C的大小为________.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1，BC1 平面BCC1B1，
所以PC1⊥BC1，且PC1⊥CC1，
所以∠BC1C即为二面角B－PC1－C的平面角，
又BB1＝BC，易得∠BC1C＝45°.
9.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
∵AB是⊙O的直径，C是圆周上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，
又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
10.如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；
∵SC⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴SC⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
又AC∩SC＝C，AC，SC 平面SAC，
∴BC⊥平面SAC，
又P，M分别是SC，SB的中点，
∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，
又PM 平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC.
(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值.
同(1)，可证AC⊥平面SBC，
∴AC⊥CM，AC⊥CB，
从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴过点M作MN⊥CB于点N，连接AN，
如图所示，∴MN∥PC，
则∠AMN＝60°，
在Rt△CAN中，CN＝PM＝1，AC＝1，
√
11.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是
A.MN∥AB
B.平面VAC⊥平面VBC
C.MN与BC所成的角为45°
D.OC⊥平面VAC
由题意得BC⊥AC，
因为VA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以VA⊥BC.
因为AC∩VA＝A，AC，VA 平面VAC，
所以BC⊥平面VAC.
因为BC 平面VBC，
所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.
12.(多选)下列命题正确的为
A.两个相交平面组成的图形称为二面角
B.异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补
C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角的最小角
D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
√
√
由二面角的定义知A错误；a，b分别垂直于两个半平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C错误；由定义知D正确.故选B，D.
如图所示，连接BD，由底面ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD.
又AB∥CD，
所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE 平面ABCD，所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
因此BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)求二面角A－BE－P的大小.
由(1)知，BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.
14.(多选)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的为
A.PB⊥AE B.平面ABC⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE D.∠PDA＝45°
√
√
由PA⊥平面ABC，AE 平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，
又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，得AE⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，∴AE⊥PB，A正确；
∵PA⊥平面ABC，PA 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面PBC不成立，B错误；
由正六边形的性质得BC∥AD，
又AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∴直线BC∥平面PAE也不成立，C错误；
在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，
∴∠PDA＝45°，∴D正确.