人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系第一课时直线与平面垂直的判定课件(共55张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系第一课时直线与平面垂直的判定课件(共55张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
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文档简介
(共55张PPT)
第十一章 11.4 11.4.1 直线与平面垂直
1.了解直线与直线所成的角，会求异面直线所成的角.
2.了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的判定定理.
学习目标
一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直.这是为什么？这正是这一节我们要研究的直线与平面垂直问题.
引入
课时精练
一、异面直线所成的角
二、直线与平面垂直的定义
三、直线与平面垂直的判定定理及推论
课堂达标
内容索引
异面直线所成的角
一
探究1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示 不一定.可能相交、平行或异面.
1.定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b____________的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.
2.范围：__________________.特别地，当θ＝________时，a与b互相垂直，记作________.
知识梳理
平行或重合
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关.
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平移(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
温馨提示
如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心.
求：(1)BE与CG所成的角的大小；
例1
如图，因为CG∥BF.
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角的大小.
连接FH，因为HF∥BD，
所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，
即FO与BD所成的角为30°.
1.求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出两条异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角；
(3)计算：寻找或作出含有此角的三角形，求解计算；
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
2.过一点作两条异面直线所成的角时，常把这个点取在其中一条直线上的特殊位置，或是图形的特殊点，这样可方便于求这个角的大小.
3.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线.
思维升华
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小.
训练1
如图，取BD的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
所以∠GFE就是EF与AB所成的角，且EG＝GF.
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.
所以∠EGF＝90°.
所以△EFG为等腰直角三角形.
所以∠GFE＝45°，
即EF与AB所成的角的大小为45°.
直线与平面垂直的定义
二
探究2 如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？
提示 始终保持垂直.
探究3 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
提示 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
1.定义：直线l与平面α垂直，指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线________.
2.充要条件：直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线________.这可以用符号表示为l⊥α m α，l⊥m.
3.画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示.
知识梳理
都垂直
都垂直
√
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法中正确的是
A.若l⊥m，m α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m
例2
对于A，由l⊥m及m α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A错误；B正确；
对于C，l与m可能平行或异面，故C错误；
对于D，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D错误.故选B.
思维升华
直线与平面垂直的定义的理解
直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质.判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a α l⊥a”.这是证明线线垂直的一种方法.
(多选)下列说法正确的是
A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
√
训练2
√
由线面垂直的定义知，A正确；
当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，B错误；
C显然是正确的；
a可能在α内，D错误.
直线与平面垂直的判定定理及推论
三
探究4 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(AD⊥BD，AD⊥CD，BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面垂直吗？
提示 折痕AD与桌面垂直.
知识梳理
文字语言 定理：如果一条直线与一个平面内的______________垂直，则这条直线与这个平面垂直
符号语言 m α，n α，________＝P, l⊥m，l⊥n，则l⊥α
图形语言
两条相交直线
m∩n
文字语言 推论：如果两条平行直线，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
符号语言 l⊥α，m∥l m⊥α
图形语言
(1)定义中的“任意直线”不可以换为“无数条直线”.
(2)重要结论：一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任意直线.
温馨提示
(链接教材P114例2)已知Rt△ABC的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
例3
(1)BC⊥平面PAC；
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵△ABC是直角三角形，AB为斜边，
∴BC⊥AC，
又AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
(2)PB⊥平面AMN.
由(1)知BC⊥平面PAC，
∵AN 平面PAC，
∴BC⊥AN，
又∵AN⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，又PB 平面PBC，
∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN＝A，AM，AN 平面AMN，
∴PB⊥平面AMN.
思维升华
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
训练3
如图，取CD的中点G，连接EG，FG，
∴∠EGF＝90°，即EG⊥FG，
∵AC∥EG，BD∥FG，
∴BD⊥AC.
∵∠BDC＝90°，
∴BD⊥DC.
∵AC∩DC＝C，AC，DC 平面ACD，
∴BD⊥平面ACD.
【课堂达标】
√
1.(多选)下列表述正确的是
A.若直线a 平面α，b α，且a⊥b，则a⊥α
B.若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交
C.过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直
D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直
√
A中a与α还可能平行或斜交；
B中还可能有l α或l∥α；C，D正确.
√
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角为
A.45° B.60° C.90° D.120°
连接A1B，BC1，A1C1，则EF∥A1B，GH∥BC1，
从而∠A1BC1为异面直线EF与GH所成的角或其补角.
易知△A1BC1为正三角形，∠A1BC1＝60°，故选B.
3.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________.
垂直
∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，
故直线AB与CD确定一个平面ABDC.
∵AB⊥α，EF α，∴AB⊥EF，
又BD⊥EF，AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABDC，
∴EF⊥平面ABDC.
∵AC 平面ABDC，∴AC⊥EF.
4.如图，设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________.
垂直
因为PA＝PC，
所以PO⊥AC，又PB＝PD，
所以PO⊥BD.
又因为AC∩BD＝O，AC，BD 平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
【课时精练】
√
1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
A.①③ B.② C.②④ D.①②④
由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
√
连接DC1，BC1，根据长方体的性质可知AD1∥BC1，
3.已知直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
假设l∥m，因为l α，m α，
√
则l∥α，这与已知l⊥α矛盾.
所以直线l与m不可能平行.
√
如图，连接BE，∵AB∥CD，∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.
√
5.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
∵PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴PO⊥AC，
又∵AC⊥BO，PO∩BO＝O，PO，BO 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD都与AC垂直.
6.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.
60°
连接BC1，AD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.
7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
90°
∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，B1C1，B1M 平面C1B1M，
∴MN⊥平面C1B1M，又C1M 平面C1B1M，
∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.
CD⊥AB
8.如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.
∵EA⊥α，CD α，∴CD⊥EA.
∵EB⊥β，CD β，∴EB⊥CD.
又∵EA∩EB＝E，EA，EB 平面AEB，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB 平面AEB，
∴CD⊥AB.
9.如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，由∠ABC＝90°，D是AC中点，知AD＝BD，
又由已知SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，
所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
10.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.
求证：AD⊥平面A1DC1.
∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
又A1C1 平面A1B1C1，
∴A1C1⊥AA1.
又∠B1A1C1＝90°，
∴A1C1⊥A1B1，而A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，
又AD 平面AA1B1B，
∴A1C1⊥AD.
∵A1C1∩A1D＝A1，A1C1，A1D 平面A1DC1，
∴AD⊥平面A1DC1.
√
11.(多选)下列命题正确的是
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直
√
当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以D正确.
12.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.
如图，连接D1C，∵AD∥BC，
∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，
∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，
13.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G.
求证：AE⊥SB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB.
又∵SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴SA⊥BC.
又∵AB∩SA＝A，AB，SA 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
又∵AE 平面SAB，
∴BC⊥AE.
又∵SC⊥平面AEFG，AE 平面AEFG，
∴SC⊥AE.
又∵SC∩BC＝C，SC，BC 平面SBC，
∴AE⊥平面SBC，
又∵SB 平面SBC，
∴AE⊥SB.
14.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q是相应棱的中点，则：(1)MN与PQ的位置关系是________，它们所成的角是60°；
相交
(2)MN与B1D的位置关系是异面，它们所成的角是________.
90°
PQ，MN与DC的延长线能交于一点，
故MN与PQ相交.又MN∥AC，且AC⊥平面BDD1B1，
又B1D 平面BDD1B1，∴AC⊥B1D，∴MN⊥B1D.
第十一章 11.4 11.4.1 直线与平面垂直
1.了解直线与直线所成的角，会求异面直线所成的角.
2.了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的判定定理.
学习目标
一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直.这是为什么？这正是这一节我们要研究的直线与平面垂直问题.
引入
课时精练
一、异面直线所成的角
二、直线与平面垂直的定义
三、直线与平面垂直的判定定理及推论
课堂达标
内容索引
异面直线所成的角
一
探究1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示 不一定.可能相交、平行或异面.
1.定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b____________的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.
2.范围：__________________.特别地，当θ＝________时，a与b互相垂直，记作________.
知识梳理
平行或重合
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关.
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平移(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
温馨提示
如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心.
求：(1)BE与CG所成的角的大小；
例1
如图，因为CG∥BF.
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角的大小.
连接FH，因为HF∥BD，
所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，
即FO与BD所成的角为30°.
1.求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出两条异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角；
(3)计算：寻找或作出含有此角的三角形，求解计算；
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
2.过一点作两条异面直线所成的角时，常把这个点取在其中一条直线上的特殊位置，或是图形的特殊点，这样可方便于求这个角的大小.
3.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线.
思维升华
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小.
训练1
如图，取BD的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
所以∠GFE就是EF与AB所成的角，且EG＝GF.
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.
所以∠EGF＝90°.
所以△EFG为等腰直角三角形.
所以∠GFE＝45°，
即EF与AB所成的角的大小为45°.
直线与平面垂直的定义
二
探究2 如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？
提示 始终保持垂直.
探究3 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
提示 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
1.定义：直线l与平面α垂直，指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线________.
2.充要条件：直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线________.这可以用符号表示为l⊥α m α，l⊥m.
3.画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示.
知识梳理
都垂直
都垂直
√
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法中正确的是
A.若l⊥m，m α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m
例2
对于A，由l⊥m及m α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A错误；B正确；
对于C，l与m可能平行或异面，故C错误；
对于D，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D错误.故选B.
思维升华
直线与平面垂直的定义的理解
直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质.判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a α l⊥a”.这是证明线线垂直的一种方法.
(多选)下列说法正确的是
A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
√
训练2
√
由线面垂直的定义知，A正确；
当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，B错误；
C显然是正确的；
a可能在α内，D错误.
直线与平面垂直的判定定理及推论
三
探究4 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(AD⊥BD，AD⊥CD，BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面垂直吗？
提示 折痕AD与桌面垂直.
知识梳理
文字语言 定理：如果一条直线与一个平面内的______________垂直，则这条直线与这个平面垂直
符号语言 m α，n α，________＝P, l⊥m，l⊥n，则l⊥α
图形语言
两条相交直线
m∩n
文字语言 推论：如果两条平行直线，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
符号语言 l⊥α，m∥l m⊥α
图形语言
(1)定义中的“任意直线”不可以换为“无数条直线”.
(2)重要结论：一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任意直线.
温馨提示
(链接教材P114例2)已知Rt△ABC的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
例3
(1)BC⊥平面PAC；
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵△ABC是直角三角形，AB为斜边，
∴BC⊥AC，
又AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
(2)PB⊥平面AMN.
由(1)知BC⊥平面PAC，
∵AN 平面PAC，
∴BC⊥AN，
又∵AN⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，又PB 平面PBC，
∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN＝A，AM，AN 平面AMN，
∴PB⊥平面AMN.
思维升华
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
训练3
如图，取CD的中点G，连接EG，FG，
∴∠EGF＝90°，即EG⊥FG，
∵AC∥EG，BD∥FG，
∴BD⊥AC.
∵∠BDC＝90°，
∴BD⊥DC.
∵AC∩DC＝C，AC，DC 平面ACD，
∴BD⊥平面ACD.
【课堂达标】
√
1.(多选)下列表述正确的是
A.若直线a 平面α，b α，且a⊥b，则a⊥α
B.若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交
C.过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直
D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直
√
A中a与α还可能平行或斜交；
B中还可能有l α或l∥α；C，D正确.
√
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角为
A.45° B.60° C.90° D.120°
连接A1B，BC1，A1C1，则EF∥A1B，GH∥BC1，
从而∠A1BC1为异面直线EF与GH所成的角或其补角.
易知△A1BC1为正三角形，∠A1BC1＝60°，故选B.
3.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________.
垂直
∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，
故直线AB与CD确定一个平面ABDC.
∵AB⊥α，EF α，∴AB⊥EF，
又BD⊥EF，AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABDC，
∴EF⊥平面ABDC.
∵AC 平面ABDC，∴AC⊥EF.
4.如图，设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________.
垂直
因为PA＝PC，
所以PO⊥AC，又PB＝PD，
所以PO⊥BD.
又因为AC∩BD＝O，AC，BD 平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
【课时精练】
√
1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
A.①③ B.② C.②④ D.①②④
由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
√
连接DC1，BC1，根据长方体的性质可知AD1∥BC1，
3.已知直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
假设l∥m，因为l α，m α，
√
则l∥α，这与已知l⊥α矛盾.
所以直线l与m不可能平行.
√
如图，连接BE，∵AB∥CD，∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.
√
5.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
∵PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴PO⊥AC，
又∵AC⊥BO，PO∩BO＝O，PO，BO 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD都与AC垂直.
6.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.
60°
连接BC1，AD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.
7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
90°
∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，B1C1，B1M 平面C1B1M，
∴MN⊥平面C1B1M，又C1M 平面C1B1M，
∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.
CD⊥AB
8.如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.
∵EA⊥α，CD α，∴CD⊥EA.
∵EB⊥β，CD β，∴EB⊥CD.
又∵EA∩EB＝E，EA，EB 平面AEB，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB 平面AEB，
∴CD⊥AB.
9.如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，由∠ABC＝90°，D是AC中点，知AD＝BD，
又由已知SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，
所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
10.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.
求证：AD⊥平面A1DC1.
∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
又A1C1 平面A1B1C1，
∴A1C1⊥AA1.
又∠B1A1C1＝90°，
∴A1C1⊥A1B1，而A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，
又AD 平面AA1B1B，
∴A1C1⊥AD.
∵A1C1∩A1D＝A1，A1C1，A1D 平面A1DC1，
∴AD⊥平面A1DC1.
√
11.(多选)下列命题正确的是
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直
√
当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以D正确.
12.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.
如图，连接D1C，∵AD∥BC，
∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，
∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，
13.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G.
求证：AE⊥SB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB.
又∵SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴SA⊥BC.
又∵AB∩SA＝A，AB，SA 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
又∵AE 平面SAB，
∴BC⊥AE.
又∵SC⊥平面AEFG，AE 平面AEFG，
∴SC⊥AE.
又∵SC∩BC＝C，SC，BC 平面SBC，
∴AE⊥平面SBC，
又∵SB 平面SBC，
∴AE⊥SB.
14.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q是相应棱的中点，则：(1)MN与PQ的位置关系是________，它们所成的角是60°；
相交
(2)MN与B1D的位置关系是异面，它们所成的角是________.
90°
PQ，MN与DC的延长线能交于一点，
故MN与PQ相交.又MN∥AC，且AC⊥平面BDD1B1，
又B1D 平面BDD1B1，∴AC⊥B1D，∴MN⊥B1D.