人教B版高中数学必修第四册第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系第二课时直线与平面垂直的性质定理及线面角课件(共61张PPT)

(共61张PPT)
第十一章 11.4　11.4.1　直线与平面垂直
1.理解直线与平面垂直的性质定理.
2.掌握直线与平面所成的角，并会运用直线与平面垂直求点到平面的距离.
学习目标
如图是马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，根据上一节的知识我们知道灯柱所在直线与地面所在平面垂直，那么灯柱所在的直线间是什么位置关系？这正是我们这一节要讲的内容.
引入
课时精练
一、直线与平面垂直的性质定理
二、直线和平面所成的角
三、直线与平面垂直的综合问题
课堂达标
内容索引
直线与平面垂直的性质定理
一
探究 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？
提示　在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定平行.
直线与平面垂直的性质定理
知识梳理
平行
如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.
求证：EF∥BD1.
例1
如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，
∴EF∥BD1.
直线与平面垂直常用的其他性质及结论：
(1)一条直线与一个平面垂直，这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线；
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
思维升华
如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
训练1
因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，
所以l⊥EA.
同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，EA，EB 平面EAB，
所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，
所以EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，
AB 平面EAB，
所以a⊥平面EAB.因此a∥l.
直线和平面所成的角
二
斜线与平面所成的角
1.斜线：一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面______，这条直线称为这个平面的斜线.
2.斜足：斜线和平面的________称为斜足.
3.射影：过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和________的直线AO称为斜线在这个平面上的射影.
知识梳理
相交
垂直
交点A
斜足A
4.直线与平面所成的角
定义：平面的一条______和它在平面上的______所成的角，称为这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
斜线
射影
90°
5.取值范围：__________________.
0°≤θ≤90°
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值.
例2
如图所示，
取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，
所以EM∥AD.
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2，
迁移
在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
∴BE与平面ABCD所成的角与所求的角相等.
连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角.
设正方体的棱长为2，
思维升华
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC的中点.
(1)求证：AB1∥平面BEC1；
训练2
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，连接EO，
而E为AC的中点，
有AB1∥EO，
又AB1 平面BEC1，EO 平面BEC1，
所以AB1∥平面BEC1.
(2)若AB＝AA1＝1，求直线AB1与平面B1C1CB所成的角的正弦值.
取BC的中点F，连接AF，B1F，在正△ABC中，AF⊥BC，而CC1⊥平面ABC，AF 平面ABC，于是得AF⊥CC1，
又BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面BCC1B1，
则AF⊥平面BCC1B1，∠AB1F是直线AB1与平面BCC1B1所成的角，
直线与平面垂直的综合问题
三
如图所示，已知P为△ABC外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求P点到平面ABC的距离.
例3
如图所示，过P作PO⊥平面ABC于O点，
连接AO，BO，CO，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.
∵PA＝PB＝PC＝a，
∴△PAO≌△PBO≌△PCO，
∴OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心.
又PA，PB，PC两两垂直，
思维升华
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离；
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(或等分点)，转化为另一点到平面的距离；
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.
如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积.
训练3
由长方体ABCD－A1B1C1D1，
可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE 平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BE，
因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1 平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1，又EB1 平面EB1C1，所以BE⊥EB1，
所以∠BEB1＝90°，
由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
所以AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，
所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB＝3，
【课堂达标】
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，则有
A.BB1⊥l B.BB1∥l C.BB1与l异面 D.BB1与l相交
√
因为l⊥平面ABCD，且BB1⊥平面ABCD，直线l与直线BB1不重合，所以BB1∥l.故选B.
2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为
A.30° B.45° C.60° D.120°
√
如图，AC⊥α，AB∩α＝B，
∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°.
3.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有____________(填序号).
①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a∥α，a⊥b b⊥α；④a⊥α，b⊥α a∥b；⑤a⊥α，a∥b b⊥α.
①④⑤
4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为___________.
如图，取BB1的中点F，过点F作FH⊥A1B于点H，连接EF，EH.
在正方形BCC1B1中，E，F分别是CC1，BB1的中点，
∴EF∥BC，又BC⊥平面ABB1A1，
∴EF⊥平面ABB1A1.
又A1B 平面ABB1A1，∴EF⊥A1B，
又FH⊥A1B，FH∩EF＝F，FH，EF 平面EFH，
∴A1B⊥平面EFH.
又EH 平面EFH，∴A1B⊥EH，
故EH为点E到直线A1B的垂线段.
【课时精练】
√
1.若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则
A.b⊥α B.b α C.b∥α D.b∥α或b α
当b α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b.故选D.
√
√
取A1C1中点E，
√
4.(多选)若a，b表示直线，α表示平面，下列结论中正确的是
A.a⊥α，b∥α a⊥b B.a⊥α，a⊥b b∥α
C.a∥α，a⊥b b⊥α D.a⊥α，b⊥α a∥b
√
由线面垂直的性质知A，D正确；B不正确，有可能b α；C不正确，b与α的关系不能确定，还可能b∥α或b α或b与α相交.
√
则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
6.已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面.下列命题中正确的有________.(填序号)
①若l∥m，n∥m，l⊥α，则n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
①②
对于①，因为l∥m，m∥n，
所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；
对于②，因为m⊥α，n⊥α，
所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；
对于③，因为l∥α，l⊥m，
所以m∥α或m α或m与α相交，即③错误.
7.线段AB在平面α的一侧，A，B到平面α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.
4
由直线与平面垂直的性质定理知AB的中点到α的距离为：以3和5为上、下底边长的直角梯形的中位线的长，
8.如图，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长和两条对角线AC，BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，
则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________.
由已知得△BDC和△ABC是全等的等边三角形，且F是BC的中点，
所以BF⊥FD，BF⊥AF.
又FD∩AF＝F，FD，AF 平面AFD，故BF⊥平面AFD.
连接EF，则EF是BE在平面AFD内的射影，
所以∠BEF是BE与平面AFD所成的角.
设空间四边形ABCD的边长为a，
9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证：AC⊥B1D；
如图，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BB1⊥平面ABCD.
∵AC 平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，BB1，BD 平面BB1D，
∴AC⊥平面BB1D.
∵B1D 平面BDB1，
∴AC⊥B1D.
(2)求三棱锥C－BDB1的体积.
由(1)的证明知AC⊥平面BDB1.
10.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
取PD的中点E，连接NE，AE，如图.
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角.
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
又PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE.
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，
CD，PD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
√
11.(多选)设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论不正确的是
A.m⊥n，m∥α n⊥α B.m⊥n，m⊥α n∥α
C.m∥n，m⊥α n⊥α D.m∥n，m∥α n∥α
√
√
在A中，n与α的关系是任意的，不能推出n⊥α，A错误；在B中，由条件得n∥α或n α，B错误；在C中，由m⊥α得m垂直于α内的任意直线，又m∥n，所以n垂直于α内的任意直线，从而n⊥α，C正确；在D中，由条件可得n∥α或n α，D错误.
12.如图，三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是
A.AC＝BC B.VC⊥VD
C.AB⊥VC D.S△VCD·AB＝S△ABC·VO
√
因为VA＝VB，AD＝BD，
所以VD⊥AB.
因为VO⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以VO⊥AB.
又VO∩VD＝V，VO，VD 平面VCD，
所以AB⊥平面VCD，
又CD 平面VCD，VC 平面VCD，
所以AB⊥VC，AB⊥CD.
又AD＝BD，所以AC＝BC(线段垂直平分线的性质).
因为VO⊥平面ABC，
即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.
综上知A，C，D正确.
13.如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩AE＝A，AC，AE 平面ACDE，
∴BC⊥平面ACDE，又AM 平面ACDE，
∴BC⊥AM，
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，
又BC∩CE＝C，BC，CE 平面EBC，∴AM⊥平面EBC.
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
取AB的中点F，连接CF，EF(图略)，
∵AE⊥平面ABC，CF 平面ABC，
∴AE⊥CF，
又AC＝BC，∴CF⊥AB，
∵EA∩AB＝A，EA，AB 平面AEB，
∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF为直线CE与平面ABE所成的角，
√
√
对于A，翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，
OA⊥OE，OA⊥OF.
又OE∩OF＝O，OE，OF 平面EOF，
∴OA⊥平面EOF，正确.
对于B，∵OA⊥平面EOF，
对于C，连接OH，AH(图略)，
则∠OHA为AH与平面EOF所成的角.
∵OE＝OF＝1，H是EF的中点，OE⊥OF，
对于D，∵OA⊥平面EOF，EF 平面EOF，
∴OA⊥EF.
又OH⊥EF，OA∩OH＝O，OA，OH 平面OAH，
∴EF⊥平面OAH.
∴EA不可能与平面OAH垂直，错误.