绝密★启用前
6
．(5 分)若
,则
( )
陇南市武都区 2025-2026 学年武都实验中学、武都两水中学、
A.
B.
C.
是定义在 R 上的奇函数，且当
B.3 C.
．(5 分)在正三棱台 中，下列结论正确的是( )
D.
D.
武都育才学校、武都扬名中学高三二诊模拟考试
7
．(5 分)已知函数
时，
，则
( )
（数学）试卷
A.1
8
注意事项：
A.
C.
B.
D.
平面
1
. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
9
．(6 分)某学习小组共有 6 名同学,该学习小组在一次数学测验中的成绩（单位:分）分别为 83,87,92,92,94,98,
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.
下列结论正确的是( )
1
．(5 分)已知
A.
．(5 分)已知复数 z 满足
,
,则
( )
A.该组数据的第 70 百分位数是 92
B.该组数据的众数是 92
C.该组数据的平均数是 91
D.该组数据的极差是 15
B.
C.
D.
2
,则 的虚部为( )
A.1
B.2
C.
D.
1
0．(6 分)设
，定义运算
已知函数
，则( )
3
．(5 分)已知
是椭圆
的左,右焦点,点 P 是椭圆上一点,且
,
A.
C.
是偶函数
在
B.
D.
是
的一个周期
的最小值为-1
,
则椭圆的离心率
( )
上单调递减
A.
B.
C.
D.
1
1．(6 分)对于函数
,下列说法正确的是( )
A.当
时,
4
．(5 分)已知
中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知
,则
的周长为
( )
A.
B.若
是函数
都有
的导数,则
B.
B.
C.
,则满足
C.
D.
D.
C.对任意
,则
D.设
在定义域上有两个不同的极值点
,
,则
5
．(5 分)设函数
的 x 的取值范围是( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
A.
1
2．(5 分)若向量
满足
,且
,则
的值为______.
第 1 页 共 2 页
1
3．(5 分)已知直线
与圆
相交于 M，N 两点，则
的最
Y
0
1
2
4
8
小值为___________.
(1)求
的概率；
1
4．(5 分)将数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 填入一个
第三行数字满足
______种.（用数字作答）
的方格中,每个格子填 1 个数字,且不重复,要求第一行数字满足
,第三列数字满足 ,则符合要求的填数方法共有
(2)求 X 的方差；
(3)若命中次数 X 与其对应的积分 Y 如下表所示,求 Y 的均值.
,
_
1
8．(17 分)已知双曲线
的左、右焦点分别是
,
,其实轴长为
,焦距为 8.
（1）求 C 的标准方程.
（
2）过点
ⅰ）若
ⅱ）求
直线 l 与 C 的右支交于 P,Q 两点,与 C 的两条渐近线交于 M,N 两点,P,M 均在第一象限.
（
,求直线 l 的方程;
（
面积的取值范围.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
1
9．(20 分)已知函数
.
1
5．(12 分)如图，在直三棱柱
中，
，
，D，E，F 分别为棱
，
（1）当
时,求函数
在
处的切线方程;
，
的中点.
（2）若
在
上恰有 2 个零点,求 m 的取值范围;
（3）若
,
是
的极值点,求证:
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)过 作平面
的平行平面
，平面
将直三棱柱
截成两部分，其中较大部分体积为
，
求直线
与平面
所成角的正弦值.
1
6．(14 分)记数列
的前 n 项和为 ，已知
，
.
（
（
1）证明：
为等比数列；
2）设
，求数列
的前 n 项和
.
1
7．(14 分)小张参加射击训练,他每次射击的命中率为 ,共射击 4 次,这 4 次射击命中的次数为 X,设他每次射
击是否命中相互独立.
X
0
1
2
3
4
第 2 页 共 2 页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D A A B C D BCD BC BCD
1．答案：A
解析：解不等式 ,得 或 ,
即集合 ,则 ,
则 .
2．答案：B
解析：由题意知复数 z 满足 ,
故 ,
故 ,则 的虚部为 2,
故选:B.
3．答案：D
4．答案：A
解析： ,由正弦定理得
,
又 ,
所以 ,
则 , 或 , （舍）,
所以 , ,
则 ,
.
故选:A.
5．答案：A
解析：令 ,则 .
因为 是减函数, 是增函数,所以函数 在 上单
调递减;
因为 是减函数,所以 在 上单调递减.
因为 , ,所以函数 在 上单调递减.
因为 ,所以 ,所以 ,解得 .
故选:A.
6．答案：B
解析：因为 ,所以 ,
又 ,解得 ,所以 .
故选:B.
7．答案：C
解析：因函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时，
则 ，解得 ，则当 时， ，
故 .
故选：C.
8．答案：D
解析：对于 A，设底面 ， 的边长分别为 a，b，正三棱台的高为 h，则
， ，错误；
对于 B，显然不垂直，错误；
对于 C， ，由
条件不能判断 是否等于 0， 与 不一定垂直，错误；
对于 D，将正三棱台补为正三棱锥 ，
如图，取 BC 的中点 D，连接 PD，AD，则 ，又 ，
平面 平面 PAD， 平面 .正确.故选 D.
9．答案：BCD
解析：对于 A,因为 ,所以该组数据的第 70 百分位数是第 5 个数据,即 94,
故 A 错误;
对于 B,因为 92 出现了两次,所以该组数据的众数是 92,故 B 正确;
对于 C, ,故 C 正确;
对于 D, ,故 D 正确.
故选:BCD
10．答案：BC
解析：因为 画出 的图象，如图.对于 A，
， ，即 ，所以 不是偶函数，
A 错误；
对于 B，由图可知 的一个周期为 ，B 正确；
对于 C，当 时， ，则 ，而 在 上单调
递减，C 正确；对于 D，由图可知， 的最小值为 ，D 错误.
故选 BC.
11．答案：BCD
解析：对于函数 ,定义域为 ,所以 ,
对于 A,当 时, ,则 单调递减,
所以当 时, ,即 ,所以 A 错误；
对于 B,令 ,则 ,
当 时, ,则 单调递增；当 时, ,则 单调递减,
所以 ,即 ,所以 B 正确；
对于 C,由题可得,对于任意 , 恒成立,
令 , ,则 ,且 ,
于是 ,解得 ,所以 C 正确；
对于 D, , ,则 ,
令 ,得 ,
由题可知 有两个不同的极值点,
所以直线 与函数 的图象有两个不同的交点,
对 求导得 ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以函数 有最大值 ,
且当 时, ,当 时, ,
所以 ,由题可知 , ,
不妨设 ,则 ,要证明 ,只需要证明 ,
即证 ,也就是证明 ,
令 , , , ,
则 ,即 在 上单调递增,
又 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 D 正确,
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为 ,所以两边平方得 ,则 ,
因为 ,所以 .
故答案为:
13．答案：8
解析：由直线方程 可化为 ，
知直线恒过定点 ；
圆 的圆心为 ，半径 ；
由于 ，
故点 P 在圆内，直线与圆恒相交于两点 M，N.
设弦 的中点为 H，则 ，从而 ，
，
，
过圆内定点 P 的弦中，当弦与 垂直时弦长 最短，
此时圆心到直线的距离 ，
最短弦长为 .
故 最小值为 .
14．答案：1080
解析：从 9 个数中任取 2 个数填入 和 的位置,有 种方法.
因为 , ,
所以在剩下的 7 个数中,最大的数只能填入 的位置,
再从剩下的 6 个数字中选择 4 个数字填入 , , , 的位置,且这 4 个数字只能按照
从小到大的顺序分别填入 , , , 的位置,
最后剩下的 2 个数字只能按照从小到大的顺序分别填入 , 的位置,
故填好 , , , , , , 共有 种方法.
因此,按照要求填好该方格共有 种方法.
故答案为:1080.
15．(12 分)答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为 是直三棱柱，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 且 平面 ，
所以 平面 ，
又 D，E 分别为棱 ， 的中点，所以 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）根据面面平行的判定定理作出平面 ，如图所示，
平面 与直三棱柱 的截面即为平面 ，
显然，平面 将直三棱柱 分成体积比为 的两部分，
所以 ，
设 ，则 ，所以 .
以 A 为原点，棱 ， ， 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐
标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
16．(14 分)答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：将 两边同时加 ，
得 ，因为 ，
所以 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，即 ，
当 时， ，
当 时， 不符合上式，
故 ，所以 ，
当 时，
，
由于当 时也满足该式，因此 .
17．(14 分)答案：(1)
(2)1
(3)
解析：(1)由题设 ,则 ；
(2)由(1)知, ；
(3)由(1), ,
,
,
,
,
所以 .
18．(17 分)答案：（1）
（2）（i）
（ii）
解析：（1）由于双曲线 的实轴长为 ,焦距为 8.
所以 ,所以 ,
那么
所以 C 的标准方程为 .
（2）（i）当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 ,
因为双曲线的渐近线方程为 ,联立直线 l 与渐近线方程得 .
所以 ,因为双曲线的焦点坐标为 ,
所以 ,此时不满足题意,所以直线 l 的斜率存在.
设直线 l 的方程为 ,与双曲线的渐近线方程联立得 和
,
解得 和 ,所以 .
因为 ,所以 即 ,解得 .
所以直线 l 的方程为 ,即 .
（ii）当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 ,代入双曲线方程中得 .
所以 ,此时 ;
当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 ,
与双曲线方程联立 得 .
判别式 , .
设 ,则 .
由于 ,所以 或 .
所以
,
令 ,由于 ,所以
.
所以 ,
所以 .
综上 ,所以 面积的取值范围为 .
19．(20 分)答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当 时, ,则 ,
,则 ,
所以 在 处的切线方程为 ,即 .
（2）因为 在 上恰有 2 个零点,所以 在 上恰有 2
个解.
当 时, 在 R 上单调递增,不符合题意,故 ,
所以 在 上恰有 2 个解,
故可得 与 的图象有 2 个不同的交点.
令 ,则 ,
所以当 时, ,可得 ;
当 时, ,可得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
因为 ,
作出 的大致图象如图所示.
由图知,函数的图象 与直线 在 上恰有 2 个不同的交点
等价于 ,解得 ,
即实数 m 的取值范围为 .
（3）因为 ,所以 .
因为 是 的极值点,所以 .
要证 ,即证 .
因为
.
令 ,则 ,由 解得 ,
则当 时, ,当 时, ,
故函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,即 得证,
故 .
