北师大版数学八年级下册期中仿真模拟卷(二)
一、选择题
1．（2024九上·北京市月考）下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八上·南丹期中）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（ ）
A．90° B．80° C．60° D．50°
3．（2024七下·信都月考）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式．规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁
4．（2024八下·内蒙古自治区期中）某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·惠州期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．全等三角形的对应边相等
D．对顶角相等
6．（2025八上·沛县期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·北川月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2025七下·新田期中）若不等式组的解集为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2025
二、填空题
9．（2025七下·武侯期中）如图，在中，，则 ．
10．（2025八上·诸暨期中）等腰三角形的一个内角等于100°，则这个等腰三角形底角的度数是 °.
11．（2025八上·温州期中） 如图， 在△ABC中， AB 的垂直平分线DE 与边AC， AB分别交于点D， E.已知△ABC与△BCD 的周长分别是17和11， 则BE 的长为 .
12．（2025七下·南县期中）一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一题扣两分，不答则不扣分．某同学有一道题未答，如果他要想得到80分以上的成绩，则他至少需答对 道题目．
13．（2024·曹县模拟）如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ．
三、解答题
14．（2024七下·衡阳期中）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解．
15．（2025八上·诸暨期中）如图是由 16个边长为1 的小正方形拼成的网格图，请用无刻度的直尺按照要求画图：
（1）在图1中画一个面积为3的△ABC，要求顶点C是格点；
（2）在图2中画一个面积为2的 Rt△ABC，要求顶点C是格点；
（3）在图3中画一个面积为4的等腰△ABC，要求顶点C是格点.
16．（2025八上·余姚期中）如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点.
求证： 是等腰三角形．
证明：在中
∵，
∴ ▲ （等腰三角形 ）
∵，
∴ ▲ （两直线平行，内错角相等）
▲ ▲ （等量代换）
（在同一个三角形中， ）
即是等腰三角形．
17．（2025八上·余姚期中） 当时，比较与的大小.（选择适当的不等号填空）
（1）∵，<0
∴-3x -3y(不等式的基本性质3)
∴-3x+5 -3y-5(不等式的基本性质2)
（2）若，则的取值范围为 直接写出答案
18．（2024·振兴模拟）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元，
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1388元，那么最多可以购买B种跳绳多少根
19．（2025七下·南县期中）【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
（1）可理解为______；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
（2）①不等式的解集是______；
②不等式的解集是______；
【拓展探究】
（2）请求出绝对值不等式的解集．
20．（2025八上·鹤山期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
（1）【理解】
若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为 ．
（2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为 ．
（3）【应用】
如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、笛卡尔爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、 费马螺线是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、 卡西尼卵形线既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着平面内某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：甲：，
去分母，得，甲错误．
乙：去括号，得
，乙错误．
丙：移项，合并同类项，得．
丁：化系数为，得．
而丙和丁自己负责的一步没有错误；
故答案为：B．
【分析】根据求含分母的一元一次不等式步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为逐步判断即可．
4．【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故答案为：D．
【分析】设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意．
、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意；
故答案为：．
【分析】分别写出各命题的逆命题并判断它们的真假即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
平分．
故选：D．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线定义即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
，
由题可得，，
，
，
解得．
故选：C．
【分析】根据平移性质，结合割补法，梯形面积即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，
由不等式组的解集为，
∵，
∴，，
解得，
∴
故答案为：C．
【分析】先分别化简得，，根据不等式组的解集，求出，，再代入计算求解即可.
9．【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出，得到，进而得到，求解即可．
10．【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题可知该内角100°一定为顶角，
则底角为。
故答案为： 40.
【分析】根据三角形内角和以及等腰三角形底角相等回答即可.
11．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB
∴AE=BE，DA=DB
∴C△ABC=AB+AC+BC，C△BCD=BD+BC+CD=AD+CD+BC=AC+BC
即AB+AC+BC=17，AC+BC=11，得AB=6，BE=3
故答案为：3 .
【分析】由垂直平分线的概念与性质得AE=BE，DA=DB，表示出△ABC和△BCD的周长，即可得BE的长.
12．【答案】22
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他答对了x道题，则他答错的共有道题，由题意得
，
解得．
∵为整数，
∴的最小值为22，
∴他至少答对了22道题．
故答案为：22.
【分析】根据答对一道题得4分，答错一题扣两分，列出一元一次不等式求解即可．
13．【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 在中，，
；
如图，作点关于的对称点，连接，
，∠B'AC=∠BAC=15°，
，∠B'AB=30°，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
在中，，
即的最小值为4，
故答案为：4．
【分析】作点B关于AC的对称点B'，连接B'E、B'F、AB'，由轴对称性质得AB'=AB=8，B'E=BE，∠B'AC=∠BAC=15°；先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当B'F⊥AB时，线段EF+EB=EF+B'F的值最小，最小值为B'F；在Rt△B'AF中，根据含30°角直角三角形的性质得出B'F=4，从而就可得出答案.
14．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图所示：
，
所有整数解为，，．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小写出不等式组的解集，在数轴上表示出来，写出整数解即可．
15．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；直角三角形的判定
【解析】【解析】
（1）构造一个底边长度为2、高度为3的等腰三角形即可。
（2）构造一个直角边长度分别为和的直角三角形即可。
（3）构造一个底边长度为、高度为的等腰三角形即可。
16．【答案】证明：在中
∵，
∴2（等腰三角形三线合一）
∵，
∴3（两直线平行，内错角相等）
3（等量代换）
（在同一个三角形中，等角对等边）
即是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行的性质，联系证明逻辑步骤，分别进行填写即可.
17．【答案】（1）<；<
（2）a＜3
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)x>y两边同时乘以-3得-3x<-3y，两边同时加5得-3x+5<-3y+5；
(2)x>y，且(a-3)x<(a-3)y，故a-3<0，得a<3.
【分析】(1)根据不等式的性质填写不等号即可；
(2)由不等号方向改变知a-3<0，即得a的取值范围.
18．【答案】（1）解：设种跳绳的单价是元，种跳绳的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种跳绳的单价是25元，种跳绳的单价是30元；
（2）解：设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
得最大值为37，
答：最多可以购买种跳绳37根．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种跳绳的单价是x元，B种跳绳的单价是y元，根据单价乘以数量等于总价及“购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳(48-a)根，根据单价乘以数量等于总价及购买a根B跳绳的费用+购买(48-a)根A跳绳的费不超过1388元，列出一元一次不等式，求出不等式的最大整数解即可.
（1）设种跳绳的单价是元，种跳绳的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种跳绳的单价是25元，种跳绳的单价是30元；
（2）设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
得最大值为37，
答：最多可以购买种跳绳37根．
19．【答案】解：（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①；②或；
（3），
或，
解得或
【知识点】解一元一次不等式；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①根据题意可得的解集为，
故答案为：；
②根据题意可不等式的解集是，
∴或，
故答案为：或；
【分析】(1)根据绝对值的几何意义，直接写出即可；
(2)根据绝对值的几何意义解绝对值不等式进行求解即可；
(3)根据(1)(2)的理解，先对绝对值进行化简，再解一元一次不等式即可．
20．【答案】（1）16°
（2）30°或40°
（3）解：分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，∠BAE 或∠BAE=2∠B.
∵AD平分∠BAC，CD平分∠BCF，
∴∠BAC=2∠BAE，∠BCF=2∠BCD.
∵∠B+∠BAC=∠BCF，∠BCD=∠B+∠P，
∴∠B+2∠BAE=2(∠B+∠P)，即 或α+2×2α=2(α+30°)，
解得α=20℃第一个方程无解，即 不成立)；
②当∠AEB 与∠B 互为“开心角”时， 或∠AEB=2∠B，
即 或∠BAE=180°-3∠B.
同①可得 或α+2×(180°-3α)=2(α+30°)，解得α=75°或
综上所述，α的值为20°或75°或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解： (1) 若△ABC为开心三角形， ∠A=132°，
当∠A =2∠B时， ∠B = 66°，
此时∠A+∠B>180°， 舍去；
当∠A = 2∠C时， ∠C = 66°，
此时∠A+∠C>180°， 舍去；
∴∠B=2∠C或∠C=2∠B，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-132°= 48°，
∴α=16°，
故答案为：16；
(2)若△ABC为开心三角形， ∠A = 60°，
当∠A是开心角时，最小的内角为30°；
当∠A不是开心角时，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-60°=120°，
∴α=40°；
故答案为： 30°或40.
【分析】(1)先判断∠A不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-132°=48°，即可求出这个三角形中最小的内角的度数；
(2)分两种情况讨论：当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-60°=120°；从而求出这个三角形中最小的内角的度数.
(3)分为∠BAE与∠B互为“开心角”或∠AEB 与∠B 互为“开心角”两种情况，根据角平分线的定义，三角形的外角性质列方程求出α的值解答即可.
1 / 1北师大版数学八年级下册期中仿真模拟卷(二)
一、选择题
1．（2024九上·北京市月考）下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、笛卡尔爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、 费马螺线是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、 卡西尼卵形线既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着平面内某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．
2．（2019八上·南丹期中）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（ ）
A．90° B．80° C．60° D．50°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案.
3．（2024七下·信都月考）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式．规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：甲：，
去分母，得，甲错误．
乙：去括号，得
，乙错误．
丙：移项，合并同类项，得．
丁：化系数为，得．
而丙和丁自己负责的一步没有错误；
故答案为：B．
【分析】根据求含分母的一元一次不等式步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为逐步判断即可．
4．（2024八下·内蒙古自治区期中）某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故答案为：D．
【分析】设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式求解即可.
5．（2025八下·惠州期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．全等三角形的对应边相等
D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意．
、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意；
故答案为：．
【分析】分别写出各命题的逆命题并判断它们的真假即可得出答案。
6．（2025八上·沛县期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
平分．
故选：D．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线定义即可求出答案.
7．（2025七下·北川月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
，
由题可得，，
，
，
解得．
故选：C．
【分析】根据平移性质，结合割补法，梯形面积即可求出答案.
8．（2025七下·新田期中）若不等式组的解集为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2025
【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，
由不等式组的解集为，
∵，
∴，，
解得，
∴
故答案为：C．
【分析】先分别化简得，，根据不等式组的解集，求出，，再代入计算求解即可.
二、填空题
9．（2025七下·武侯期中）如图，在中，，则 ．
【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出，得到，进而得到，求解即可．
10．（2025八上·诸暨期中）等腰三角形的一个内角等于100°，则这个等腰三角形底角的度数是 °.
【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题可知该内角100°一定为顶角，
则底角为。
故答案为： 40.
【分析】根据三角形内角和以及等腰三角形底角相等回答即可.
11．（2025八上·温州期中） 如图， 在△ABC中， AB 的垂直平分线DE 与边AC， AB分别交于点D， E.已知△ABC与△BCD 的周长分别是17和11， 则BE 的长为 .
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB
∴AE=BE，DA=DB
∴C△ABC=AB+AC+BC，C△BCD=BD+BC+CD=AD+CD+BC=AC+BC
即AB+AC+BC=17，AC+BC=11，得AB=6，BE=3
故答案为：3 .
【分析】由垂直平分线的概念与性质得AE=BE，DA=DB，表示出△ABC和△BCD的周长，即可得BE的长.
12．（2025七下·南县期中）一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一题扣两分，不答则不扣分．某同学有一道题未答，如果他要想得到80分以上的成绩，则他至少需答对 道题目．
【答案】22
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他答对了x道题，则他答错的共有道题，由题意得
，
解得．
∵为整数，
∴的最小值为22，
∴他至少答对了22道题．
故答案为：22.
【分析】根据答对一道题得4分，答错一题扣两分，列出一元一次不等式求解即可．
13．（2024·曹县模拟）如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 在中，，
；
如图，作点关于的对称点，连接，
，∠B'AC=∠BAC=15°，
，∠B'AB=30°，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
在中，，
即的最小值为4，
故答案为：4．
【分析】作点B关于AC的对称点B'，连接B'E、B'F、AB'，由轴对称性质得AB'=AB=8，B'E=BE，∠B'AC=∠BAC=15°；先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当B'F⊥AB时，线段EF+EB=EF+B'F的值最小，最小值为B'F；在Rt△B'AF中，根据含30°角直角三角形的性质得出B'F=4，从而就可得出答案.
三、解答题
14．（2024七下·衡阳期中）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图所示：
，
所有整数解为，，．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小写出不等式组的解集，在数轴上表示出来，写出整数解即可．
15．（2025八上·诸暨期中）如图是由 16个边长为1 的小正方形拼成的网格图，请用无刻度的直尺按照要求画图：
（1）在图1中画一个面积为3的△ABC，要求顶点C是格点；
（2）在图2中画一个面积为2的 Rt△ABC，要求顶点C是格点；
（3）在图3中画一个面积为4的等腰△ABC，要求顶点C是格点.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；直角三角形的判定
【解析】【解析】
（1）构造一个底边长度为2、高度为3的等腰三角形即可。
（2）构造一个直角边长度分别为和的直角三角形即可。
（3）构造一个底边长度为、高度为的等腰三角形即可。
16．（2025八上·余姚期中）如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点.
求证： 是等腰三角形．
证明：在中
∵，
∴ ▲ （等腰三角形 ）
∵，
∴ ▲ （两直线平行，内错角相等）
▲ ▲ （等量代换）
（在同一个三角形中， ）
即是等腰三角形．
【答案】证明：在中
∵，
∴2（等腰三角形三线合一）
∵，
∴3（两直线平行，内错角相等）
3（等量代换）
（在同一个三角形中，等角对等边）
即是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行的性质，联系证明逻辑步骤，分别进行填写即可.
17．（2025八上·余姚期中） 当时，比较与的大小.（选择适当的不等号填空）
（1）∵，<0
∴-3x -3y(不等式的基本性质3)
∴-3x+5 -3y-5(不等式的基本性质2)
（2）若，则的取值范围为 直接写出答案
【答案】（1）<；<
（2）a＜3
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)x>y两边同时乘以-3得-3x<-3y，两边同时加5得-3x+5<-3y+5；
(2)x>y，且(a-3)x<(a-3)y，故a-3<0，得a<3.
【分析】(1)根据不等式的性质填写不等号即可；
(2)由不等号方向改变知a-3<0，即得a的取值范围.
18．（2024·振兴模拟）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元，
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1388元，那么最多可以购买B种跳绳多少根
【答案】（1）解：设种跳绳的单价是元，种跳绳的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种跳绳的单价是25元，种跳绳的单价是30元；
（2）解：设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
得最大值为37，
答：最多可以购买种跳绳37根．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种跳绳的单价是x元，B种跳绳的单价是y元，根据单价乘以数量等于总价及“购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳(48-a)根，根据单价乘以数量等于总价及购买a根B跳绳的费用+购买(48-a)根A跳绳的费不超过1388元，列出一元一次不等式，求出不等式的最大整数解即可.
（1）设种跳绳的单价是元，种跳绳的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种跳绳的单价是25元，种跳绳的单价是30元；
（2）设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
得最大值为37，
答：最多可以购买种跳绳37根．
19．（2025七下·南县期中）【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
（1）可理解为______；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
（2）①不等式的解集是______；
②不等式的解集是______；
【拓展探究】
（2）请求出绝对值不等式的解集．
【答案】解：（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①；②或；
（3），
或，
解得或
【知识点】解一元一次不等式；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①根据题意可得的解集为，
故答案为：；
②根据题意可不等式的解集是，
∴或，
故答案为：或；
【分析】(1)根据绝对值的几何意义，直接写出即可；
(2)根据绝对值的几何意义解绝对值不等式进行求解即可；
(3)根据(1)(2)的理解，先对绝对值进行化简，再解一元一次不等式即可．
20．（2025八上·鹤山期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
（1）【理解】
若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为 ．
（2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为 ．
（3）【应用】
如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值．
【答案】（1）16°
（2）30°或40°
（3）解：分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，∠BAE 或∠BAE=2∠B.
∵AD平分∠BAC，CD平分∠BCF，
∴∠BAC=2∠BAE，∠BCF=2∠BCD.
∵∠B+∠BAC=∠BCF，∠BCD=∠B+∠P，
∴∠B+2∠BAE=2(∠B+∠P)，即 或α+2×2α=2(α+30°)，
解得α=20℃第一个方程无解，即 不成立)；
②当∠AEB 与∠B 互为“开心角”时， 或∠AEB=2∠B，
即 或∠BAE=180°-3∠B.
同①可得 或α+2×(180°-3α)=2(α+30°)，解得α=75°或
综上所述，α的值为20°或75°或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解： (1) 若△ABC为开心三角形， ∠A=132°，
当∠A =2∠B时， ∠B = 66°，
此时∠A+∠B>180°， 舍去；
当∠A = 2∠C时， ∠C = 66°，
此时∠A+∠C>180°， 舍去；
∴∠B=2∠C或∠C=2∠B，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-132°= 48°，
∴α=16°，
故答案为：16；
(2)若△ABC为开心三角形， ∠A = 60°，
当∠A是开心角时，最小的内角为30°；
当∠A不是开心角时，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-60°=120°，
∴α=40°；
故答案为： 30°或40.
【分析】(1)先判断∠A不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-132°=48°，即可求出这个三角形中最小的内角的度数；
(2)分两种情况讨论：当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-60°=120°；从而求出这个三角形中最小的内角的度数.
(3)分为∠BAE与∠B互为“开心角”或∠AEB 与∠B 互为“开心角”两种情况，根据角平分线的定义，三角形的外角性质列方程求出α的值解答即可.
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