北师大版数学八年级下册期中仿真模拟卷(三)
一、选择题(每题3分,共24分)
1．（2025八下·南海月考）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·田阳期中）下列不等式运算不一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
3．（2025八下·平南期中）如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（ ）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两角的平分线的交点处
4．（2024八下·内蒙古自治区期中）某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·郑州期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·金沙期中）规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·杭州期中）如图，在三角形ABC中，，把三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026八上·宁波期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分,共15分)
9．（2025八上·绍兴期中）已知a＜b，则1-2a 1-2b。（填“＞”或“＜”）
10．（2025九上·平湖期中）如图，△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，若∠COB=35°，则∠BOA= °．
11．（2025八下·德惠期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是 ．
12．（2025八下·深圳期中）若不等式的解集为，则a的取值范围是 ．
13．（2025八上·义乌期中）如图已知△ABC为等边三角形， BD为中线， 延长BC至E， 使CE=CD=1， 连接DE， 则DE= .
三、解答题(14-19题,每题8分,20题13分,共61分)
14．（2023七下·富川期末）解不等式或不等式组：
（1）；
（2）．
15．（2024八上·铁西期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．
16．（2025八上·临平期中）如图，点P 是△ABC内部任意一点。观察可以发现AB+AC>PB+PC，你能通过推理证明这个发现吗 请填空完成证明过程。
证明：延长BP与AC 相交于点D，
∵AB+AD>BP+PD， PD+CD> (三角形的任意两边之和大于第三边) ，
∴AB+AD+PD+CD> ，
∴AB+AD+CD> ( )，即AB+AC>PB+PC。
17．（2025七下·台州期中）图①、图②均为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的顶点均在格点上，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺按要求作图并解答。
（1）在图①中过点B画线段AC的平行线BD.
（2）将△ABC向右上方平移，使点B平移到点B'，
ⅰ. 请在图②中画出经平移后得到的△A'B'C'；
ⅱ.△A'B'C'可以看成是∠ABC先向上平移 ▲ 个单位长度，再向右平移 ▲ 个单位长度得到.
18．（2025八下·深圳期中）已知关于x，y的二元一次方程组
（1）若方程组的解是正数，求m的取值范围；
（2）若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围．
19．（2025七下·武侯期中）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，若，求的长．
20．（2025八上·鹤山期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
（1）【理解】
若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为 ．
（2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为 ．
（3）【应用】
如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据题意，得A，B，C不是利用图形的平移得到，D是利用图形的平移得到，
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若，则，正确，不符合题意；
B．若，则，正确，不符合题意；
C．若，则，原推理不一定正确，符合题意；
D．若，，则，正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴灯应该安装在，两角的平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可作两个角的角平分线交点实际问题中为灯安装的位置．
4．【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故答案为：D．
【分析】设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴由图像可知，关于的一元一次不等式的解集为．
故选：C．
【分析】当直线的图象在直线的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：B．
【分析】先根据新定义得到，再利用一元一次不等式求解法则进行计算即可．
7．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG，
∴FG=BC=9，BF=4.5，
根据平移的性质可知S△ABC=S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM=S△EBM+S梯形BFGM，
∴
故答案为：A.
【分析】利用平移的性质得到FG=BC=9，BF=4.5，△ABC △EFG，则S△ABC=S△EFG，所以S四边形AEMC=S梯形BFGM，然后根据梯形的面积公式计算.
8．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为；
∵整数解恰有3个，且，
∴ 整数解为0、1、2，
∴，
解得：；
故答案为：B．
【分析】将a作为常数，根据解不等式组的步骤求出不等式组的解集为，由整数解恰有3个，可知整数解为0、1、2，进而推导出的取值范围．
9．【答案】＞
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ a＜b，
∴-2a>-2b，
∴1-2a>1-2b.
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质即可得出答案.
10．【答案】25
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转知∠AOC=60°
∵∠COB=35°
∴∠BOA=∠AOC-∠BOC=60°-35°=25°
故答案：25.
【分析】由旋转的性质知∠AOC=60°，由此得∠BOA的度数.
11．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，解得
故答案为：．
【分析】根据图象不经过第三象限可确定满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式的解集为，
解得：，
的取值范围是，
故答案为：
【分析】根据题意建立关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为AC中线
∴BD⊥AC，∠CBD=∠ABC=30°
∴BC=2CD=2
∴BD=
∵CD=CE
∴∠CDE=∠CED
∵∠BCD为△CDE的外角
∴∠BCD=∠CDE+∠CED=2∠CED=60°
∴∠CED=30°
∴DE=BD=
故答案为：.
【分析】由等边三角形的性质知∠CBD=30°，BD⊥AC，得BC=2，即得BD的长，同时由外角的性质知∠E=∠CBD，DE=BD.
14．【答案】（1）解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
15．【答案】证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据题意先求出，再利用证明，最后根据全等三角形的性质证明求解即可.
16．【答案】PC；BP+PD+PC；PB+PC；不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立
【知识点】三角形三边关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)在PCD中，PD+CD>PC，
AB+AD>BP+PD， PD+CD> PC两式相加得AB+AD+PD+CD>PB+PD+PC
消去相同项得AB+AD+CD>BP+PC，理由是不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立
【分析】分别根据三角形三边关系、不等式的性质进行填写即可得结论.
17．【答案】（1）解：如图
（2）解： ⅰ. 由题意可知，
ⅱ. 1；2。
【知识点】作图﹣平移；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】 解：(2)、ⅱ. △A'B'C'可以看成是△ABC先向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到.
故答案为：(2)、ⅱ. 1；2。
【分析】（1）过点B画线段AC的平行线BD，可以看做是将AC平移到BD，即C点向右平移2个单位长度，因此A点也向右平移2个单位长度到D点，连接BD即可；
（2）B'点已经给出，可以看做是B点先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度到达B'，那么同样A点和C点也按照相同的移动步骤，分别移动到A'和C'点，最后连接A'B'C'即可。因此也可以看成△ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到.
18．【答案】（1）解：解方程组，
得，
∵方程组的解是正数，
，
解得．
（2）解：∵方程组的解满足不小于0，
，
解得．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）解方程可得，再根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解方程组，
得，
∵方程组的解是正数，
，
解得．
（2）∵方程组的解满足不小于0，
，
解得．
19．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：连接，如图所示，
，E是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到∠ADF=∠F，进而得到，最后根据等腰三角形的判定证出即可；
（2）连接，先根据等腰三角形性质得到，再根据两直线平行，内错角相等得到，进而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：连接，
，E是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
20．【答案】（1）16°
（2）30°或40°
（3）解：分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，∠BAE 或∠BAE=2∠B.
∵AD平分∠BAC，CD平分∠BCF，
∴∠BAC=2∠BAE，∠BCF=2∠BCD.
∵∠B+∠BAC=∠BCF，∠BCD=∠B+∠P，
∴∠B+2∠BAE=2(∠B+∠P)，即 或α+2×2α=2(α+30°)，
解得α=20℃第一个方程无解，即 不成立)；
②当∠AEB 与∠B 互为“开心角”时， 或∠AEB=2∠B，
即 或∠BAE=180°-3∠B.
同①可得 或α+2×(180°-3α)=2(α+30°)，解得α=75°或
综上所述，α的值为20°或75°或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解： (1) 若△ABC为开心三角形， ∠A=132°，
当∠A =2∠B时， ∠B = 66°，
此时∠A+∠B>180°， 舍去；
当∠A = 2∠C时， ∠C = 66°，
此时∠A+∠C>180°， 舍去；
∴∠B=2∠C或∠C=2∠B，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-132°= 48°，
∴α=16°，
故答案为：16；
(2)若△ABC为开心三角形， ∠A = 60°，
当∠A是开心角时，最小的内角为30°；
当∠A不是开心角时，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-60°=120°，
∴α=40°；
故答案为： 30°或40.
【分析】(1)先判断∠A不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-132°=48°，即可求出这个三角形中最小的内角的度数；
(2)分两种情况讨论：当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-60°=120°；从而求出这个三角形中最小的内角的度数.
(3)分为∠BAE与∠B互为“开心角”或∠AEB 与∠B 互为“开心角”两种情况，根据角平分线的定义，三角形的外角性质列方程求出α的值解答即可.
1 / 1北师大版数学八年级下册期中仿真模拟卷(三)
一、选择题(每题3分,共24分)
1．（2025八下·南海月考）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据题意，得A，B，C不是利用图形的平移得到，D是利用图形的平移得到，
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质，据此逐项进行判断即可.
2．（2025七下·田阳期中）下列不等式运算不一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若，则，正确，不符合题意；
B．若，则，正确，不符合题意；
C．若，则，原推理不一定正确，符合题意；
D．若，，则，正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．（2025八下·平南期中）如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（ ）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两角的平分线的交点处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴灯应该安装在，两角的平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可作两个角的角平分线交点实际问题中为灯安装的位置．
4．（2024八下·内蒙古自治区期中）某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故答案为：D．
【分析】设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式求解即可.
5．（2024八下·郑州期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴由图像可知，关于的一元一次不等式的解集为．
故选：C．
【分析】当直线的图象在直线的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
6．（2024八下·金沙期中）规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：B．
【分析】先根据新定义得到，再利用一元一次不等式求解法则进行计算即可．
7．（2025七下·杭州期中）如图，在三角形ABC中，，把三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG，
∴FG=BC=9，BF=4.5，
根据平移的性质可知S△ABC=S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM=S△EBM+S梯形BFGM，
∴
故答案为：A.
【分析】利用平移的性质得到FG=BC=9，BF=4.5，△ABC △EFG，则S△ABC=S△EFG，所以S四边形AEMC=S梯形BFGM，然后根据梯形的面积公式计算.
8．（2026八上·宁波期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为；
∵整数解恰有3个，且，
∴ 整数解为0、1、2，
∴，
解得：；
故答案为：B．
【分析】将a作为常数，根据解不等式组的步骤求出不等式组的解集为，由整数解恰有3个，可知整数解为0、1、2，进而推导出的取值范围．
二、填空题(每题3分,共15分)
9．（2025八上·绍兴期中）已知a＜b，则1-2a 1-2b。（填“＞”或“＜”）
【答案】＞
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ a＜b，
∴-2a>-2b，
∴1-2a>1-2b.
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质即可得出答案.
10．（2025九上·平湖期中）如图，△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，若∠COB=35°，则∠BOA= °．
【答案】25
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转知∠AOC=60°
∵∠COB=35°
∴∠BOA=∠AOC-∠BOC=60°-35°=25°
故答案：25.
【分析】由旋转的性质知∠AOC=60°，由此得∠BOA的度数.
11．（2025八下·德惠期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，解得
故答案为：．
【分析】根据图象不经过第三象限可确定满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围．
12．（2025八下·深圳期中）若不等式的解集为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式的解集为，
解得：，
的取值范围是，
故答案为：
【分析】根据题意建立关于a的不等式，解不等式即可求出答案.
13．（2025八上·义乌期中）如图已知△ABC为等边三角形， BD为中线， 延长BC至E， 使CE=CD=1， 连接DE， 则DE= .
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为AC中线
∴BD⊥AC，∠CBD=∠ABC=30°
∴BC=2CD=2
∴BD=
∵CD=CE
∴∠CDE=∠CED
∵∠BCD为△CDE的外角
∴∠BCD=∠CDE+∠CED=2∠CED=60°
∴∠CED=30°
∴DE=BD=
故答案为：.
【分析】由等边三角形的性质知∠CBD=30°，BD⊥AC，得BC=2，即得BD的长，同时由外角的性质知∠E=∠CBD，DE=BD.
三、解答题(14-19题,每题8分,20题13分,共61分)
14．（2023七下·富川期末）解不等式或不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
15．（2024八上·铁西期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据题意先求出，再利用证明，最后根据全等三角形的性质证明求解即可.
16．（2025八上·临平期中）如图，点P 是△ABC内部任意一点。观察可以发现AB+AC>PB+PC，你能通过推理证明这个发现吗 请填空完成证明过程。
证明：延长BP与AC 相交于点D，
∵AB+AD>BP+PD， PD+CD> (三角形的任意两边之和大于第三边) ，
∴AB+AD+PD+CD> ，
∴AB+AD+CD> ( )，即AB+AC>PB+PC。
【答案】PC；BP+PD+PC；PB+PC；不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立
【知识点】三角形三边关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)在PCD中，PD+CD>PC，
AB+AD>BP+PD， PD+CD> PC两式相加得AB+AD+PD+CD>PB+PD+PC
消去相同项得AB+AD+CD>BP+PC，理由是不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立
【分析】分别根据三角形三边关系、不等式的性质进行填写即可得结论.
17．（2025七下·台州期中）图①、图②均为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的顶点均在格点上，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺按要求作图并解答。
（1）在图①中过点B画线段AC的平行线BD.
（2）将△ABC向右上方平移，使点B平移到点B'，
ⅰ. 请在图②中画出经平移后得到的△A'B'C'；
ⅱ.△A'B'C'可以看成是∠ABC先向上平移 ▲ 个单位长度，再向右平移 ▲ 个单位长度得到.
【答案】（1）解：如图
（2）解： ⅰ. 由题意可知，
ⅱ. 1；2。
【知识点】作图﹣平移；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】 解：(2)、ⅱ. △A'B'C'可以看成是△ABC先向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到.
故答案为：(2)、ⅱ. 1；2。
【分析】（1）过点B画线段AC的平行线BD，可以看做是将AC平移到BD，即C点向右平移2个单位长度，因此A点也向右平移2个单位长度到D点，连接BD即可；
（2）B'点已经给出，可以看做是B点先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度到达B'，那么同样A点和C点也按照相同的移动步骤，分别移动到A'和C'点，最后连接A'B'C'即可。因此也可以看成△ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到.
18．（2025八下·深圳期中）已知关于x，y的二元一次方程组
（1）若方程组的解是正数，求m的取值范围；
（2）若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围．
【答案】（1）解：解方程组，
得，
∵方程组的解是正数，
，
解得．
（2）解：∵方程组的解满足不小于0，
，
解得．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）解方程可得，再根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解方程组，
得，
∵方程组的解是正数，
，
解得．
（2）∵方程组的解满足不小于0，
，
解得．
19．（2025七下·武侯期中）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：连接，如图所示，
，E是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到∠ADF=∠F，进而得到，最后根据等腰三角形的判定证出即可；
（2）连接，先根据等腰三角形性质得到，再根据两直线平行，内错角相等得到，进而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：连接，
，E是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
20．（2025八上·鹤山期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
（1）【理解】
若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为 ．
（2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为 ．
（3）【应用】
如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值．
【答案】（1）16°
（2）30°或40°
（3）解：分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，∠BAE 或∠BAE=2∠B.
∵AD平分∠BAC，CD平分∠BCF，
∴∠BAC=2∠BAE，∠BCF=2∠BCD.
∵∠B+∠BAC=∠BCF，∠BCD=∠B+∠P，
∴∠B+2∠BAE=2(∠B+∠P)，即 或α+2×2α=2(α+30°)，
解得α=20℃第一个方程无解，即 不成立)；
②当∠AEB 与∠B 互为“开心角”时， 或∠AEB=2∠B，
即 或∠BAE=180°-3∠B.
同①可得 或α+2×(180°-3α)=2(α+30°)，解得α=75°或
综上所述，α的值为20°或75°或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解： (1) 若△ABC为开心三角形， ∠A=132°，
当∠A =2∠B时， ∠B = 66°，
此时∠A+∠B>180°， 舍去；
当∠A = 2∠C时， ∠C = 66°，
此时∠A+∠C>180°， 舍去；
∴∠B=2∠C或∠C=2∠B，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-132°= 48°，
∴α=16°，
故答案为：16；
(2)若△ABC为开心三角形， ∠A = 60°，
当∠A是开心角时，最小的内角为30°；
当∠A不是开心角时，
设这个三角形中最小的内角为α，
则α+2α= 180°-60°=120°，
∴α=40°；
故答案为： 30°或40.
【分析】(1)先判断∠A不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-132°=48°，即可求出这个三角形中最小的内角的度数；
(2)分两种情况讨论：当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α， 则α+2α=180°-60°=120°；从而求出这个三角形中最小的内角的度数.
(3)分为∠BAE与∠B互为“开心角”或∠AEB 与∠B 互为“开心角”两种情况，根据角平分线的定义，三角形的外角性质列方程求出α的值解答即可.
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