云南红河州一中实验中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

2025—2026 年(下学期)红河州一中实验学校 高二年级 3 月月考·数学
(考试时间: 120 分钟 满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤, 如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套, 则小李同学不同的搭配种数为 ( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
2. 已知集合 ，全集 和集合 . 若 ，则可能正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知复数 满足 ，则 ()
A. B. C. D.
4. 在等差数列 中， ，则它的前 7 项和 ( )
A. 18 B. 21 C. 24 D. 28
5. 如图, 这是一个落地青花瓷, 其中底座和瓶口的直径相等, 其外形被称为单叶双曲面, 可以看成是双曲线 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面. 若该花瓶横截面圆的最小直径为 ，最大直径为 ，双曲线的离心率为 ，则该花瓶的高为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 的定义域为 ,其导函数是 ,且满足 ，则关于 的不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
7. 若方程 恰有两个不同的实数根,则实数 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8. 过原点 作曲线 的两条切线 ，切点分别为 ， ，则 的面积为( )
A. 16 B. 15 C. 10 D. 5
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在公比 为整数的等比数列 中, 是数列 的前 项和,若 , ，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 是公差为 2 的等差数列
10. 已知 是定义在 的偶函数,且当 时, ,则
( )
A.
B. 当 时,
C. 是 的极小值点
D. 存在实数 ,使得直线 与 的图象恰有 1 个公共点
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为线段 上的动点, 为 的中点, 则 ( )
A.
B. 直线 与 所成角的最大值为
C. 过点 作该正方体的截面 ,则截面 的面积为
D. 三棱锥 外接球半径的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设函数 ，则不等式 的解集为_____.
13. 已知数列 通项公式 ,则数列 的前 9 项和为_____.
14. 已知离心率为 的椭圆 和离心率为 的双曲线 有公共的焦点,其中 分别为左、右焦点, 是 与 在第一象限的公共点.若线段 的垂直平分线经过坐标原点，则当 取最小值时， 为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
16. 已知数列 中， .
(1)证明: 是等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .
17. 已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若对于任意 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
18. 如图,四边形 是正方形,四边形 是梯形, ,平面 平面 ,且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(3)已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求线段 的长.
19. 已知双曲线 过点 ,一条渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若点 为双曲线左支上一点， ，求 的最小值；
(3)过点 的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，求证: 为定值.
1. B
根据分步乘法计数原理可得.
先选羽绒服有 3 种情况, 再选棉裤有 2 种情况, 根据分步乘法计数原理, 共有搭配种数 .
故选:B.
2. B
由集合的运算可得.
因为集合 ,
所以 ,
综合选项判断可得 正确.
故选: B.
3. C
由复数的运算法则计算出答案.
因为 ,所以 ,所以 故选:
4.
应用等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解.
在等差数列 中, ,则 , 则该数列的前 7 项和 .
故选: D.
5. B
由题意得 ,根据离心率求得 ,进而求得双曲线方程,然后代入 即可得解.
由该花瓶横截面圆的最小直径为 ,有 ,
又由双曲线的离心率为 ，有 ， ，
可得双曲线的方程为 ,代入 ,可得 ,
故该花瓶的高为 . 故选: B.
6. A
令 并求导,结合题意可得 在 上单调递减,从而 等价于 ,即 ,进而得出答案.
令 ,则 , 因为 ,所以 ,所以 在 上单调递减, 所以 等价于 ,即 , 所以 ,即不等式的解集为 .
故选: A.
7. A
根据方程两侧对应的曲线性质, 数形结合研究临界值即可求参数范围.
,即为 ,表示双曲线的上支,
,表示过 且斜率为 的直线,
由题意知 与 的图象恰有两个不同的交点,
即直线与双曲线的两个交点都在 轴上方,当直线与双曲线相切时,
由 ,得 ,
令 ,解得 ,
当 时,切点为 在 轴下方,舍去;
当 时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点,
所以当直线与双曲线有两个交点且都在 轴上方时,实数 的取值范围是 .
故选: A.
8. A
解法一: 先设出切点坐标 ,再对 求导找到切线的斜率,再根据切点在曲线 上得出 ,由点斜式写出切线方程,又因为切线过点 ,求出 ,得到切点坐标,进而可求线段 及 到 的距离最后计算出 的面积;
解法二: 先设出切线方程与曲线方程联立通过 得出切线的斜率进而得到切点坐标,进而可求线段 及 到 的距离最后计算出 的面积.
解法一: 因为 ,所以 ,
设切点 ,所以在 处的切线斜率 ,
所以在 处的切线方程为 ,
又点 在曲线 上,所以 ,
所以在 处的切线方程为 ,
因为此切线过点 ,所以 ,
解得 ,即 ,当 时, ,当 时, ,
所以不妨设 ,所以直线 的方程为 ,
整理得 ,又 到 的距离 ,
则 .
解法二: 过原点且斜率不存在的直线为 易知它与曲线 相交, 故过原点且与曲线 相切的直线斜率存在,
设切线方程为 ,切点为 ,联立 ,
整理得 ,令 ,得 或 ,
由 ,得 ,所以 ,
当 时， ，当 时， ，
不妨设 ,所以 ,
所以直线 的方程为 ,即 ,
又 到 的距离 ,则 .
故选: A
9.
利用等比数列的性质得到 ,求出首项,从而求出通项公式和求和公式,利用对数运算得到 ,得到数列 是公差为 1 的等差数列,判断出四个选项.
由题意得: ,而 ,
解得: 或
当 时, ,满足题意;
当 时, ,不合题意,舍去,
故 正确;
由于 ,所以 ,则 ,
其中 ,故 是等比数列, 正确;
正确;
,则 ,则 ,
故数列 是公差为 1 的等差数列, D 错误.
故选: ABC
10. AC
将自变量代入求函数值判断 A，利用偶函数的性质求函数区间解析式判断 B，应用导数研究函数的极值点判断 C,根据 的分析判断 的性质，结合偶函数的对称性判断 D.
由题设 , A 对,
若 ,则 ,故 ,
由 为偶函数,则 , B 错,
由上 时, ,则 ,
令 ,即 在 上单调递增,
又 ,故在 上 ,在 上 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,故 是 的极小值点, 对, 由 分析, 或 时 ,且 ,
所以 上 ,又 为偶函数,则 上
所以直线 与 的图象恒有 2 个交点, 错.
故选: AC
11. ACD
以 为坐标原点, 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,设 ，求出 ，求出 利用向量法即可判断 A；求出 利用向量法即可判断 ; 找到截面 ,即等腰梯形 ,求其面积即可判断 ; 设球心 ,利用两点间距离公式求出 ,建立等式求出 的范围进而求出半径的范围, 即可判断 D.
以 为坐标原点, 所在直线为 轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则 ,所以 ,
设 ,其中 ,即 ,
所以点 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,故 正确;
,
因为 ,所以 ,
所以 ,
函数 在 上单调递减,
所以当 时,函数取得最大值 12,当 时,函数取得最小值 4,
所以 ,
所以 ,
当 时，直线 与 所成角最大，
因为 ,故直线 与 所成角的最大值不为 ,故 错误;
取 中点 ,连接 ,
因为 为 的中点,所以 ,
截面 即为四边形 ,
又 ,所以 ,
又因为 ,故四边形 为等腰梯形,
如图,作 ,垂足为 ,
所以 ,
所以 ,
所以等腰梯形 的面积 ,
即截面 的面积为 ，故 正确；
取 的中点 ,因为 为直角三角形，所以 为 外接圆的圆心， 设外接球的球心为 ,根据外接球的性质,则 平面 ,
设球心 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以当 时,函数取得最小值 ,当 时,函数取得最大值 1,
所以 ,所以 ,
即三棱锥 外接球半径的取值范围为 ,故 正确.
故选: ACD.
12.
根据分段函数解析式,分 和 两种情况解不等式即可;
当 时, ,易知 为单调递增函数,故 , 满足 ;
当 时, ,解得 ,
故不等式 的解集为 ,
13. 205
由通项公式可得,数列 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,利用分组求和求解.
,
数列 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列.
则 .
则数列 的前 9 项和
故答案为: 205 .
14.
由题意, ,利用椭圆和双曲线的性质有 ,最后利用基本不等式即可求解.
设半焦距为 ,
为 中点，线段 的垂直平分线经过坐标原点， 为 中点，则 ，
由 ,
则 ,
所以 ,从而有 ,
故 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立;
故答案为: .
15. (1)
(2)极大值为 ，无极小值.
(1)对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程.
(2)对函数求导, 根据定义域确定函数的单调性, 从而确定极值点和极值.
(1) 因为 ,所以 .
所以切线斜率为 ,而 ,
所以曲线在点 处的切线方程为 ,即 .
(2)令 ，则 ，求得 .
因为 ,当 时, ; 当 时, ;
所以函数 在 单调递增,在 上单调递减,
所以函数 在 处取得极大值为 .
所以函数 的极大值为 ,无极小值.
16.(1) 因为 ,所以 ,
而 ,则 ,
即 ,得到 是首项为 ,公差为 的等差数列.
(2)由(1)可得 ，即 ，
则 ,
得到
17.(1) 函数 的定义域为 ,
则 ,
令 ,可得 或 ,令 ,可得 或 ,
则 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 和 .
(2)由(1)知: 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，
由已知: 在 上有解,
在 上有解, 在 上有解,
;
令 ,则 ,
在 上单调递增, ,
令 ,则 在 上单调递增,
则 ,故 .
的取值范围为 .
18.( 1 )由平面 平面 ,平面 平面 平面 , ，得直线 平面 ，而四边形 是正方形，则直线 两两垂直,
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
,
依题意, 是平面 的一个法向量,又 ,
则 ,而直线 平面 ,所以 平面 .
(2) , 设平面 的法向量为 ,则 ,取 ,得 , 设平面 的法向量为 ,则 ,取 ,得 , 设平面 与平面 夹角为 ,则 , ,所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
(3) 由点 在 上,设 ,则 , 依题意, ,而 ,解得 , 所以线段 的长为 .
19.(1)因为双曲线 过点 ,一条渐近线方程为 ,
所以 ,解得 ,
则双曲线 的标准方程为 ;
(2)因为点 为双曲线左支上一点，
设 ,则 ,即 ,又因为 ,
所以 ,
因为 ,
则 时, 取得最小值 .
(3)证明:当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，
此时可取 ,则 ;
当过点 的直线斜率存在时,
设直线方程为 ,不妨设 ,
因为直线过双曲线的右焦点 ,且双曲线的一条渐近线方程为 ,
则 或 ,
联立 ,消去 并整理得 ,
所以 ,
由韦达定理得 ,
所以
综上所述, 为定值.