北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二下学期3月数学统练试题（一）（含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二下学期3月数学统练试题（一）（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
人大附中高二下学期数学统练一
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知在等差数列 中, ,则公差 的值为 ( )
A. 2 B. C. D. 3
2. 已知 是定义在 上的可导函数,若 ,则 ( )
A. -1
B.
C. 1
D.
3. 已知函数 ，则 ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 已知 是函数 的极小值点,那么函数 的极大值为 ( )
A. -1 B. 1 C. 4 D. 5
5. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. ” ” 是“对任意 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设无穷等比数列 的前 项和为 ,则下列结论一定成立的是 ( )
A. 若 递减,则 递增 B. 若 递减,则 递减
C. 若 递减,则 递减 D. 若 递减,则 递增
8. 函数 是定义在 上的偶函数,其图象如图所示, . 设 是 的导函数,则关于 的不等式 的解集是 ( )
A. B. C. D.
9. 数列 的前 项和 ,且 ,则 ( )
A. B.
C. D.
10. 若定义在 上的函数 可以作为一个三角形的三条边长,则称 是 上的 “三角形函数”. 已知函数 是定义在区间 上的 “三角形函数”，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(共 5 道小题，每题 5 分，共 25 分.每道题只有一个正确答案，请把 正确答案填在答题纸上)
11. 曲线 在 处的切线方程为_____.
12. ,则 _____.
13. 设等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,则 _____.
14. 设函数 ,点 在平面直角坐标系中的位置如图所示. 已知曲线 在点 处的切线分别为直线 和 ,则此函数的解析式
15. 在数列 中, . 设向量 ,已知 , 给出下列四个结论:
① ； ② ； ③ ； ④ . 其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题:(共 3 道小题, 共 35 分.请把正确答案填在答题纸上)
16. 已知函数 的图象过点 ,且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在 上的单调区间，极值和值域.
17. 已知在等差数列 和等比数列 中， ， ，等差数列 的前 项和为 . 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列 和 存在,并解答下列问题.
条件①: ;
条件②: 成等差数列;
条件③: 成等比数列.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若数列 的通项公式为 ，求数列 的前 项和的最小值，以及此时数列 的前 项和的值.
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
18. 已知函数 ,且 .
(1) 求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)设实数 满足:存在 ，使直线 是曲线 的切线，且 对 恒成立,求 的最大值.
1. B
根据等差数列的性质 即可求解.
: .
故选: B.
2. A
将题目给的极限表达式转化为导数的定义式, 即可得解.
因为 ,即 , 即 ,则 .
故选: A.
3. A
因为 ,所以 ,
则 ,得
4. D
先根据 是函数 的极小值点求出 的值,再列出表格求出 的极大值
又 是函数 的极小值点， .
经检验 符合题意 .
令 ,列表如下
-1 (-1,1) 1
+ 0 - 0 +
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
的极大值为
5. D
求导,可得 在 恒成立,参变分离,结合函数单调性分析求解即可.
因为 ,
由题意可得: 在 恒成立，
则 在 上恒成立,
又因为 在 内单调递减,
可得 ,可得 ,
所以 的范围为 .
6. C
根据两者之间的推出关系可判断条件关系.
若 ,则 ,
当 时, ,故 ;
当 时, ,故 ;
当 时， ，
故 能推出 ;
反之,若对任意 ,
因为 时, ,故 ,故 即 ;
而 时, ,故 ,故 即 ;
时显然成立,故 ,
故对任意 能得到 ,
故“ ”是“对任意 ”的充要条件,
故选: C.
7. D
AB 选项,由 递减可推出 ,进而得到公比的范围,分类讨论得到 选项的判断; 选项,根据 递减可推出公比的范围,进而验证 的单调性.
AB 选项,若 递减,则 ,
设等比数列公比为 ,则 ,于是 ,
又 ,则 ,则 , 时, 递减;
时， ， 递增， 错误；
CD 选项,若 递减,则 , 由于 ,则 对于一切正整数 成立,解得 , 此时 ,则 递增, 错误, 正确
8.
借助函数图象与导数的关系计算即可得.
由 ,且 为偶函数,故 ,
由导数性质结合图象可得当 时, ,
当 时, ,当 时,即 ,
则由 ,有 ,解得 ,
亦可得 ,或 ,或 ,或 ,
由 可得 或 ,即 ,
由 可得 ,即 ,
由 ,可得 ,即 或 (舍去,不在定义域内),
由 ,可得 ,
综上所述,关于 的不等式 的解集为 .
故选: D.
9. D
先根据 求出 的通项公式,可判断 选项,再根据 求出
的通项公式,可判断 选项,由 的通项公式求出 的通项公式,利用等比数列求和公式求出数列 的前 项和可判断 选项,利用裂项法求出 的前 项和可判断 选项.
,当 时, .
时, .
是以 为首项,公比 的等比数列, .
, A 选项错误.
选项错误.
是以 1 为首项,公比为 4 的等比数列.
选项错误.
.
D 选项正确.
10. A
求导,得到函数单调性和最值,由题意得 ,即 , 求出答案.
,令 得 ,
令 得 ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在 处取得极小值,也是最小值, ,
又 ,
故 ,
由题意得 ,即 ,
解得 .
故选: A
11.
因为 ,则
则 ,又 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 ,
即 .
12.
,则 ,
则 .
13.
根据等差数列的通项公式和前 项和公式可得出 ,然后即可得出答案.
因为 ,所以 . 故答案为: .
14.
根据导数的几何意义,由在点 处的切线分别为直线 和 ,建立方程组即可求解.
由图知 ,
又曲线 在点 处的切线分别为直线 和 ,
所以 ,
所以 .
故答案为:
15. ②③④
根据已知带入,即可求得 ,即可判断①; 同理可求得 . 然后猜想 ,有 (*) . 然后根据数学归纳法证明
(*) 成立,进而推得 . 可猜想 (**). 然后根据数学归纳法证明 (**) 成立,即可得出②; 代入化简整理可得 , 根据不等式的性质即可得出④；根据(**)的结论即可得出③正确.
对于①,由已知可得 ,
所以 .
因为 ,所以有 ,解得 ,故①错误;
对于②， ， ，所以 .
因为 ,所以有 ,解得 .
同理可得 .
所以有 ,
猜想, ,有 . (*)
显然,当 时,(*) 式成立;
假设 时,(*) 式成立,
即 ,有 .
因为 ,
所以 .
由已知可知 ,所以 ,
所以 ,
故 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
则
即 时,式子 (*) 也成立,所以猜想正确.
即 ,有 .
所以 .
猜想,
当 时，(* *)式成立；
假设当 时，(**)式成立，即 .
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
因为 ,所以 .
所以,当 时, 式也成立.
所以, ,故②正确；
对于④，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ,所以 .
又 ,所以 .
同理可得, .
所以 ,故④正确;
对于③，由(**)可得， ， .
所以 ,故③正确.
16. (1)
(2)函数 的单调增区间: 和 ，单调减区间: ；极大值为 ，极小值为 ,值域为 .
(1) 求出 ,根据题意得出 ,求出 的值,可得出函数 的解析式;
(2)利用导数分析函数 在区间 上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数 在区间 上的极值、最大值和最小值可得答案.
(1) 因为 ,则 , 由已知条件得 ,解得 ,
所以 ,
(2)由(1)知， ，
由 可得 或 ,列表如下:
0 2 (2,3]
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以,函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以,函数 在区间 上的极大值为 ,极小值为 ,
又因为 ,
故函数 在区间 上的最大值为 0,最小值为 -4,
所以值域为 .
17. (1) .
(2)数列 的前 项和的最小值为-64，此时数列 的前 项和的值为 255
(1) 选择条件①: 设 的公差为 的公比为 ,根据等差数列的前 项和公式及等差、等比数列的通项公式,列出方程组即可求解;
选择条件②: 设 的公差为 , 的公比为 ,由题可得: ,根据等差数列、等比数列的通项公式, 列出方程组即可求解;
选择条件③:设 的公差为 ， 的公比为 ，由题可得: ，根据等差数列、 等比数列的通项公式,列出方程组求解可知选择条件③时,不存在满足条件的数列 和 .
(2)由(1)知 . 设 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，根据等比数列的前 项和公式可得 ,根据等差数列的前 项和公式 ,由二次函数的性质即可求解.
(1)选择条件①:
设 的公差为 的公比为 ,
,即 ,解得 或 (舍去),
所以 .
选择条件②:
设 的公差为 ， 的公比为 ，
由题可得: 则 ,
即 ,即 ,
解得 或 (舍去),
所以 .
选择条件③:
设 的公差为 的公比为 ,
由题可得: 则 ,即 ,
解得 (舍去) 或 (舍去),
故选择条件③时，不存在满足条件的数列 和 .
(2)由(1)知 .
设 的前 项和为 的前 项和为 ,
则 ,
由二次函数的性质可知: 当 时, 的最小值为 , 数列 的前 8 项和为 .
18.
( 2 )增区间 ，减区间
(3)
(1) 根据已知条件列方程组,从而求得 .
(2)利用导数求得 的单调区间.
(3)结合 的图象、切线以及不等式恒成立求得 的最大值.
(1) 依题意, ,解得 .
(2)由(1)得 ，
当 时, ,
所以 在区间 上 单调递增,
在区间 上 单调递减.
(3) 由 (2) 得 ,
所以 的图象在 处的切线方程为 ,此时 .
同时, ,因此 在 时恒成立,
直线 是曲线 的切线,则 ,
结合图象可知,当 时, 不恒成立.
当 时, 恒成立.
当 时, ,因此 ,所以 的最大值为 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知在等差数列 中, ,则公差 的值为 ( )
A. 2 B. C. D. 3
2. 已知 是定义在 上的可导函数,若 ,则 ( )
A. -1
B.
C. 1
D.
3. 已知函数 ，则 ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 已知 是函数 的极小值点,那么函数 的极大值为 ( )
A. -1 B. 1 C. 4 D. 5
5. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. ” ” 是“对任意 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设无穷等比数列 的前 项和为 ,则下列结论一定成立的是 ( )
A. 若 递减,则 递增 B. 若 递减,则 递减
C. 若 递减,则 递减 D. 若 递减,则 递增
8. 函数 是定义在 上的偶函数,其图象如图所示, . 设 是 的导函数,则关于 的不等式 的解集是 ( )
A. B. C. D.
9. 数列 的前 项和 ,且 ,则 ( )
A. B.
C. D.
10. 若定义在 上的函数 可以作为一个三角形的三条边长,则称 是 上的 “三角形函数”. 已知函数 是定义在区间 上的 “三角形函数”，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(共 5 道小题，每题 5 分，共 25 分.每道题只有一个正确答案，请把 正确答案填在答题纸上)
11. 曲线 在 处的切线方程为_____.
12. ,则 _____.
13. 设等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,则 _____.
14. 设函数 ,点 在平面直角坐标系中的位置如图所示. 已知曲线 在点 处的切线分别为直线 和 ,则此函数的解析式
15. 在数列 中, . 设向量 ,已知 , 给出下列四个结论:
① ； ② ； ③ ； ④ . 其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题:(共 3 道小题, 共 35 分.请把正确答案填在答题纸上)
16. 已知函数 的图象过点 ,且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在 上的单调区间，极值和值域.
17. 已知在等差数列 和等比数列 中， ， ，等差数列 的前 项和为 . 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列 和 存在,并解答下列问题.
条件①: ;
条件②: 成等差数列;
条件③: 成等比数列.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若数列 的通项公式为 ，求数列 的前 项和的最小值，以及此时数列 的前 项和的值.
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
18. 已知函数 ,且 .
(1) 求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)设实数 满足:存在 ，使直线 是曲线 的切线，且 对 恒成立,求 的最大值.
1. B
根据等差数列的性质 即可求解.
: .
故选: B.
2. A
将题目给的极限表达式转化为导数的定义式, 即可得解.
因为 ,即 , 即 ,则 .
故选: A.
3. A
因为 ,所以 ,
则 ,得
4. D
先根据 是函数 的极小值点求出 的值,再列出表格求出 的极大值
又 是函数 的极小值点， .
经检验 符合题意 .
令 ,列表如下
-1 (-1,1) 1
+ 0 - 0 +
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
的极大值为
5. D
求导,可得 在 恒成立,参变分离,结合函数单调性分析求解即可.
因为 ,
由题意可得: 在 恒成立，
则 在 上恒成立,
又因为 在 内单调递减,
可得 ,可得 ,
所以 的范围为 .
6. C
根据两者之间的推出关系可判断条件关系.
若 ,则 ,
当 时, ,故 ;
当 时, ,故 ;
当 时， ，
故 能推出 ;
反之,若对任意 ,
因为 时, ,故 ,故 即 ;
而 时, ,故 ,故 即 ;
时显然成立,故 ,
故对任意 能得到 ,
故“ ”是“对任意 ”的充要条件,
故选: C.
7. D
AB 选项,由 递减可推出 ,进而得到公比的范围,分类讨论得到 选项的判断; 选项,根据 递减可推出公比的范围,进而验证 的单调性.
AB 选项,若 递减,则 ,
设等比数列公比为 ,则 ,于是 ,
又 ,则 ,则 , 时, 递减;
时， ， 递增， 错误；
CD 选项,若 递减,则 , 由于 ,则 对于一切正整数 成立,解得 , 此时 ,则 递增, 错误, 正确
8.
借助函数图象与导数的关系计算即可得.
由 ,且 为偶函数,故 ,
由导数性质结合图象可得当 时, ,
当 时, ,当 时,即 ,
则由 ,有 ,解得 ,
亦可得 ,或 ,或 ,或 ,
由 可得 或 ,即 ,
由 可得 ,即 ,
由 ,可得 ,即 或 (舍去,不在定义域内),
由 ,可得 ,
综上所述,关于 的不等式 的解集为 .
故选: D.
9. D
先根据 求出 的通项公式,可判断 选项,再根据 求出
的通项公式,可判断 选项,由 的通项公式求出 的通项公式,利用等比数列求和公式求出数列 的前 项和可判断 选项,利用裂项法求出 的前 项和可判断 选项.
,当 时, .
时, .
是以 为首项,公比 的等比数列, .
, A 选项错误.
选项错误.
是以 1 为首项,公比为 4 的等比数列.
选项错误.
.
D 选项正确.
10. A
求导,得到函数单调性和最值,由题意得 ,即 , 求出答案.
,令 得 ,
令 得 ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在 处取得极小值,也是最小值, ,
又 ,
故 ,
由题意得 ,即 ,
解得 .
故选: A
11.
因为 ,则
则 ,又 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 ,
即 .
12.
,则 ,
则 .
13.
根据等差数列的通项公式和前 项和公式可得出 ,然后即可得出答案.
因为 ,所以 . 故答案为: .
14.
根据导数的几何意义,由在点 处的切线分别为直线 和 ,建立方程组即可求解.
由图知 ,
又曲线 在点 处的切线分别为直线 和 ,
所以 ,
所以 .
故答案为:
15. ②③④
根据已知带入,即可求得 ,即可判断①; 同理可求得 . 然后猜想 ,有 (*) . 然后根据数学归纳法证明
(*) 成立,进而推得 . 可猜想 (**). 然后根据数学归纳法证明 (**) 成立,即可得出②; 代入化简整理可得 , 根据不等式的性质即可得出④；根据(**)的结论即可得出③正确.
对于①,由已知可得 ,
所以 .
因为 ,所以有 ,解得 ,故①错误;
对于②， ， ，所以 .
因为 ,所以有 ,解得 .
同理可得 .
所以有 ,
猜想, ,有 . (*)
显然,当 时,(*) 式成立;
假设 时,(*) 式成立,
即 ,有 .
因为 ,
所以 .
由已知可知 ,所以 ,
所以 ,
故 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
则
即 时,式子 (*) 也成立,所以猜想正确.
即 ,有 .
所以 .
猜想,
当 时，(* *)式成立；
假设当 时，(**)式成立，即 .
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
因为 ,所以 .
所以,当 时, 式也成立.
所以, ,故②正确；
对于④，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ,所以 .
又 ,所以 .
同理可得, .
所以 ,故④正确;
对于③，由(**)可得， ， .
所以 ,故③正确.
16. (1)
(2)函数 的单调增区间: 和 ，单调减区间: ；极大值为 ，极小值为 ,值域为 .
(1) 求出 ,根据题意得出 ,求出 的值,可得出函数 的解析式;
(2)利用导数分析函数 在区间 上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数 在区间 上的极值、最大值和最小值可得答案.
(1) 因为 ,则 , 由已知条件得 ,解得 ,
所以 ,
(2)由(1)知， ，
由 可得 或 ,列表如下:
0 2 (2,3]
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以,函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以,函数 在区间 上的极大值为 ,极小值为 ,
又因为 ,
故函数 在区间 上的最大值为 0,最小值为 -4,
所以值域为 .
17. (1) .
(2)数列 的前 项和的最小值为-64，此时数列 的前 项和的值为 255
(1) 选择条件①: 设 的公差为 的公比为 ,根据等差数列的前 项和公式及等差、等比数列的通项公式,列出方程组即可求解;
选择条件②: 设 的公差为 , 的公比为 ,由题可得: ,根据等差数列、等比数列的通项公式, 列出方程组即可求解;
选择条件③:设 的公差为 ， 的公比为 ，由题可得: ，根据等差数列、 等比数列的通项公式,列出方程组求解可知选择条件③时,不存在满足条件的数列 和 .
(2)由(1)知 . 设 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，根据等比数列的前 项和公式可得 ,根据等差数列的前 项和公式 ,由二次函数的性质即可求解.
(1)选择条件①:
设 的公差为 的公比为 ,
,即 ,解得 或 (舍去),
所以 .
选择条件②:
设 的公差为 ， 的公比为 ，
由题可得: 则 ,
即 ,即 ,
解得 或 (舍去),
所以 .
选择条件③:
设 的公差为 的公比为 ,
由题可得: 则 ,即 ,
解得 (舍去) 或 (舍去),
故选择条件③时，不存在满足条件的数列 和 .
(2)由(1)知 .
设 的前 项和为 的前 项和为 ,
则 ,
由二次函数的性质可知: 当 时, 的最小值为 , 数列 的前 8 项和为 .
18.
( 2 )增区间 ，减区间
(3)
(1) 根据已知条件列方程组,从而求得 .
(2)利用导数求得 的单调区间.
(3)结合 的图象、切线以及不等式恒成立求得 的最大值.
(1) 依题意, ,解得 .
(2)由(1)得 ，
当 时, ,
所以 在区间 上 单调递增,
在区间 上 单调递减.
(3) 由 (2) 得 ,
所以 的图象在 处的切线方程为 ,此时 .
同时, ,因此 在 时恒成立,
直线 是曲线 的切线,则 ,
结合图象可知,当 时, 不恒成立.
当 时, 恒成立.
当 时, ,因此 ,所以 的最大值为 .
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