河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期3月测试（二）数学试题（含答案）

河南省信阳高级中学新校(贤岭校区) 2025-2026 学年高二下期 03 月测试 (二)
数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ，且 ，则实数 的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知直线 ，圆 ，则 “ ” 是 “直线 与圆 相交” 的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在正方体 中, 为 的中点, ,若 , 四点共面，则 的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为( )
A. -3
B.
C.
D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 和 的等差中项为 6,则 ( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
6. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变, 而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量 (单位: 贝克)与时间 (单位:天)满足函数关系 ( 为自然对数的底数)，其中 为 时该同位素的含量，已知当 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 -1 ，则 ( )
A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克
7. 圆与椭圆有密切联系, 将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”, 圆会变形为椭圆; 同样的, 将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”, 椭圆会变形为不同的椭圆或圆. 已知二面角 的大小为 ,半平面 内的圆 在半平面 上的正投影是椭圆 在半平面 上的正投影是椭圆 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 记 为数列 的前 项和,若 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 为等差数列 B. 为单调递增数列
C. D. 的最小值为 -3
10. 已知两曲线 与 存在两条公切线,则实数 的取值可能是( )
A. B. C. D. 1
11. 如图, 阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形, 因其形似四叶草,故其阴影边界曲线 称为四叶草曲线,记抛物线在每个象限内的交点分别为 . 已知这四条抛物线的焦点共圆,若开口向右的抛物线方程为 ,过点 作直线 与曲线 在第一、四象限内共相交于四个点,分别记最下方和最上方的交点为 ,且 ,则( )
A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为
B. 曲线 上两点间距离的最大值为
C. 点 不在曲线 的内部
D. 直线 的斜率为
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知直线 与 平行,则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上可相互重合的点，且 ，则 的取值范围是_____， 的最小值是_____.
14. 已知等差数列 首项为 2,公差为 2,前 项和为 ,数列 前 项和为 ,且满足 . 若对于任意 ， 成立，则 的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若4是 的极小值点，证明此时 的极大值小于零；
(3)若 在定义域内单调递增，求实数 的取值范围.
17. 如图 1,在边长为 2 的正方形 中, 分别为线段 的中点,现将四边形 折起至 ,得到三棱柱 ,如图 2 所示,记二面角 的平面角为 .
图1
图2
(1)若 时,求三棱柱 的体积;
(2)若 为线段 上一点，满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
18. 已知圆 ,圆 . 动圆 与圆 外切,且与圆 内切, 记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为 0 的直线 与 相交于点 ， ( 在 的左侧).
①设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证: 为定值；
②设直线 ， 相交于点 ，点 为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ,证明: 为定值.
19. 已知函数 .
(1)若 ,证明: .
(2)已知函数 ,存在不同的正数 ,使得 .
① 求 的取值范围；
②证明: .
1. B
由空间垂直向量的坐标表示求解即可.
因为向量 ,且 ,
所以 ,解得: .
故选: B.
2. B
由 ,得 ,
因为方程表示圆,所以 ,解得 .
所以圆 的圆心为 ,半径为 ,
所以圆心 到直线 的距离为 ,
若直线 与圆 相交可得 ,则可得 ,解得 .
所以 “ ” 是 “直线 与圆 相交” 的充分不必要条件.
3. A
先建立空间直角坐标系, 然后根据已知条件列出各个点的坐标, 然后求出 的坐标,然后根据四点共面列出方程组,进而求出结果.
如图所示,以 为原点,以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1,因为 为 的中点, ,
所以 .
所以 .
因为 四点共面，所以 ，
得到 ,解得 .
故选: A.
4. A
双曲线方程标准化,由 ,得 . ,所以 ,即 ,解得 .
5. C
设等差数列 的公差为 ,
由题意得, ,
则 .
6. C
求导,由 求得 ,再计算即可.
求导得: ,
因为 ,
所以 ,所以
所以 ,
故选:
7. A
不妨设圆 与 切于点 ,过 作与 垂直的平面分别交半平面 于射线 , (如图).
设圆的半径为 ,椭圆 的中心分别为 ,长短半轴分别为 , ,
则 ,而 ,
由平面几何知识易得, ,
故椭圆 的离心率 .
8. A
令 ,得到
设 和 ,利用导数求得 和 的单调性,结合函数的单调性,比较大小,即可得到答案.
令 ,
可得 ,
设 ,其中 ,
可得 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,即 ,即 ,
故 ,所以 ;
设 ,其中 ,
可得 ,令 ,
可得 ,故 在 上单调递增,
所以 ,可得 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,可得 ,
故 ,所以 ,所以 .
故选: A.
9. ABD
由 与 的关系求得通项公式,可判断 ,通过 的赋值结合 的符号,可判断D.
由 ,可得 ,
所以 ,
又 ,符合上式,
所以 ,
故 为等差数列,且单调递增, 正确,
, C 错误,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 ,可知 ,
此时 ,
由上可知 的最小值为 -3, D 正确.
10. BCD
设公切线与两曲线相切于点 ,进而得切线方程,即得 ,设 ,利用导数研究 的单调性和极值,进而作出 的图像,利用数形结合即可求解.
设公切线与两曲线 与 分别相切于
因为 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 , 同理可得曲线 在点 处的切线方程为 , 由题意可得 ,即 ,
设 ,则 ,
令 得 . 当 时, ;
当 时, 在 单调递增,在 单调递减,
时,
的图象如图所示:
由题意可知函数 的图象与直线 有两个交点,因此 ,解得
故选: BCD.
11. BD
由条件结合对称性求出四个抛物线的方程, 对于选项 A, 结合抛物线性质求焦点坐标即可判断，对于选项B，求点 的坐标，由此判断结论，对于选项 C，确定阴影部分内的点在第一象限内的点所需满足的条件,再检验点 是否满足要求即可,对于选项 ,设直线 ,联立方程结合根与系数关系求结论即可.
已知开口向右的抛物线为 ,焦点为 ,
根据对称性可设开口向左的抛物线方程为 ,其焦点坐标为
开口向上的抛物线方程为 ,其焦点坐标为 ,
开口向下的抛物线方程为 ,其焦点坐标为 ,
由焦点共圆(圆心在原点，半径相等)得 ，
因此四条抛物线分别为: ,
对于选项 ,开口向下的抛物线为 ,焦点坐标为 ,不是 错误, 对于选项 ,联立 ,可得 ,故点 的坐标为 ,
同理可得 ,
距离最大的两个点为 和 (或 和 ),
最大距离为: ,选项 B 正确,
对于选项 ,曲线 的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系 且 , 代入 ,因此 在曲线 内部,选项 错误, 对于选项 ,设直线 在最上方, 在最下方,故
由 得: ,即 ,
联立 ,可得 ,由韦达定理: ,
代入 得: ，解得 ，
由 得 ，斜率 ，选项 D 正确.
12. 2
将两直线方程转化成斜截式,根据条件得 ,即可求解.
由 ,得到 ,易知直线 的斜率存在,且斜率为 ,
因为 ,则 的斜率存在,即 ,由 ,得到
则直线 的斜率为 ,由 ,得 ,解得 ,
故答案为:2.
13.
[1,5]
利用焦半径公式表示 ,进而利用抛物线上点的范围求解第一空,利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可.
第一空,如图,设 ,
故 ,
而 ,故 ,
可得 ,即有 ,
由 ,所以 ,
所以 ,所以 .
第二空, ,故 ,
而 ,故 ,即 ,
又 ,
故 ,
即 ,故得 的最小值为 .
故答案为: .
14.
先根据等差数列的通项公式和前 项和公式求出 ,利用裂项相消法求出 ,再利用导数求 的最大值即可.
因为数列 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,
所以 ,
所以 ,
所以
,
对于任意 ， 成立，只需 即可，
令 ,则 ,
所以当 时, 单调递增,当 时, 单调递减, 所以当 时， 取最大值，
所以 ,即 ,
所以 的最小值为 ,
故答案为:
15. (1)
(2)
(1) 利用 , 的关系计算即可;
(2)应用错位相减法及等比数列的求和公式来求解.
(1)因为数列 的前 项和 ，
所以 时, ,
当 时, ,
又 也适合上式,
所以数列 的通项公式为 ;
(2)由 ，
得 ,
作差得:
得:
得: .
16. (1) 当 时, ,则 , 所以 ,
所以曲线 在 处的切线方程为: ,即 .
(2)函数 的定义域为 .
因为 4 是 的极小值点,所以 ,即 ,解得 .
当 时， ,
令 ,则 ,解得 或 .
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 在 处取得极大值, ,
故此时 的极大值小于零.
(3)因为 在定义域 内单调递增，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立.
在 上恒成立,也即 在 上恒成立.
又 ,当且仅当 ,即 时等号成立.
所以 ,即实数 的取值范围为 .
17. (1)1 (2)
(1)证明出 ,可知 ,证明出 平面 ,当 时,求出 的面积,结合柱体的体积可求出三棱柱 的体积;
(2)以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系,分析可知 ,根据 可求出点 的坐标, 再利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
(1)翻折前，在图 1 中，因为四边形 为正方形，所以 ， ，
因为 分别为 的中点,所以 ,
所以四边形 为平行四边形,且 ，
因为 ,所以 ,
翻折后,在图 2 中, ,
所以二面角 的平面角为 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
当 时,即 ,且 ,则 ,
所以三棱柱 的体积为 .
(2)因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴， 过点 且垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设点 ,其中 ,由题意可知 ,则 ,故 ,
因为 ,则 ,解得 ,
则点 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
因此直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
18. ;
(2)① ；② .
(1) 根据动圆与两定圆的位置关系得出点 满足椭圆的定义,进而求出轨迹方程;
(2)①设出直线 的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出 与 的比值，化简得出定值;
②根据三角形内心的性质和三角形面积公式进行推导，得出 为定值.
(1) 设动圆 的半径为 ,圆心 。
已知圆 ，则圆心 ，半径 ；圆 ，则圆心 ， 半径 ;
因为动圆 与圆 外切,且与圆 内切,所以 ;
则 ;
根据椭圆的定义可得点 的轨迹 的方程为 ;
(2)①设过点 的直线方程为 ，与椭圆 联立:
,消去 得: ,
设 ,由韦达定理得: ;
直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,
因此: ,
代入 ，得: ，
分子: ,
分母: ,
因此 ,代入斜率比得: ,
故 为定值 -1 ;
② 设 的内心 到三边的距离为 ，
，因 ，故 ，
因此: ,
直线 ,由①知 ,故直线 可写为: ,即: ,直线 过 和 ,斜率为 ,其方程为: ,联立直线 与 的方程,消去 后解得: ,
代入 的方程得 ，即 ；
,则: ,
因为点 在椭圆上,故由椭圆方程 ,得 ;
将 代入化简得:
由题知 在 的左侧,易得 在左半椭圆,故 ,
因此: ;
故: ,
因 ,故 ,所以 ,故: .
19. (1) 等价于 ,等价于 .
令 ,则 ,
所以当 时, ,则 在 上单调递增,
所以 ,所以 ;
(2)① .
当 时， 在 上单调递增，不符合题意；
当 时， 在 上单调递增，
因为 ,取 ,
则 ,所以 ,
所以 ,
所以存在 ,使得 .
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增,
此时存在不同的正数 ,使得 .
综上, ,即 的取值范围为 ;
② 由 ,得 ,
即 .
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增.
不妨设 ,则 ,即 ,
所以 ,即 .
要证 ,即证 ,
由已证的 ,故只需证 ,
即证 ,(*)
令 ,则不等式 (*) 等价于 .
令 ,则 ,
所以 单调递减,所以 ,得证.