安徽马鞍山市第二中学2025-2026学年第二学期3月教学质量监测高二数学试题（含答案）

马鞍山市第二中学 2025~2026 学年第二学期 3 月教学质量监 测 高二数学试题
注意事项:
1. 答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑. 如需改动, 务必擦净后再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案 写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
一、选择题: 本大题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ，若 ，则 ()
A. 2 B. -1 C. 0 D. -2
2. 在等差数列 中, 是其前 项和,且 ,则正整数 为 ( )
A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021
3. 若从 中任意取出两个不同的数，共有 21 种不同的取法，则 ( )
A. 6 B. 7 C. 20 D. 21
4. 已知 为空间中四点,任意三点不共线,且 , 若 四点共面，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 已知圆 与直线 相切，则 的值为( )
A. -6 或 2 B. 6 或 -2 C. -6 D. 2
6. 若函数 在 上有最大值，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中,已知点 分别为椭圆 的左,右焦点, 为椭圆 上的点，过 作角 的外角平分线的垂线，垂足为点 ，则点 的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
8. 若 使得不等式 对任意 恒成立,则实数 的最大值为( )
A. 1 B. e C. 4 D. 2e
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知等比数列 的前 项和为 ,公比为 ,若 , 则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. 点 在圆 上,点 在圆 上,则下列说法正确的是( )
A. 圆 ,圆 有两条公切线
B. 的最大值为 7
C. 两个圆心所在的直线斜率为
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别是 的中点，点 在正方形 内部(含边界)运动，则下列结论正确的是( )
A. 若 为线段 的中点,则直线 平面
B. 三棱锥 的体积为
C. 在线段 上存在点 ,使得
D. 若 ,则点 的轨迹长为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 满足 ,若 ,则 _____.
13. 一个火车站有 10 股道, 如果每股道只能停放 1 列火车, 现要停放 5 列不同的火车, 每两列火车不能停在相邻股道, 则不同的停放方法共有_____种.
14. 设函数 ，若 是 的极大值点，则 取值范围为_____. 四、解答题:题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在平面直角坐标系 中,点 ,动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且与轨迹 相切,求直线 的方程.
16. 设 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ，并证明: .
17. 如图,四棱锥 中, 平面 , 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
18. 已知双曲线 经过点 ，且离心率为 2 .
(1)求 的方程；
(2)过 的右焦点且斜率不为 0 的直线 与 交于 两点，设 分别为 的左、右顶点， 且直线 的斜率分别为 ,判断: 是否为定值 若是,求出该定值; 否则,说明理由.
19. 已知函数 .
(1)讨论 单调性;
(2)若 恒成立,求 的值;
(3)当 时,证明: 当 时, 恒成立.
1. D
由题意得 ,解得 .
2. D
因为等差数列的前 项和 是关于 的二次函数,
所以由二次函数的对称性及 ,
可得 ,解得 .
3. B
根据组合知识求解即可.
由题意,得 ,即 ,
解得 (舍去) 或 .
故选: B
4. C
因为 四点共面,且 , 所以由共面定理可得, ,即 .
5. C
首先将圆的方程化成标准方程, 再利用直线与圆相切的条件即可求解.
将圆的方程化成标准方程为 ,
因为圆 与直线 相切,
则有 ,解得 .
6. B
求得 ,令 ,得到 ,得出 在 上单调递减,根据题意,转化为 在 存在零点,列出不等式组,即可求解.
由函数 ,可得 ,其中 ,
令 ,可得 ,
所以 在 上为单调递减函数,
要使得函数 在 上有最大值,则函数 在 上有极大值,
则存在 ,使得 在 上单调递增,在 上单调递减,
即 有零点,所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
7. A
延长 交 延长线于点 ,根据椭圆的定义以及外角平分线的性质可得 ,利用中位线定理可得 ,得到点 的轨迹是以原点 为圆心、半径 的圆.
根据题意可得
延长 交 延长线于点 ,因 是 的外角平分线且 ,
故 为等腰三角形,即 为 中点,
由椭圆定义: ,
则 ,
在 中, 为 中点, 为 中点,
根据三角形中位线定理: ,
所以点 的轨迹是以原点 为圆心、半径 的圆,
则轨迹长度 (圆周长): .
8. C
令 ,将问题转化为 使得不等式 对任意 恒成立,结合导数研究 的单调性以及图像, 数形结合求解.
令 ,其中 ,
则 ,当 时, ,
当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,函数 在 上单调递减. 所以 使得不等式 对任意 恒成立等价于 使得不等式 对任意 恒成立.
令 得 ,由图可知 ,
因此实数 的最大值为 4 .
9. AD
根据题意,求出 ,根据等比数列的通项公式及前 项和公式逐项判断.
因为 ,所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 ,故 A 正确;
又 ,所以 ,所以 ,
所以 ,故 BC 错误;
所以 ,故 D 正确.
10.
先把两个圆的方程都转化成标准形式, 得出圆心坐标和半径大小, 再算圆心距, 并判断位置关系,求 的最值,及圆心连线斜率,最后逐一判断选项即可.
圆 ,圆心 ,半径 ,
圆 ,即 ,
所以圆心 ,半径 ,
则 ,
所以两圆相离，有四条公切线, A 错误.
的最大值: 的最大值为 7, B 正确;
C. 选项: 两圆心连线斜率 正确.
D. 选项: 两圆外离, 无相交弦, 故方程不存在, D 错误.
11. ABD
根据题目条件,以 为原点, 方向为 轴建立空间坐标系, 结合选项条件代入计算判断选项是否正确.
以 为原点, 方向为 轴建立空间坐标系,棱长为 2,
,
分别是 的中点, ,
点 在正方形 上,设 ,其中 ,
对于 选项， 为线段 的中点，则 ，
又 是正方体,则 是平面 的法向量,
,即 ,
又 平面 ,所以直线 平行平面 选项正确;
对于 ,三棱锥 体积与 相同,
的顶点 ，
,
点 到 的距离恒为 2 ，
于是 ，B 选项正确
对于 ,在线段 上: ,设 ,
垂直条件 即 ,
,
但 ,所以不存在这样的点 选项错误;
对于 即 ,
,即 ,
点 限制在 ,且 平面上,因此 在这个范围内对应一条线段: 当 时 ,得 ; 当 时 ,得 ,
线段长度: ,所以轨迹长为 , D 选项正确.
故选: ABD
12. -1
根据数列的递推公式可得数列 是周期为 3 的周期数列,根据数列的周期性即可得解.
,
则 是周期为 3 的周期数列,
又 ,
.
13. 720
利用插空法进行计算即可.
总共有 10 股道,要停放 5 列火车,那么剩下的空股道有 股.
这 5 股空股道排好后,会形成 个可以插入火车的“空隙” (包括两端).
首先,从 6 个空隙中选 5 个,有 种选法,
然后,将 5 列不同的火车在这 5 个位置上进行全排列,有 种排法.
总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数即 种.
14.
求出函数 的导数,结合极大值点化简 ,再按 分类讨论求出范围.
函数 的定义域为 ,求导得 ,
由 ,得 ,则 ,
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 是 的极大值点,因此 ; 当 时, ,
若 ,则 ,函数 在 上单调递增,函数 无极值,不符合题意; 若 ,由 ,得 ,由 ,得 ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增, 是 的极小值点,不符合题意;
若 ,由 ,得 ,由 ,得 ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 是 的极大值点,
符合题意,此时 ,则 ,
所以 取值范围为 .
15.
(2) 或
(1) 因为 ,由两点间距离公式列出方程后化简即可求得轨迹 的方程;
(2)由点斜式设出直线 的方程，因为 与 相切，且 的轨迹是圆，则有圆心到直线的距离等于半径,结合点到直线距离公式即可求得当斜率存在时直线 的方程,再考虑直线 的斜率不存在即可.
(1) 因为 ,由 ,得 ,
化简得 ,即 ,
所以 点的轨迹 的方程为 .
(2)由(1)知，轨迹 表示圆心为 ，半径为 2 的圆，
当直线 的斜率不存在时,方程为 ,
此时圆心 到直线 的距离 ,等于圆的半径,
故直线 与 相切,满足题意;
当直线 的斜率存在时,设 ,即 ,
于是圆心 到 的距离等于半径 2,
即 ,解得 ,
因此直线 的方程为 ,即 ,
所以直线 的方程为 或 .
16. (1) 因 ,所以 ,
则当 时, ,
两式作差得, ,
即 ,则 ,
又因为 ,则 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,
则 .
(2)由(1)知， ，
,
,
相减得
,
,
,
是单调递增数列,
.
17. (1)取 中点 为 中点， ，且 .
又 ,且 ,
四边形 为平行四边形,所以 .
平面 平面
平面 .
(2) 平面 ，且 ，所以 两两垂直.
以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,
得 .
,
假设存在点 满足题意,设
设平面 的法向量为
则 ,令 ,则
设直线 与平面 所成的角为 ,则
化简得 ,解得 或 .
因为 ,所以 ,即 .
18.
(2)是定值,
(1) 根据题设列出关于 的方程组,求解即得;
(2)设 的方程为 ，与双曲线方程联立，写出韦达定理，分别求出直线 的斜率 ,并化简 ,利用消元思想与韦达定理即可推出结论.
(1)由题意，可得 ,
解得 .
所以 的方程为 .
(2)由(1)知， 的右焦点为 ，设 的方程为 ，
与方程 联立,得 .
因为 与 有两个交点,所以 且 ,解得
设 ,则 ,则有 因 ,则 ,
所以 ,因 ,
代入可得, ,即 为定值.
19. (1) 解: 由函数 ,可得其定义域为 ,且
① 当 时， ，故 在 单调递增；
② 当 时,令 ,解得 ,
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
( 2 )解:由函数 的定义域为 .
①若 ，由( 1 )知 在 单调递增，
因为 ,所以不满足 恒成立;
②若 ，由( 1 )知， 在 单调递减，在 单调递增，
故 在 时取得最小值，所以 ，
令 ,则 ,
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
又因为 ,所以 ,当且仅当 时取到等号,
所以 的解为 ,故所以实数 的值为 1 .
(3)证明:当 ，且 时，则 ，可得 .
要证明 ,即证 ,
而 ,
令 ,只需证明 即可,
由 ,再令 ,可得 ,
由于函数 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,
则 ,即 在 上单调递增,
可得 ,即 在 上单调递增,
故 ,得证.