山东泰安市新泰一中北校2025-2026学年高二下学期第一次阶段性考试数学试卷（含答案）

新泰一中北校高二下学期第一次阶段性考试 数学试题
学校:_____ 班级:_____考号:_____
一、单选题(每个题目只有一个正确答案，答对答案得 5 分，共计 40 分)
1. 函数 的定义域为开区间 ,导函数 在 内的图象如图所示,则函数 在开区间 内的极小值点有( )
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
2. 函数 的部分图象大致为 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 若函数 在 上存在单调递减区间，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4. 若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 甲，乙、丙、丁等 6 人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法( )
A. 72 种 B. 36 种 C. 144 种 D. 108 种
6. 当 是函数 的极值点,则 的值为
A. -2 B. 3 C. -2 或 3 D. -3 或 2
7. 某学校需要从 3 名男生和 2 名女生中选出 4 人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派 2 人，且至少有 1 名是女生；乙社区和丙社区各需要选派 1 人. 则不同的选派方法的种数是( )
A. 18 B. 21 C. 36 D. 42
8. 已知函数 ,则使不等式 成立的最小正整数 为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题(每个题目有多个正确答案，选对部分答案得部分分，选错得零分， 共计 18 分)
9. 已知函数 ,则( )
A. 恒成立 B. 是 上的减函数
C. 在 得到极大值 D. 在区间 内只有一个零点
10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、 “御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是( )
A. 某学生从中选 2 门课程学习，共有 15 种选法
B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有 240 种排法
C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有 144 种排法
D. 课程 “礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有 480 种排法
11. 已知函数 有两个极值点 ，则( )
A. 或
B.
C. 存在实数 ,使得
D.
三、填空题(每个题目 5 分，共 15 分)
12. 一张餐桌上有 6 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，不同的取法共有_____种。
13. 已知函数 ，若 在 内不单调，则实数 的取值范围是_____.
14. 若函数 有 2 个零点，则 的取值范围是_____.
四、解答题
15. ( 1 )解关于 的不等式 .
(2)求等式 中的 值.
16. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加 三个智力竞赛项目,每个人都要报名且只能参加一个项目.
(1)共有多少种不同的报名方法？
(2)甲不能报 项目，乙必须报 项目，那么有多少种不同的报名方法？
(3)甲、乙报同一项目，丙不报 项目，那么有多少种不同的报名方法？
17. 已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证: .
18. 如图,已知平面图形 的内部连有线段.
(1)由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线有多少条
(2)由点 出发，沿着图中的线段到达点 ，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条
(3)由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线有多少条
19. 已知函数 ,令函数 .
(1)当 为正数时，讨论函数 的单调性;
(2)若不等式 对一切 都成立，求 的取值范围.
1. C
根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号, 确定函数的单调区间, 再由单调性分析得到函数的极值点.
如上图, 为导函数 与 轴的交点的横坐标.
由图知,当 时, ; 当 时, ;
当 时, ; 当 时, ;
当 时, ; 当 时, .
即函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
故函数在 处都取得极小值; 在 处都取得极大值.
故函数 在开区间 内的极小值点有 3 个.
故选: C.
2. C
根据 函数值为非负数以及函数的单调性判断出正确答案.
因为 ,所以排除 A.
又因为 ,
所以 在 和 上 单调递减,
在 上 单调递增,所以 选项正确, 选项错误
故选: C.
3. B
由题意,利用 ,经等价转化,得到 在区间 上能成立,故只需先求 即得.
依题意, 在区间 上能成立,
即 在区间 上能成立,
设 ,则 ,故只需求 在 上的最小值,
而 在 时,取得最小值 -1,故得 .
故选: B.
4. A
利用导数,依题意只需使 在 上恒成立,参变分离后,求出正弦型函数的值域即得.
由题意, 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
因函数 在 上的值域为 ,故得 .
故选: A.
5. C
利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可.
先把甲乙捆绑起来, 和除丙丁之外的 2 人排列后形成 4 个空, 再将丙、丁插入 2 个空中,
故有 种不同的排法.
故选: C
6. B
由 ,解得 或-2,再检验 是否函数 的极值点,可得结论.
由 ,
得 ,
是函数 的极值点,
,解得 或-2,
当 时, 恒成立,即 单增,无极值点,舍去;
当 时, 时, 或 ,
满足 为函数 的极值点,
.
故选 B.
7. D
根据题意, 先分析甲地的安排方法, 分“分派 2 名女生”和“分派 1 名女生”两种情况讨论, 由分类计数原理得到甲地的分派方法数目, 再在剩余的 3 人中, 任选 2 人，安排在乙、 丙两地, 结合分步计数原理, 即可求解.
根据题意, 甲地需要选派 2 人且至少有 1 名女生,
若甲地派 2 名女生，有 种情况；
若甲地分配 1 名女生,有 种情况,
则甲地的分派方法有 种方法;
甲地安排好后,在剩余 3 人中,任选 2 人，安排在乙、丙两地，有 种安排方法,
由分步计数原理,可得不同的选派方法共有 种.
故选: D.
8. A
求导,根据等比数列求和公式,可判断 在 上为增函数,结合零点存在性定理即可求解.
根据题意,函数 ,其导数 ,
当 时, 可以看成是以 1 为首项, 为公比的等比数列的前 5 项和,
则有 ,则函数 在 上为增函数.
又由 ,
知函数 在 上存在唯一的零点,
设其零点为 ,则 ,
又由 ,知 ,则 ,即 或 ,
故使不等式 成立的 的最小正整数为 1 .
故选: A
9. CD
利用导数分析函数 的单调性与极值,由此可判断 ,取 可判断 选项的正误，根据函数的单调性及 可判断 D.
,该函数的定义域为 ,
所以 ,
由 ,可得 ,由 ,可得 ,
所以当 时,函数 单调递增,当 时,函数 单调递减,
,故 B 选项错误, 选项正确;
当 时, ,此时 , 选项错误;
由题可知函数 在区间 内单调递减,而 ,故 在区间 内只有一个零点, 选项正确.
故选: CD.
10. ACD
根据给定条件利用组合知识可以判断 A 正确; 不相邻问题利用插空法可以判断 B 错误; 相邻问题利用捆绑法可以判断 C 正确; 利用特殊位置法可以判断 D 正确.
对于 ,从六门课程中选两门的不同选法有 种, 正确;
对于 B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有 种, B 错误;
对于 C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有 种, 正确;
对于 ,从中间四周中任取一周排“礼”,再排其它五门体验课程共有 种, 正确.
故选: ACD.
11. BD
A, B 选项, 两个极值点问题, 转化为导函数两个异号零点问题; 通过复合函数换元, 将导函数转化为对勾函数或二次函数, 利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解;
选项，解法 1: 先利用整体代入法,消 ，再利用单调性证明; 解法 2: 利用 为极小值点,通过 证明;
D 选项,利用 消元,转化为 ,利用单调性证明;
易知 ,
令 ,则 .
令 ,则 . 设 ,
由对勾函数的图象可知:
当 时, 与 的图象有两个交点,
因为 ,故 不成立,故 错误;
设 ,则 ①,
设 为①式的两根，则 ，即 ②，
③.
由③式可知 ，所以 ，则 ，
故 B 正确;
解法 1: 由②式可知 ,
令 ,
则 ,
则 在 上单调递减,所以 ,
故 ,所以不存在实数 使得 ,故 错误;
解法 2: ,
可得 为 区间的极小值点,则必有 ,故 错误;
由③式可知 ，所以 ，
要证
仅需证明 成立.
令 ,则 .
则 在 上单调递增,所以 ,
故 ,故 正确.
故选: BD.
12. 120
根据排列的意义问题可转化为从 6 个元素中取出 3 个元素的排列数求解
由题意, 问题相当于从 6 个不同元素中取 3 个元素的排列数,
故有 种.
故答案为: 120
13.
求出函数的导数,由 在 内不单调知 在 内有实数根且无重根, 再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数 的范围.
由 ,得 ,
因为 在 内不单调,所以 在 内有实数根且无重根.
若 在 内有且只有一个实数根, 的图象如图,
则 , 即 ,显然不等式无解;
若 在 内有两个不相等的实数根, 的图象如图,
则 ,即 ,解得 .
综上,实数 的取值范围是
故答案为: .
14.
函数 有两个不同的零点,即函数 的图象与 轴有两个不同的交点,利用导数探讨函数的最值, 建立不等式求解.
函数 的定义域为 ,求导得 ,
当 时, ,函数 在 上单调递增,最多 1 个零点,不符合题意;
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
而当 从大于 0 的方向趋近于 0 时, 趋近于负无穷大; 当 趋近于正无穷大时, 趋近于负无穷大,
函数 有两个不同的零点,当且仅当函数 的图象与 轴有两个不同的交点,
因此 ,解得 ,
所以 的取值范围是 .
故答案为:
15. (1)x=8；(2) .
(1) 利用排列数公式, 化简列出不等式求解即得.
(2)利用组合数公式, 化简列出方程求解即得
(1)由 ，得 ，
于是 ,整理得 ,解得 ,
所以 .
(2)原方程变形为 ，即 ，显然 ，
因此 ,
化简整理,得 ,而 ,解得 ,
所以 .
16. (1)81
(2)18
(3)18
(1)每个同学都有 3 种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；
(2)分析可知，丙、丁各有 3 种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；
(3)由题意可知，甲、乙报名的方法种数为3，丙有 2 种选择，丁有 3 种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.
(1)每个同学都有 3 种选择,
则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为 ;
(2)甲不能报 项目，乙必须报 项目，则丙、丁各有 3 种选择，
所以不同的报名方法种数为 .
(3)甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为 3，
丙不报 项目,则丙有 2 种选择,而丁有 3 种选择,
由分步乘法计数原理可知,不同的报名方法种数为 .
17.(1) 解: 由函数 ,可得 ,
所以 ,且 ,即切点坐标为 ,切线的斜率为 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
(2)证明:由函数 ，可得函数的定义域为 ，
由不等式 ，即 ，
要证 ,即证 ,即证 ,
令 ,
可得 ,其中 ,
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时， 取值最大值 ，所以 ，
即 在 恒成立,所以 .
18. (1)10 条.
(2)21 条. (3)155 条.
(1) 先求出点 出发到达点 需要向上和向右的次数,再根据组合数求解即可;
(2)先求出点 出发到达点 的最近路线有多少条，再计算两次向上行走连续且最近的路线, 相减即可;
(3)分类讨论分别经过 的情况数，结合(1)中的方法求解即可.
(1)由点 出发,沿着图中的线段到达点 的最近路线需要向上移动 2 次，向右移动 3 次，
则由点 出发,沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条.
(2)由点 出发，沿着图中的线段到达点 的最近路线需要向上移动 2 次，向右移动 6 次， 则由点 出发,沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条,
其中两次向上行走连续且最近的路线有 7 条.
故所求路线有 条.
(3)设 的位置如图所示，
则由 出发,沿着图中的线段到达点 的最近路线可分为以下三种情况:
① ，有 条最近路线；
② ，有 条最近路线；
③ ，有 条最近路线.
故由 出发,沿着图中的线段到达点 的最近路线有 条.
19.(1) 因为 ,
则 ,
当 时， 在 上为正， 上为负，
所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 .
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
当 时， 在 ， 上为正， 上为负，
所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 ,
综上: 当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)由 ，变形为 ，
令 ,则 在 上单调递增,
其中 ,
则 ,
若 ,此时 在 上恒成立,即 在 上单调递增,满足要求.
若 ,此时要满足 在 上恒成立,
令 ,对称轴为 ,
故要满足 ,解得 ,
综上: ,即 的取值范围是 .