河南信阳高级中学新校（贤岭校区）国际部2025-2026学年高二下学期3月测试（二）数学试题（含答案）

河南省信阳高级中学新校(贤岭校区)国际部 2025-2026 学年高二下期 03 月测试 (二) 数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为( )
A. B. 0
C. D.
2. 圆心为 ,且过原点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3. 直线 被圆 截得的弦长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 ,点 在双曲线 上,若 , 则 ( )
A. 1 B. 13 C. 1 或 13 D. 15
5. 记 为数列 的前 项积,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 在长方体 中, 分别是 的中点,则异面直线 与 所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的导函数为 ,若 ,则 ( )
A. 1 B. -1 C. D.
8. 若函数 在 单调递减，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则( ).
A. 不是等比数列 B.
C. D.
10. 已知圆 ,直线 过点 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 圆 的半径为 2 B. 圆 的圆心坐标为
C. 直线 被圆 截得的最短弦长为 D. 直线 被圆 截得的最长弦长为 4
11. 如图,正方体 的棱长为 分别是 的中点,点 是底面 内一动点,则下列结论正确的为( )
A. 存在无数个点 ,使得 平面
B. 过 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 三棱锥 的外接球表面积为
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 为单位向量. ,若 ,则 在 上的投影向量的坐标为_____.
13. 已知函数 是 上的增函数,则 的值为_____.
14. 已知函数 ,若曲线 在 处的切线也与曲线 相切, 则实数 _____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知三角形三顶点 ， ， ，求:
(1)直线 的一般式方程；
(2) 边上的高所在直线的一般式方程.
(3)求三角形 的面积.
16. 已知等差数列 是递增数列,记 为数列 的前 项和, ,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证 .
17. 如图,在直四棱柱 中,底面 为矩形, 为棱 的中点.
(1)若 ，证明: .
(2)设 ， ， ， ，且点 到平面 的距离为 ， 求 的值.
18. 已知 为坐标原点,动点 满足 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2) 是点 轨迹上的点，且 . 记直线 的斜率分别为 ，证明: 为定值, 并求出该定值.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明: .
1. B
根据直线方程和倾斜角定义求解.
直线 为平行于 轴的直线,
所以倾斜角为 0 .
故选: B
2. A
计算 ,得到圆方程.
根据题意 ,故圆方程为 .
故选: .
3.
求出圆心到直线的距离,结合勾股定理可求得线段 的长.
圆 的标准方程为 ,故圆心为 ,半径 ,
圆心到直线 的距离: ，
由弦长公式,弦长为 .
故选: B
4. B
根据双曲线的定义求解.
由双曲线 ,可得 ,
所以 ,所以 ,
因为点 在双曲线 上, ,又因为 ,
所以 或 ,
① 当 在下支时， ，
② 当 在上支时， ，
综上所述: ,
所以 .
故选: B.
5. C
根据递推公式,利用累加法求得 ,再根据 关系求得 ,再求结果即可.
由题意可得 ,
累加有 时: .
经验证当 时满足,故 ,
则 时, ,
当 时满足,即 ,令 可得 .
故选: C.
6. A
的中点 ，连接 ，则 ，判断出 即为异面直线 与 所成角. 直接解三角形 即可求得.
取 的中点 ,连接 ,因为 ,
所以四边形 是平行四边形,所以 ,
所以异面直线 与 所成角即为 与 所成角(或其补角)，
即 ,因为 平面 ,所以 平面 ,
平面 ,所以 ,
在 Rt 中, .
故异面直线 与 所成角的正切值为 .
故选: A.
7. B
先求出导函数为 ,进而即可求出 .
因为 ,所以 ,
所以 ,解得
故选: B.
8. C
先对函数求导, 根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件,再讨论 的符号得出 的取值范围.
函数 ,求导得 ,
当 时, 在 上单调递增,不合题意;
令 ,解得 或 ,
若函数 在 单调递减,则 在 恒成立,
当 时, ,
当 时, ,
的取值范围为 .
故选: C.
9. ACD
当 时,可求出 的值; 当 时,由 得 ,两式作差可得出 ,可求出数列 的通项公式,逐项判断即可.
因为数列 的前 项和为 ,且 ,
当 时， ，
当 时，由 得 ，
上述两个等式作差得 ,可得 ,但 ,
所以数列 从第二项开始成公比为 2 的等比数列,
故当 时, ,所以 ,
对于 选项，数列 不是等比数列， 对；
对于 选项， 错；
对于 选项， 对；
对于 选项， ， 对.
故选: ACD.
10. ACD
由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断.
由已知圆的标准方程是 ,圆心为 ,半径为 2, A 正确, B 错误;
记点 为 ,
当 时弦长最短，最短弦长为 ，当直线 过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长 4, CD 均正确.
故选: ACD.
11. ACD
平面 平面 在线段 上时, 平面 ,即可判断 , 根据平行关系作出截面图, 即可判断 B, 根据锥体的体积公式判断 C, 转化为求长方体的外接球, 即可判断 D.
对于 A: 因为 是 的中点, 是 的中点,所以 ,
平面 平面 ,
所以 平面 ,
取 中点 ,因为 是 的中点,所以 ,
平面 平面 ,
所以 平面 平面 ,所以平面 平面 , 所以 在线段 上时, 平面 ,
平面 ,故 A 正确;
对于 : 因为 分别是 的中点,所以 ,
在正方体中, ,所以 ,
过 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 ,故 错误;
对于 : 因为 ,所以三棱锥 的体积为定值,故 C 正确;
对于 D: 三棱锥 的外接球可以补形为长方体 (长为 4,宽为 4,高为 2 ) 的外接球, 所以外接球的半径 ,所以外接球的表面积 ,故 D 正确; 故选: ACD.
12.
根据模与向量的关系求出 的值,再根据 在 上的投影向量公式求出答案即可.
,
由题可得:
,可得 ,
则 在 上的投影向量为 .
故答案为: .
13.
求出导函数,由题意 恒成立,然后按照 和 分类讨论求解即可.
由题意得 ,
因为 是 上的增函数,所以 恒成立.
当 时, ,此时 不恒成立,不满足题意;
当 时,要使 恒成立,
则 时, 即 恒成立,所以 ,
时, 即 恒成立,所以 ,
因为 ,所以 ,
综上,得 .
故答案为:
14.
设出切点, 写出切线方程, 根据题意, 列出方程组, 即可求得参数值.
,故 ,又 ,故 ,
故 在 处的切线为: ,也即 ;
设 与曲线 切于点 ,又 ,故 ,
则 ,且 ,则 可得 ,解得 ,
故 .
故答案为: .
15. (1) ;
(2) ;
(3) .
(1) 由两点式写出直线 的方程,再化为一般式即可;
(2)根据垂直和直线 的斜率，得到 边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程， 化为一般式即可;
(3)由(1)得直线 的方程，根据点到直线的距离公式，可求得 边所对应的高，再利用两点间距离公式求得 边的长,再根据三角形面积公式即可求解.
(1)因为 ，
根据两点式,可得 方程为 ,
整理得,其一般方程为 .
(2)因为 ， ，所以 ，
所以 边上的高所在直线的斜率为 ，
又点 在 边上的高所在的直线上,
所以高所在直线方程为 ,
所以其一般方程为 .
(3)由(1)得，直线 的方程为 ，又点 ，
所以点 到直线 的距离,即 边所对应的高为 ,
又 ,
所以 ,
所以, .
16.(1)设等差数列 的公差为 ,且 ,
成等比数列,
,
,
,且 ,
;
(2)证明: ，
17.(1) 连接 ,
因为 ，底面 为矩形，
所以底面 为正方形,所以 ,
在直四棱柱 中， 底面 ，则 ，
因为 平面 ,所以 平面 .
又 平面 ,所以 .
(2)以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 - ，
则 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,得 ,
由 ,
所以 ,
所以点 到平面 的距离 ,
解得 或 .
18.(1) 设点 ,由 ,得
,
即 ,
则 ,整理得 ,
所以点 的轨迹方程为 .
(2)设
则 ,由 (1) 知 ,
,
因此 ,
所以 为定值,该定值为 .
19.(1) 当 时, ,
则 .
由 ,得 .
令 ,解得 ; 令 ,解得 ,
故 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
(2)因为 恒成立，所以 恒成立.
令 ,则 .
令 ,则 恒成立,
即 在区间 上单调递减,
又 ,所以 ,即 .
所以 时, ,
所以 在区间 上单调递减,故 ,所以 ,
综上,实数 的取值范围为 .
(3)证明:由(2)知，取 ，当 时， ，所以 .
设 ,则满足 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,
所以 , 即 .