湖北省云学联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省云学联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 179.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
高二数学学科素养测评
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 的公比是( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2. 定义在 上的函数 ,若 ,则 ( )
A. -1 B. C. 2 D. 4
3. 已知点 在圆 内,则直线 与圆 的位置关系是 ( )
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不确定
4. 记正项等比数列 的前 项积为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 如图,三棱锥 中, 为 的重心, 是 的中点,则 ( )
A. B.
C. D.
6. 若函数 ，数列 中； ，则 ( )
A. 256 B. -324 C. 400 D. 441
7. 已知过原点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ,
,点 是双曲线 的左焦点,若 ,则双曲线的渐近线方程是 ( )
A. B. C. D.
8. 对于实数 表示不小于 的最小整数,如 . 定义函数 ,当 时,函数 的值域为 ,记集合 中的元素个数为 , 数列 的前 项和为 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 为椭圆 的左、右焦点, 是椭圆 上的一动点,则( )
A. 椭圆的离心率 B. 面积的最大值为 2
C. 存在 4 个点 ,使得
D. 的最小值为 1
10. 在棱长为 2 的正方体 中， 是 的中点， 是线段 上的动点， 且 ,则( )
A. 当 时， B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 当 四点共面时,
11. 正项数列 中, ,若 的前 项和为 ,且 ,则下列命题正确的是( )
A. B.
C. 数列 单调递增 D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 将 1 到 2026 这 2026 个数中, 能被 3 除余 1 且被 5 除余 2 的数从小到大排成一列构成数列 ，则 _____.
13. 已知点 ,动点 满足 ,动点 在直线 上,则 的最小值为_____.
14. 数列 的前 项和为 ,且满足 ,若 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 是曲线 上一动点,求 在 处的切线 的倾斜角 的取值范围.
16. 已知数列 的前 项和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，求 .
17. 如图,圆锥 中,底面圆 的直径 长为 是圆 上异于 的一点. 设二面角 与二面角 的大小分别为 与 ,且
(1) 是 的中点，证明: .
(2)求圆锥的高 ；
(3)若 ,求二面角 的余弦值.
18. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 ,正项数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 ；
(3)记 ，求数列 的前 项和为 .
19. 已知点 ,圆 为圆上的一个动点,线段 的中垂线与 交于点 ,当点 在圆上运动时,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若过定点 且斜率存在的直线 与曲线 交于 两点，试探究:
①在 轴上是否存在定点 ，使得直线 ， 的斜率之积为定值？若存在，求出点 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
②若 为平面内一动点，直线 ， ， 斜率的倒数成等差数列，则点 是否在某定直线上 若存在, 求出该定直线的方程; 若不存在, 请说明理由.
1. C
2. A
3. B
点 在圆 内, ,
圆心 到直线 距离 ,
直线 与圆 相离.
故选: B.
4. C
5. D
6. C
7. A
8. D
从数列的递推关系出发,研究 与 的关系,即函数 在 与 时值域的个数差别,重点关注差别区间 . 当
,根据函数定义, 应含有 个整数元素,即 ,
又 ，由累加法可得
则 ,
所以 ,即 .
9. ABD
10. AC
11. ACD
当 时, ,整理得 ,
所以数列 是等差数列,且 ,所以 .
当 时, ,又 也满足,则 .
,由函数的单调性可得数列 单调递减;
所以 ,故 A 正确, B 错误;
,数列 ,单调递增, 正确;
由 可得 ,
,故 D 正确;
12. 52
13. 1
14. 4052
由题意可得 ,作差可得 ,
整理得 ,用 代换 可得 ,
再次作差可得 ,所以 ,即 是等差数列.
又 ,
则由 为奇函数可得 ,所以 .
15. (1)
(2)
(1)由导数的定义及几何意义可得
注: 直接根据求导法则计算也可,即 ,则
所以在 处的切线方程为 ,整理得
(2)在 处的切线斜率为
即 ,由斜率
且 得,
16.
(2)
(1) 当 时, ;
当 时, ,则 .
经检验,当 时也满足该式. 综上,
(2)由题意知，数列 的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得
.
17.
(1)由题意可得， 平面 ，由线面垂直的性质可得 ；
又 是 的中点,则 ,所以 平面 ,
又 平面 ,则
(2)分别取 ， 的中点 ， ，由 ，则 ， .
连接 ,由 平面 易得 .
又 是底面圆 的直径,则 .
则 . 在 Rt 与 Rt 中, .
由 得, ,则 .
(3)因为 ，即 ，所以 ，即 . .
以点 为坐标原点, 分别为 轴建立空间直角坐标系,
则 .
所以 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
不妨取 ,则 ,此时
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
不妨取 ，则 ，此时元 .
所以 , 所以二面角 的余弦值为
18. (1)
(2)
(3)
( 1 )由题意可得， ，又 ，所以 .
当 时, ; 当 时,
显然 时也满足上式,综上可得
由 得,当 时, ,
所以 ,
则 ,又 ,则 ,也满足,即
(2)由(1)可得， .
所以 ,
则 ,
作差得 ,
所以
(3)由(1)可得，
所以 .
19.
(2)① 时，直线 ， 的斜率之积为定值；(2)点 在定直线 上
(1)由题意可得， ,则 , 故点 的轨迹为椭圆,且 ,所以 ,
则曲线 的方程为
(2)① 设直线 的方程为 ，点 ， ， .
联立 ,消 可得 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
整理得 ,
则当 ,即 时,直线 的斜率之积为定值
② 设点
由直线 斜率的倒数成等差数列,则 ,
即 ,所以 .
又 ,代入可得 .
当 时,则点 在直线 上,显然不满足定直线
当 时, ,
又直线 的斜率不能为零,则 ,
所以 ,即 .
由①可得， ，则 .
综上,所以点 在定直线 上 (经检验 合题意)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 的公比是( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2. 定义在 上的函数 ,若 ,则 ( )
A. -1 B. C. 2 D. 4
3. 已知点 在圆 内,则直线 与圆 的位置关系是 ( )
A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不确定
4. 记正项等比数列 的前 项积为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 如图,三棱锥 中, 为 的重心, 是 的中点,则 ( )
A. B.
C. D.
6. 若函数 ，数列 中； ，则 ( )
A. 256 B. -324 C. 400 D. 441
7. 已知过原点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ,
,点 是双曲线 的左焦点,若 ,则双曲线的渐近线方程是 ( )
A. B. C. D.
8. 对于实数 表示不小于 的最小整数,如 . 定义函数 ,当 时,函数 的值域为 ,记集合 中的元素个数为 , 数列 的前 项和为 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 为椭圆 的左、右焦点, 是椭圆 上的一动点,则( )
A. 椭圆的离心率 B. 面积的最大值为 2
C. 存在 4 个点 ,使得
D. 的最小值为 1
10. 在棱长为 2 的正方体 中， 是 的中点， 是线段 上的动点， 且 ,则( )
A. 当 时， B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 当 四点共面时,
11. 正项数列 中, ,若 的前 项和为 ,且 ,则下列命题正确的是( )
A. B.
C. 数列 单调递增 D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 将 1 到 2026 这 2026 个数中, 能被 3 除余 1 且被 5 除余 2 的数从小到大排成一列构成数列 ，则 _____.
13. 已知点 ,动点 满足 ,动点 在直线 上,则 的最小值为_____.
14. 数列 的前 项和为 ,且满足 ,若 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 是曲线 上一动点,求 在 处的切线 的倾斜角 的取值范围.
16. 已知数列 的前 项和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，求 .
17. 如图,圆锥 中,底面圆 的直径 长为 是圆 上异于 的一点. 设二面角 与二面角 的大小分别为 与 ,且
(1) 是 的中点，证明: .
(2)求圆锥的高 ；
(3)若 ,求二面角 的余弦值.
18. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 ,正项数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 ；
(3)记 ，求数列 的前 项和为 .
19. 已知点 ,圆 为圆上的一个动点,线段 的中垂线与 交于点 ,当点 在圆上运动时,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若过定点 且斜率存在的直线 与曲线 交于 两点，试探究:
①在 轴上是否存在定点 ，使得直线 ， 的斜率之积为定值？若存在，求出点 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
②若 为平面内一动点，直线 ， ， 斜率的倒数成等差数列，则点 是否在某定直线上 若存在, 求出该定直线的方程; 若不存在, 请说明理由.
1. C
2. A
3. B
点 在圆 内, ,
圆心 到直线 距离 ,
直线 与圆 相离.
故选: B.
4. C
5. D
6. C
7. A
8. D
从数列的递推关系出发,研究 与 的关系,即函数 在 与 时值域的个数差别,重点关注差别区间 . 当
,根据函数定义, 应含有 个整数元素,即 ,
又 ，由累加法可得
则 ,
所以 ,即 .
9. ABD
10. AC
11. ACD
当 时, ,整理得 ,
所以数列 是等差数列,且 ,所以 .
当 时, ,又 也满足,则 .
,由函数的单调性可得数列 单调递减;
所以 ,故 A 正确, B 错误;
,数列 ,单调递增, 正确;
由 可得 ,
,故 D 正确;
12. 52
13. 1
14. 4052
由题意可得 ,作差可得 ,
整理得 ,用 代换 可得 ,
再次作差可得 ,所以 ,即 是等差数列.
又 ,
则由 为奇函数可得 ,所以 .
15. (1)
(2)
(1)由导数的定义及几何意义可得
注: 直接根据求导法则计算也可,即 ,则
所以在 处的切线方程为 ,整理得
(2)在 处的切线斜率为
即 ,由斜率
且 得,
16.
(2)
(1) 当 时, ;
当 时, ,则 .
经检验,当 时也满足该式. 综上,
(2)由题意知，数列 的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得
.
17.
(1)由题意可得， 平面 ，由线面垂直的性质可得 ；
又 是 的中点,则 ,所以 平面 ,
又 平面 ,则
(2)分别取 ， 的中点 ， ，由 ，则 ， .
连接 ,由 平面 易得 .
又 是底面圆 的直径,则 .
则 . 在 Rt 与 Rt 中, .
由 得, ,则 .
(3)因为 ，即 ，所以 ，即 . .
以点 为坐标原点, 分别为 轴建立空间直角坐标系,
则 .
所以 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
不妨取 ,则 ,此时
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
不妨取 ，则 ，此时元 .
所以 , 所以二面角 的余弦值为
18. (1)
(2)
(3)
( 1 )由题意可得， ，又 ，所以 .
当 时, ; 当 时,
显然 时也满足上式,综上可得
由 得,当 时, ,
所以 ,
则 ,又 ,则 ,也满足,即
(2)由(1)可得， .
所以 ,
则 ,
作差得 ,
所以
(3)由(1)可得，
所以 .
19.
(2)① 时，直线 ， 的斜率之积为定值；(2)点 在定直线 上
(1)由题意可得， ,则 , 故点 的轨迹为椭圆,且 ,所以 ,
则曲线 的方程为
(2)① 设直线 的方程为 ，点 ， ， .
联立 ,消 可得 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
整理得 ,
则当 ,即 时,直线 的斜率之积为定值
② 设点
由直线 斜率的倒数成等差数列,则 ,
即 ,所以 .
又 ,代入可得 .
当 时,则点 在直线 上,显然不满足定直线
当 时, ,
又直线 的斜率不能为零,则 ,
所以 ,即 .
由①可得， ，则 .
综上,所以点 在定直线 上 (经检验 合题意)
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