河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（文）（含答案）

新蔡一高 2025-2026 学年高二数学下学期 3 月份月考 数学试题 (文)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 数列 的一个通项公式是( )
A. B. C. D.
2. 为了打造绿色校园, 学校启动绿植培育项目. 第一周培育了 10 盆绿植，之后每周比上一周多培育 5 盆，按照这个规律持续培育 8 周，一共培育了绿植( )
A. 210 盆 B. 220 盆 C. 230 盆 D. 240 盆
3. 已知各项均为正数的等比数列 ,则
A. B. 7 C. 6 D.
4. 若数列 满足 ，则 ( )
A. 1020 B. 1024 C. 2044 D. 2048
5. 已知数列 的项满足 ，而 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 若等比数列 的公比为 ,则 “ ” 是 “ 是递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知等差数列 的前 项和为 ,公差为 且 ,当且仅当 时 最大,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9.《庄子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若一尺之棰长度为 1 ，第一天得到的长度为 ,第 天得到的长度记为 ，且数列 的前 项和为 ，则()
A. 是公比为 的等比数列 B.
C. 任意 ， D. 存在 ,使得
10. 已知无穷等差数列 的前 项和为 且 ,则 ( )
A. 在数列 中, 最大 B. 在数列 中, 最大
C. D. 当 时,
11. 设数列 的前 项和为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列
B. 当 或 5 时, 取得最大值
C. 数列 的前 10 项和是 50
D. ， ， 成等差数列，公差为 -30
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ， ， 成等差数列，则正数 的值为_____.
13. 若等比数列 共有 项，其公比为 2，其奇数项和比偶数项和少 100，则数列 的所有项之和为_____.
14. 数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一. 例如，三角垛指的是顶层放 1 枚，第二层放 3 枚，第三层放 6 枚......依此类推, 从第二层开始, 每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列, 则前 7 层棋子数总和 _____；第 层的棋子数 _____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 在等差数列 中, .
(1)数列 前多少项和最大？
(2)求 的前 项和 .
16. 已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
17. 已知数列 中， ，满足 .
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式:
(2)设 ， 为数列 的前 项和，求 .
18. 已知数列 满足 .
(1)写出 ；
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
19. 已知等差数列 和等比数列 满足: . (1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)已知 数列 的前 项和 ，若对任意正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
1. A
【解析】利用 与 的关系确定 的通项,然后得出题设结论.
先写出 的通项是 ,
数列 的通项公式是 .
故选: A.
2. B
每周培育的绿植盆数构成等差数列,由题意可知 ,利用等差数列的前 项和求解.
每周培育的绿植盆数构成等差数列,设为 ,公差为 ,则 , 所以 8 周一共培育了绿植 盆.
故选: B.
3. A
试题分析: 由等比数列的性质知, 成等比数列,所以
故答案为
考点: 等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识, 转化与化归的数学思想.
4. C
整理可得 ,可知数列 是以首项为 2,公比为 2 的等比数列, 结合等比数列通项公式运算求解.
因为 ,则 ,
且 ,可知数列 是以首项为 2,公比为 2 的等比数列,
则 ,即 ,
所以 .
故选: C.
5. B
依题意可得 ,利用累乘法计算可得.
因为 ,所以 ,
则 ,
累乘可得 ,
所以 ,又 ,所以 ,
经检验 时 也成立,
所以 .
故选: B
6. C
根据已知及等差数列前 项和的特征,设 ,再由 求值即可.
根据已知及等差数列前 项和,设 , 则 .
故选:
7.
利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可.
充分性: 当 ,若 时, 为递减数列,故充分性不成立; 必要性: 当 为递增数列,若 时,则 ,所以必要性不成立, 故“ ”是“ 是递增数列”的既不充分也不必要条件,
故选: D.
8. C
根据题意得 ,进而得 ,解出即可求解.
由题意,当且仅当 时 最大,
所以 ,即 ,
所以 ,
故选: C.
9. AC
根据等比数列的定义、通项公式、前 项和公式,结合任意性定义、存在性定义逐一判断即可.
根据题意,结合等比数列的定义可知 是公比为 的等比数列,
所以选项 A 正确;
,所以选项 B 不正确;
,任意 ,
因为 ,
所以 ,因此选项 正确;
若 ,
因为 ,公比为 ,
所以该等比数列是单调递减数列,
所以 ,
所以 ,因此不存在 ,使得 ,
所以选项 D 不正确.
故选: AC
10. AD
根据数列的前 项和的性质即可求解.
由题知,无穷等差数列 的前 项和为 且 ,所以 ,所以等差数列 为递减数列,
所以在数列 中, 最大; 当 时, ;
故选: AD.
11. ABC
根据已知条件可得 是以 10 为首项,-1 为公差的等差数列,利用通项公式求出 ,根据二次函数性质可判断选项 ,利用 与 的关系可求得 ,即可判断选项 ,根据等差数列前 项和的公式和性质即可判断选项 CD.
由 ,
可得 是以 10 为首项，-1 为公差的等差数列,
所以 ,
所以 ,
对于函数 ,开口向下,其对称轴为 ,
所以对于 ,当 或 5 时, 取得最大值, 正确;
则
,
又 ,符合上式,
所以 ,
所以 是以 10 为首项,-2 为公差的等差数列, A 正确;
所以 成等差数列,
又 ,
所以 ,
所以 成等差数列,且公差为 -32, D 错;
又当 时， ，
所以数列 的前 10 项和是
又 ,
所以数列 的前 10 项和为 , 正确.
故选: ABC
12. 9
根据等差中项的定义列关系式, 再利用对数的运算法则以及对数函数的性质化简求出.
由题意可知, 且 ,
则 ,则 ,得 .
故答案为: 9
13. 300
设等比数列 的奇数项之和为 ,偶数项之和为 ,则 , 则可求出 ,值,从而得出答案.
设等比数列 的奇数项之和为 ,偶数项之和为 ,
则 ,
由题意可得: ,即 ,解得 ,
故数列 的所有项之和是 .
故答案为:300.
14.
根据给定条件计算可求得 ,写出数列的递推关系,利用累加法求出通项即可.
依题意 ,可得 ,
所以 ;
所以 .
故答案为:①84；② .
15. ( 1 )前 17 项；( 2 ) .
(1) 利用通项公式表示已知条件, 得到关于首项和公差的方程组, 求解后得到通项公式, 探究项的正负, 进而得到答案;
(2)根据(1)中的正负项的研究结论，对于前面的正项取绝对值后不变，直接用原等差数列的求和公式计算; 对于后面有负数项的情况, 利用凑配法转化为原等差数列的和的组合的问题进行运算可得结论.
(1)由 得
.
令 ,得 ,
当 时, ;
当 时, ,
的前 17 项和最大.
(2)当 ， 时，
当 ， 时，
16.
(2)
(1) 根据 的关系,结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可;
(2)根据等比数列和等差数列前 项和公式进行分组求和即可.
(1)因为 ,所以 ,
两式相减,得 ,即 ,故 ,
当 时, ,所以 ,满足 ,
所以数列 为以 为首项,4 为公比的等比数列,
所以 .
(2)由(1)得 ，
所以数列 的前 项和
17. (1)由题意， ，
则 ,
,
所以 是以 为首项,3 为公比的等比数列.
所以 ,则 .
(2)由 ，
则 ,
所以
即 .
18. .
(2)
(1) 根据数列的递推公式求数列的前几项.
(2)利用错位相减法求数列的前 项和.
(1)由 ,
可得 .
( 2 )由题可得 ，
则数列 是首项为 1,公比为 2 的等比数列;
可得 ,即 ,
前 项和 ,
两式相减可得 ,
化简可得 .
19. (1) ;
(2)
(3)
(1)根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比, 从而求得通项公式.
(2)利用裂项相消法求得 .
(3)利用错位相减法求得 ，利用差比较法求得 的取值范围.
( 1 )设等差数列 的公差为 ，已知 ，
,则 .
则 ,
解得 ,所以
设等比数列 的公比为 ,又 ,所以 .
因为 ,
解得 ( 舍去,因为 ),所以 .
(2)由(1)知 ，
则 .
.
(3)由(1)知 ，则 .
①,
①-②得: ，所以 ，则 .
因为对任意正整数 ,不等式 恒成立,
即 恒成立,等价于 恒成立.
设 ,则 .
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 的最大值为 .
所以 ,即实数 的取值范围是 .