湖北省十堰市县级高中教联体2025-2026学年高二下学期3月训练数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省十堰市县级高中教联体2025-2026学年高二下学期3月训练数学试题（含答案） |
|
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 278.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年 3 月高二年级训川练卷 高二数学
试卷满分:150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知直线 与 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知 是函数 的导函数,若 ,则 ( )
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
4. 已知两个随机事件 和 ,其中 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 函数 在 上的最小值为( )
A. -64 B. -51 C. -56 D. -61
6. 已知直线 和平面 ,下列表述正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
7. 我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页, 堪称数学史上名垂百世的成就, 而且一直启发和指引着历代数学家们. 定理涉及的是数的整除问题, 其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用, 为世界数学的发展做出了巨大贡献现有这样一个整除问题: 将 1 到 2022 这 2022 个整数中能被
5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列 ,那么此数列的项数为( )
A. 58 B. 59 C. 60 D. 61
8. 定义在 上的函数 ,对任意实数 都有 . 若 ，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 在一次机器人大赛中, 7 位评委给某机器人的打分 (单位: 分) 为
80,83,87,90,93,97,100，则下列说法正确的有( )
A. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的极差不变
B. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的平均数不变
C. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的方差会变小
D. 这组数据的 75% 分位数为 93
10. 如图是 的导数 的图象,则下面判断正确的是( )
A. 在 内 是增函数 B. 在 内 是减函数
C. 在 时 取得极大值 D. 当 时 取得极小值
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别是线段 上的动点 (不含端点),且 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ,则直线 与直线 的夹角为
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 存在 ,使得 平面
D. 若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束). 根据前期比赛成绩, 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.6, 客场取胜的概率为 0.5 , 且各场比赛结果相互独立, 则乙队以 4:1 获胜的概率是_____.
13. 过直线 上的动点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,
，当 最大时，四边形 的面积为_____.
14. 已知函数 . 若函数 对 ,使 成立，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间.
16. 如图,在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 中， 且 . 数列 中， 且
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 .
18. 已知椭圆 ，过点 ，焦距为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 与椭圆 交于不同两点 ( 异于椭圆的顶点) 判断光线 经过 轴反射后是否经过点 说明理由.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 在区间 上有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.
1. D
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 正确.
2. A
由两条直线垂直的充要条件得 ,解得 或 , 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
3. B
由 ,得 ,
,得 ,
,则 .
故选: B.
4. D
,
.
5. D
由题意 ,令 ,解得 ,
当 时, ,则 单调递增,
当 时, ,则 单调递减,
所以 极小值为 ,
又 ,所以 的最小值为 -61 .
故选: D
6. D
由 ,条件中缺少 ,故 A 错误;
由 ,条件中缺少 ,故 B 错误;
由 ,条件中缺少 ,故 错误;
由 ,故 正确;
故选: D.
7. A
能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被 35 除余 2 的数,
故 .
由 ,得 ,故此数列的项数为 58 .
8. C
令 ,可得 ,所以 在 上单调递增, 由 可得 ,所以 是以 3 为一个周期的周期函数,
则 ,所以 ,
则不等式 ,即为 ,即 ,
又因为 在 上单调递增,所以 ,解得 ,
所以不等式 的解集为 .
9. BC
对于 ,原极差: ; 去掉最低分 80、最高分 100 后,
剩余数据为83,87,90,93,97,极差为 ,极差改变,故 错误;
对于 ,原数据总和: ,原平均数 , 去掉两端后总和为 ,平均数 ,平均数不变,故 正确;
对于 ,方差衡量数据波动程度,去掉了离平均数 (90) 最远的两个数据 80 和 100,剩余数据波动更小，因此方差变小，故 C 正确；
对于 D,计算 75% 分位数: 由 ,向上取整得分位数位置为第 6 位, 第 6 位数据是 97 , 不是 93 , 故 D 错误.
10. BD
选项 A,由图象可知,在 单调递减,
在 单调递增,所以选项 A 错误.
选项 ,由图象可知,在 内 单调递减,所以选项 正确.
选项 ,由图象可知, 两侧 均为正, 始终递增,所以选项 错误.
选项 D,当 时, ,左侧 ,右侧 ,导数由负变正,是极小值点, 所以 取得极小值,所以选项 D 正确.
故选: BD
11. ABC
对 A，因为 ，所以
当 时， ， 分别为 ， 的中点，所以 也是 的中点.
过 作 于 ,连接 ,则 ,所以 .
因为 ,所以直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角,即 .
又因为 ,所以 ,故 正确.
对 ,过 作 于 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 ,即三棱锥 的高为 ,
又 ,
所以三棱锥 体积
,
当 时， ，故 B 正确.
对 ,当 时, 是 的中点,所以 也是 的中点.
因为 是 的中点,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确.
对 ,当 时, ,故 为 的中点,
又 为 的中点,所以 ,
所以 到 的距离都为 1,
即三棱锥 外接球的球心为 ,球半径为 1,所以外接球表面积 ,故 错误.
12. 0.08
由题可知乙在甲主场取胜概率为 ,乙在甲客场取胜概率为 , 前五场主客安排为: (甲) 主主客客主
则甲胜第一场 (主): ,
则甲胜第二场 (主): ,
则甲胜第三场 (客): ,
则甲胜第四场(客): ，
乙队以 4:1 获胜的概率 .
故答案为: 0.08
13.
圆 的标准方程为: ,
其圆心 到直线 的距离为 ,故直线与圆相离.
连接 ,在 Rt 中, ,
则当 的长度最小时, 最大,此时 最大.
而 的最小值即为圆心 到直线 的距离,即 ,此时切线长 , 由于 ,
故四边形 的面积 ,
故答案为: .
14.
对 ,使得 等价于:
当 时, ,
因为 在 上单调递增,
所以 ,而 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, ,
由 ,得 ,
所以实数 的取值范围为 .
故答案为:
15. (1)
( 2 )单调递增区间为 ，单调递减区间为
(1) 当 时, ,
,则 ,
又 ， 曲线 在点 处的切线方程为 .
(2) , ,由 ,得 ,由 ,得 .
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
16. (1)证明:取 的中点为 ,连接 ,
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ,则 ,
而 平面 平面 ,故 平面 ,
而 ， ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ,
故平面 平面 ,而 平面 ,
故 平面 ;
(2)因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ,故 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ,故 ,
因为 为 的中点,在 中, ,
因为 为 的中点,且 ,所以 ,
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
在四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，所以 ，故 两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,从而 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
17. (1) ; (2) .
(1)因为 ，
当 时, ,
两式相减得 ;
当 时， ，所以 ；
所以数列 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 .
数列 中, ,满足 .
即 ,
等式左右两边分别相乘可得 ,而 ,所以
(2) ，由(1)可得 ，数列 的前 项和为 .
则
两式相减可得
所以 .
18.
(2)光线 经过 轴反射后经过点
(1) 由题可得 ,
椭圆 的方程为 ,
所以椭圆的离心率 .
(2)如图
为椭圆 的右焦点, ,
设 ,
设过点 的直线 的方程为 ,
将直线方程与椭圆方程联立 得 , 展开并整理得 ,
则 即 ,
且 ,
光线 经过 轴反射后经过点 .
19. (1)极小值为 ,无极大值
(2)
(1) 当 时, ,定义域为 ,
则 ,
由 可得 ,由 可得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以函数 的极小值为 ,无极大值.
(2)由 可得 ,
设 ,则函数 在区间 上单调递增,且 ,
当 时,当 时, ,即函数 在区间 上单调递增,
则 ,即函数 在区间 上没有零点;
当 时,即当 时,当 时, ,即函数 在区间 上单调递减,
则 ,即函数 在区间 上没有零点;
当 时, ,则存在 ,使得 ,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
因为 ,要使得函数 有零点,需满足 ,解得
综上所述,实数 的取值范围是 .
试卷满分:150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知直线 与 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知 是函数 的导函数,若 ,则 ( )
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
4. 已知两个随机事件 和 ,其中 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 函数 在 上的最小值为( )
A. -64 B. -51 C. -56 D. -61
6. 已知直线 和平面 ,下列表述正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
7. 我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页, 堪称数学史上名垂百世的成就, 而且一直启发和指引着历代数学家们. 定理涉及的是数的整除问题, 其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用, 为世界数学的发展做出了巨大贡献现有这样一个整除问题: 将 1 到 2022 这 2022 个整数中能被
5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列 ,那么此数列的项数为( )
A. 58 B. 59 C. 60 D. 61
8. 定义在 上的函数 ,对任意实数 都有 . 若 ，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 在一次机器人大赛中, 7 位评委给某机器人的打分 (单位: 分) 为
80,83,87,90,93,97,100，则下列说法正确的有( )
A. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的极差不变
B. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的平均数不变
C. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的方差会变小
D. 这组数据的 75% 分位数为 93
10. 如图是 的导数 的图象,则下面判断正确的是( )
A. 在 内 是增函数 B. 在 内 是减函数
C. 在 时 取得极大值 D. 当 时 取得极小值
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别是线段 上的动点 (不含端点),且 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ,则直线 与直线 的夹角为
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 存在 ,使得 平面
D. 若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束). 根据前期比赛成绩, 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.6, 客场取胜的概率为 0.5 , 且各场比赛结果相互独立, 则乙队以 4:1 获胜的概率是_____.
13. 过直线 上的动点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,
，当 最大时，四边形 的面积为_____.
14. 已知函数 . 若函数 对 ,使 成立，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间.
16. 如图,在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 中， 且 . 数列 中， 且
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 .
18. 已知椭圆 ，过点 ，焦距为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 与椭圆 交于不同两点 ( 异于椭圆的顶点) 判断光线 经过 轴反射后是否经过点 说明理由.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 在区间 上有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.
1. D
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 正确.
2. A
由两条直线垂直的充要条件得 ,解得 或 , 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
3. B
由 ,得 ,
,得 ,
,则 .
故选: B.
4. D
,
.
5. D
由题意 ,令 ,解得 ,
当 时, ,则 单调递增,
当 时, ,则 单调递减,
所以 极小值为 ,
又 ,所以 的最小值为 -61 .
故选: D
6. D
由 ,条件中缺少 ,故 A 错误;
由 ,条件中缺少 ,故 B 错误;
由 ,条件中缺少 ,故 错误;
由 ,故 正确;
故选: D.
7. A
能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被 35 除余 2 的数,
故 .
由 ,得 ,故此数列的项数为 58 .
8. C
令 ,可得 ,所以 在 上单调递增, 由 可得 ,所以 是以 3 为一个周期的周期函数,
则 ,所以 ,
则不等式 ,即为 ,即 ,
又因为 在 上单调递增,所以 ,解得 ,
所以不等式 的解集为 .
9. BC
对于 ,原极差: ; 去掉最低分 80、最高分 100 后,
剩余数据为83,87,90,93,97,极差为 ,极差改变,故 错误;
对于 ,原数据总和: ,原平均数 , 去掉两端后总和为 ,平均数 ,平均数不变,故 正确;
对于 ,方差衡量数据波动程度,去掉了离平均数 (90) 最远的两个数据 80 和 100,剩余数据波动更小，因此方差变小，故 C 正确；
对于 D,计算 75% 分位数: 由 ,向上取整得分位数位置为第 6 位, 第 6 位数据是 97 , 不是 93 , 故 D 错误.
10. BD
选项 A,由图象可知,在 单调递减,
在 单调递增,所以选项 A 错误.
选项 ,由图象可知,在 内 单调递减,所以选项 正确.
选项 ,由图象可知, 两侧 均为正, 始终递增,所以选项 错误.
选项 D,当 时, ,左侧 ,右侧 ,导数由负变正,是极小值点, 所以 取得极小值,所以选项 D 正确.
故选: BD
11. ABC
对 A，因为 ，所以
当 时， ， 分别为 ， 的中点，所以 也是 的中点.
过 作 于 ,连接 ,则 ,所以 .
因为 ,所以直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角,即 .
又因为 ,所以 ,故 正确.
对 ,过 作 于 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 ,即三棱锥 的高为 ,
又 ,
所以三棱锥 体积
,
当 时， ，故 B 正确.
对 ,当 时, 是 的中点,所以 也是 的中点.
因为 是 的中点,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确.
对 ,当 时, ,故 为 的中点,
又 为 的中点,所以 ,
所以 到 的距离都为 1,
即三棱锥 外接球的球心为 ,球半径为 1,所以外接球表面积 ,故 错误.
12. 0.08
由题可知乙在甲主场取胜概率为 ,乙在甲客场取胜概率为 , 前五场主客安排为: (甲) 主主客客主
则甲胜第一场 (主): ,
则甲胜第二场 (主): ,
则甲胜第三场 (客): ,
则甲胜第四场(客): ，
乙队以 4:1 获胜的概率 .
故答案为: 0.08
13.
圆 的标准方程为: ,
其圆心 到直线 的距离为 ,故直线与圆相离.
连接 ,在 Rt 中, ,
则当 的长度最小时, 最大,此时 最大.
而 的最小值即为圆心 到直线 的距离,即 ,此时切线长 , 由于 ,
故四边形 的面积 ,
故答案为: .
14.
对 ,使得 等价于:
当 时, ,
因为 在 上单调递增,
所以 ,而 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, ,
由 ,得 ,
所以实数 的取值范围为 .
故答案为:
15. (1)
( 2 )单调递增区间为 ，单调递减区间为
(1) 当 时, ,
,则 ,
又 ， 曲线 在点 处的切线方程为 .
(2) , ,由 ,得 ,由 ,得 .
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
16. (1)证明:取 的中点为 ,连接 ,
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ,则 ,
而 平面 平面 ,故 平面 ,
而 ， ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ,
故平面 平面 ,而 平面 ,
故 平面 ;
(2)因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ,故 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ,故 ,
因为 为 的中点,在 中, ,
因为 为 的中点,且 ,所以 ,
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
在四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，所以 ，故 两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,从而 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
17. (1) ; (2) .
(1)因为 ，
当 时, ,
两式相减得 ;
当 时， ，所以 ；
所以数列 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 .
数列 中, ,满足 .
即 ,
等式左右两边分别相乘可得 ,而 ,所以
(2) ，由(1)可得 ，数列 的前 项和为 .
则
两式相减可得
所以 .
18.
(2)光线 经过 轴反射后经过点
(1) 由题可得 ,
椭圆 的方程为 ,
所以椭圆的离心率 .
(2)如图
为椭圆 的右焦点, ,
设 ,
设过点 的直线 的方程为 ,
将直线方程与椭圆方程联立 得 , 展开并整理得 ,
则 即 ,
且 ,
光线 经过 轴反射后经过点 .
19. (1)极小值为 ,无极大值
(2)
(1) 当 时, ,定义域为 ,
则 ,
由 可得 ,由 可得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以函数 的极小值为 ,无极大值.
(2)由 可得 ,
设 ,则函数 在区间 上单调递增,且 ,
当 时,当 时, ,即函数 在区间 上单调递增,
则 ,即函数 在区间 上没有零点;
当 时,即当 时,当 时, ,即函数 在区间 上单调递减,
则 ,即函数 在区间 上没有零点;
当 时, ,则存在 ,使得 ,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
因为 ,要使得函数 有零点,需满足 ,解得
综上所述,实数 的取值范围是 .
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