河南信阳市淮滨县第二高级中学2025-2026学年高二下学期数学单元测试题（二）（含答案）

淮滨二高 2024 级高二年级数学学科单元测试题(二)
分值: 150 分时间: 120 分钟
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)
1. 设 在 可导,则 等于( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 ，则 ( )
A. -2 B. -4
C. D.
3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示,则下列结论中正确的是 ( )
A. 在区间 上单调递减 B. 在 处取得极大值
C. 在区间 上单调递减 D. 在 处取得极小值
4. 已知当 时， 恒成立，则 的最大值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 设 在 内单调递增, ,则 是 条件.( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
6. 已知函数 ，则下列关于函数 性质描述错误的是( )
A. 函数 有两个极值点
B. 函数 有三个零点
C. 点 是曲线 的对称中心
D. 直线 与曲线 的相切
7. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数, 则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题 (每小题 6 分, 共 18 分)
9. 下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列求导数运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 函数 的最小值不可能是( )
A. -1 B. -e
C. D. 不存在
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. 函数 点 处的切线方程为_____.
13. 已知 在 处有极大值,则实数 的取值范围是_____.
14. 已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 的值为_____.
四、解答题(共 77 分)
15. 已知曲线 在点 处的切线斜率为 3,且 是 的极值点,求 的值.
16. 已知函数 .
( 1 )当 时，求 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性，并求最值.
17. 已知某精密仪器生产总成本 (单位:万元) 与月产量 (单位:台) 的函数关系为 ,月最高产量为 150 台,出厂单价 (单位: 万元) 与月产量 的函数关系为
(1)求月利润 与产量 的函数关系式 ；
(2)求月产量 为何值时,月利润 最大？
18. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)当 ,对任意的 恒成立,求实数 的取值范围;
(3)证明: .
1. D
根据极限的定义求解.
, 故选: D.
2. D
根据导数的定义求解即可.
由导数的定义可得:
故选: D.
3. D
根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可.
对 ,当 时, ,此时 单调递增,
当 时, ,此时 单调递减,故 错误;
对 ,在 附近,导函数符号不变,则 在 处取不到极大值,故 错误;
对 ,当 时,此时 单调递增,故 错误;
对 ,由图知 为附近的最低点,则 在 处取得极小值,故 正确.
故选: D.
4. A
构造函数 ,利用导数求函数的最值即得.
令 ,则 ,又 ,
由 ,可得 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在区间 内单调递减,在 上单调递增,
在 上,函数 ,
所以 ,即 的最大值为 0 .
故选: A.
5. B
利用导数研究函数的单调性,求得 的等价命题,由充分条件、必要条件的定义, 根据集合的包含关系可得结果.
在 内单调递增,
恒成立
解得 ,
所以 不能推出 能推出 ,
即 是 的必要不充分条件,
故选 B.
6. D
利用导数研究函数的单调性和极值, 作图, 根据图象变换, 结合奇偶性, 利用导数的几何意义, 求切点验证, 可得答案.
对于函数 ,求导可得: , 令 ,解得 ,可得下表:
-1 (-1,1) 1 (1,+∞)
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
则 ,即可作图如下:
故 A、B 正确;
由 为奇函数,且 是由 向上平移 1 个单位得到的,故 C 正确; 令 ,解得 ,则 , 不在直线 上,故 错误.
故选: D.
7. A
先构造函数, 再根据函数的导函数得出函数单调性即可判断大小.
设 ,
所以 单调递增; 单调递减;
所以 .
故选: A.
8. D
求导后讨论单调性,再根据题意可得 ,进而解不等式即可.
由题知函数的定义域为 ,
所以,当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增;
因为函数 在区间 上不单调,
所以, ,解得 ,
所以，实数 的取值范围是 .
故选: D.
9.
首先构造函数利用导数求出最值,即可判断 正确,利用特殊值即可判断 , D 错误.
对选项 ,设 ,
当 时, 为减函数,
当 时, 为增函数,
所以 ,即 ,故 正确.
对选项 B,设 ,
当 时， ， 为增函数，
当 时, 为减函数,
所以 ,即 ,故 正确.
对选项 C,当 时, ,此时 ,故 C 错误.
对选项 D,当 时, ,故 D 错误.
故选: AB
10. BCD
根据导数的运算法则依次判断即可.
对于 ,故 错误;
对于 ,由指数函数求导公式可得 ,故 正确;
对于 ,故 正确;
对于 ,故 正确.
故选: BCD.
11. ABD
利用导数工具研究函数单调性即可求出函数 的最小值.
函数定义域为 ,令 ,则 .
所以 时, 时, ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
当 时,函数 取得最小值为 .
12.
求出切点坐标, 利用导数求出切线的斜率即得解.
解: ,所以切点为 ,
,所以切线的斜率为 .
故该切线方程为 ,即 .
故答案为:
13.
求导得 ,对 分类讨论得对应的单调性、极大值情况即可求解.
由题意 ,
已知 在 处有极大值,
所以 是 的变号零点,
显然 ,
若 ,则 ,
所以此时 在 单调递增,在 单调递减,
即此时 在 处有极大值,故 满足题意,
当 时, 或 ,
所以此时 在 上单调递增,在 上单调递减,
即此时 在 处有极大值,故 满足题意,
当 时,
(i) 当 时, ,
或 ,
此时 在 上单调递减,在 上单调递增,
即此时 在 处有极大值,故 满足题意,
(ii) 当 时, ,等号成立当且仅当 , 此时 在 上单调递减,
即此时 在 处无极大值,故 不满足题意,
(iii) 当 时, 或 ,
此时 在 上单调递减,在 上单调递增,
即此时 在 处有极小值,故 不满足题意,
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为: .
14.
【解析】对 求导,求出 ,利用切线与直线 垂直,即斜率互为负倒数, 列式计算.
由题意得, ,则 ,
则 ,
解得 .
故答案为: .
15. -2
因为 ,则 .
又因为在点 处的切线斜率为 3,
所以 ,即 .
由于 是 的极值点,
所以 ,
解得 ,所以 .
16.(1) 当 时, ,求导得: ,
则 ,
则 在 处的切线方程: ,即 ;
(2)由 求导得: ,
① 当 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递增，无最值；
② 当 时,由 ,解得 ,
当 时, ,则 在 上单调递减;
当 时, 在 单调递增,
所以 在 有最小值,为 ,无最大值.
17. (1) ，其中
(2)月产量为 120 台时，月利润 最大
(1) 月利润函数 出厂单价 月产量 成本 ,代入数据计算即可;
(2)由(1)知，利润函数 是 的三次函数，对 求导，令 ，解得 的值， 得出 取最大值时对应 的值.
解: (1) 由题意, ,
则 ,其中
(2)
令 ,解得
当 时, ; 当 时,
因此,当 时, 取最大值.
所以，月产量为 120 台时，月利润 最大
18. (1)减区间为 ,增区间为 .
分析: (1) 求导得 ,得到减区间为 ,增区间为 ;
(2) ，在 上恒成立，等价于 在 上恒成立, 即可求出实数 a 的取值范围.
详解: (1)
时, ;
,解得 或 ,
函数 的定义域为 ,在区间 上 . 函数 为减函数; 在区间 上 . 函数 为增函数.
(2)函数 在(2，4)上是减函数，则 ，在 上恒成立.
在 上恒成立.
令 ,则 ,
函数 在 上为增函数.
.
实数 的取值范围 .
点睛: 本题考查导数的综合应用. 导数的基本应用就是判断函数的单调性, ,单调递增, ,单调递减. 当函数含参时,则一般采取分离参数法,转化为已知函数的最值问题, 利用导数求解.
19.(1) ,令 ,所以切线方程为 .
( 2 )因为 恒成立，即 恒成立，
令 ,令 ,解得 ,
当 时， 单调递增；
当 时, 单调递减;
故 的最大值为 ,
因为 恒成立,所以 ,
所以 ,即实数 的取值范围为 .
(3)法一:由(2)得当 时， 恒成立，
即 ,令 ,
所以 ,
令 ,则 ,
故 在 上单调递增,所以 ,即 成立,得证.
法二: 令 ,
先证 ,即证 ,
令 ,
当 单调递增; 当 单调递减,
所以 ,所以 ,即 得证,
因为 ,所以 ,
令 ,
则 ,令 ,所以 ,
所以 在 上单调递增,又因为 ,
所以 使得 ,即 ,也即 ,
所以 时, 单调递减; 时, 单调递增,
所以 ,代入 得,
又 在 时单调递减,而 ,
所以 ,
所以 ,
即 成立,所以 ,原不等式得证.